人教版-数学-九年级下册-利用特殊角的三角函数解三角形

利用特殊角的三角函数解三角形 同学们在解三角形时，可以利用特殊角的三角函数求解，比如?30、?45、?60、

?90。一般满足条件：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，就可以利用作辅助线互相求解。

1．满足SSS 条件，求角

例1 已知：如图，2=BC ，6=AC ，13+=AB ，求ABC ?各内角度数。

解：作AB CD ⊥，垂足为D ，设x BD =，则

x AD -+=13

22222AD AC CD BD BC -==-Θ，

22)13(64x x -+-=-∴，

解得1=x ，3=AD

21cos ==

BC BD B Θ，∴?=∠60B 2

2cos ==AC AD A Θ， ?=∠∴45A

由三角形内角和定理得?=∠75ACB

答：?=∠45A ，?=∠75ACB ，?=∠60B 。

2．满足SAS 条件，求面积

例2 已知：如图，ABC ?中?=∠150A ，5=AB ，4=AC ，求ABC ?的面积。

解：作BA CD ⊥，垂足为D ，

?=∠150BAC Θ，?=∠∴30CAD ，

230sin =?=AC DC

52

1=?=∴?CD AB S ABC 答：5=?ABC S

3．满足AAS 条件，求边

例3 已知如图，ABC ?中?=∠60C ，?=∠75A ，33+=BC ，求AB 和AC 的长。

解：作BC AD ⊥，垂足为D ，则?=∠45B ，设x DC =，则在ADC ?Rt ，2

1cos ==C AC DC x AC 2=∴，x CD C AD 3tan =?=.在ABD ?Rt 中，BD BD B AD =?=tan x AD BD 3==∴，x B

AD AB 6sin == 由333+=+x x ，得3=x

23=∴AB ，32=AC

答：23=AB ，32=AC

例4 已知如图，ABC ?中?=∠60B ，5=AB ，14

75sin =

C ，求AC 和BC 的长。

解：作BC AD ⊥，垂足为D 。在ABD ?Rt 中，2

35sin =?=AB B AD ，

25cos =?=AB B BD .在ACD ?Rt 中，21sin ==C

AD AC 4

9222=-=AD AC DC Θ， 2

3=∴DC ，4=BC 答：21=AC ，4=BC

从以上解题知道：可解三角形的解题方法是恰当作垂线，使特殊角（?30、?45、?60、?90）尽量多地含在所作的三角形中，采用特殊角的三角函数易于求解。