第六章_群论与量子力学
量子力学导论第6章答案
第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + =+= （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p +=2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12 211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ???? ? ??-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()22 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + =
量子力学 第二版 第六章__散射 习题答案 周世勋
第六章 散射 1．粒子受到势能为 2 )(r a r U = 的场的散射，求S 分波的微分散射截面。 [解] 为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第l 个分波的相角位移l δ是表示在辏力场中的矢径波函数l R 和在没有散射势时的矢径波函数l j 在∞→r 时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。 矢径的波动方程是： 0))1()((12 2 22=+--+??? ??l l R r l l r V k dr dR r dr d r 其中l R 是波函数的径向部分，而 E k r U r V 2 2 2 2),(2)( μμ= = 令 r r x R l l )(= ，不难把矢径波动方程化为 02)1(222 2=??? ??-+-+''l l x r r l l k x μα 再作变换 )(r f r x l =，得 0)(221)(1)(22 2 2 =???? ??? ? ?+??? ? ? +- +'+''r f r e k r f r r f μα 这是一个贝塞尔方程，它的解是 ) ()()(kr BN kr AJ r f p p += 其中 2 2 2 221 μα+??? ?? +=l p 注意到 ) (kr N p 在0→r 时发散，因而当0→r 时波函数 ∞ →= r N R p l ，不符合波函数的标准条件。所以必须有0=B 故 ) (1kr J r A R p l = 现在考虑波函数l R 在∞→r 处的渐近行为，以便和l j 在∞→r 时的渐近行为比较，而求
得相角位移l δ，由于： ) 2 sin(1)4 2 sin(1)(l l kr r p kr r r R δππ π+- = + - → ∞→ ????????????? ? ? +-+??? ?? +-=++-=∴ 2122122422 2l d l l p l μππ ππδ 当l δ很小时，即α较小时，把上式展开，略去高次项得到 ??????? ?? ?+ -=2122 l l μα πδ 又因 l i i e l δδ212=- 故 ∑∞ =-+= 2) (c o s )1)(12(21)(l l i P e l ik f l θθδ ∑∞ =?? ???? ??+-+=02) (cos 122)12(21l l P l i l ik θμαπ ∑∞ =- =0 2 ) (cos l l P k θπμα 注意到 ?????? ?≤???? ??≥???? ??=-+=∑∑∞=∞=02 121202 1121212 22112 )(cos 1)(cos 1cos 21 1 l l l l l l r r P r r r r r P r r r r r r r r 当当θθθ 如果取单位半径的球面上的两点来看 则 121==r r ，即有 ∑∞ == = -0 2sin 21)(cos ) cos 1(21l l P θθθ 故 2s i n 21)(2 θ πμα θ k f - = 微分散射截面为
高等量子力学习题汇总
第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2
量子力学第六章散射
第六章 散射 6.1 两体碰撞和散射截面 两个粒子的碰撞可以分为弹性散射，非弹性散射和反应三种类型。如果两个粒子的内部状态在碰撞前后都保持不变，则称为弹性散射。弹性散射也就是弹性碰撞，下面将只讨论弹性散射问题。如果粒子的内部状态在碰撞后有变化（例如激发或电离），则称为非弹性散射。如果碰撞后有新粒子出现，则称为反应。非弹性散射与反应有时并不能严格区分开来。单粒子的衰变也可属于反应。粒子之间的碰撞与能级跃迁中的频谱（能谱）一样对许多实际问题的研究具有很重要的意义。例如，贞瑟福（Rutherford ）由对X 粒子被原子散射的研究中发现原子中心有一个重核。又如，电子与原子碰撞的夫兰克——赫兹（Franck-Herty ）实验证明了原子中有定态。 两个粒子的碰撞可以在外场中进行，下面也只讨认没有外场的情况，这时，两个粒子体系 的势能仅由相互作用能()U r 决定。