5.7.1二次函数的应用(一)学案
课题：5.7.1二次函数的应用（一）学历案
学习目标：
1.通过分析面积问题中的数量关系，能把实际问题中的等量关系抽象为二次函数；
2.认识二次函数模型的重要性，体会二次函数是刻画现实世界中数量关系的有效的数学模型；
3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，提高分析问题、解决问题的意识和能力. 学习重点：会列出二次函数解决最大（小）值实际问题
学习难点：把实际问题中的等量关系抽象为二次函数
课前、课中任务单
一、前置检测
1.二次函数y= -3(x+4)2-1的对称轴是，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最值，是 .
2.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最_____ 值，是 .
二、新知探究
1.最大值问题：
【课本例1】用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园，已知
篱笆的长度为60m.应怎样设计才使菜园面积最大？最大面
积是多少？
2.最小值问题
【课本例2】如图，ABCD是一块边长为2m的正方形铁板，在边
AB上取一点M，分别以AM，MB为边截取两块相邻的正方形板材，
当AM的长为多少时，截取的板材面积最小？
归纳总结：解决用二次函数求最大(小)值的问题，基本思路.
三、变式练习
1.用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园，墙长25m，已
知篱笆的长度为60m.应怎样设计才使菜园面积最大？最大
面积是多少？
2.菱形的两条对角线的和为40cm.
（1）如果菱形的面积为s(cm2)，一条对角线的长为x(cm2)，写出s与x的函数表达式，并指出自变量x的取值范围；
（2）当这两条对角线的长分别为多少时，菱形的面积最大？最大面积是多少？
【挑战自我】
如图，用篱笆围成一个一面靠墙（墙的最大可用长度为10m)、中间隔着一道篱笆的矩形菜园.已知篱笆的长度为24m.设菜园的宽AB为x(m)，面积为y(m2).
(1)写出y与x之间的函数表达式及自变量的取值范围；
(2)围成的菜园的最大面积是多少？这时菜园的宽x等于多少？
四、课堂小结
五、反馈评价
1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动
点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B
重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动
（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经
过秒，四边形APQC的面积最小．
2.某商品现在的售价为每件28元，每天可售出24件，市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件．已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为y件，售价为每件x元（x为正整数）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润P（元）最大，最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定该商品每件的售价不得高于32元，若要每天获得的利润不低于182元，请求出该商品的售价x（元）的取值范围．
六、中考链接
（2019 潍坊）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场.与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）
5.7.1二次函数的应用(一)学案
课题：5.7.1二次函数的应用（一）学历案 学习目标： 1.通过分析面积问题中的数量关系，能把实际问题中的等量关系抽象为二次函数； 2.认识二次函数模型的重要性，体会二次函数是刻画现实世界中数量关系的有效的数学模型； 3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，提高分析问题、解决问题的意识和能力. 学习重点：会列出二次函数解决最大（小）值实际问题 学习难点：把实际问题中的等量关系抽象为二次函数 课前、课中任务单 一、前置检测 1.二次函数y= -3(x+4)2-1的对称轴是，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最值，是 . 2.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最_____ 值，是 . 二、新知探究 1.最大值问题： 【课本例1】用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园，已知 篱笆的长度为60m.应怎样设计才使菜园面积最大？最大面 积是多少？ 2.最小值问题 【课本例2】如图，ABCD是一块边长为2m的正方形铁板，在边 AB上取一点M，分别以AM，MB为边截取两块相邻的正方形板材， 当AM的长为多少时，截取的板材面积最小？ 归纳总结：解决用二次函数求最大(小)值的问题，基本思路.
