高考数学周周练 9

高考数学周周练9

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.设集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则()

A.M N

B.N M

C.M∈N

D.N∈M

解析易知N＝{x|x＝4k＋1或x＝4k－1，k∈Z}，∴M N.

答案 A

2.设z＝1－i

1＋i

＋2i，则|z|＝()

A.0

B.1 2

C.1

D. 2

解析因为z＝1－i

1＋i

＋2i＝

（1－i）2

（1＋i）（1－i）

＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1.

答案 C

3.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析“不破楼兰终不还”的另一种理解为：“若返回家乡则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.

答案 B

4.函数f(x)＝x2e x

|x|的图象大致为()

解析 当x <0时，f (x )＝－x e x >0，排除C ，D ，x >0时，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x >0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )>0，只有A 符合. 答案 A

5.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中第3天共分发了多少升大米( ) A.192 B.213 C.234

D.255

解析 根据题意设每天派出的人数构成数列{a n }，数列是首项a 1＝64，公差为7的等差数列，a 3＝64＋(3－1)×7＝78，所以第3天共分发78×3＝234(升). 答案 C

6.某工厂安排6人负责周一至周六的中午午休值班工作，每天1人，每人值班1天，若甲、乙两人需安排在相邻两天值班，且都不排在周三，则不同的安排方式有( ) A.192种 B.144种 C.96种

D.72种

解析 甲、乙两人可以排在周一、周二两天，可以排在周四、周五两天，也可以

排在周五、周六两天，所以甲、乙两人的安排方式共有C 13A 22＝6(种)，其他4个人要在剩下的四天全排列，所以所有人的安排方式共有6A 44＝6×24＝144(种).

答案 B

7.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB

→|＝2，OC →＝13OA →＋23OB →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )

A. 3

B.2 3

C.2

D.3

解析 由OC →＝13OA →＋23OB →，又OM →＝12(OA →＋OB →

)， 所以OC →·OM →＝? ????13OA →＋23OB →·12(OA →＋OB →) ＝16(OA →2＋2OB →2＋3OA →·OB

→)，

又△OAB 为等边三角形，所以OA →·OB →＝2×2cos 60°＝2，OA →2＝4，OB →2＝4，所以OC →·OM →＝3. 答案 D

8.已知M 为双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右支上一点，A ，F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，∠MFA ＝60°，则C 的离心率为( ) A.6 B.4 C.3

D.2

解析 如图，设双曲线C 的左焦点为F 1，连接MF 1，由题意知|MF |＝a ＋c ，|MF 1|＝3a ＋c ，

在△MF 1F 中，由余弦定理得|MF 1|2＝|F 1F |2＋|MF |2－2|F 1F ||MF |cos 60°，所以(3a ＋c )2

＝(2c )2

＋(a ＋c )2

－2×2c (a ＋c )×1

2，整理得4a 2＋3ac －c 2＝0.

因为e ＝c

a ，所以e 2－3e －4＝0，因为e >1，所以e ＝4. 答案 B

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)

9.下列条件中，能推出1a <1

b 成立的有( ) A.a >0>b B.b >0>a C.a >b >0

D.0>a >b

解析 运用倒数性质a >b ，ab >0可得1a <1

b ，故C ，D 正确，又正数大于负数，故B 正确. 答案 BCD

10.已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则f (x )在下列哪个区间内单调递增( ) A.[－2π，－π] B.???

???0，2π3 C.????

??2π，8π3 D.[]4π，5π

解析 因为f (x )＝2? ????32sin ωx －1

2cos ωx

＝2sin ? ?

?

??ωx －π6，

由f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝2sin ? ????x －π6.

由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π

3(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间为???

???2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ).

分别令k ＝－1，0，2知选BC. 答案 BC

11.某工厂经过技术改造，降低了能源消耗，职能部门从某车间抽取部分工人进行调查，发现他们一天的能源消耗指数均在50～350之间，按照[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350]分组，得到频率分布直方图如图所示.若采用分层抽样的方法从能源消耗指数在[50，200)内的工人中抽取10人进行业务指导，则下列说法正确的是( )

A.直方图中的x 值为0.006 0

B.直方图中估计众数值为175

C.前三组的人数之比为2∶3∶5

D.应从[100，150)内抽取2人

解析 由题意可得，(0.002 4＋0.003 6＋x ＋0.004 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x ＝0.006 0，众数为最高矩形中点的横坐标，即175，且前三组的人数之比为0.002 4∶0.003 6∶0.006 0＝2∶3∶5，故应从[100，150)内抽取的人数为10×3

2＋3＋5＝3，故选ABC.

答案 ABC

12.已知函数f (x )＝???kx ＋1，x ≤0，

ln x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确的

是( )

A.当k >0时，有4个零点

B.当k >0时，有3个零点

C.当k <0时，有2个零点

D.当k <0时，有1个零点

解析 (1)当x ＞1时，ln x ＞0，∴y ＝f (f (x ))＋1＝ln(ln x )＋1，此时有零点x ＝e 1

e ＞1；(2)当0＜x ≤1时，ln x ≤0，∴y ＝

f (f (x ))＋1＝k ·ln x ＋1.当k ＞0时，有一个零点；当k ＜0时，无零点；(3)当x ≤0，kx ＋1≤0时，y ＝f (f (x ))＋1＝k 2x ＋k ＋1.当k ＞0时，有一个零点x ＝－k ＋1

k 2；当k ＜0时，k 2x ＋k ＋1＝k (kx ＋1)＋1＞0，无零点；(4)当x ≤0，kx ＋1＞0时，y ＝f (f (x ))＋1＝ln(kx ＋1)＋1.当k ＞0时，有一个零

点x ＝1k ? ????

1e －1；当k ＜0时，无零点.综上，当k ＞0时，有4个零点，当k ＜0时，

只有一个零点. 答案 AD

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，且函数y ＝f (x ＋1)为奇函数，当0≤x <1时，f (x )＝x 2，则f ? ??

??

52＝________.

解析 依题意f (－x )＝f (x )，且f (1－x )＝－f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，又0≤x <1时，f (x )＝x 2. 则f ? ????52＝f ? ????2＋12＝－f ? ????

12＝－14.

答案 －14

14.已知? ????

1x ＋x 2n

的展开式的各项系数和为64，则展开式中x 3的系数为________.

解析 令x ＝1，则2n ＝64，∴n ＝6，

则? ????1x ＋x 26的展开式的通项T r ＋1＝C r 6? ????1x 6－r x 2r ＝C r 6x 3r －6

， 依题设，令3r －6＝3，得r ＝3， ∴展开式中x 3的系数为C 36＝20. 答案 20

15.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角大小为__________.

解析 以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系.设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2，0，2)，E (0，1，0)，F (0，0，1)， 则EF →＝(0，－1，1)，BC 1

→＝(2，0，2)，

∴EF →·BC 1→＝2， ∴cos 〈EF →，BC 1

→〉＝22×22

＝1

2，

∴EF 和BC 1所成的角为60°. 答案 60°

16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos C ＝1

9，且a cos B ＋

b cos A ＝2，则△ABC 面积的最大值为________，此时周长为________.(本题第一空3分，第二空2分)

解析 由a cos B ＋b cos A ＝2及余弦定理， 得a 2＋c 2－b 22c ＋b 2＋c 2－a 22c

＝2，∴c ＝2.

∴4＝a 2＋b 2－2ab cos C ≥2ab －29ab ，则ab ≤94， 当且仅当a ＝b ＝3

2时等号成立.

又cos C ＝19，C ∈(0，π)，得sin C ＝45

9. ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤12×94×459＝5

2. 取等号时，a ＝b ＝3

2，故周长为5.

5

答案

2 5