由§2.7“5”可知，两体问题可以化为一个具有折合质量为μ的粒子在一个固定于质心位置的势场()U r 中运动。这个静止不动的质心位置被称为散射中心，也称为 靶心。这时，两个粒子的散射便化为粒子被势场的散射。这个粒子的能量E 是连续谱，在弹性散射 中，能量E 在散射过程中保持不变。为了简单，设耙心质量比位于r 处的粒子质量大得多，则这个 具有折合质量的粒子便化为一个真实粒子，而相对运动能量E 便化为这个真实粒子的能量。 考虑一束粒子沿Z 轴正方向向散射中心C 射束，如下图： 在入射粒子未进入势场之前，即当入射粒子距离散射中心很远时，可近似地用平面波描写，所以穿过垂直于Z 轴平面的λ射粒子是均匀分布的。单位时间内穿过垂直于入射方向单位面积的粒子数N 称为入射粒子流强度。粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角称为散射角。设以C 点为球心以r 为半径的球面上的面积元ds 对C 点张开的立体角为d Ω，则单位时间内散射到d Ω内的粒子数dn 应与d Ω成正比，也与N 成正比： (,)dn q Nd θ?=Ω （6.1-1） 其中(,)q θ?为比例系数。(,)q θ?通常是,θ?的函数，它的值与入射粒子的能量E 以及势场 ()U r 有关，但应与N 无关。因2dS dn r =，则上式可化为： 2(,)dn q ds r θ?= （6.1-2）
量子力学考试题
量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋 /2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0 间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧ G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2-∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2 λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 2 2νω+，E 2＝2 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22 E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2 ［ω+ων22］ （b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’ ，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’ ＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ω 21± ，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0） ＝ω 21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为 '11H =0，'22H =0，'12H ＝' 21H ＝ν 21 研究生课程教学大纲 高等量子力学 一、课程编码：21-070200-B01-17 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理学，工学 三、先修课程：数理方法，理论力学，电动力学，量子力学，热力学统计物理 四、教学目标 通过本课程的学习，使研究生掌握希尔伯特空间，量子力学基本理论框架，了解狄拉克 方程，量子力学中的对称性与守恒定律，二次量子化等理论知识，提升在微观体系中运用量 子力学的基本能力。 五、教学方式：课堂讲授 六、主要内容及学时分配 1 希尔伯特空间10学时 1.1 矢量空间 1.2 算符 1.3 本征矢量和本征值 1.4 表象理论 1.5 矢量空间的直和与直积 2 量子力学基本理论框架20学时 2.1 量子力学基本原理 2.2 位置表象和动量表象 2.3 角动量算符和角动量表象 2.4 运动方程 2.5 谐振子的相干态 2.6 密度算符 3 狄拉克方程 6学时 4 量子力学中的对称性 5学时 5 角动量理论简介 5学时 6 二次量子化方法16学时 6.1 二次量子化 6.2 费米子 6.3 玻色子 复习 2学时七、考核与成绩评定：以百分制衡量。 成绩评定依据: 平时作业成绩占30%，期末笔试成绩占70%。 八、参考书及学生必读参考资料 1. 喀兴林，《高等量子力学》，.[M]北京：高等教育出版社，2001 2. Franz Schwabl,《Advanced Quantum Mechanics》，.[M]北京：世界图书出版公司：2012 3. 曾谨言，《量子力学》，.[M]北京：科学出版社：第五版2014或第四版2007 4. https://www.360docs.net/doc/d214149848.html,ndau, M.E.Lifshitz，《Quantum Mechanics (Non-reativistic Theory)》，.