三、变式练习 1.用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园，墙长25m，已 知篱笆的长度为60m.应怎样设计才使菜园面积最大？最大 面积是多少？ 2.菱形的两条对角线的和为40cm. （1）如果菱形的面积为s(cm2)，一条对角线的长为x(cm2)，写出s与x的函数表达式，并指出自变量x的取值范围； （2）当这两条对角线的长分别为多少时，菱形的面积最大？最大面积是多少？ 【挑战自我】 如图，用篱笆围成一个一面靠墙（墙的最大可用长度为10m)、中间隔着一道篱笆的矩形菜园.已知篱笆的长度为24m.设菜园的宽AB为x(m)，面积为y(m2). (1)写出y与x之间的函数表达式及自变量的取值范围； (2)围成的菜园的最大面积是多少？这时菜园的宽x等于多少？ 四、课堂小结 五、反馈评价
浙教版九年级数学上册《二次函数的应用》教案
《二次函数的应用》教学设计 一、教学背景分析： 1.教学内容分析： 二次函数的知识是七到九年级数学学习的重要内容之一，它的应用是本章的教学重点也是难点。因为它是从生活实际问题中抽象出的数学知识，又是在解决实际问题时广泛应用的数学工具，因此这部分的教学内容具有重要意义；同时学好二次函数的应用，可又为高中进一步学习各类初等函数作好准备。而经历从实际问题情景入手，抽象出解决问题的数学模型和相关知识的过程中不仅可以让学生体会数学的价值和建模的意义，更能提高学生应用数学知识解决问题的意识。 2.学生情况分析： 本节课的授课对象是九年级的学生。在此之前，学生已经掌握了求二次函数解析式的方法并理解图象上的点和图象的关系，并且学习了一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一次函数的应用，以及初步的二次函数的应用，经历了多次从实际问题抽象出数学知识再运用相关知识解决实际问题的过程；因此他们有解决简单实际问题的基础知识和基本能力。但是，由于函数知识的抽象性，多数学生在学习时应用函数的意识并不强；同时，他们从实际问题中抽象出数学问题的能力以及利用已有的数学知识去解决的能力也是比较弱的。 二、教学重点： 建立适当的坐标系解决实际问题. 三、教学难点： 正确理解实际问题中的量与坐标系中的点的对应关系. 四、教学目标： 1.能把实际问题归结为数学知识来解决，并能运用二次函数的知识解决实际问题. 2.经历在具体情境中抽象出数学知识的过程，体验解决问题方法的多样性，体会建模思想，渗透转化思想、数形结合思想，提高数学知识的应用意识. 3.在运用数学知识解决问题的过程中，体会数学的价值、感受数学的简捷美，并勇于表达自己的看法.
二次函数的应用(教学设计)
二次函数在生活中应用 浦 桂 花 学习目标: 1、会运用二次函数及其图像的知识解决现实生活中的实 际问题。 2、初步体会到数形结合、数学建模以及函数和方程互相 转化等数学思想、方法. 3、感悟“数学来源于生活，又指导生活”，激发出学习数学的浓厚兴趣. 一、引入： 在日常生活中，我们接触到许多与二次函数有关的实际问题， 例如：投篮后篮球运行的路线，推铅球时铅球运行的路线和喷池中水流的路线等等。今天就运用以前学过的二次函数的知识来解决这些实际问题。 二、典型例题： 例1: 小明参加铅球比赛,已知铅球的运行的路线是一条抛物线.铅球 出手时的高度是 米,铅球最高处离地面3米,距离出手时的水平距离是4米. 试推测小明这次铅球的比赛成绩. 35
例2：某越江隧道的横断面的轮廓线是一段抛物线． 已知隧道的地面宽度为20米，地面离隧道最高点 C 的高度为10米． (1)、请建立适当的平面直角坐标系，并求出这段抛物线所表 示的二次函数的解析式. (2)、这隧道设计为双向行驶，现有一辆宽为5米，高为6 米装满货物的卡车，问这辆卡车能否顺利通过？ C A B 三、巩固练习： 如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米， （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥280千米，（桥长忽略不计）货车以每小时 40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知， 前方连降大雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨，（货车接 到通知时水位在CD处），当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；
第18课时_二次函数的应用学案_基训题目
第18课时 二次函数的应用学案 基训题目 1、图(1)是一个横断面为抛物线 形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶 (拱桥洞的最高点)离水面2m ，水 面宽4m ．如图(2)建立平面直角坐 标系，则抛物线的关系式是( ) A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =- D ．212y x = 2、如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y (单位： m)与水平距离x (单位：m)之间的关系是 21251233 y x x =-++．则他将铅球推出的距离 是 m ． 3、某车的刹车距离y (m)与开始刹车时的速度x (m/s)之间满足二次函数2120 y x =(x ＞0)，若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为( ) A ．40 m/s B ．20 m/s C ．10 m/s D ．5 m/s 4、出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出()6x -个，则当x = 元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大． 5、 将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时,长方体的体积最大( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6、用长为8m 的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,使窗户的 透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是 ( ) 图（1） 图（2）
