素数
素数
素数就是质数。它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，15＝3＊5，所以15不是素数；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13＊1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。
有的数，如果单凭印象去捉摸，是无法确定它到底是不是素数的。有些数则可以马上说出它不是素数。一个数，不管它有多大，只要它的个位数是2、4、5、6、8或0，就不可能是素数。此外，一个数的各位数字之和要是可以被3整除的话，它也不可能是素数。但如果它的个位数是1、3、7或9，而且它的各位数字之和不能被3整除，那么，它就可能是素数（但也可能不是素数）。没有任何现成的公式可以告诉你一个数到底是不是素数。你只能试试看能不能将这
个数表示为两个比它小的数的乘积。
找素数的一种方法是从2开始用“是则留下，不是则去掉”的方法把所有的数列出来（一直列到你不想再往下列为止，比方说，一直列到10，000）。第一个数是2，它是一个素数，所以应当把它留下来，然后继续往下数，每隔一个数删去一个数，这样就能把所有能被2整除、因而不是素数的数都去掉。在留下的最小的数当中，排在2后面的是3，这是第二个素数，因此应该把它留下，然后从它开始往后数，每隔两个数删去一个，这样就能把所有能被3整除的数全都去掉。下一个未去掉的数是5，然后往后每隔4个数删去一个，以除去所有能被5整除的数。再下一个数是7，往后每隔6个数删去一个；再下一个数是11，往后每隔10个数删一个；再下一个是13，往后每隔12个数删一个。……就这样依法做下去。
你也许会认为，照这样删下去，随着删去的数越来越多，最后将会出现这样的情况；某一个数后面的数会统统被删去崮此在某一个最大的素数后面，再也不会有素数了。但是实际上，这样的情况是不会出现的。不管你取的数是多大，百万也好，万万也好，总还会有没有被删去的、比它大的素数。
事实上，早在公元前300年，希腊数学家欧几里得就已证明过，不论你取的数是多大，肯定还会有比它大的素数，假设你取出前6个素数，并把它们乘在一起：2＊3＊5＊7＊11＊13＝30030，然后再加上1，得30031。这个数不能被2、3、5、7、11、13整除，因为除的结果，每次都会余1。如果30031除了自己以外不能被任何数整除，它就是素数。如果能被其它数整除，那么30031所分解成的几个数，一定都大于13。事实上，30031＝59＊509。
对于前一百个、前一亿个或前任意多个素数，都可以这样做。如果算出了它们的乘积后再加上1，那么，所得的数或者是一个素数，或者是比所列出的素数还要大的几个素数的乘积。不论所取的数有多大，总有比它大的素数，因此，素
数的数目是无限的。
随着数的增大，我们会一次又一次地遇到两个都是素数的相邻奇数对，如5，7；11，13；17，19；29，31；41，43；等等。就数学家所能及的数来说，它们总是能找到这样的素数对。这样的素数对到底是不是有无限个呢？谁也不知道。数学家认为是无限的，但他们从来没能证明它。这就是数学家为什么对素数感兴趣的原因。素数为数学家提供了一些看起来很容易、但事实却非常难以解决的问题，他们目前还没能对付这个挑战哩。
迄今为止，人类发现的最大的素数是224036583-1，这是第41 个梅森(Mersenne)素数。
素数也叫质数，是只能被自己和1 整除的数，例如2、3、5、7、11等。2500 年前，希腊数学家欧几里德证明了素数是无限的，并提出少量素数可写成“2 的n次方减1”的形式，这里n 也是一个素数。此后许多数学家曾对这种素数进行研究，17 世纪的法国教士马丁·梅森(Martin Mersenne)是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2的n次方减1”形式的素数称为梅森素数。
第19~41个梅森素数
序号素数位数发现人时间
41 224036583-1 7235733 John Findley 2004
40 220996011-1 6320430 Michael Shafer 2003
39 213466917-1 4053946 Michael Cameron 2001
38 26972593-1 2098960 Nayan, Woltman, Kurowski 1999
37 23021377-1 909526 Clarkson, Woltman, Kurowski 1998
36 22976221-1 895932 Spence, Woltman 1997
35 21398269-1 420921 Armengaud, Woltman 1996
34 21257787-1 378632 Slowinski & Gage 1996
33 2859433-1 258716 Slowinski & Gage 1994
32 2756839-1 227832 Slowinski & Gage 1992
31 2216091-1 65050 David Slowinski 1985
30 2132049-1 39751 David Slowinski 1983
29 2110503-1 33265 Welsh & Colquitt 1988
28 286243-1 25962 David Slowinski 1982
27 244497-1 13395 Slowinski & Nelson 1979
26 223209-1 6987 L. Curt Noll 1979
25 221701-1 6533 Nickel & Noll 1978
24 219937-1 6002 Bryant Tuckerman 1971
23 211213-1 3376 Donald B. Gillies 1963
22 29941-1 2993 Donald B. Gillies 1963
21 29689-1 2917 Donald B. Gillies 1963
20 24423-1 1332 Alexander Hurwitz 1961
19 24253-1 1281 Alexander Hurwitz 1961
1995 年，美国程序设计师乔治·沃特曼整理有关梅森素数的资料，编制了一个梅森素数计算程序，并将其放置在因特网上供数学爱好者使用，这就是“因特网梅森素数大搜索”计划。目前有6万多名志愿者、超过20万台计算机参与这项计划。该计划采取分布式计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间，获得相当于超级计算机的运算能力，第37、38 和39 个梅森素数都是用这种方法找到的。美国一家基金会还专门设立了10 万美元的奖金，鼓励第一个找到超过千万位素数的人。
３００００以内的质数表
2 3 5 7 11 131719 23 2931 37 41 43 47
53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197
199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379
383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571
577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761
769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863
877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977
983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069
1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187
1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129 2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181 3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257 3259 3271 3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413 3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571 3581 3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643 3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907 3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989 4001 4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 4057 4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139 4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297 4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409 4421 4423 4441 4447 4451 4457 4463 4481 4483 4493 4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583 4591 4597 4603 4621 4637 4639 4643 4649 4651 4657 4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4729 4733 4751 4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831 4861 4871 4877 4889 4903 4909 4919 4931 4933 4937 4943 4951 4957 4967 4969 4973 4987 4993 4999 5003 5009 5011 5021 5023 5039 5051 5059 5077 5081 5087 5099 5101 5107 5113 5119 5147 5153 5167 5171 5179 5189 5197 5209 5227 5231 5233 5237 5261 5273 5279 5281 5297 5303 5309 5323 5333 5347 5351 5381 5387 5393 5399 5407 5413 5417 5419 5431 5437 5441 5443 5449 5471 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5519 5521 5527 5531 5557 5563 5569 5573 5581 5591 5623 5639 5641 5647 5651 5653 5657 5659 5669 5683 5689 5693 5701 5711 5717 5737 5741 5743 5749 5779 5783 5791 5801 5807 5813 5821 5827 5839 5843 5849 5851 5857 5861 5867 5869 5879 5881 5897 5903 5923 5927 5939 5953 5981 5987 6007 6011 6029 6037 6043 6047 6053 6067 6073 6079 6089 6091 6101 6113 6121 6131 6133 6143 6151 6163 6173 6197 6199 6203 6211 6217 6221 6229 6247 6257 6263 6269 6271 6277 6287 6299 6301 6311 6317 6323 6329 6337
6343 6353 6359 6361 6367 6373 6379 6389 6397 6421 6427 6449 6451 6469 6473
6481 6491 6521 6529 6547 6551 6553 6563 6569 6571 6577 6581 6599 6607 6619
6637 6653 6659 6661 6673 6679 6689 6691 6701 6703 6709 6719 6733 6737 6761
6763 6779 6781 6791 6793 6803 6823 6827 6829 6833 6841 6857 6863 6869 6871
6883 6899 6907 6911 6917 6947 6949 6959 6961 6967 6971 6977 6983 6991 6997
7001 7013 7019 7027 7039 7043 7057 7069 7079 7103 7109 7121 7127 7129 7151
7159 7177 7187 7193 7207 7211 7213 7219 7229 7237 7243 7247 7253 7283 7297
7307 7309 7321 7331 7333 7349 7351 7369 7393 7411 7417 7433 7451 7457 7459
7477 7481 7487 7489 7499 7507 7517 7523 7529 7537 7541 7547 7549 7559 7561
7573 7577 7583 7589 7591 7603 7607 7621 7639 7643 7649 7669 7673 7681 7687
7691 7699 7703 7717 7723 7727 7741 7753 7757 7759 7789 7793 7817 7823 7829
7841 7853 7867 7873 7877 7879 7883 7901 7907 7919 7927 7933 7937 7949 7951
7963 7993 8009 8011 8017 8039 8053 8059 8069 8081 8087 8089 8093 8101 8111
8117 8123 8147 8161 8167 8171 8179 8191 8209 8219 8221 8231 8233 8237 8243
8263 8269 8273 8287 8291 8293 8297 8311 8317 8329 8353 8363 8369 8377 8387
8389 8419 8423 8429 8431 8443 8447 8461 8467 8501 8513 8521 8527 8537 8539
8543 8563 8573 8581 8597 8599 8609 8623 8627 8629 8641 8647 8663 8669 8677
8681 8689 8693 8699 8707 8713 8719 8731 8737 8741 8747 8753 8761 8779 8783
8803 8807 8819 8821 8831 8837 8839 8849 8861 8863 8867 8887 8893 8923 8929
