正弦余弦历年高考题及答案

正余弦定理

1 在 ABC 中，A B 是 sin A sinB 的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

C

2、 已知关于x 的方程x 2 xcosA cosB 2sin 2 0的两根之和等于两根之积的一半，

2

则 ABC - -定是 （

）

（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形.

3、 已知a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b^. 3, A+C=2B,则 sinC=

则角A 的大小为 _______________ .

6、在 ABC 中，a, b, c 分别为角A, B, C 的对边，且4sin 2 —C cos2A 7

2 2

（1） 求 A 的度数

（2） 若a 3 , b c 3，求b 和c 的值

7、 在厶ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ ABC 的形状.

8、如图，在△ ABC 中，已知a , 3 , b . 2 , B=45求A C 及c .

则a=

5、在 ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若a

cosB

.2，

4、

c J

222

2 2 2

2 1 cos( B C) 2cos 2 A 1

-

2

2 1 cos 2cos A 1

??? cosA 」

1、 解：在 ABC 中，A B a b 2Rsi nA 2Rsi nB si nA si nB ，因此，选 C .

1 2 C 1 cosC "十

2、 【答案】由题意可知： cos A cos B 2 sin ，从而

2 2 2

ABC 一定是等腰三角形选

3、【命题立意】 本题考察正弦定理在解三角形中的应用

4、【命题立意】 本题考查解三角形中的余弦定理。

5、【命题立意】 本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生 的推理论证能力和运算求解能力。

【思路点拨】 先根据si nB cosB ,2求出B,再利用正弦定理求出 si nA ，最后求出A. 1

解得 sin A ，又 a

2

【答案】30°或一

6

6. 【答案】由题意得

2cos A cos B 1 cos(A

B) 1 cosAcosB sin Asin B

cosAcosB sin Asin B

1 , cos(A B) 1 又因为 A B 所以A B 0,所以

【思路点拨】 由已知条件求出

B 、A 的大小，求出

C ，从而求出sinC.

【规范解答】 由 A+C=2B 及 A

1

B C 180o 得B 60o ，由正弦定理得」

sin A

1

sin A -, 2

60o ，所以 A 30o , C 180o 90o ，所以 sinC sin 90o

1.

【思路点拨】 对 C 利用余弦定理，通过解方程可解出 【规范解答】

2

由余弦定理得，a 2 12 2 a 1 cos —— 3,即

3

或2 （舍）。

【方法技巧】

已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。 【规范解答】由sin B cosB 2 得 1 2si nBcosB 2，即 sin2B

1,因为 0

,

所以B=45o

，又因为a

.2，b 2，所以在 ABC 中，由正弦定理得:

.2 2

sin A "sin 45o '

2

2

时 cos A

,2 2 2

b c a

2bc

2(兰 2)2 3

1 ■ 3 2( 3 1)

2从而

7、【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状 ，可以将三角形中的边用角表示，也可

将角用边来表示?从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状

【答案】解法1:由扩充的正弦定理：代入已知式 2Rsi nAcosB=2Rsi nBcosA si nAcosB-cosAs in B=0 ， si n( A-B)=0

A-B=0

? A=B

即厶ABC 为等腰三角形

解法2: 由余弦定理：

a 2 c 2 b

b 2

n h 2 2

c a 2 ,2

a b

a b

a

b

2ac

2bc

即厶ABC 为等腰三角形.

8、【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的 边和角

x 2 6x 1 0 解之：x

A=60 , C=75

血42

当c

时同理可求得：A=120

C=15 .

3

‘ 2

2

2

1

cos A b

c a b c $ a 2 3bc

2bc

2

b c 3及bc 2 , 得b 1,c 2 或 b 2,c

将a .3,b c 3代入得be 2,由

1.

【答案】解法1:由正弦定理得:

sin A

asin B b

、3 sin45

、2

?/ B=45 <90 即 b

??? A=60 或 120

当 A=60 时 C=75 c

bsin C sin B 、2si n75

sin 45 当 A=120 时 C=15

bsin C c sin B

2 sin 15 sin 45

解法2:设c =x 由余弦定理 b 2 a 2 c 2 2accosB 将已知条件代入，整理：

1?在△ ABC 中，已知角B= 45 ° D 是BC 边上一点，AD = 5° AC = 7° DC = 3° 求AB. 解：在△ ADC中，

小AC2+ DC2—AD2 cosC

= 2AC DC 72+ 32—5211 2 乂7 X3 = 14

又0 v C v 180° ? sinC =硬

14

在厶ABC中，笃=譽

si nB sinC

? AB =黑AC=学?护? 7=

sinB 14 u 5.6

2 .

3

2

.在△ ABC

中，已知

cosA

=

3，

5

sinB=

届

cosC的值.

3 yf2

解：T cosA - v —= cos45°

5 2

O v A v n

? 45°v A v 90°? sinA= 4

5

5 1 ???sinB= 153 v

1

? 0°v B v 30°或

若B> 150°则=sin30 ,° 0 v B v n

150°v B v 180°

B+ A > 180°与题意不符.

12

?

O v B v 30 cosB=石

3 ? cos (A+ B) = cosA cosB —sinA sinB =

T

5 12

13

5 = 16

13 = 65

又C= 180°—( A + B).

??? cosC= cos [ 180°—( A + B) =—cos ( A+ B)16 65 ?

3、在厶ABC中，已知2cosBsinC= sinA，试判定△ ABC的形状. 解：在原等式两边同乘以si nA得2cosBsi nAsi nC= sin 2A,

由定理得sin2A+ sin2C—sin2B = sin2A,

? si n2c = si n2B ? B = C

故厶ABC是等腰三角形.

sinB + si nC

1?在△ ABC中，若sinA= cosB+ cosC，试判断△ ABC的形状?

sinB+ sinC _ - 解：-sinA= ° ? cosB + cosC=

cosB+ cosC

应用正、余弦定理得半二疋+气2^2= 2ac 2ab ? b (a2c2—b2)+ c (a2—b2c2)= 2bc (b + c) °sinB + si nC

sinA °

b+ c

a ，

??? a 2 (b + c ) — ( b + c ) (b 2— 2bc + c 2)= 2bc (b + c ) 即 a 2= b 2+ c 2 故厶ABC 为直角三角形.

2?在△ ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,求证: 证明：由 a 2= b 2 + c 2— 2bccosA. b 2= a 2+ c 2— 2accosB 两式相减得 a 2 — b 2= c (acosB — bcosA ), a 2 — b 2 acosB — bcosA

c 2

又 a sinA b sinB c — sinC ， c — sinC ， ?

a 2 —

b 2

sinAcosB — sinBcosA sin (A — B )

c 2

— si nC

— si nC

3?在 △ ABC 中，若(a + b + c ) ( b + c — a )= bc ,并且 sinA = 2sinBcosC ，试判断 △ ABC 的

形状?

解：由已知条件(a + b + c ) (b + c — a )= bc 及余弦定理得 b 2 + c 2— a 2 (a + b + c )( b + c — a )

1

cos

A — 2bc — 2 ( a + b + c )( b + c — a ) — 2 ? A = 60°

又由已知条件 sinA = 2sinBcosC 得 sin (B + C )= sin (B + C )+ sin (B — C ) ?- sin (C — B ) = 0, ? B = C 于是有 A = B = C = 60°, 故厶ABC 为等边三角形?

a 2—

b 2 sin (A — B ) ~

c 2~ — si nC