万能数学公式

数学公式

导数公式：

基本积分表： 三角函数的有理式积分：

a

x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x

tgx a x

x

ln 1)(log

ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2

2

=

'='?-='?='-='='2

2

2

2

11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x

arcctgx x

arctgx x

x x

x +-

='+=

'--='-=

'?

?????????+±+

=±+=+=+=

+-=?+=?+-==

+==C

a x x a

x dx C

shx chxdx C chx shxdx C

a

a

dx a

C x ctgxdx x C x dx tgx x C

ctgx xdx x

dx

C tgx xdx x dx

x

x

)ln(ln csc csc sec sec csc

sin

sec cos 2

2

2

2

2

2

2

2

C

a

x x

a dx

C

x a x a a

x a dx C a x a x a a x dx C a

x arctg a x a dx

C

ctgx x xdx C

tgx x xdx C

x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=

-++-=-+=++-=++=+=+-=?

???????arcsin ln

21ln 21

1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2

2

2

22

22

2

?

????++

-=

-+-+--=-+++++=+-=

==

-C

a x a

x a x dx x a C

a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n

n

n arcsin

2

2

ln 2

2)ln(2

21cos sin

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

0π

π

2

2

2

2

122

11cos 12sin u

du dx x tg u u

u x u

u x +=

=+-=+=

，　，　，　

一些初等函数： 两个重要极限：

三角函数公式： ·诱导公式：

x

x arthx x x archx x x arshx e

e e e chx

shx thx e

e chx e

e shx x

x

x x x

x

x

x

-+=

-+±=++=+-=

=+=-=----11ln 21)

1ln(1ln(:2:2:2

2）双曲正切双曲余弦双曲正弦...

590457182818284

.2)11(lim 1

sin lim

==+

=∞

→→e x

x x x

x x

·和差角公式： ·和差化积公式：

2

sin

2

sin

2cos cos 2

cos 2

cos 2cos cos 2

sin

2

cos

2sin sin 2

cos 2

sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+α

ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?=

±?±=

±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(

·倍角公式：

·半角公式：

α

αα

αα

αα

α

αα

αα

αα

α

α

α

α

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

2cos 12

cos 2cos 12

sin -=

+=

-+±

=+=

-=+-±

=+±

=-±=ctg

tg

·正弦定理：

R C

c B

b A

a 2sin sin sin ==

=

·余弦定理：C ab b a c cos 22

2

2

-+=

·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=

-=

2

arccos 2

arcsin π

π

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：

)

()

()

()

2()

1()

(0

)

()

()

(!

)

1()1(!

2)1()(n k k n n n n n

k k k n k

n

n uv

v

u

k k n n n v u

n n v nu

v u

v

u

C

uv +++--+

+''-+

'+==

---=-∑

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是

当柯西中值定理：

拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )

()()

()()()()

)(()()(ξξξ

曲率：

α

ααααααααα233

3

3133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=

-=-=α

ααααααααααα

αα22

2

2

2

2

122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=

-=-=-=-==

.

1;

0.

)

1(lim

M s M M :.,13

2

2

a

K a K y y ds

d s

K M M s

K tg y dx y ds s =

='+''==??='?'???=

=''+=→?的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。

：化量；点，切线斜率的倾角变

点到从平均曲率：其中弧微分公式：ααααα

定积分的近似计算：

???----+++++++++-≈

++++-≈

+++-≈

b

a

n n n b

a

n n b

a n y y y y y y y y n

a b x f y y y y n a b x f y y y n

a b x f )]

(4)(2)[(3)(])(21

[)()

()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：

定积分应用相关公式：

??

--=

=?=?=b

a

b

a

dt

t f a

b dx

x f a

b y k r

m m k

F A p F s F W )(1

)(1,2

2

21均方根：

函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：

空间解析几何和向量代数：

。

代表平行六面体的体积

为锐角时，

向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：

是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：

点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][.

.sin ,cos ,

,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )

()()(22

2

2

2

2

2

21212

122122122

1c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k

j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB j z z y y x x M

M d z

y

x

z y x

z y x

z

y

x

z y x

z

y x z y x z

z y y x x z z y y x x u u

??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-=

=

（马鞍面）双叶双曲面：

单叶双曲面：、双曲面：同号）

（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：

面的距离：

平面外任意一点到该平、截距世方程：

、一般方程：，其中、点法式：

平面的方程：1

1

3,,2221

1};,,{,1

302),,(},,,{0)()()(12

22

22

22222222

2

2

22

2220000002

2

2

0000000000=+

-

=-+=+

=+

+??

?

??+=+=+===-=-=-+++++=

=++=+++==-+-+-c

z b

y a

x c z b y a x q p z q

y

p x c

z b

y a

x pt

z z nt y y mt

x x p n m s t p z z n y y m x x C

B A D

Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A

多元函数微分法及应用

z

y z x y x y x y x y x F F y z

F F x z z y x F dx dy

F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y

u dx x u du y x v v y x u u x v

v z x u u z x z y x v y x u f z t v

v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz

z u dy y u dx x u du dy y

z dx x z dz -

=??-=??=?