A 2564m 2 B 34m 2 C 38m 2 D 4m 2 7、某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析， 若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售 量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为 元 时，获得的利润最多. 8、王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线 21855 y x x =-+，其中y (m)是球的飞行高度，x (m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ． (1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． (2)请求出球飞行的最大水平距离． (3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式． 2011.3.23
【最新】2013年中考数学总复习学案：第16课时 二次函数应用
第16课时 二次函数应用 一、选择题 1. 已知h 关于t 的函数关系式2 1 2h gt =（ g 为正常数，t 为时间）如图，则 函数图象为 ( ) t A ． B ． C ． D ． 2.如图，用长8m 的铝合金条制成矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这 个窗户的最大透光面积是（ ） A ． 2564m 2 B ．34m 2 C ．38m 2 D ．4m 2 3.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =- +的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ ） A.4.6m B. 4.5m C.4m D.3.5m 二、填空题 4．二次函数y=1 2x 2+x-1，当x=______时，y 有最_____值，这个值是____． 5．（2008年庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y （元/平方米）随楼层数x （楼）的变化而变化（x =1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x ，y ）都在 第5题图 第2题图 第3题图 第8题第8题图
一个二次函数的图像上（如图所示），则6楼房子的价格为 元/平方米． 6.用一根120cm 长的铁丝围成一个矩形，矩形的最大面积为 ；若将其分成两部分，每一部分弯曲成一个正方形，那么两个正方形的面积和最小为 ． 7. 用长20cm 的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，当园子宽为 ，园子有最大面积是 . 8.某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如上图所示，若菜农身高 为1.6m ，则他在不弯腰的情况下在大棚内活动的范围是 米． 三、解答题 9.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 10.（2008安徽)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成点）的路线是抛物线2 3 315y x x =-++的一部分，如图． （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 第10题图 A B C
二次函数的应用_——最大面积问题教学设计
《二次函数的应用——面积最大问题》教学设计 二次函数的应用——面积最大问题。所用教材是教育材九年级上册第三章第六节二次函 数的应用，本节共需四课时，面积最大是第一节。 下面我将从教材容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程 的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。 一、教学容的分析 1、地位与作用： 二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际 问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数 的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利 用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感 兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题 奠定基础。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和 函数有关的应用问题。此部分容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以 后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。 2、课时安排 教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有 归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运 动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。 3.学情及学法分析 学生由简单的二次函数y ＝x 2学习开始，然后是y ＝ax2，y ＝ax 2+c ，最后是y=a(x-h)2， y ＝a(x-h)2+k ，y ＝ax 2+bx+c ，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和图像的性质。 