分类计数原理和分步计数原理
《分类计数原理和分步计数原理》教案
执教人：孙文
教学目标
（一）教学知识点 1.分类计数原理.
2.分步计数原理.
（二）能力训练要求 1.正确理解分类计数原理与分步计数原理的内容.
2.正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题.
3.了解基本原理在实际生产、生活中的应用.
4.提高分析问题、解决问题的能力.
（三）德育渗透目标要求学生在现实生活中面对复杂的事物和现象，能够作出
正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提
高实际的应变能力，从而认识数学知识与现实生活的内在
联系及不可分割性.
教学重点分类计数原理与分步计数原理.
教学难点正确运用分类计数原理与分步计数原理.
教学方法启发引导式在两个基本原理的教学过程中，应启发学生由特殊情形归纳出一般原理，这一过程遵循由简单到复杂的认知规律，而且在基本
原理的语言叙述上，也采用了生活化的语言，使学生易于理解。
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体
内容分析：
两个基本原理是排列、组合的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，排列、组合的计算公式都是以乘法原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题．在开头课中，使学生对所学的知识有一个大致的了解是十分必要的．基于这一想法，在引入新课时，首先是首先提出几个简单的实际例子，同时也引入了课题
正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件；分类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类和分步教学中给出的练习均在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就在于帮助学生对这一知识的理解与应用
两个原理是教与学重点，又具有相当难度．加法和乘法在小学就会，那么，在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果的追求，而忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小”，即“分解”的思想．更具体地说就是把事物分成类或分成步去数．“分类”、“分步”，看似简单，不难理解，却是全章的理论依据和基本方法，贯穿始终，所以，是举足轻重的重点．两个原理，要能在各种场合灵活应用并非易事，所以，着实有其难用之处
所有走法汽车1──火车1；汽车1──火车2；汽车2──火车1；汽车2──火车2；汽车3──火车1；汽车3──火车2 教学过程：
一：提出问题
问题一：某人从松滋到武汉，可以乘火车，也可以乘汽车。经查询，一天中，汽
车有3班，火车有2班。那么一天中，此人从松滋到武汉共有多少种不同的走法？ 分析：因为一天中乘火车有3种走法，图示： 乘汽车有2种不同的走法每一 种走法都可以从松滋到武汉，
所以共有 3+2=5 种方法。
问题二：由于各种原因，此人从松滋到武汉，要从松滋先乘汽车到荆州，再于次
日从荆州乘火车到武汉，一天中，汽车有3班，火车有2班，那么两天中，从松滋到武汉，共有多少种不同的走法？
分析:这个问题与前一个问题不同，在前一个问题中采用乘火车或乘汽车的任何
一种方式，都可以从松滋到武汉；而这一个问题中必须先经过乘火车再乘汽车两个步骤才能从松滋到武汉。
问题三 一个盒内装有3个不同的彩球，另一个盒内也装有4个不同的彩球，所
有彩球颜色互不相同。
（1）从两个盒内任取一个彩球，有多少种不同的取法？
（2）从两个盒内各取一个彩球，有多少种不同的取法？
解：(1)N =3＋4= 7种
(2)N =3×4=12种
问题四 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4
名。
（1）从中任选一人参加接待活动，有多少种不同的选法？
（2）从三个年级的学生中各选1人参加接待活动，有多少种不同的选
法？
解：(1) N =3＋5＋4= 12种
(2)
N =3×5×4= 60种
二：讲授新课
分类计数原理 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法······在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m 1+ m 2+ ······ + m n
种不同的方法。
注意: （1）从分类计数原理中可以看出，各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称为加法原理。
（2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定
的分类的标准中进行分类，要求不重不漏。
分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法······做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有
N= m1×m2×······×m n
种不同的方法。
注意: 从分步计数原理中可以看出，各个步骤之间相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成了，且各步方法数相乘，所以分步计数原理又
称为乘法原理。
三：典例分析
例1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：
第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；
第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；
第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法
根据分类计数原理，不同取法的种数是N=4+3+2=9种
所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法.
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：
第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；
第2步从第2层取1本艺术书，有3种方法；
第3步从第3层取1本体育书，有2种方法;
根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，
不同取法的种数是Ｎ＝4×3×2=24种
所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法
思考：分类计数原理和分布计数原理的异同点。
相同点：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题。
不同点：分类计数原理与“分类”有关，用其中任何一种方法都可以完成这件事；
分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完
成了，这件事才算完成．
四：练习Array练习1. 如图，从甲地到乙地有2条路，
从乙地到丁地有3条路，从甲地到丙地有
4条路，从丙地到丁地有2条路，从甲地
到丁地共有多少种不同的走法？
分析：先分2类
甲→乙→丁n1=2 ×3=6种
甲→丙→丁n2=4 ×2=8种
所有的走法为N=n1+n2=14种
推广练习1：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，问：现取2本不同类型的书（来自不同的层），有多少种不同的选法？
解：分三类
第一类：选计算机书和文艺书n1=4×3=12种
第二类：选计算机书和体育书n2=4×2= 8种
第三类：选文艺书和体育书n3=3×2= 6种
所有的选法为：N=n1+n2+n3=26种
推广练习2：设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画。（1）从中任取一幅画布置房间，有几种不同的选法？
（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？（3）从这些画中选出两幅不同种的画布置房间，有几种不同的选法？
解：（略）
五：课后思考题
（1）用0到9这10个数字，可以组成多少个三位数? 可以组成多少个没有重复数字的三位数?
（2）用3种不同颜色给右图涂色，要求相邻
的区域不同色，共有多少种不同的涂色
方法？
六：小结
本节课主要介绍了两个基本原理，解题时应紧扣原理，弄清事情完成的前后经过，分清是分类还是分步，或分类中含分步、分步中含分类无论是分类、分步，关键是做到不重不漏