圆周角定理

圆周角定理

圆周角定理：

1.同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

3.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆

叫做多边形的外接圆。

中文名

圆周角定理

应用学科

数学

目录

1圆周角

?定义

?性质

2圆周角定理

?定义

?推论一：

?推论二：

?推论三：

3证明

1圆周角

定义

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角

圆周角图

性质

(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

(2)圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；

(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。

2圆周角定理

定义

圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

推论一：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论二：

半圆（直径）所对的圆周角是直角。

推论三：

90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角。

3证明

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：2∠BOC=∠BAC.

证明：

情况1：

如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

图1

∵OA、OC是半径

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

情况2：

如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：

连接AO，并延长AO交⊙O于D

图2

∵OA、OB、OC是半径

解：∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 情况3：

如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：

图3

连接AO，并延长AO交⊙O于D

解：∵OA、OB、OC、是半径

∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC