解析几何版吕林根课后习题答案

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

§ 4、1柱面

1、已知柱面的准线为:

?

??=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且(1)母线平行于x 轴;(2)母线平行于直线c z y x ==,,试求这些柱面的方程。

解:(1)从方程

???=+-+=-+++-0

225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ,得到:25)2()3()3(222=-+++--z y y z

即:02

35622=-

---+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 (2)取准线上一点),,(0000z y x M ,过0M 且平行于直线?

??==c z y x 的直线方程为: ?????=-=-=???

???=+=+=z z t y y t x x z z t

y y t x x 0

00000 而0M 在准线上,所以 ???=+--+=-++-+--0

2225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到:026888232

22=--+--++z y x xy z y x

此即为要求的柱面方程。 2、设柱面的准线为?

??=+=z x z y x 22

2,母线垂直于准线所在的平面,求这柱面的方程。 解:由题意知:母线平行于矢量{

}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ,过0M 的母线方程为:

?????+==-=??????-==+=t z z y y t x x t z z y y t x x 220

00000

而0M 在准线上,所以:

???+=-++=-)

2(2)2(2

2t z t x t z y t x 消去t ,得到:010*********=--+++z x xz z y x

此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。 解:过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x :它与已知直线的交点为())3

4,31,31(),1,0,1(,0,0,0--,这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)15

13,1511,152(0--M ,圆的方程为: ?????=++=-++++0

7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。

又过准线上一点),,(1111z y x M ,且方向为{

}1,1,1的直线方程为: ?????-=-=-=???

???+=+=+=t z z t y y t x x t z z t

y y t x x 1

11111 将此式代入准线方程,并消去t 得到: 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x

此即为所求的圆柱面的方程。

4、已知柱面的准线为{})(),(),()(u z u y u x u =γ,母线的方向平行于矢量{}Z Y X S ,,=,试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为:

S v u Y x +=)(

与

??

???+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()(

式中的v u ,为参数。

证明:对柱面上任一点),,(z y x M ,过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M ',

则,v M ='

即v M O OM ='- 亦即S v u Y Y =-)(,S v u Y Y +=)(

此即为柱面的矢量式参数方程。

又若将上述方程用分量表达,即:

{}{}{}Z Y X v u z u y u x z y x ,,)(),(),(,,+=

??

???+=+=+=∴Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()(

此即为柱面的坐标式参数方程。

§ 4、2锥面

1、求顶点在原点,准线为01,0122

=+-=+-z y z x 的锥面方程。

解:设为锥面上任一点),,(z y x M ,过M 与O 的直线为: z

Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ,即存在t ,使zt Z yt Y xt X ===000,,,将它们代入准线方程,并消去参数t ,得:

0)()(222=-+--y z y z z x

即:02

22=-+z y x

此为所要求的锥面方程。

2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--,准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ,试求它的方程。 解:设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点,它与顶点的连线为: 2

21133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ,即存在t ,使