[M]北京：世界 图书出版公司：1999 5. 倪光炯，《高等量子力学》，. [M]上海：复旦大学出版社：2005 九、大纲撰写人：曾天海 第六章：中心力场 ［1］质量分别为m, ,m 2的两个粒子组成的体系，质心座标R及相对座标r为: m" m zD “、 R = 一一⑴ m, m2 rr 二O -「1 ⑵ 试求总动量P = p,亠p2及总角动量L = h亠丨2在R，r表象中的 算符表示。 1.［解］(a)合动量算符p = P1 ? P2。根据假设可以解出r i，r2 - - m2 令 m 三m ,亠口2: 「=R_ ----- r (3) m 1 m1 r2= R ? r (4) m2 设各个矢量的分量是r1(x1, y1, z1) , r2 (x2, y 2, z2), r(x, y,z)和R(X,Y,Z)。为了计算动量的变换式先求对x , X2等的偏导数: L、L、# L、r L、L、L、 X x m1 ' ' ' '' 1(5) :x1；:x1；:X ；:x1；:x m ；:X ；：x jx2cX cx2 L、rx x ;X ；x2 a m2 e jx m ；X :x (6) 关于 L、L、 d d-可以写出与( 5) (6) 类似的式子，因而-71 -7 2 .z1.z2 A A A A A d e P - (P1 ■P2)x 二P 1x p2x -( - -) i ；x1；x2 L、L、*-?.L、 m1m2 =_(」2): i m ;X :x m ;:X ;:x i ;X --h d P 二i ' i _:X r d j i ；: Y -h k — A " ■ ■ /t ■ ■ (b)总角动量 L = l i ?丨2 =— (「1 ：：甘 1 ?「2 ：：詁 2) i L x — (「i J j J)x i m 2 -(Z -z)(- m cY ^(yi--z) i Z -(y 2- i :z 利用(3), (4), ( 5), (6): L x {(丫一匹 i m m-:: y)(- m cZ m —-—) :-y m 1 (Y -y)( m m 2 m ；Z -) m i _(Z ? — z)( m m E -—)} ：-y -f Z i m ；Z c c )-(丫 一 -Z —) ；z .y m 1m 2 (y 「 z jz m 2 —(Y m -(Y - 'z -Z mm m 2 .L 、 ,l~. G C (y z ) :z :丫 (y — :z -z ：)} ：y h d =— c c -Z ) (y — Y 'z -z^)} -y h - = (—R I R i h _ ■ -r J)x i 量子计算机中的量子力学 ——量子力学理论在现代科技中的应用 06级物理学2班 张洪（40606085） 从1946年第一台计算机诞生以来，其在冯·诺依曼体系结构上已经走过了60余年，其采用Alan Turing 于1936年提出的图灵机模型为计算模型。但随着科学的不断发展，以及计算机制造工艺的不断进步，计算机的尺寸也越来越小，其集成度也越来越高。按照摩尔定律，计算机芯片的集成度不久将达到原子分子量级，但是当电子器件小到原子分子量级的时候，这便受到了量子效应的干扰，这便把量子力学引入了计算机。物理学家Feynman 于1982年提出量子计算机的概念，并指出量子计算机在速度上对于传统计算机可能有本质的超越。 所谓量子计算机，是指利用处于多现实态下的原子进行运算的计算机。某种条件下，原子世界存在着多现实态，即原子和亚原子粒子可以同时存在于此处和彼处，可以同时表现出高速和低速，可以同时向上和向下运动。如果用这些不同原子状态分别代表不同的数字或数据，就可以利用一组具有不同潜在状态组合的原子，在同一时间对某一问题的所有答案进行探寻，就可以使代表正确答案的组合快速脱颖而出。 量子计算机的存储原理 传统计算机信息系统采用物理上最容易实现的二进制数据位存储数据或程序，每一个二进制数据位由0或1表示，成为一个比特（bit ）或位，以其作为最小的信息单元。在传统计算机中，每一个数据位要么是0，要么是1，二者必取其一。而量子计算机是根据物理系统的量子力学性质和规律执行计算任务的装置，其计算方式是量子计算。在量子计算机中，量子位（量子计算机的数据位）可以是0或者1，也可以是0和1的任何线性叠加它以一定的概率存在于0和1之间。 为了便于量子系统的表示和运算，狄拉克提出用符号|x>来表示量子态，|x>是一个列向量，称为右矢；其共轭转置用 《高等量子力学》课程教学大纲 课程编号: 1352001-04 课程名称：高等量子力学 英文名称：Advanced Quantum Mechanics 课程类型: 课程群（平台课、模块课、课程群） 开课学期：第一学期 课内学时：80学时讲课学时：72 实验学时： 学分：4 教学方式：课堂讲授及课外作业练习 适用对象: 凝聚态物理、理论物理、粒子与原子核、光学、生物物理 考核方式：闭卷考试 预修课程：大学物理、热力学与统计物理、数学物理方法、理论力学、电动力学、 （初等）量子力学 后续课程：量子场论 开课单位：郑州大学物理工程学院 一、课程性质和教学目标 课程性质：本课程为凝聚态物理、理论物理、粒子与原子核等专业硕士研究生必修课。 