对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值， 但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这 一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力， 这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。 二、教学目标、重点、难点的确定 教学目标： 1、知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性 质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。 2．过程与方法：经历“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题— —利用求解的结果解释问题”的过程体会数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务 于 生活。 3.情感态度、价值观：培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过 程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成。 教学重点：利用二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，求面积最值问题 教学难点：1、正确构建数学模型 2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用 三、教学方法与手段的选择 由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究 式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论， 充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使
【教案】九年级数学《二次函数的应用》教学设计
《二次函数的应用》教学设计 一、教学目标： 1、通过数形结合，由二次函数的图象，进一步熟练二次函数解析式的求法； 2、能利用二次函数的性质去解决实际问题，初步掌握运用数学知识解决问题的基本方法； 3、感知各知识之间的联系，增强学生对二次函数本质的理解，提高学生提出问题及解决问题的能力。 二、教学重点、难点： 1、重点：培养学生的问题意识和利用二次函数知识解决综合问题； 2、难点：熟练掌握知识之间的关联与转化，提升思维的灵活性与深刻性； 三、教学手段：多媒体教学、探究式教学 四、教学过程： （一）知识回顾 师：前面我们已经学习了二次函数解析式的解法，包括一般式2y ax bx c =++、顶点式2()y a x h k =-+、交点式12()()y a x x x x =--，对于各类题型，同学们要能够选择恰当的方法，进行解题。 （1）一般式：y = ，顶点（ ）， 对称轴是直线x = ；当x = ，y =最大（小）值 ． （2）顶点式：y = ，顶点（ ）， 对称轴是直线x = ；当x = ，y =最大（小）值 ． 它可以对二次函数2(0)y ax a =?通过 而得到． （3）交点式：若抛物线与x 轴交于点)0,(1x 、)0,(2x ，则它的解析式还可以写成： y = ． 说明：由于二次函数（或说抛物线）的解析式有一般式、顶点式和交点式这三种表示形式，因此，在求二次函数（或说抛物线）的解析式时，要根据已知条件，设适当的解析式的形式再求解．
（二）例题讲解： 例1、如图，抛物线232 y x bx c =++与x 轴交于A （-1,0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若直线y x n =-+与线段BC 交于点E ，且BE =4EC ，求n 的值． 2、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++?的图象经过A （﹣1，0）、B （4，0）、C （0，2）三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO （O 是坐标原点），求点D 的坐标；
九年级上册《二次函数的应用》导学案.doc
九年级上册《二次函数的应用》导学案 第 49 课时 6.4二次函数的应用（1）一、自主尝试预习课本p25—26页，尝试解决下列问题：问题1：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100—150亩稻田．预计原360亩稻田今年每亩可收益440元，新增稻田x今年每亩的收益为元．试问：该种粮大户今年要多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？ 二、例题讲评例1 将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？ 例2 室内通风和采光主要取决于门窗的个数和每个门窗的透光面积．如果计划用一段长m的铝合金型材，制作一个上部是半圆、下部是矩形的窗框（如图），那么当矩形的长、宽分别为多少时，才能使该窗户的透光面积最大（精确到0.1m且不计铝合金型材的宽度）？ 例3 如图，在矩形abcd中，ab=6cm，bc=cm，点p从点a出发，沿ab 边向点b以1cm/s的速度移动，同时点q从点b出发沿bc边向点c以2cm/s 的速度移动，如果p、q两点同时出发，分别到达b、c两点后停止移动．（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形apqcd的面积为s，写出s与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．（2）t为何值时，s最小？最小值是多少？ 巩固练习：1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适
