四川大学离散数学(冯伟森版)课后习题答案习题6

习题6.1

1.解：

（1）、全函数

（2）、不符合单值

（3）、全函数

2.解：

(1) {(n1,n2)|n1, n2 ∈N, 0<2 n1-n2<5}

不是函数，n1=0时无定义，且(3,4),(3,5)在其中。

(2) {(n1,n2)|n1, n2 ∈N, n2是n1的正因子个数}

部分函数，n1=0时无定义

(3) {(S1,S2)|S1, S2 ?{a,b,c,d}且 S1 ? S2= ?}

不是函数，因为({a},{b}) ,({a},{c})均在其中。

(4) {(a, b)|a, b ∈N, gcd(a,b)=3}

不是函数，因为(3, 3) ,(3, 6), (3, 9)均在其中。

(5) {(x, y)|x, y ∈Z, y=x2}

全函数

4、解:

可以定义n n个二元关系，n！个全函数

5.解：

(fog)(x) = 2 x2+2x-2

(gofoh)(x) = (g(f(h(x))) = … = 4(x-2)2+2(x-2)-1

(hohog)(x) = (h(h(g(x))) = … = x2+x-5

6.解：

（1）∵f=g，则对于所有x∈A，都有f(x)=g(x),

所以，对于所有的x∈A，h(f(x))=h(g(x)),f(h(x))=g(h(x))

即h。f=h。g

（2）∵h。f=h。g则，h(f(x))=h(g(x)),

当对于A中任意两个不同的元素x,y都有h(x)≠h(y)时，f=g；

当A中存在两个不同的元素x,y有h(x)=h(y)，即对于同一个

元素z,当f(z)=x ,g(z)=y，则有h(f(z))=h(g(z))，而此种

情况下f≠g

综上，当h。f=h。g时，f不一定等于g

7.

证明：b∈f(A)-f(C)?b∈f(A)∧b?f(C)

?(?x)[x∈A∧x?C∧f(x)=b]

?(?x)[x∈A-C∧f(x)=b]

?b∈f(A-C)

所以f(A)-f(C)?f(A-C)

8.证明：

（1）y∈f(A∪B)

?(?x)[x∈(A∪B)∧f(x)=y]

?(?x)[x∈A∧f(x)=y]∪(?x)[x∈∪B∧f(x)=y]

?y∈f(A)∪y∈f(B)

∴f(A∪B)=f(A)∪f(B)

（2）y∈f(A∩B)

?(?x)[x∈(A∩B)∧f(x)=y]

?(?x)[x∈A∧f(x)=y]∩(?x)[x∈B∧f(x)=y]

?y∈f(A)∩y∈f(B)

∴f(A∩B)?f(A)∩f(B)

习题6.2

1.解：

确定下列映射是否单射、满射或双射：

(1)f:N →R, f(n)=ln n 单射

(2)f:N →N, f(n)为不超过n的素数数目

满，非单。如f(5)=f(6)=3

(3) f:N ?N →N, f(n1,n2)=(n1+1) n2

非单,非满。f(0,1)=f(1,0)=1,且f(x,y)=0无解。

(4)f:R →R, f(x)=x2+2x-15 非单,非满。

(5) f:Z →Z, f(x)=1+2x3

单,非满。 1+2x3=5无解。

(6)A是集合， f:2A ? 2A→2A ? 2A, f(x,y)=(x ? y,x ? y) 非单: ({a}?{b}, {a}?{b}) = ({a,b}??, {a,b}??)

非满: (x ? y,x ? y)=({a}, {a,b})无解。

(7) f7:R ? R→R, f7(x,y)=x+y

非单,满. f(1,3)=f(2,2) f8:R ? R →R, f8(x,y)=xy 非单,满. f(1,3)=f(3,1)

2.证明：

(1).当f 是单射时，根据单射定义，对所有t,s ∈X,当t ≠s 时，

f(t)≠f(s),则f(x)中的元素个数与X 中的元素个数相同； 又∵f:X →X ，所以，f(x)是一个满射 ∴f 必是双射。

(2)当f 是满射时，根据满射定义及f 的定义，对所有y ∈X ，都存

在x ∈X ，使f(x)=y ，再根据函数的单值性，对所有t,s ∈X,当t ≠s 时，f(t)≠f(s)。 ∴f 必是双射。 3. 证明：

设x,y 是有限集X 上的2个元素，如果f(x)=f(y),则x= f2(x)= f2(y)= y ，说明是单射，由上题结果知f 是双射。 4、证：

2121b b B b b 1≠∈?，、）对

221121,A a a b ),f(a b )f(a f(x)==?∈?∴、是满射，

)

b (g a ),b (g a )b (g a ),b (g a )x (g 12212211??∈∈，且的定义，由 12211221 )b (g a ),b (g a b )f(a ,b )f(a ==∈∈，有否则，如