教学目标：本课程的目的是通过《高等量子力学》课堂授课、课外作业练习及考试，能够使有关学科的研究生系统了解该课程的基本概念、发展历史，掌握其主要内容与研究方法，为学生以后的学习和研究奠定坚实的理论基础，以及学生毕业后应能胜任高等院校、科研机构等部门与物理相关专业的教学、科研、技术等工作，或者为学生继续深造、攻读博士学位等奠定理论知识基础。 本课程的目标主要为凝聚态物理、理论物理、粒子与原子核等专业的深入研究进行理论准备。凝聚态物理是研究由大量微观粒子组成的凝聚态物质的宏观、微观结构和粒子运动规律、动力学过程、彼此间的相互作用及其与材料的物理性质之间关系的一门学科，是一门以物理学各个分支学科、数学 和相关的基础理论知识为基础，并与材料学、化学、生物学等自然科学和现代技术相互交叉的学科。凝聚态物理所研究的新现象和新效应是材料、能源、信息等工业的基础，对当前高技术的带头领域，如新型材料、信息技术和生物材料等有重要影响，对科学技术的发展和国民经济建设有重大作用。理论物理是从理论上探索自然界未知的物质结构、相互作用的物理运动的基本规律的学科，理论物理的研究领域涉及粒子物理与原子核物理、统计物理、凝聚态物理、宇宙学等，几乎包括物理学所有分支的基本理论问题。粒子物理与原子核物理是研究粒子和原子核的性质、结构、相互作用及运动规律，探索物质世界更深层次的结构和更基本的运动规律。它们涉及从最微观领域的规律到天体的形成与演化的规律。这些学科都需要具备《高等量子力学》的基础知识才能够全面理解及深入研究，该课程的讲授能够适应相关专业研究生对基础理论知识需求。 二、教学基本要求 除了系统听讲、对课堂讲解的内容理解之外，要求学生认真复习课堂讲解内容，熟悉量子力学的研究方法和思路，掌握主要方程的建立和推演，全面理解方程的适应条件和物理意义，为进一步从事科研工作进行系统的理论思考训练。 三、教学内容及预期任务 本课程将概括地介绍量子力学基本概念、研究与发展历史；简要回顾主要的经典理论及数学方法；详细而严谨地推导讲解高等量子力学的主要研究内容，包括早期量子力学的经典近似及其适应范围，路径积分方法的建立，多粒子问题的分析计算方法，相对论量子力学，以及辐射场的量子化等等。同时，也介绍一些量子力学理论的特殊应用成就，如BCS理论等等。在课程讲授过程中，拟融入科学研究方法介绍，以及科学探索中的哲学思考。简要介绍物理学主要分支的前沿研究内容及其与量子力学的关系，如宇宙学中的黑洞、暗物质与暗能量，高能物理中的夸克，生物学中的DNA等等，从中揭示量子力学的局限性以及面临的严峻挑战。以期通过本课程的学习，不仅使同学们概括了解量子力学研究的简要历史，了解当前物理学主要分支的前沿知识，明确量子力学面临的任务，开阔学术视野，启发同学们能够自觉探索科学研究的方法。同时，要求学生认真复习课堂讲解内容，完成必要的课外练 3.1 （做题人：韩丽芳 校对人：胡相英） (好) 幺正算符也有本征矢量。证明幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。 证明： 设算符U 为幺正算符，ψ为其任意本征矢量，u 为对应的本征值。 即 ψψu U = 则 ψψψψψψψψu u U U U U *+=== 因0≠ψψ，所以1=* u u 即 1=u 即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数。 设算符U 为幺正算符的两个本征值为1u 、2u ，对应的矢量分别为1ψ、2ψ，且 21u u ≠。 则 111ψψu U = 11 111 ψψu U = - 222ψψu U = 22 211 ψψu U = - 因为幺正算符1-+ =U U 则有 21212121ψψψψψψu u U U *+== 212 1211ψψψψu u UU * + = = 所以 01212121=??? ? ? ?-**ψψu u u u 因为012 121≠- * * u u u u ，故021=ψψ，即 1ψ 和2ψ正交。 即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。 3.2 投影于某一子空间的投影算符P ，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？(好) 解：投影于某一子空间的投影算符∑==m i i i P 1，设全空间是n 维的，且n m <。 则本征值方程 ψλψψ==∑=m i i i P 1 ⑴ 其中λ为本征值， ψ为相应的本征态。 则 ψλψλψ2 2==P P ⑵ 由幺正算符等幂性P P =2 得 ψψP P =2 ⑶ 由⑴、⑵和⑶式得λλ=2 ，所以1=λ或0=λ。 即求得投影算符的本征值是1或0。 当1=λ时，本征失量是i ，其中m i ,2,1=。所以是简并的，本征子空间S 是由这m 个基矢构成的矢量空间。 当0=λ时，本征矢量是与i 正交的矢量。所以也是简并的，本征子空间是S 空间的补空间。 # 练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。 