8933 8941 8951 8963 8969 8971 8999 9001 9007 9011 9013 9029 9041 9043 9049
9059 9067 9091 9103 9109 9127 9133 9137 9151 9157 9161 9173 9181 9187 9199
9203 9209 9221 9227 9239 9241 9257 9277 9281 9283 9293 9311 9319 9323 9337
9341 9343 9349 9371 9377 9391 9397 9403 9413 9419 9421 9431 9433 9437 9439
9461 9463 9467 9473 9479 9491 9497 9511 9521 9533 9539 9547 9551 9587 9601
9613 9619 9623 9629 9631 9643 9649 9661 9677 9679 9689 9697 9719 9721 9733
9739 9743 9749 9767 9769 9781 9787 9791 9803 9811 9817 9829 9833 9839 9851
9857 9859 9871 9883 9887 9901 9907 9923 9929 9931 9941 9949 9967 9973 10007
10009 10037 10039 10061 10067 10069 10079 10091 10093 10099 10103 10111 10133 10139 10141 10151 10159 10163 10169 10177 10181 10193 10211 10223 10243 10247 10253 10259 10267 10271 10273 10289 10301 10303 10313 10321 10331 10333 10337 10343 10357 10369 10391 10399 10427 10429 10433 10453 10457 10459 10463 10477 10487 10499 10501 10513 10529 10531 10559 10567 10589 10597 10601 10607 10613 10627 10631 10639 10651 10657 10663 10667 10687 10691 10709 10711 10723 10729 10733 10739 10753 10771 10781 10789 10799 10831 10837 10847 10853 10859 10861 10867 10883 10889 10891 10903 10909 10937 10939 10949 10957 10973 10979 10987 10993 11003 11027 11047 11057 11059 11069 11071 11083 11087 11093 11113 11117 11119 11131 11149 11159 11161 11171 11173 11177 11197 11213 11239 11243 11251 11257 11261 11273 11279 11287 11299 11311 11317 11321 11329 11351 11353 11369 11383 11393 11399 11411 11423 11437 11443 11447 11467 11471 11483 11489 11491 11497 11503 11519 11527 11549 11551 11579 11587 11593 11597 11617 11621 11633 11657 11677 11681 11689 11699 11701 11717 11719 11731 11743 11777 11779 11783 11789 11801 11807 11813 11821 11827 11831 11833 11839 11863 11867 11887 11897 11903 11909 11923 11927 11933 11939 11941 11953 11959 11969 11971 11981 11987 12007 12011 12037 12041 12043 12049 12071 12073 12097 12101 12107 12109 12113 12119 12143 12149 12157
12161 12163 12197 12203 12211 12227 12239 12241 12251 12253 12263 12269 12277 12281 12289 12301 12323 12329 12343 12347 12373 12377 12379 12391 12401 12409 12413 12421 12433 12437 12451 12457 12473 12479 12487 12491 12497 12503 12511 12517 12527 12539 12541 12547 12553 12569 12577 12583 12589 12601 12611 12613 12619 12637 12641 12647 12653 12659 12671 12689 12697 12703 12713 12721 12739 12743 12757 12763 12781 12791 12799 12809 12821 12823 12829 12841 12853 12889 12893 12899 12907 12911 12917 12919 12923 12941 12953 12959 12967 12973 12979 12983 13001 13003 13007 13009 13033 13037 13043 13049 13063 13093 13099 13103 13109 13121 13127 13147 13151 13159 13163 13171 13177 13183 13187 13217 13219 13229 13241 13249 13259 13267 13291 13297 13309 13313 13327 13331 13337 13339 13367 13381 13397 13399 13411 13417 13421 13441 13451 13457 13463 13469 13477 13487 13499 13513 13523 13537 13553 13567 13577 13591 13597 13613 13619 13627 13633 13649 13669 13679 13681 13687 13691 13693 13697 13709 13711 13721 13723 13729 13751 13757 13759 13763 13781 13789 13799 13807 13829 13831 13841 13859 13873 13877 13879 13883 13901 13903 13907 13913 13921 13931 13933 13963 13967 13997 13999 14009 14011 14029 14033 14051 14057 14071 14081 14083 14087 14107 14143 14149 14153 14159 14173 14177 14197 14207 14221 14243 14249 14251 14281 14293 14303 14321 14323 14327 14341 14347 14369 14387 14389 14401 14407 14411 14419 14423 14431 14437 14447 14449 14461 14479 14489 14503 14519 14533 14537 14543 14549 14551 14557 14561 14563 14591 14593 14621 14627 14629 14633 14639 14653 14657 14669 14683 14699 14713 14717 14723 14731 14737 14741 14747 14753 14759 14767 14771 14779 14783 14797 14813 14821 14827 14831 14843 14851 14867 14869 14879 14887 14891 14897 14923 14929 14939 14947 14951 14957 14969 14983 15013 15017 15031 15053 15061 15073 15077 15083 15091 15101 15107 15121 15131 15137 15139 15149 15161 15173 15187 15193 15199 15217 15227 15233 15241 15259 15263 15269 15271 15277 15287 15289 15299 15307 15313 15319 15329 15331 15349 15359 15361 15373 15377 15383 15391 15401 15413 15427 15439 15443 15451 15461 15467 15473 15493 15497 15511 15527 15541 15551 15559 15569 15581 15583 15601 15607 15619 15629 15641 15643 15647 15649 15661 15667 15671 15679 15683 15727 15731 15733 15737 15739 15749 15761 15767 15773 15787 15791 15797 15803 15809 15817 15823 15859 15877 15881 15887 15889 15901 15907 15913 15919 15923 15937 15959 15971 15973 15991 16001 16007 16033 16057 16061 16063 16067 16069 16073 16087 16091 16097 16103 16111 16127 16139 16141 16183 16187 16189 16193 16217 16223 16229 16231 16249 16253 16267 16273 16301 16319 16333 16339 16349 16361 16363 16369 16381 16411 16417 16421 16427 16433 16447 16451 16453 16477 16481 16487 16493 16519 16529 16547 16553 16561 16567 16573 16603 16607 16619 16631 16633 16649 16651 16657 16661 16673 16691 16693 16699 16703 16729 16741 16747 16759 16763 16787 16811 16823 16829 16831 16843 16871 16879 16883 16889 16901 16903 16921 16927 16931 16937 16943 16963 16979 16981 16987 16993 17011 17021 17027 17029 17033 17041 17047 17053 17077 17093 17099 17107 17117 17123 17137 17159 17167 17183 17189 17191 17203 17207 17209 17231 17239 17257 17291 17293 17299 17317 17321 17327 17333 17341 17351 17359 17377 17383 17387 17389 17393 17401 17417 17419 17431 17443 17449 17467 17471 17477 17483 17489 17491 17497 17509 17519 17539 17551 17569 17573 17579 17581 17597 17599 17609 17623 17627 17657 17659 17669 17681 17683 17707 17713 17729 17737 17747 17749 17761 17783 17789 17791 17807 17827 17837 17839 17851 17863 17881 17891 17903 17909 17911 17921 17923 17929 17939 17957 17959 17971 17977 17981 17987 17989 18013 18041 18043 18047 18049 18059 18061 18077 18089 18097 18119 18121 18127 18131 18133 18143 18149 18169 18181 18191 18199
18211 18217 18223 18229 18233 18251 18253 18257 18269 18287 18289 18301 18307 18311 18313 18329 18341 18353 18367 18371 18379 18397 18401 18413 18427 18433 18439 18443 18451 18457 18461 18481 18493 18503 18517 18521 18523 18539 18541 18553 18583 18587 18593 18617 18637 18661 18671 18679 18691 18701 18713 18719 18731 18743 18749 18757 18773 18787 18793 18797 18803 18839 18859 18869 18899 18911 18913 18917 18919 18947 18959 18973 18979 19001 19009 19013 19031 19037 19051 19069 19073 19079 19081 19087 19121 19139 19141 19157 19163 19181 19183 19207 19211 19213 19219 19231 19237 19249 19259 19267 19273 19289 19301 19309 19319 19333 19373 19379 19381 19387 19391 19403 19417 19421 19423 19427 19429 19433 19441 19447 19457 19463 19469 19471 19477 19483 19489 19501 19507 19531 19541 19543 19553 19559 19571 19577 19583 19597 19603 19609 19661 19681 19687 19697 19699 19709 19717 19727 19739 19751 19753 19759 19763 19777 19793 19801 19813 19819 19841 19843 19853 19861 19867 19889 19891 19913 19919 19927 