高二下期中数学试卷(理科)(有答案)

高二下期中数学试卷(理科)(有答案)

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1．复数的虚部是（）

A．i B．﹣i C．1 D．﹣1

2．如果命题p（n）对n=k成立（n∈N*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）

A．p（n）对一切正整数n都成立

B．p（n）对任何正偶数n都成立

C．p（n）对任何正奇数n都成立

D．p（n）对所有大于1的正整数n都成立

3．已知函数f（x）=+1，则的值为（）

A．﹣B．C．D．0

4．直线与曲线相切，则b的值为（）

A．﹣2 B．﹣1 C． D．1

5．已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）

A．1 B．2 C．D．3

6．曲线y=e x在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

A．B．1 C．2 D．3

7．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个奇数”正确的反设为（）

A．a、b、c都是奇数

B．a、b、c都是偶数

C．a、b、c中至少有两个奇数

D．a、b、c中至少有两个奇数或都是偶数

8．已知函数f（x）=x3﹣3x+c有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极大值点，则c的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2

9．已知b＞a，下列值：∫f（x）dx，∫|f（x）|dx，|∫|的大小关系为（）

A．|∫|≥∫|f（x）|dx≥∫f（x）dx

B．∫|f（x）|dx≥|∫f（x）dx|≥∫f（x）dx

C．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|=∫f（x）dx

D．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|≥∫f（x）dx

10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

A．B．C． D．

11．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）

A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）

12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）

A．B．C．（1，+∞）D．

二.填空题，本大题共4小题每小题5分，共20分.

13．∫（x+x2+sinx）dx=．

14．若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是．

15．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是．

16．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令=x，则有=x，

从而解得x=（负值已舍去）”；运用类比的方法，计算：=．

三.解答题，本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求实数a，b的值．

18．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；

（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

19．设x＞0，y＞0，z＞0，

（Ⅰ）比较与的大小；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．

20．是否存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？

21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．

（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

（II）如果对于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..

22．已知函数．

（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；

（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；

（Ⅲ）求证：（n∈N*）．

高二（下）期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1．复数的虚部是（）

A．i B．﹣i C．1 D．﹣1

【考点】复数的基本概念．

【分析】根据复数的基本运算化简复数即可．

【解答】解：=，

则复数的虚部是1，

故选：C

2．如果命题p（n）对n=k成立（n∈N*），则它对n=k+2也成立，若p（n）对n=2成立，则下列结论正确的是（）

A．p（n）对一切正整数n都成立

B．p（n）对任何正偶数n都成立

C．p（n）对任何正奇数n都成立

D．p（n）对所有大于1的正整数n都成立

【考点】数学归纳法．

【分析】根据题意可得，当命题P（2）成立，可推出P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）…均成立．【解答】解：由于若命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立．又已知命题P（2）成立，

可推出P（4）、P（6）、P（8）、P（10）、P（12）…均成立，

即p（n）对所有正偶数n都成立

故选：B．

3．已知函数f（x）=+1，则的值为（）

A．﹣B．C．D．0

【考点】极限及其运算．

【分析】利用导数的定义和运算法则即可得出．

【解答】解：∵函数f（x）=+1，∴f′（x）=．

∴=﹣1×=﹣f′（1）=﹣．

故选：A．

4．直线与曲线相切，则b的值为（）

A．﹣2 B．﹣1 C． D．1

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，

再根据切点既在直线的图象上又在曲线上，即可求出b的值．

【解答】解：设切点坐标为（m，n）

y′|x=m=﹣=

解得m=1

∵切点（1，n）在曲线的图象上，

∴n=﹣，

∵切点（1，﹣）又在直线上，

∴b=﹣1．

故答案为：B

5．已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）

A．1 B．2 C．D．3

【考点】复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】根据复数的几何意义，知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆，|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离．

【解答】解：∵|z|=2，则复数z对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，

而|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，

∴其最大值为圆上点（0，﹣2）到点（0，1）的距离，

最大的距离为3．

故选D．

6．曲线y=e x在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

A．B．1 C．2 D．3

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】要求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．

【解答】解：依题意得y′=e x，

因此曲线y=e x在点（0，1）处的切线的斜率等于1，

相应的切线方程是y=x+1，

当x=0时，y=1；

即y=0时，x=﹣1，

即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：

S=×1×1=．

故选：A．

7．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个奇数”正确的反设为（）

A．a、b、c都是奇数

B．a、b、c都是偶数

C．a、b、c中至少有两个奇数

D．a、b、c中至少有两个奇数或都是偶数

【考点】反证法与放缩法．

【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，即可得出结论．

【解答】解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，

而：“自然数a，b，c中恰有一个奇数”的否定为：“a，b，c中至少有两个奇数或都是奇偶数”，

故选D．

8．已知函数f（x）=x3﹣3x+c有两个不同零点，且有一个零点恰为f（x）的极大值点，则c的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2

【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．

【分析】利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=x3﹣3x+c只有2个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0．根据有一个零点恰为f（x）的极大值点，得f（x）的极大值为0，解方程即可．