证明：假设算符A 有逆，则在值域中取一任意|φ>，则定义域有|ψ>存在 即ψφφ- ==AA 1 已知A 的全部本征值和相应的本征矢量：i i i a A ψφ= i=1，2，3…， ∴( )ψ ψφ- - ==A a AA 算符A 存在零本征值，即00=?=φa a ∴对于任意本征矢量()ψ φa A - ≠与()ψφ -=A a 矛盾 ∴假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。 # 练习3.4 根据完全性和封闭性的定义，分别证明：在n 维空间中的一个完全矢量集｛i ψ｝， （i ψ归一化但彼此不一定正交，i=1,2,3…,n ）,若从其中去掉一个矢量，例如 量子力学第二版第六章散射习题答案周世勋 第六章散射 1.粒子受到势能为％）=个的场的散射，求S分波的微分散射截面。 ［解］为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第z个分波的相角位移可是表示在犊力场中的矢径波函数&和在没有散射势时的矢径波函数J在 i时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。 矢径的波动方程是： ￡做2等〕用=0 其中人是波函数的径向部分，而 心御⑴汽E 令⑴宁，不难把矢径波动方程化为 (+1) 2 pa 再作变换得 这是一个贝塞尔方程，它的解是 /(r) = AJ p (kr) + BN p (kr) ，(.if 2g 其中"一屮+￡+矿 注意到 N”(")在一0时发散，因而当，_0时波函 数 D _Np 不符合波函数的标准条件。所以 必须有B = 0 故 R,=A-Lj r (kr) 现在考虑波函数《在,TS 处的渐近行为，以便和力 在一s 时的渐近行为比较，而求得相角位移叽 由于： 当可很小时，即& 较小时，把上式展开，略去高 r （r ） + -/V ） + r 次项得到 故 5% 微分散射截面为 又因 严-1 = 2询 f ⑹= ^7-E （2/ + 1）（"吞一 l ）￡（cos&） 2ik /.（） 2 pa -沅 兀 2/ + 1 ￡（cos&） 注意到 、 f 1 x 丄工 斤口八"丿 1 x 斥（COS&）当叶? \/ ZL P t （COS0）当r x 高等量子力学总结 理论物理 张四平 学号：２２０１２０９２２０６１ 第一章 希尔伯特空间 1、矢量空间，同类的许多数学对象（实数，复数，数组）在满足一定的要求下构成的系统. 三种运算：加法，数乘，内积。 例：θ+ψ=ψ+θ； ψ+θ=0 即：ψ=-θ（存在逆元） （ψa ）b=ψ（ab ） ψ（a+b ）=ψa+ψb （ψ，θ）=（θ，ψ）* （ψ，θa ）=（ψ，θ）a 矢量的空间性质：零矢量唯一；逆元唯一；ψ（-1）=-ψ；（θ+ψx ）=θx+ψx ； 2、正交矢量：（ψ，θ）=0； 模方：|ψ||ψ|=（ψ，ψ）； schwarts 不等式：|（ψ，ψ）|≤|ψ||ψ|； 三角不等式：|ψ+θ|≤|ψ|+|θ|； 3、基矢 n 维空间中有限个矢量集合；一个线性无关的矢量的集合（完全集）；正交归一的完全集； 对于同一矢量，左右因子不同，dirac 符号：<ψ|θ>=（ψ，θ） 右矢量满足：|ψ>+|θ>=|θ>+|ψ>；|ψ>+|0>=|ψ>;|ψ>*1=|ψ>； （|ψ>+|θ>）*a=|ψ>a+|θ>a <ψ|θ>≥0； 4、算符：|ψ>=A|ψ>； A （|ψ>+|θ>）=A|ψ>+A|θ>； 线性算符的性质：定义域是个右矢空间，值域也是个右矢空间；定义域是有限维，值域也是 小于等于这个维数；零算符：0|ψ>=|0>；单位算符：I |ψ>=|ψ>； 算符：A|ψ>=|θ>；逆算符：A -1 |θ>=|ψ>；<θ|==<θ|ψ> ； |U ψ|=|ψ|； 6、幺正算符：定义：U+U=UU+=I 或U+=U-1；投影算符：|ψ><ψ|（厄米算符）； 7、本证矢和本证值：A|ψi>=a|ψi> （i=1，...s ）{|ψi>}(本证子空间，s 重简并)；厄米算 符A 的本证矢量：不简并的正交，S 重简并的本证矢量构成一个s 维的子空间，与其他的本证 矢量正交；完全性；正交性； 定理：有限维空间中，厄米算符的全部本证矢量构成一个完全集； 定理：当且仅当两个厄米算符对易时，他们有一组共同的本证矢量完全集； 8、表象理论： 基矢：厄米算符完备组K={P ，H ，...，}.基矢选他们共同的本证矢，K|i>=ki|i>； 相似变换：存在幺正矩阵U ：B=U -1AU ，A ，B 相似.trA=trB ，detB=detU+detA ，detA=detB ； 任何厄米矩阵都可以通过相似变换变成对角矩阵； L 表象：{|εi>} ∑|εi><εi|=1 K 表象：{|να>} ∑|να><να|=1 |να>= ∑|εi>Ui α |εi>= ∑|να>U αi -1 Ψα = ∑U αi -1ψi Ψi = ∑Ui α ψα A αβ=∑∑U αi -1AijUj β高等量子力学
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