19937 19949 19961 19963 19973 19979 19991 19993 19997 20011 20021 20023 20029 20047 20051 20063 20071 20089 20101 20107 20113 20117 20123 20129 20143 20147 20149 20161 20173 20177 20183 20201 20219 20231 20233 20249 20261 20269 20287 20297 20323 20327 20333 20341 20347 20353 20357 20359 20369 20389 20393 20399 20407 20411 20431 20441 20443 20477 20479 20483 20507 20509 20521 20533 20543 20549 20551 20563 20593 20599 20611 20627 20639 20641 20663 20681 20693 20707 20717 20719 20731 20743 20747 20749 20753 20759 20771 20773 20789 20807 20809 20849 20857 20873 20879 20887 20897 20899 20903 20921 20929 20939 20947 20959 20963 20981 20983 21001 21011 21013 21017 21019 21023 21031 21059 21061 21067 21089 21101 21107 21121 21139 21143 21149 21157 21163 21169 21179 21187 21191 21193 21211 21221 21227 21247 21269 21277 21283 21313 21317 21319 21323 21341 21347 21377 21379 21383 21391 21397 21401 21407 21419 21433 21467 21481 21487 21491 21493 21499 21503 21517 21521 21523 21529 21557 21559 21563 21569 21577 21587 21589 21599 21601 21611 21613 21617 21647 21649 21661 21673 21683 21701 21713 21727 21737 21739 21751 21757 21767 21773 21787 21799 21803 21817 21821 21839 21841 21851 21859 21863 21871 21881 21893 21911 21929 21937 21943 21961 21977 21991 21997 22003 22013 22027 22031 22037 22039 22051 22063 22067 22073 22079 22091 22093 22109 22111 22123 22129 22133 22147 22153 22157 22159 22171 22189 22193 22229 22247 22259 22271 22273 22277 22279 22283 22291 22303 22307 22343 22349 22367 22369 22381 22391 22397 22409 22433 22441 22447 22453 22469 22481 22483 22501 22511 22531 22541 22543 22549 22567 22571 22573 22613 22619 22621 22637 22639 22643 22651 22669 22679 22691 22697 22699 22709 22717 22721 22727 22739 22741 22751 22769 22777 22783 22787 22807 22811 22817 22853 22859 22861 22871 22877 22901 22907 22921 22937 22943 22961 22963 22973 22993 23003 23011 23017 23021 23027 23029 23039 23041 23053 23057 23059 23063 23071 23081 23087 23099 23117 23131 23143 23159 23167 23173 23189 23197 23201 23203 23209 23227 23251 23269 23279 23291 23293 23297 23311 23321 23327 23333 23339 23357 23369 23371 23399 23417 23431 23447 23459 23473 23497 23509 23531 23537 23539 23549 23557 23561 23563 23567 23581 23593 23599 23603 23609 23623 23627 23629 23633 23663 23669 23671 23677 23687 23689 23719 23741 23743 23747 23753 23761 23767 23773 23789 23801 23813 23819 23827 23831 23833 23857 23869 23873 23879 23887 23893 23899 23909 23911 23917 23929 23957 23971 23977 23981 23993 24001 24007 24019 24023 24029 24043 24049 24061 24071 24077 24083 24091 24097 24103 24107 24109 24113 24121 24133 24137 24151 24169 24179 24181 24197 24203 24223 24229 24239 24247 24251 24281 24317 24329 24337 24359 24371 24373 24379 24391 24407 24413 24419 24421 24439 24443 24469
24473 24481 24499 24509 24517 24527 24533 24547 24551 24571 24593 24611 24623 24631 24659 24671 24677 24683 24691 24697 24709 24733 24749 24763 24767 24781 24793 24799 24809 24821 24841 24847 24851 24859 24877 24889 24907 24917 24919 24923 24943 24953 24967 24971 24977 24979 24989 25013 25031 25033 25037 25057 25073 25087 25097 25111 25117 25121 25127 25147 25153 25163 25169 25171 25183 25189 25219 25229 25237 25243 25247 25253 25261 25301 25303 25307 25309 25321 25339 25343 25349 25357 25367 25373 25391 25409 25411 25423 25439 25447 25453 25457 25463 25469 25471 25523 25537 25541 25561 25577 25579 