当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。问：每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？ 2．如图，已知△abc，矩形gdef的de边在bc边上．g、f分别在ab、ac边上，bc=5cm，s△ab c为30cm2，ah为△abc在bc边上的高，求△abc 的内接长方形的最大面积。 智者加速：1．有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）。⑴设x天后每千克活蟹市场价为p元，写出p关于x的函数关系式.⑵如果放养x天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为q元，写出q关于x的函数关系式。⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？ 2．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x(元)152030…y(件)252010…若日销售量y是销售价x的一次函数。（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 三、我的心得 第 49 课时 6.4二次函数的应用（1）一、自主尝试预习课本p25—26页，尝试解决下列问题：问题1：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，
九年级中考一轮复习 二次函数的应用学案
教师 学生 时间和时段 年 月 日 （ ： — ： ） 学科 数学 年级 九年级 教材名称 北师大版 授课题目 二次函数的应用 课 次 第（ ）次课 新课精讲之知识板块一：二次函数的应用 1．二次函数的应用： （1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值； （2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值． 2．解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等． 知识板块一：二次函数最值 （1）0a ＞，二次函数2 y ax bx c =++，当2b a a =-时，有最小值244ac b a -；二次函数2 ()y a x h k =-+，当a h =时，有最小值k 。 （2）0a ＜，二次函数2 y ax bx c =++，当2b a a =-时，有最大值244ac b a -；二次函数2 ()y a x h k =-+，当a h =时，有最大值k 。 典型例题： 1.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为21 (4)312 y x =- -+，由此可知铅球推出的距离是 m 。 2. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的 函数关系式是y=60x ﹣1.5x 2 ，该型号飞机着陆后滑行 m 才能停下来． 3.如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y =2 ax +bx ．小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需 秒． 最大利润问题 一、解题思路：1.审题，找到自变量与因变量间的关系 2.有题意写出所需函数关系式（一次函数或二次函数） 3.根据题意写出自变量的取值范围 4．求出二次函数对称轴 5、对称轴与自变量取值范围比较求出最值 二、常用知识点：1.找等量关系或利用二元一次方程组求函数解析式 2．解一元二次方程 方法1（ ） 2（ ） 3（ ） 3.常用公式： ? 总利润=单利×销售量 = 总销售额 - 总成本 ? 单利=售价-进价 ? 销售量：每涨价a 元销售量就减少b 件 现销售量=原销售量 - b a ?m m(涨价的钱数)=现售价 - 原售价
二次函数的应用 教学设计
二次函数的应用 【教学目标】 1．知识与技能： 通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解实际问题中的最值问题。 2．过程与方法： 通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值问题转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想和数学模型思想。 3．情感态度价值观： 通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。 【教学重点】 利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，求最值问题 【教学难点】 1．正确构建数学模型 2．对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用 【教学过程】 一、复习引入 （1）由二次函数y= -x2 +20x的解析式我们能够想到的图象特征和性质是…？ （2）根据同学们描述信息，画出函数的示意图为： 二、讲解新课 1．在情境中发现问题 [做一做]
1）你能够画一个周长为40cm的矩形吗？ 2）周长为40cm的矩形是唯一的吗？ 3）谁画出的矩形的面积最大？ 4）有没有一个矩形的面积是最大呢？最大面积为多少？ 2．在解决问题中找出方法 [想一想]：某小区想用40m的栅栏围成一个矩形花园，问矩形的长和宽各取多少米，才能使花园的面积最大，最大面积为多少？ 3．在巩固与应用中提高技能 变式一：如果矩形的一面靠墙，（墙的最大利用长度为18m）， 那么此时用40m的栅栏可以围成矩形的面积（1）能够为202m2吗？ （2）能够为200m2吗？ （3）此时还会有最大面积吗？如果有，请说明最大面积为多少？画出示意图。 在（想一想）的基础上，我在此设计了一个条件墙长18米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图像辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。 三、师生小结 1．通过本节课的探讨，在实际问题中求解最值，你有怎样的收获？ 2．体会数学的价值 四、练习检测： 在问题2中，你能用二次函数的性质求出每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最多吗？
《二次函数的应用(一)》教学设计
