相似三角形精编培优专题

专题一：相似三角形

第一部分：相似探究

说明：相似的判定分为①两角等相似；②两边对应成比例且夹角等相似；③三边对应成比例相似．其中对“两角等得相似”的考察最为普遍．

相似探究一般地有：①面积探究；②线段关系探究；③角的关系探究等．通法：当你发现问题中出现以下情况时，基本是借助相似解决问题：①比或比例；

②线段积；③边或角所在三角形与已知的边或角所在三角形不全等．

这种意识太重要了！

一、已有相似图形：找相似、证相似、用相似

图中有相似图形的，关键是找出相似的条件．

（一）“平行出相似”

（即“A”字型相似与“8”字型相似，说明略）

例10-1-1 如图10-1-1，D、E分别是△ABC的CB边、CA边的中点，请你写出两对相似三角形，并指出其对应的面积比．

图10-1-1

例10-1-2 问题背景：（1）如图10-1-2 ①，△ABC中，DE//BC分别交AB、AC于D、E两点，过点E作EF//AB交BC于点F．请按图示数据填空：

S，△ADE的面四边形DBFE的面积S= ，△EFC的面积=

1

S．

积=

2

图10-1-2 ①

探究发现：（2）在（1）中，若BF =a ，FC =b ，DE 与BC 间的距离为h ．请证明：2124S S S =． 拓展迁移：（3）如图10-1-2 ②，平行四边形DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC 的面积．

图10-1-2 ②

体验与感悟 10-1-1

1、如图10-1-3，已知：点E 是平行四边形ABCD 的AD 边长一点，BE 的延长线交CD 的延长线于F ，请写出图中的相似三角形．

图10-1-3

2、已知等边△ABC 的边长为33+．

（1）如图10-1-4①，正方形EFPN 的顶点E 、F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上，在正三角形ABC 及其内部，以点A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形''''N P F E ，且使正方形''''N P F E 的面积最大（不要求写作法）； （2）求（1）中作出的正方形''''N P F E 的边长；

（3）如图10-1-4②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE 、EF 在边AB 上，点P 、N 分别在边CB 、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．

图10-1-4 ①图10-1-4②

3、已知△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2．

（1）要在这张纸中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图10-1-5①），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．

图10-1-5①

S．按（2）在图10-1-5①中，甲种剪法成为第一次剪取，所得正方形面积记为

1

照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正

S（如图10-1-5②），则方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为

2

2S = ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相

同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为3S （如图10-1-5③),继续操作下去……；则第10次剪取时，10S = ； （3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．

图10-1-5②） 如图10-1-5③

（二）“等角公共角”相似

说明：有一个公共角、一对等角的两个三角形相似． 例10-1-3 如图10-1-6，已知等腰直角三角形ABC 中，°=90∠BAC ，AB =AC ，D 、E 是斜边AB 上的两点，且°=45∠DAE ，请你直接写出两对相似三角形．

例10-1-4 如图10-1-7，已知：A 为POQ ∠的边OQ 上的一点，OA =2,以A 为顶点的MAN ∠的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且°==60∠∠POQ MAN ．当M A N ∠以点A 为旋转中心，AM 边从与AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（MAN ∠保持不变）时，M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平行移动，设）（，0≥x y y ON x OM >==，△AOM 的面积为S ．

（1）当MAN ∠旋转30°时，求点N 移动的距离； （2）求证：MN ON AN ?=2

；

（3）求y 与x 的函数关系式及自变量的取值范围； （4）试写出S 随x 变化的函数关系式．

图10-1-7

体验与感悟 10-1-2

1、如图10-1-8，在△ABC 中，AB =5，AC =4，点D 在边AB 上，=ACD ∠B ∠，求AD 的长．

图10-1-8

2、如图10-1-9①，将两个全等的等腰Rt△ABC和Rt△AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．

（1）写出图10-1-9①中的两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；

（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；

（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（图10-1-9②）．在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；

（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

图10-1-9①图10-1-9②

3、在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别用a 、b 、c 表示．

（1）如图①，在△ABC 中，A ∠=2B ∠，且A ∠=60°，求证：)(2c b b a +=； （2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC ，如图②，其中A ∠=2B ∠，关系式)(2c b b a +=是否仍然成立？并证明你的结论．