-??-??=-==??+

??=

??+

??=

==???

??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+

??+

??=

??+

??=

， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：

　

时，，当

：

多元复合函数的求导法

全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

)

,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),()

,(0

),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y

u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v

G u G v F u

F

v u G F J v u y x G v u y x F v

u v u

???-=?????-

=?????-=?????-=??=????????=??=???== 隐函数方程组：

微分法在几何上的应用：

)

,,()

,,()

,,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}

,,{,0),,(0

),,(0

))(())(())(()()()(),,()

()()

(0000

0000

0000

000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G

G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y

x y x

x z x

z

z y z

y -=

-=

-=-+-+-==??

??

?====-'+-'+-''-=

'-='-???

??===、过此点的法线方程：

：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：

上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：

处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线

ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度：

上的投影。

在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。

轴到方向为其中的方向导数为：

沿任一方向在一点函数l y x f l

f l j i e e y x f l

f j

y f i x f y x f y x p y x f z l x y f x f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(??∴?+?=?=????+??==??+

??=??=

????

?多元函数的极值及其求法：

????

??

?

??=-<-???><>-===== 不确定时值时， 无极

为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x

重积分及其应用：

????

??

????

????

??????

??

??

++-=++=++==>=

=

=

=

=

=

???

?

????+???

????+=

==

'

D

z D

y D

x z y x D

y D

x D

D y

D

x

D D D

a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f

F F F F F a a M z xoy d y x x

I y d y x y I x d y x d y x y M

M y d y x d y x x M

M x dxdy y

z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2

3

2

2223

2

2

2

23

2

2

2

2

2

D

2

2

)(),()(),()(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ

ρσ

ρσ

ρσ

ρσρσ

ρσ

ρσ

ρσ

ρθ

θθ， ， ，其中：

的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：

???

???

???

???

???

???

???

??????

???

??????

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

ΩΩ

+=

+=

+=

=

==

=

==

=

=???=??

???=====

???

??===dv

y x I dv z x I dv z y I dv

x M dv z M

z dv y M

y dv x M

x dr

r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z

z r y r x z y x r ρρρρρρρ?θ??

θθ??θ?θ

??θ???θ?θ?θθθθθθθ

π

πθ?)()()(1,1,1sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin )

,sin ,cos (),,(,

),,(),,(,sin cos 2

2

2

2

2

220

)

,(0

2

2

2

， ， 转动惯量：

， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标：曲线积分：

??

?==<'+'=

≤≤???==?

?

)

()()()()](),([),(),(,)

()

(),(2

2

t y t

x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L

?βαψ?ψ?βαψ?β

α

特殊情况： 则：

的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：

第一类曲线积分（对弧

。

，通常设

的全微分，其中：

才是二元函数时，＝在：

二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，，应

。注意奇点，如＝

，且

内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；

、无关的条件：

平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为

和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为

设标的曲线积分）：

第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·2

12,)(

)(

)cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()

(00)

,()

,(00==+=

+????????-=

=

=??-??=-=+=

??-

??+=

??-

??+=

+'+'=+?

?

?==???

???????????y x dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y

P x Q y

P x

Q G y x Q y x P G ydx

xdy

dxdy A D y P

x Q x Q y P Qdy

Pdx

dxdy y

P x

Q Qdy Pdx dxdy y

P x

Q L ds Q P Qdy Pdx dt

t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D

L

D

L

D

L

L

L

L

βαβα

ψψ??ψ?ψ?β

α

曲面积分：

????????????????????

??

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑++=

++±=±=±=++++=

ds

R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx

z y x Q dydz z y z y x P dydz

z y x P dxdy y x z y x R dxdy

z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz

z y x P dxdy

y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx

yz

xy

xy

D D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(2

2γβα

系：两类曲面积分之间的关

号。

，取曲面的右侧时取正

号；，取曲面的前侧时取正

号；，取曲面的上侧时取正，其中：

对坐标的曲面积分：

对面积的曲面积分：高斯公式：

???

?????????????

??Ω

∑

∑

∑

∑

∑

Ω

∑

=

++==?

++=

??+

??+

??ds

A

dv A ds R Q P ds A ds n A z

R

y Q x P ds

R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz

dv z

R y

Q x

P n

n

div )cos cos cos (,0div ,div )cos cos cos ()(

成：因此，高斯公式又可写

，

通量：则为消失

的流体质量，若

即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：

—高斯公式的物理意义γβαννγβα

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

??

??

??

??