为单射即与函数的定义相矛盾，g (x )), g (b )g (b 21≠∴

不一定是满射

并不能保证为单射时，对）而)x (f ,

)b (g ,B b )(2∴≠∈?φx g

5.解：

设A 、B 中元素个数分别为：m 、n,则单射个数为：n(n-1)(n-2)…(n-m) 满射个数为：n m

,双射个数为：n!或m!，即m=n ????????????? 6.解：f 。g=(2x-1)2

+2,函数图形为以x=1/2为对称轴的一个抛物线，

由题，f,g 都是实数上的函数，则f 。g 不是单射，不是满射，也不是双射；

g 。f=2(x 2+2)-1=2x 2+3,函数图形为以Y 坐标为对称轴的抛物

线，f(x)=f(-x)，所以，g 。f 不是单射，不是满射，也不是双射。

7、证：

习题6.4:

3．证明：非空有限集A 与可数集B 的笛卡尔积A ×B 也是可数集。 证明：设A={a 1,a 2,…,a n ｝

为满射

即令对为满射）（为单射矛盾与即反证法：设不是单射，）（g )( , )( ))(()x ( , g 2g )(g )g()g(g 1:,:22112121z y g B y B y x f z x f g f g A x C,z f f x f )f(x )f(x )f(x )f(x )f(x A,x x C B g B A f =?∈?∴∈===?∈?∈?∴====?∈≠?→→

B={b 1,b 2,…,b n ,…}

令B i ={(a i ,b 1),(a i ,b 2),…,(a i ,b n ),…} (i≤n),则

A ×B= , 因为

B 为可数集，所以B i 为可数集。A ×B 为有限个可数集的并集。下面用归纳法证明有限个(m 个)可数集的并集为可数集。 设

C m ={c m1,c m2, …,c mn , …} 当m=2时，

构造双射f:N →C 1∪C 2,

N 1 2 3 4 5 6 … n -1 n … f(N) c 11 c 21 c 12 c 22 c 13 c 23 … c 1(n/2) c 2(n/2) … 所以2个可数集的并集为可数集。

假设m=k-1(k ≥3)时结论成立，即k-1个可数集的并集为可数集，记为D 。

则m=k 时，可以构造类似的双射g:N →D ∪C k ,所以为可数集。因而有限个可数集的并集为可数集。所以A ×B 是可数集。 习题6.2 4、证：

2121b b B b b 1≠∈?，、）对

221121,A a a b ),f(a b )f(a f(x)==?∈?∴、是满射，

)

b (g a ),b (g a )b (g a ),b (g a )x (g 12212211??∈∈，且的定义，由 12211221 )b (g a ),b (g a b )f(a ,b )f(a ==∈∈，有否则，如

1k

i

i B =

为单射即与函数的定义相矛盾，g (x )), g (b )g (b 21≠∴

不一定是满射

并不能保证为单射时，对）而)x (f ,

)b (g ,B b )(2∴≠∈?φx g

7、证：

习题6.4:

3．证明：非空有限集A 与可数集B 的笛卡尔积A ×B 也是可数集。 证明：设A={a 1,a 2,…,a n ｝ B={b 1,b 2,…,b n ,…}

令B i ={(a i ,b 1),(a i ,b 2),…,(a i ,b n ),…} (i≤n),则

A ×B= , 因为

B 为可数集，所以B i 为可数集。A ×B 为有限个可数集的并集。下面用归纳法证明有限个(m 个)可数集的并集为可数集。 设

C m ={c m1,c m2, …,c mn , …} 当m=2时，

构造双射f:N →C 1∪C 2,

为满射

即令对为满射）（为单射矛盾与即反证法：设不是单射，）（g )( , )( ))(()x ( , g 2g )(g )g()g(g 1:,:22112121z y g B y B y x f z x f g f g A x C,z f f x f )f(x )f(x )f(x )f(x )f(x A,x x C B g B A f =?∈?∴∈===?∈?∈?∴====?∈≠?→→ 1k

i

i B =

N 1 2 3 4 5 6 … n-1 n …

f(N) c11 c21 c12 c22 c13 c23… c1(n/2) c2(n/2)…

所以2个可数集的并集为可数集。

假设m=k-1(k≥3)时结论成立，即k-1个可数集的并集为可数集，记为D。

则m=k时，可以构造类似的双射g:N→D∪C k,所以为可数集。因而有限个可数集的并集为可数集。所以A×B是可数集。