25583 25589 25601 25603 25609 25621 25633 25639 25643 25657 25667 25673 25679 25693 25703 25717 25733 25741 25747 25759 25763 25771 25793 25799 25801 25819 25841 25847 25849 25867 25873 25889 25903 25913 25919 25931 25933 25939 25943 25951 25969 25981 25997 25999 26003 26017 26021 26029 26041 26053 26083 26099 26107 26111 26113 26119 26141 26153 26161 26171 26177 26183 26189 26203 26209 26227 26237 26249 26251 26261 26263 26267 26293 26297 26309 26317 26321 26339 26347 26357 26371 26387 26393 26399 26407 26417 26423 26431 26437 26449 26459 26479 26489 26497 26501 26513 26539 26557 26561 26573 26591 26597 26627 26633 26641 26647 26669 26681 26683 26687 26693 26699 26701 26711 26713 26717 26723 26729 26731 26737 26759 26777 26783 26801 26813 26821 26833 26839 26849 26861 26863 26879 26881 26891 26893 26903 26921 26927 26947 26951 26953 26959 26981 26987 26993 27011 27017 27031 27043 27059 27061 27067 27073 27077 27091 27103 27107 27109 27127 27143 27179 27191 27197 27211 27239 27241 27253 27259 27271 27277 27281 27283 27299 27329 27337 27361 27367 27397 27407 27409 27427 27431 27437 27449 27457 27479 27481 27487 27509 27527 27529 27539 27541 27551 27581 27583 27611 27617 27631 27647 27653 27673 27689 27691 27697 27701 27733 27737 27739 27743 27749 27751 27763 27767 27773 27779 27791 27793 27799 27803 27809 27817 27823 27827 27847 27851 27883 27893 27901 27917 27919 27941 27943 27947 27953 27961 27967 27983 27997 28001 28019 28027 28031 28051 28057 28069 28081 28087 28097 28099 28109 28111 28123 28151 28163 28181 28183 28201 28211 28219 28229 28277 28279 28283 28289 28297 28307 28309 28319 28349 28351 28387 28393 28403 28409 28411 28429 28433 28439 28447 28463 28477 28493 28499 28513 28517 28537 28541 28547 28549 28559 28571 28573 28579 28591 28597 28603 28607 28619 28621 28627 28631 28643 28649 28657 28661 28663 28669 28687 28697 28703 28711 28723 28729 28751 28753 28759 28771 28789 28793 28807 28813 28817 28837 28843 28859 28867 28871 28879 28901 28909 28921 28927 28933 28949 28961 28979 29009 29017 29021 29023 29027 29033 29059 29063 29077 29101 29123 29129 29131 29137 29147 29153 29167 29173 29179 29191 29201 29207 29209 29221 29231 29243 29251 29269 29287 29297 29303 29311 29327 29333 29339 29347 29363 29383 29387 29389 29399 29401 29411 29423 29429 29437 29443 29453 29473 29483 29501 29527 29531 29537 29567 29569 29573 29581 29587 29599 29611 29629 29633 29641 29663 29669 29671 29683 29717 29723 29741 29753 29759 29761 29789 29803 29819 29833 29837 29851 29863 29867 29873 29879 29881 29917 29921 29927 29947 29959 29983 29989
pascal su;l
var
a,b,c:longint;
begin
for a:=2 to 30000 do
begin
for b:=2 to a-1 do
if a mod b=0 then c:=1;
if c=0 then write(a);
end;
end.
编程求101~1000内素数的C语言代码:
#include "Stdio.h"
#include "math.h"
int main(void)
{
int m,i,k,n=0;
for(m=101;m<=1000;m=m+2)
{
k=sqrt(m);
for(i=2;i<=k;i=i+2)
if(m%i==0)
break;
if(i>=k+1)
{printf("%d ",m);
n=n+1;}
if(n%10==0 )
printf("\n");
}
}
孪生素数表及pascal程序
（3 5）（5 7）（11 13）（17 19）
（29 31）（41 43）（59 61）（71 73）
（101 103）（107 109）（137 139）（149 151）（179 181）（191 193）（197 199）（227 229）（239 241）（269 271）（281 283）（311 313）（347 349）（419 421）（431 433）（461 463）program ss;
var
a,b,n,c:longint;
begin
for a:=3 to 1000 do
begin
for n:=2 to a-1 do
if a mod n=0 then c:=1; if c=0 then
begin
b:=a+2;
for n:=2 to b-1 do
if b mod n=0 then c:=1; if c=0 then writeln(a,b:7); end;
end;
end.
