函数的连续性的例题与习题[一]

函数的连续性的例题与习题

函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。

下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。

要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？

一．函数的连续

例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照）

设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。证明：()f x 在任意点x 处连续。 分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么

在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =?，那么就有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0

lim (0)(0)x f x f ?→+?=。

证明的思路就此产生！

证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。 （#）

对于固定的x （任意的！），若取y x =?，有

()()()y f x x f x f x ?=+?-=?， （+）

在（+）式两边取0x ?→的极限，那么

lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ?→?→?→?=+?-=? ， （&）

由已知条件：()f x 在0x =连续，所以0

lim (0)(0)x f x f ?→+?=，代入（#）的结果，就有

lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ?→?→+?=?==，

但从（&）知，0

lim lim ()x x y f x ?→?→?=?，所以

lim 0x y ?→?=。

根据函数连续的定义E ，()f x 在任意点x 处连续。

你看，证明题并不难吧，但有个前提，必须有清晰的概念。很多同学的数学只会“代公式套题型”，所以做计算题还可能对付一下。其实计算也并不轻松。

例1.2（例1.21（一））设常数0a ≠，212(1)1()lim 1n n n n n x a x f x x ax +→∞+--=--，求()f x 的分段表达式，欲使()f x 连续，试确定a 的值。

分析：首先要注意，函数()f x 不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形式来表示一个函数。所以它要求先写出()f x 的分段表达式，这是本题的第一个任务；第二，要确定参数a 的数值，怎么确定呢？利用函数的连续性。这里需要计算极限的基本功。 ()f x 中出现了几个幂函数 221

,,n

n

n x x x

+，根据幂函数的性质，x 的大小对幂函数的变化趋势有

根本性的影响，所以要分为||1,||1,1,1x x x x <>==-进行讨论。所以本题的第一层考核的是对幂函数的认识与理解。 （1）||1x <： 221

,,n

n

n x x x

+都趋于零（当n →∞时），所以

1

()11

f x -==-。 （2）||1x >： 此时221

,,n

n

n x x x +都将趋于无穷大。为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应

的部分，来简化函数()f x ：

2112122(1)

11()lim

11n n n n n n n a x x x f x x a x x

x +++→∞-??++ ?

??==?

?-- ?

??。

（3）1x =： 11()a a

f x a a

--=

=

-； （4）1x =-： 1(1)(1)12(1)(1)()lim lim 1(1)1(1)n n

n n n n a a f x a a →∞→∞-+----+--==-----， 极限不存在。

故得 ,11,1()1,||1,

1

x x a x f x a

x x x >??-?=?

=??

欲使()f x 连续，即使()f x 在1x =连续，等价于11a a -=，故1

2

a =。

例1.3 （例1.22（一））证明连续函数的局部保号性：设()f x 在0x x =处连续，且0()0f x >，那么

存在0δ>，当0||x x δ-<时，()0f x >。

分析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点附近的点的函数值也是正的，不会取负值。这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。证明的过程很容易很简单，其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。

证明：因为()f x 在0x x =处连续，所以对任给的0ε>，总存在0δ>，使得当0||x x δ-<时，恒有

0|()()|f x f x ε-<，也就是 0()()f x f x εε-<-<。（+）

若取 0()0f x ε=>，在（+）式中取左边的那个不等式，就有 ()0f x >； 若取01()02f x ε=

>，那么就有 01

()()2

f x f x >。 （不过，此时的0||x x δ-<中的δ要变小） 当然，你也可以取不同的0ε>，当然δ要变。如果我们只需要证实()f x 的值为正，那么取0()0f x ε=>就已经够了。

例1.4（例1.23（一）） 设()f x 在区间[,]a b 上连续并大于零，证明

1

()

f x 在[,]a b 也连续。 分析：我们需要证明的是：在[,]a b 上任取点0x ，对任给的0ε>，存在一个0δ>，使当0||x x δ-<时， 有

011

()()

f x f x ε-<。 直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大（这是一个基本功！）：

002

000|()()|2|()()|11

()()()()()

f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<< 注意，上面第一个不等号是因为我们在例1.3中，已经证明了在0x 的一个邻域中有01

()()2

f x f x >！ 至此，一个完整的证明思路就形成了。

证明：对任一0[,]x a b ∈，0()0f x >，0x 是()f x 的连续点。由局部保号性，存在0x 的邻域01(,)N x δ，使得01

()()2

f x f x >

。所以在这个邻域中，

002

000|()()|2|()()|11

()()()()()

f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---=<； 由()f x 在区间[,]a b 上的连续性知，对于任给0ε>，存在20δ>，使得当02||x x δ-<时，有

200()

|()()|2

f x f x f x ε-<。 我们取12min(,)δδδ=，那么在这个更小的邻域中，（即0||x x δ-<）有

002000|()()|2|()()|11

()()()()()

f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<<， 则有函数的连续的定义知， 0x 是函数1()f x 的连续点；又由0x 的任意性，得1