【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x+c，∴f′（x）=3x2﹣3，

由f′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1，此时函数单调递增，

由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜1，此时函数单调递减．

即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，当x=1时，函数f（x）取得极小值．

要使函数f（x）=x3﹣3x+c只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，

∵有一个零点恰为f（x）的极大值点，

∴必有f（﹣1）=﹣1+3+a=c+2=0，解得c=﹣2；

故选：C．

9．已知b＞a，下列值：∫f（x）dx，∫|f（x）|dx，|∫|的大小关系为（）

A．|∫|≥∫|f（x）|dx≥∫f（x）dx

B．∫|f（x）|dx≥|∫f（x）dx|≥∫f（x）dx

C．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|=∫f（x）dx

D．∫|f（x）|dx=|∫f（x）dx|≥∫f（x）dx

【考点】定积分；不等关系与不等式．

【分析】根据定积分的几何意义，分别讨论函数y=f（x）及函数y=|f（x）|的图象在x轴上下方的可能情况，然后由微积分基本定理分析三个定积分对应曲边梯形的面积的大小．

【解答】解：当函数y=f（x）在[a，b]上的图象在x轴上方，定积分就是求函数f（x）在区间[a，b]中图线

下包围的面积，即由y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积，此时∫f（x）dx=∫|f（x）

|dx=|∫|；

当函数y=f（x）在[a，b]上的图象在x轴下方，定积分就是求函数f（x）在区间[a，b]中图线上方包围的面积的负值，即由y=0，x=a，x=b，y=f（x）所围成图形的面积的负值，此时函数y=|f（x）|的图象在x轴上

方，所以=＞0，＜0；

当函数y=f（x）的图象在[a，b]上x轴的上下方都有，不防设在[a，c）上在x轴上方，在（c，b]上在x轴下方，

则为上方的面积减去下方的面积，为上方的面积减去下方面积的绝对值，

为上方的面积加上下方的面积；

若函数y=f（x）的原函数为常数函数y=0，则∫f（x）dx=∫|f（x）|dx=|∫|；

综上，三者的关系是．

故选B．

10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

A．B．C． D．

【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．

【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．

【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．

11．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）

A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）

【考点】导数的运算．

【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），

得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，

即[x2f（x）]′＜x3＜0，

令F（x）=x2f（x），

则当x＜0时，

得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，

∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），

即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，

∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，

∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，

即x＜﹣2016，

故选：C．

12．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx有3个零点，则实数k的取值范围为（）

A．B．C．（1，+∞）D．

【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

【分析】由题意画出图象，利用导数对x分x=0、x＜0、x＞0三种情况各有一个零点时的k的取值范围求出来，再求交集即可．

【解答】解：由题意画出图象：

（1）当x=0时，f（0）=ln1=0，k×0=0，0是函数f（x）﹣kx的一个零点；

（2）由函数的图象和单调性可以看出，当x＞0和x＜0时，分别有一个零点．

①．当x＜0时，由﹣x2+x=kx，化为x=﹣k＜0，解得k＞；

②当x＞0时，只考虑k＞即可，

令g（x）=ln（x+1）﹣kx，则g′（x）=﹣k，

A．当k≥1时，则g′（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，g（x）无零点，应舍去；

B．当＜k＜1时，0＜＜1，

g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=﹣1，列表如下：

单调递增

由表格可知：当x=时，g（x）取得极大值，也是最大值，

当且仅当g（）≥0时，g（x）才有零点，

g（）=ln﹣（1﹣k）=k﹣lnk﹣1．

下面证明h（k）=k﹣lnk﹣1＞0，k∈（，1）．

∵h′（k）=1﹣=＜0，∴h（k）在（，1）上单调递减，∴g（）=h（k）＞h（1）=1﹣ln1﹣1=0，

因此g（）＞0在k∈（，1）时成立．

综上可知：当且仅当＜k＜1时，函数f（x）﹣kx有三个零点．

故选：B．

二.填空题，本大题共4小题每小题5分，共20分.

13．∫（x+x2+sinx）dx=．

【考点】定积分．

【分析】根据定积分的计算法法则计算即可．

【解答】解：∫（x+x2+sinx）dx=（﹣cosx）|=（+﹣cos1）﹣（﹣﹣cos1）=，

故答案为：．

14．若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．

【考点】数列递推式．

【分析】分别求得f（k）和f（k+1）两式相减即可求得f（k+1）与f（k）的递推关系式．

【解答】解：∵f（k）=12+22++（2k）2，

∴f（k+1）=12+22++（2k）2+（2k+1）2+（2k+2）2，

两式相减得f（k+1）﹣f（k）=（2k+1）2+（2k+2）2．

∴f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．

15．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极小值，则实数a的取值范围是a＜﹣1或a＞0．

【考点】函数在某点取得极值的条件．

【分析】根据函数导数的定义和性质即可得到结论．

【解答】解：由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）=0，

解得a=0或x=﹣1或x=a，

若a=0，则f′（x）=0，此时函数f（x）为常数，没有极值，故a≠0．

若a=﹣1，则f′（x）=﹣（x+1）2≤0，此时函数f（x）单调递减，没有极值，故a≠﹣1．

若a＜﹣1，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得a＜x＜﹣1此时函数单调递增，

由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得x＜a或x＞﹣1此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．

若﹣1＜a＜0，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得﹣1＜x＜a此时函数单调递增，

由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得x＜﹣1或x＞a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极大值，不满足条件．

若a＞0，由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＞0得x＜﹣1或x＞a此时函数单调递增，

由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）＜0得﹣1＜x＜a，此时函数单调递减，即函数在x=a处取到极小值，满足条件．综上：a＜﹣1或a＞0，

故答案为：a＜﹣1或a＞0

16．先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：令=x，则有=x，

从而解得x=（负值已舍去）”；运用类比的方法，计算：=．

【考点】类比推理．

【分析】利用类比的方法，设=x，则1+=x，解方程可得结论．

【解答】解：设=x，

则1+=x，

∴2x2﹣2x﹣1=0

∴x=，

∵x＞0，