如何证明形如4n3的素数有无限多个文档3篇
Word格式 I A4打印 I 内容可修改 如何证明形如4n3的素数有无限多个文档3篇 How to prove that a prime number of form 4n3 has infin ite documents 编订：JinTai College
如何证明形如4n3的素数有无限多个文档3篇 前言：证明书是根据确实的材料判明人或事物的真实性书面证明。本文档根据证明书内容要求和特点展开说明，具有实践指导意义，便于学习和使用，本文下载后内容可随意调整修改及打印。 本文简要目录如下：【下载该文档后使用Word打开，按住键盘Ctrl键且鼠标单击目录内容即可跳转到对应篇章】 1、篇章1：证明形如4n+3的素数有无限多个文档 2、篇章2：论文：关于素数有无穷多个的证明文档 3、篇章3：素数有无穷多个的几个证明文档 篇章1:证明形如4n+3的素数有无限多个文档 四、证明题（每小题10分，3题共30分） 1.证明：形如4n+3（n为非负整数）的素数有无限多个. 证明：用反证法 若形如4n3的素数为有限个，设为p1,p2,pk.（整个证明的思想是用反正法，先设形如4n+3的素
数只有有限个，设为p1,p2,pk，再找到4n+3形式 的数p,并且这个p是不等于p1,p2,pk的，这样就与 我们假设的有限个就矛盾了） 令q4p1p2pk14（p1p2pk1）3，（现在构造一个数q，通 过变形我们知道q也是4n+3 形式的数，显然qpi,i1,2,.....k（若相等则有 （4p1p2pi1pi1pk1）pi1，这不可能），若q已经为 素数，就找到了不等于p1,p2,pk的素数q，定理已 经得证，若q不是素数，我们考虑它的素因数，在 下面的步骤） 显然pi都除不尽q.（反证法，若能除尽，即piq，而由 上面可知14p1p2pkq，则有pi1，矛盾）若q为素数，而qpi，i1,2,.....k，定理已经得证.（这个结论上面的注已经说明）现在考察q不是素数，那么它必有素因数（一个数能分 解为若干素数的乘积）（4l1）（4m1）4（4lmlm）14u1， （此式子说明4n+1形式的乘积还是4n+1的形式）而q一定 不能全是4n1形式素因数，
论文：关于素数有无穷多个的证明
关于素数的一个定理的证明 王鑫 (渭南师范学院 数学与信息科学系 陕西 渭南 714000) 摘要：有关于素数的个数是无穷多个的定理有许多的证明方法，最早的证明要见于欧几里德的名著《几何原本》第九篇的命题20中：素数的数目比以往任何指定的数目都要多，即素数有无穷多个.本文在总结前人证明的基础上用数学归纳法再次证明这一命题. 关键字：最小正约数；Fermat 数列；合数；调和级数；数学归纳法 1 引言 一个大于1的整数，除了1和它本身以外不能被其他正整数整除，就称为素数.通常用字母p q 、表示，例如1,2,3,5,7,11,13,17,???都是素数.设x 1≥,我们以()x π表示不超过x 的素数个数.不难算出 ()()x 0x 2π=< ()53π= ()104π= ()5015 π= 欧几里德的名著《几何原本》第九篇的命题20证明了: 素数的数目比以往任何指定的数目都要多，即素数有无穷多个: ()x lim x →∞ π=+∞ 这样把全体素数按大小排列就得出一个无穷数列 123n 2=p p p p <<，他的大于1的最小正约数d 必为素数. 证明 若d 不是素数,则由素数定义知,必有整数d ',使得1d 孪生素数猜想初等证明详解 齐宸 孪生素数是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13…。孪生素数猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。 素数对（p, p + 2）称为孪生素数。 孪生素数由两个素数组成，相差为2。为了证明孪生素数猜想，无数的数学家曾为之奋斗，但美丽的公主仍然犹抱琵琶半遮面。 1．孪生素数分类及无个位表示方法 孪生素数按两个素数个位不同划分3类（不包括10以下的3-5、5-7），分别是： 1、孪生素数中两个素数个位为1和3，如11-13，41-43等； 2、孪生素数中两个素数个位为7和9，如17-19，107-109等； 3、孪生素数中两个素数个位为9和1，如29-31，59-61等。 