()

f x 在区间[,]a b 也连续。

例1.5 确定,a b 之值，使函数21,0()sin(),0

x e x f x ax b x -??>=??+≤?在(,)-∞+∞内连续。 解：在0x >和0x ≤两个区间里，对应的函数均为初等函数，它们都是连续函数。所以，要使()f x 在整个实数域中连续，只需确定在0x =的连续性条件。

()f x 在0x =有定义，所以我们只需考虑它在0x =的极限。 0

lim ()lim sin()sin x x f x ax b b --

→→=+= 2

2

2

11

1

1

1

lim ()lim lim 0lim x x x x x

x

x f x e e e +-

-

-

-

→→→→===

=；

由此得方程 sin 0b =， 容易解得： ,0,1,2,b k k π==±±L ，

而对参数a ，连续性条件对它没有任何限制，所以a 可取任何实数。

例1.6 设,0(),0x e x f x a x x ?<=?+≥?

，,

1()1

b x g x x

域上连续。

解：两个函数的定义域不同，所以它们之和()()f x g x +这个新函数的定义域需要加以明确。显然，需要考虑3个区间：0,01,1x x x <≤<≥：

,0

()(),

01,1

x e b x f x g x a x b x a x x ?+

+=++≤

lim(()())lim()1x

x x f x g x e b b --

→→+=+=+， 0

lim(()())lim()x x f x g x a x b a b ++

→→+=++=+， 故有方程 1a b b +=+， （1） 又 1

1

lim(()())lim()1x x f x g x a x b a b --

→→+=++=++，

11

lim(()()))1x x f x g x a x +

→+

→+=+=+，

又有方程

11a b a ++=+， （2）

联立（1）（2），解得

1,a b ==

练习题1 设()f x 满足条件：12,x x ?，有1212()()()f x x f x f x +=?，且()f x 在0x =处连续。求证()

f x 在整个实数域连续。 练习题2 设,1(),1x x f x a x

()1,0

b x g x x x ≤?=?+>?，求,a b 之值，使()()f x g x +在实数域上连

续。

二．函数的间断点

这里的基本概念是间断点的类型和分类。请自己整理整理的内容。

例2.1 考察函数 1arctan ,0

()0,

0x f x x

x ?

≠?=??=? 的间断点，判别其类型。 解： 函数在0x =有定义，但是 (0)arctan()2

f π

+=+∞=

，(0)arctan()2

f π

-=-∞=-

，所以在0

x =的左，右极限虽然存在，但不相等，故属于跳跃间断点（第一类）。

例2.2 考察函数11

sin ,0

()0,0x e x f x x

x ?≠?=??=?

的间断点，判别其类型。 解：函数在0x =有定义，但1

1(0)lim sin x

x f e x +

+

→=不存在，这是因为1,1,2,n x n n π

==L 时，0n x +→，1

sin

n

x 不存在； 又101(0)lim sin 0x

x f e x --

→==，这是因为1sin x

在极限过程中是有界量，1

0lim lim 0u x

u x e e -→-∞→==。 所以 0x =是函数的第二类间断点。

例2.3 求下列函数的间断点，确定其类型，瑞为可去间断点，则请补充定义，使它连续。

（1）2cos

2(1)x

y x x π

=-； （2）111111x x y x x

-

+=--。

解：（1） 0,1x x ==都是使函数y 没有定义的点，故是间断点。

由于 22000cos

cos

122lim lim lim (1)(1)

x x x x x

x x x x π

π

→→→==-∞--，所以0x =是函数的无穷间断点（第二类）。

又 221

11cos

sin

(1)

(1)

222lim

lim lim (1)(1)(1)2

x x x x x x x x x x x π

π

π

π→→→--=-=-=----， 是个确定的值，极限存在，所以1x =是可移去间断点，加以补充定义：

2

cos 2,1(1),

12

x x x x y x ππ

?

?≠?-=??-=??

后函数在1x =连续。

但是要注意的是，0x =仍然是函数的无穷间断点（第二类），函数在0x =仍然间断。 （2）显然，1,0,1x =-+是使函数没有定义的点，所以是间断点。

111111

(1)(1)

1lim ()lim lim lim 11(1)(1)

1x x x x x x x x x f x x x x x x

→-→-→-→--

--+====∞++--， 故 1x =-是无穷间断点（第二类）。

000011

(1)(1)

1lim ()lim lim lim 111(1)(1)

1x x x x x x x x x f x x x x x x

→→→→-

--+====-++--， 故 0x = 是可去间断点（第一类），补充定义 (0)1f =-后，函数在0x =连续。

1

1

1(1)(1)

lim ()lim

lim 0(1)(1)

x x x x x x f x x x x →→→--===++， 可见 1x = 也是可去间断点（第一类），补充定义 (1)0f =后，函数在1x =连续。

例2.4 讨论下列函数的间断点：