?Γ

Γ

∑

∑

∑

Γ

?=

++Γ??????=

??=????=????=

????????=

??????++=??-

??+??-

??+??-

??ds

t A Rdz Qdy Pdx A R

Q

P

z y x A y

P x Q x R z P z Q

y

R R

Q

P

z y x R Q

P

z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx

dxdy y

P x

Q dzdx x

R z

P dydz z

Q y

R

的环流量：沿有向闭曲线

向量场旋度：，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无

上式左端又可写成：

k j i rot cos cos cos )()(

)(

γβα

常数项级数：

是发散的

调和级数：等差数列：等比数列：n

n n n q

q

q q q n

n 1312112

)1(3211111

2

+

+++

+=++++--=

++++-

级数审敛法：

散。

存在，则收敛；否则发

、定义法：

时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：、比值审敛法：

时，不确定时，级数发散

时，级数收敛，则设：别法）：

—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n

n n s u u u s U

U u ∞

→+∞→∞

→+++=???

??=><=??

?

??=><=lim ;3111lim 2111lim

1211 ρρρρρρρρ

。

的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足

—莱布尼兹定理：

—的审敛法或交错级数111

3214321,0lim )0,(+∞→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n

n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：

∑

∑

∑∑

>≤-+++++++++时收敛

１时发散

ｐ

级数： 收敛；

级数：收敛；

发散，而调和级数：为条件收敛级数。

收敛，则称发散，而如果收敛级数；

肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(2

32121p n

p n

n

n u u u u u u u u p

n

n n n

幂级数：

01

0)3(lim

)3(1111111221032=+∞=+∞===

≠==><+++++≥-<++++++++∞

→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x

x x x x x n n n

n n n

n n

时，时，时，的系数，则

是，，其中求收敛半径的方法：设

称为收敛半径。，其中时不定

时发散时收敛

，使

在数轴上都收敛，则必存

收敛，也不是在全

，如果它不是仅在原点

　对于级数时，发散

时，收敛于

ρρρ

ρρ 函数展开成幂级数：

++

+''+'+===-+=

+-+

+-''+-=∞

→++n

n n n n n n n

n x n f

x f x f f x f x R x f x x n f

R x x n x f

x x x f x x x f x f !

)

0(!

2)0()0()0()(00

lim )(,)

()!

1()

()(!

)

()(!

2)())(()()

(2

01

0)

1(00)

(2

0000时即为麦克劳林公式：

充要条件是：可以展开成泰勒级数的

余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数：

)

()!

12()

1(!

5!

3sin )

11(!

)

1()1(!

2)

1(1)

1(1

21

5

3

2

+∞<<-∞+--+-+

-

=<<-++--+

+-++=+--x n x

x

x

x x x x n n m m m x m m mx x n n n

m

欧拉公式：

???

????-=+=+=--2sin 2

cos sin cos ix

ix ix

ix ix

e e x e e x x i x e

或 三角级数：

。

上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。

，，，其中，0]

,[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )

sin cos (2

)sin()(001

01

0ππω???ω-====++

=

++

=∑∑∞

=∞

= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a

a t n A

A t f n n n n n n n n n

n n n

傅立叶级数：

是偶函数

，余弦级数：

是奇函数

，正弦级数：

（相减）

（相加）

其中，周期∑?

∑?

?

?

∑+

===

==

==

==

+-

+

-=++++

=

+++

=+++????

??

?=====++

=

--∞

=nx a

a x f n nxdx x f a

b nx b

x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a

a x f n

n n n

n n n n

n n n

cos 2

)(2,1,0cos )(2

0sin )(3,2,1n sin )(2

012

4

1

3

1

2

1

16

413121124

6

14

12

18

5

1311)

3,2,1(sin )(1)

2,1,0(cos )(12)sin cos (2

)(00

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

0 π

π

π

π

π

π

π

ππ

ππ

π

πππ

周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：

??

?

???

?=====++

=

??∑

--∞

=l l n l

l

n n n n n dx l x n x f l b n dx l x n x f l a l

l

x n b l

x n a a x f )3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(12)sin

cos

(2

)(1

0 其中，周期ππππ

微分方程的相关概念：

即得齐次方程通解。

，

代替分离变量，积分后将

，，，则

设的函数，解法：

，即写成

程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：

为：一阶微分方程可以化

可分离变量的微分方程

　或　一阶微分方程：

u x

y u

u du

x dx u dx

du u dx du x

u dx

dy x

y u x

y y x y x f dx

dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=

∴

=+

+==

==+====+='?

?)()(),(),()()()()()()(0

),(),(),(???一阶线性微分方程：

)

1,0()()(2))((0)(,0)()

()(1)()()(≠=+?

+?

=≠?

===+?--n y x Q y x P dx

dy e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx

dy n

dx

x P dx

x P dx

x P ，、贝努力方程：

时，为非齐次方程，当为齐次方程，

时当、一阶线性微分方程：

全微分方程：

通解。

应该是该全微分方程的

，，其中：分方程，即：

中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y

u

y x P x u

dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),( 二阶微分方程：

时为非齐次

时为齐次，

0)(0)()()()

(22

≠≡=++x f x f x f y x Q dx

dy x P dx

y d

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

2

12

2

,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根

、求出的系数；

式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：

为常数；，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r

二阶常系数非齐次线性微分方程

型

为常数；

型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x

ωωλλλ+===+'+''