《二次函数的应用(一)》教学设计 《二次函数的应用(一)》教学设计 一、学生知识状况分析 通过前面的学习，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。学生已经经历了由实际问题转化为数学问题的过程，对解决这类问题有了一定处理经验。 二、教学目标 知识目标： 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值． 能力目标： 1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次
函数关系，培养学生的分析判断能力． 2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力． 情感态度与价值观： 1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值． 2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格． 3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学习的信心，具有初步的创新精神和实践能力． 三、教学重点 1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题． 四、教学难点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积的问题． 五、教学过程 一、创设情境，引入新课 探究一： 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB 和AD分别在两直角边上，AN=40m，AM=30m， (1)如果设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积ym2，当x取何值时,y的最大？最大值是多少？ 《二次函数的应用（一）》教学设计
中学九年级数学下册《二次函数的应用(第1课时)》讲学案
《6.4 二次函数的应用（1）》讲学案 学习目标: 1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。 2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。 学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。 学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。 学习过程: 一、情景导学： 1、问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?问题1、总利润=×，单件利润=—。 2、在这个问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 3、根据前面的分析我们若设每个降价x元，总利润为y元，此时y与x之间的函数关系式是，化为一般式。这里y是x的函数。现在求最大利润，实质就是求此二次函数的最值，你会求吗？试试看。 二例题 1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？ 2.某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是 x（10万 元） 0 1 2 … y 1 1 ．5 1 ．8 … （1）求y与x （2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式； （3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
二次函数应用 导学案
二次函数应用 导学案 第 页 姓名： 1. 启明星、公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件. 为了获得更好 的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是x （万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且10 7107102++-=x x y ，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：（1）试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资新项目，现有6 如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资 方式？写出每种投资方式所选的项目. 2. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽 是10m.（1）求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）. 货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行）. 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？ 3、某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x （元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y （元）.（1）用含x 的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；（2）求y 与x 之间的二次函数关系式；（3）当月租
苏科版数学九下《二次函数的应用》word学案4课时
九年级数学（下）二次函数教学案 年级九年级学科数学执笔审核使用周次课题 6.4 二次函数的应用（1）课型新授章节 6.4.1 二 上课 时间 班级姓名 学习 小组 学习 目标 能根据具体问题中的数量关系，用相关的二次函数知识解决实际问题。 能探索实际问题中的最大值或最小值问题。 重点 难点 用相关的二次函数知识解决实际问题。 探索实际问题中的最大值或最小值问题。 教学过程二次备课一、自学： 阅读课本内容25-26页，思考问题： （1）例题中，出现的关系量如何用未知数表示？ （2）从引例和例1中，你能借助数式、图形构建函数关系？ (3) 如何利用二次函数来对扩大生产、获得收益的最大化进行研究？ 二、探索活动： 引例： （1）未知数，表示的相关量 （2）构建函数关系： 三、精讲例题： 例1： 分析：未知数长和宽如何假设，设矩形的宽为，关键表示其它 量：半圆半径半圆周长，矩形的高 欲求面积的最大，应建立面积与宽的函数关系。 解： 四、应用：