图① 图②

（3）是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角两倍的△ABC ．证明你的结论．

（4）若A ∠=3B ∠，你能求出三边a 、b 、c 之间的关系吗？

（三）“垂直出相似”

说明:①三角形的两高相交，必有相似；②过Rt △ABC 所在平面上任意一点向AB 、BC 、AC 所在直线中任意一条作垂线，这条垂线与另两边

所在直线所交成的三角形与原三角形相似．

例 10-1-5 如图10-1-10，在△ABC 中，°=90∠C ，MD ⊥AB 于D ，交AC 于F ，

MG ⊥AC 于G ，交AB 于点E ．写出图中的两对相似三角形．

图10-1-10

例10-1-6 如图10-1-11，直角梯形OABC 中，OA =6，CB =3，OA //BC ，OC ⊥OA ．点M 、N 分别是OA 边、AB 边上的动点，速度都是每秒1个单位长度，运动方向如图．两个动点同时出发，当其中一个点达到终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t （秒）． （1）求线段AB 的长；

（2）当t 为何值时MN ⊥AC ？

图10-1-11 提示：根据垂直找相似．

体验与感悟 10-1-3

1、如图10-1-12，BD、CE是△ABC的两条高．

（1）写出图中的相似三角形；

（2）写出连接DE后新增加的相似三角形．

图10-1-12

∠相等2、如图10-1-13，AB是圆O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与BCE

的角有（）

A、2个

B、3个

C、4个

D、5个

图10-1-13

3、如图10-1-14，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥A B，交折线BC-CA于点G．点P，Q同时出发，当点P 绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；（2）连结PG，当PG//AB时，请直接写出t的值．

图10-1-14

（四）“导边比”得相似

说明：与“两角相等得相似”相比，另外两种判定相似的方法对学生而言较难了些．本部分只探究“两边对应成比例且夹角相等”得到相似．

例10-1-7 如图10-1-15，已知D 是△ABC 的BC 边中点，CD AC 2=，△ACD 与△ABC 相似吗？说明理由．

图10-1-15

例10-1-8 （1）如图10-1-16①，矩形ABCD 及Rt △AEF 有公共顶点A ，∠EAF =90°，且kAB AD =，kAE AF =，连接BE 、DF ，将Rt △AEF 绕点A 旋转，在旋转过程中BE 、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？请给予证明；

图10-1-16①

（2）如图10-1-16②，将（1）中的矩形ABCD 变为平行四边形ABCD ，将Rt △AEF 变为△AEF ，且α∠∠==EAF BAD ，其它条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，直接写出结论；如果变化，用α表示出直线BE 、DF 形成的锐角β．

图10-1-16②

体验与感悟 10-1-4

1、（1）如图10-1-17①，正方形ABCD 与正方形CEFG 具有公共的顶点C ，连结BG 、DE ．猜想图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系，并证明你的判断．

图10-1-17①

（2）如图10-1-17②，将原题中正方形改为矩形，且a AB =，b BC =，

ka CE =,kb CG =)0,(>≠k b a ，（1）中得到的结论哪些成立，哪些不成立？简要说明理

由．

图10-1-17②

（3）在（2）图10-1-17②中，连结DG 、BE ，且3=a ，2=b ，2

1=

k ，求2

2BG BE +的值．

2、填空或解答：点B 、C 、E 在同一直线上，点A 、D 在直线CE 的同侧，AB =AC ，EC =ED ，CED BAC ∠∠=，直线AE 、BD 交于点F ．

（1）如图10-1-18①，°=90∠BAC ，则=AFB ∠ ；

（2）如图10-1-18②，α=BAC ∠，则=AFB ∠ ；（用含α的式子表示） （3）将图10-1-18②中的△ABC 绕点C 旋转（点F 不与点A 、B 重合），得图10-1-18③，AFB ∠与α∠的数量关系是 ．请证明结论．

（五）“一线三角”相似

说明：如下图，如果∠1=∠2=∠3，必有△ABE ∽△CDB ．这是一个应用广泛的基本模型，这里我们不妨称之为“一线三角”，而三个直角是特殊的“一线三角”．

例10-1-9 在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作B MDN ∠∠=． （1）如图10-1-20①当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形；

（2）如图10-1-20②，将MDN ∠绕点D 沿逆时针方向旋转，DM 、DN 分别交线段AC 、AB 于E 、F 点（点E 与点A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；