九年级数学（下）二次函数教学案 课堂练习： 2、 教后笔记 年级 九年级 学科 数学 执笔 审核 使用周次 课题 6.4二次函数的应用（2） 课型 新授 章节 6.4.2 三 上课 时间 班级 姓名 学习小组 学习 目标 能根据揭示实际问题中的数量关系的图象特征，用相关的二次函数知识解决实际问题。
重点 难点 能根据揭示实际问题中的数量关系的图象特征，用相关的二次函数知识解决实际问题。 教学过程二次备课一、自学： 根据例2前的情景及图片，试想一下： 问题： 1、水的喷击线路应该是什么图形？ 2、如果借助于直角坐标系研究问题，应如何建立直角坐标系? 二、例题： 解析：坐标系的选取，坐标轴、原点的确立与实际问题中实物抽象的图形 建立对应关系即建构函数模型解决问题。例题中已给出顶点式 解： 拓展： 课堂练习：
《二次函数的应用》公开课教学设计
《二次函数的应用》教学设计 一.教学目标： 1、经历数学建模的基本过程。 2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。 3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。 二.教学重点及难点： 重点：利用二次函数的图象与性质求实际问题中的最大值或最小值。 难点：正确分析问题，找到解决问题的途径，建立适当的数学模型解决实际问题。 三.教学准备： 略 四.教学过程： 一、课前检测： 1.二次函数y=x2-2x+3的顶点坐标是，当x时，y随x的增大 而增大，当x时，y有最值，是。 2. 已知二次函数y=x2-2x+3，当0≤x<4时，当x时，y有最值， 是。 3.已知二次函数y=x2-2x+3，当2≤x<4时，当x时，y有最值， 是。 （学生自主做完后，交流答案，教师适时进行纠错指导。） （设计意图：学生经历由易到难求二次函数最值的过程，为二次函数应用做好铺垫。） 二、新知体验：一“形”多“模” 体验一：如图，矩形ABCD的一边靠墙,另三边用长为60米的竹篱笆围成，若矩形的宽为x米，面积是450平方米，求这个矩形的长。
体验二：若矩形的宽AB长为x米,面积为60平方米，写出矩形的长y（米）与x（米） 的函数关系式. 体验三：若矩形的宽AB长为x米,另三边的长为60米，写出矩形的长y（米）与宽x （米）的函数关系式. 体验四：若矩形的宽AB长为x米,另三边的长为60米，写出矩形的面积s(平方米）与 宽x（米）的函数关系式. （学生积极思考，自己解答，小组内讨论，教师给予引导。） （设计意图：这四个体验的求解分别是一元二次方程、反比例函数、一次函数、二次函 数，它们都是数学中的模型，函数的取值在自变量的取值范围内有无数个，其中二次函 数还有最值，从而进入本节的学习。） 三、新知应用：一题多变 （一）例1 用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形养鸡场，已知篱笆的长度为60m,问： 应该怎样设计才能使养鸡场的面积最大？最大面积是多少？ （高程生到黑板板演，其余同学在练习本上做出；然后小组内展示、交流，最后教师根 据学生存在的问题进行讲解。） （设计意图：例1是把体验4转变成了一个实际问题，首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑自变量的取值，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。） （解答例1之后及时让学生总结方法，为下一阶段的学习打下思想方法基础。） 归纳总结：如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值? 1.首先求出函数解析式
二次函数应用教学设计
二次函数的一些应用 教学目标： 利用数形结合的数学思想分析问题解决问题。 利用已有二次函数的知识经验，自主进行探究和合作学习，解决情境中的数学问题，初步形成数学建模能力，解决一些简单的实际问题。 在探索中体验数学来源于生活并运用于生活，感悟二次函数中数形结合的美，激发学生学习数学的兴趣，通过合作学习获得成功，树立自信心。 教学重点和难点： 运用数形结合的思想方法进行解二次函数，这是重点也是难点。 教学过程： （一）引入： 分组复习旧知。 探索：从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中，你能得到哪些信息？ 可引导学生从几个方面进行讨论： （1）如何画图 （2）顶点、图象与坐标轴的交点 （3）所形成的三角形以及四边形的面积 （4）对称轴 从上面的问题导入今天的课题——二次函数中的图象与性质。 （二）新授： 1、再探索：二次函数y=x2+4x+3图象上找一点，使形成的图形面积与已知图形面积有数量关系。例如：抛物线y=x2+4x+3的顶点为点A，且与x轴交于点B、C；在抛物线上求一点E使S?BCE= S?ABC。 再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点F，使?BCE与?BCD全等。 再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点M，使?BOM与?ABC相似。 2、让同学讨论：从已知条件如何求二次函数的解析式。 例如：已知一抛物线的顶点坐标是C(2,1)且与x轴交于点A、点B,已知S?ABC=3，求抛物线的解析式. （三）提高练习 根据我们学校人人皆知的船模特色项目设计了这样一个情境： 让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情况以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情况，再出题：船身的龙骨是近似抛物线型，船身的最大长度为48cm，且高度为12cm。求此船龙骨的抛物线的解析式。 让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的作用。 （四）让学生讨论小结（略） （五）作业布置
一元二次函数的应用教学设计
一元二次函数的应用 2 1.能初步联系实际建立一元二次函数模型； 2.会运用一元二次函数的知识解决一些简单的实际问题. 【教学重点】 会运用一元二次函数的知识解决一些简单的实际问题.【教学难点】 会运用一元二次函数的知识解决一些简单的实际问题讲授