（3）在图10-1-20②中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF 的面积等于△ABC 的面积的四分之一时，求线段EF 的长．

图10-1-20① 图10-1-20②

提示：第三问利用已知的相似三角形导边的比，利用两边对应成比例且夹角相等．

体验与感悟 10-1-5

1、将边长为2的正方形纸片ABCD 如图10-1-21折叠，使顶点A 落在边CD 上的点P 处（点P 与C 、D 不重合），折痕为EF ，折叠后AB 边落在PQ 的位置，PQ 与BC 交于点G ． （1）写出一个与△DEP 相似三角形；

（2）当点P 位于CD 中点时，你找到的三角形与△DEP 周长的比是多少？

图10-1-21

2、如图10-1-22，在Rt △ABC 中，AB=AC=2，°=90∠BAC ，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ，作°=45∠ADE （A 、D 、E 按逆时针方向）． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；

（2）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．

3、如图10-1-23，在等腰△ABC 中，AB=AC=8，°=120∠BAC ，P 为BC 的中点，小慧把含30°角的透明三角板的30°角的顶点放在点P ，绕P 点旋转，三角板的两边分别交BA 的延长线和边AC 于点E 、F ．

（1）探究1：△BPE 与△CFP 相似吗？为什么？

（2）探究2：连结EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？为什么？ （3）设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．

图10-1-23

“一线三等角”专练：

1、如图，已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ．

2、如图，已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ．

3、如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC ． 已知BD=1，BE=

3

1

，求CF 的长．

4、已知，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C ． 已知BD=6、BE=4，求CF 的长．

5、如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =

2

3

，FC =1时，求BE

6、在ABC ?中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且

5

2

=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ

7、在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F ． (1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE = (2)、当

m DB

AD

=，求DF DE 的值

8、已知在等腰三角形ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，∠EDF=∠B ， 求证：△BDE ∽△DFE ．

9、在边长为4的等边ABC ?中，D 是BC 的中点，点E 、F 分别在AB 、AC 上（点D 不与点C 、点B 重合），且保持ABC EDF ∠=∠,连接EF ． (1)已知BE=1,DF=2．求DE 的值； (2)求∠BED=∠DEF ．

10、如图，已知边长为3的等边ABC ?，点F 在边BC 上，1CF =，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ?，直线,EG FG 交直线AC 于点,M N ， （1）写出图中与BEF ?相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似；

（3）设,BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

11、 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；

(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．

12、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．

（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足过点D 作DG ⊥EF 于点G ，∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．

13、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．

（1）求证：△MEF ∽△BEM ；

（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF CD ⊥，求BE 的长．

14、如图，在ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，

4

3

=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=?，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ?的面积为y ．

（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ?相似，求BED ?的面积．

15、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一

动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ；

（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；

（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．

16、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点． （1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ； （2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线

CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么

①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并

写出函数的定义域； ②当BEP D MF S S ??=

4

9

时，求BP 的长

第二部分：因动点产生的相似三角形问题解题策略 策略分级细述

一、求相似三角形存在性问题要分类讨论．

举例说明，如图，在△ABC 中，AC 边长有一点F ，要在AB 边上确定一点E ，使△AEF 与△ABC 相似．因为∠A 是公共角，所以分两种情况：①∠AFE=∠C ，△AEF ∽△ABC ；或

AC AF AB AE =，△AEF ∽△ABC ；②∠AFE=∠B ，△AFE ∽△ABC ；或AB

AF

AC AE =，△AFE ∽△ABC ．

典型例题：

例1、如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A=90°，BD ⊥DC ，BC=10cm ，CD=6cm ．在线段BC 、CD 上有动点F 、E ，点F 以每秒2cm 的速度，在线段BC 上从点B 向点C 匀速运动；同时点E 以每秒1cm 的速度，在线段CD 上从点C 向点D 匀速运动．当点F 到达点C 时，点E 同时停止运动．设点F 运动的时间为t （秒）． （1）求AD 的长；

（2）点E 、F 在运动过程中，如△CEF 与△BDC 相似，求线段BF 的长．

策略：

（1）△ABD 和△DCB 都是直角三角形，且保持三条边的比值为3:4:5，利用相似求AC 的长；

（2）在两个三角形相似的前提下，先找一对相等的角，再使夹这个角的两边对应成比例，分两种情况讨论即可