一元二次函数的应用 1.能初步联系实际建立一元二次函数模型； 2.会运用一元二次函数的知识解决一些简单的实际问题. 基础知识梳理篇对应《一元二次函数的应用》课时作业《一元二次函数的应用》
知识检测 实际应用问题来源于生活，是具有实际意义的数学．这类问题的解决依赖于众多的数学思想和技巧，如函数思想、方程思想、数形结合思想和转化思想．其中转化思想贯穿于解题的始终，具体地说，就是将一个实际问题通过转化，抽象成数学中的函数问题，把多个的变量（未知量）转化成用一个变量（或已知量）表示，从而达到将复杂问题转化成一个或多个简单问题的目的． 解题步骤： （1）阅读题目，明确题意． （2）设置合理的未知数． （3）根据题意建立一元二次函数模型． （4）运用二次函数的性质求出二次函数数学模型的解． （5）检验是否与实际问题相符． （6）结论． 解题步骤： （1）阅读题目，明确题意． （2）设置合理的未知数． （3）根据题意建立一元二次函数模型． （4）运用二次函数的性质求出二次函数数学模型的解． （5）检验是否与实际问题相符． （6）结论． 易错点：在解决实际问题时，往往会忽略元素在实际应用中的取值范围，所以一定要注意变量的实际意义，考虑定义域. 1.某物体一天当中的温度T（°C）是时间t（h）的函数：T（t）=t ?3t+60，t=0表示中午12∶00，则下午16∶00物体的温度是（） A.60°C B.64°C C.68°C D.70°C 3.已知某商品定价100元，若连续两次涨价10％，则价格变为元.
九年级上册《二次函数的应用》导学案
九年级上册《二次函数的应用》导学案第49 课时6.4二次函数的应用（1） 一、自主尝试 预习课本p25—26页，尝试解决下列问题： 问题1：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100—150亩稻田．预计原360亩稻田今年每亩可收益440元，新增稻田x今年每亩的收益为元．试问：该种粮大户今年要多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？ 二、例题讲评 例1 将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？ 例 2 室内通风和采光主要取决于门窗的个数和每个门窗的透光面积．如果计划用一段长12m的铝合金型材，制作一个上部是半圆、
下部是矩形的窗框（如图），那么当矩形的长、宽分别为多少时，才能使该窗户的透光面积最大（精确到0.1m且不计铝合金型材的宽度）？ 例3 如图，在矩形abcd中，ab=6cm，bc=12cm，点p从点a出发，沿ab边向点b以1cm/s的速度移动，同时点q从点b出发沿bc 边向点c以2cm/s的速度移动，如果p、q两点同时出发，分别到达b、c两点后停止移动． （1）设运动开始后第t秒钟后，五边形apqcd的面积为s，写出s与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围． （2）t为何值时，s最小？最小值是多少？ 巩固练习： 1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。问：每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？ 2．如图，已知△abc，矩形gdef的de边在bc边上．g、f分别在ab、ac边上，bc=5cm，
二次函数的应用教学设计
二次函数的应用教学设计 教学目标： 1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。 2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。 3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。 教学重点和难点： 重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。 难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂。 教学过程： 一、复习： 1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。 (2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。 2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。出示上节课的引例的动态 图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）
设问：（1）对角线（l）与边长（x）有什何关系？ （2）对角线（l）是否也有最值？如果有怎样求？ l与x并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x的二次函数，并且有最小值。引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）。指出：当被开方数取最小值时，对角线也为最小值。 二、例题讲解 例题2：b船位于a船正东26km处，现在a、b两船同时出发，a船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，b船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？ 多媒体动态演示，提出思考问题：（1）两船的距离随着什么的变化而变化？ (2)经过t小时后，两船的行程是多少？两船的距离如何用t来表示？ 设经过t小时后ab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为a’b’=ab’2+aa’2=(26-5t)2+(12t)2=169t2-260t+676。（这里估计学生会联想刚才解决类似的问题） 因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s的最小值。 解:设经过t时后，a，bab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为 s=a’b’=ab’2+aa’2=(26-5t)2+(12t)2