三类孪生素数中个位为1和3的第一类是我们需要重点研究的，其他两类可以忽略不计。因为只要第一类孪生素数无限，也就等价于证明了孪生素数猜想。 自有孪生素数概念以来它们就是由两个素数表示的。若是能简化成一个数字那孪生素数猜想这一世界数学难题也许就向前迈进了一步。无论这一步是一小步，还是一大步。但毕竟能将两个素数组成的孪生素数降格成了像素数那样的单个数字。 分析一下个位为1和3的这一类孪生素数，如41-43这对孪生素数。首先，分别去掉个位1和3后，可以看到剩下了两个数字4和4。用这两个数字完全可以表示一对孪生素数，当然我们心里要想着在这两个数字后面是有个位1和3的。其次，这两个去掉个位的数字又是完全相同的，都是一个数字“4”。这样也就完全可以用一个数字“4”来表示一对孪生素数，也可以说4是一个单数字无个位孪生素数。当然表面上看只有第一类、第二类孪生素数可以用一个数字表示（实际上第三类也可以）。 为什么一定要去掉个位呢？ 可将自然数变成互为补集的两类：孪生素数和非孪生素数。并利用一种简单的筛法，将自然数中的非孪生素数及其补集孪生素数分开。而且这个筛法所要得到的是非孪生素数。并用非孪生素数证明孪生素数猜想。 自然数分成互补的孪生素数与非孪生素数，这是一种新的观点。恐怕没有人相信这种新奇的想法，但这是可以实现的。而且还可以将自然数分成互补的四胞胎素数与非四胞胎素数等。 1、证明素数为无限的 用反证法证明。假设素数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1,p2,...,pn，则x = (p1·p2·...·pn)+1 显然是不能被p1,p2,...,pn中的任何一个素数整除的，因此x也是一个素数，这和只有n个素数矛盾，所以素数是无限多的。 2、针对RSA的攻击 潜在攻击的分类： （1）因数分解攻击(Factorization Attack) RSA的安全性基于这么一种想法，那就是模要足够大以至于在适当的时间内把它分解是不可能的。乙选择p和q，并且计算出n = p×q。虽然n是公开的，但p和q是保密的。如果甲能分解n并获得p和q，她就可以计算出。然后，因为e是公开的，甲还可以计算出。私密指数d是甲可以用来对任何加密信息进行解密的暗门。 有许多种因数分解算法，但是没有一种可以分解带有多项式时间复杂度的大整数。为了安全，目前的RSA要求n必须大于300个十进制数位，这就是说模必须最小是1024比特。即使运用现在最大最快的计算机，分解这么大的整数所要花费的时间也是不可想象的。这就表明只要还没有发现更有效的因数分解算法，RSA就是安全的。 （2）选择密文攻击(chosen-Ciphertext attack) 针对RSA的潜在攻击都基于RSA的乘法特性，我们假定丙创建了密文C = Pe mod n并且把C发送给乙。我们也假定乙要对甲的任意密文解密，而不是只解密C。甲拦截C并运用下列步骤求出P： (1) 甲选择中的一个随机整数X。 (2) 甲计算出。 (3) 为了解密甲把Y发送给乙并得到；这个步骤就是选择密文攻击的一个例子。 (4) 甲能够很容易地得到P，因为 甲运用扩展的欧几里得算法求X的乘法逆，并最终求得。 （3）对加密指数的攻击 为了缩短加密时间，使用小的加密指数e是非常诱人的。普通的e值是e = 3(第二个素数)。不过有几种针对低加密指数的潜在攻击，在这里我们只作简单的讨论。这些攻击一般不会造成系统的崩溃，不过还是得进行预防。为了阻止这些类型的攻击，我们推荐使用 (或者一个接近这个值的素数)。 Coppersmith定理攻击：主低加密指数攻击称为Coppersmith定理攻击(Coppersmith theorem attack)。该项定理表明在一个e阶的modulo-n多项式f(x)中，如果有一个根小于n1/e，就可以运用一个复杂度log n的算法求出这些根。这个定理可以应用于C = f (P) = Pe mod n的RSA密码系统。如果e = 3并且在明文当中只有三分之二的比特是已知的，这种算法可以求出明文中所有的比特。 广播攻击：如果一个实体使用相同的低加密指数给一个接收者的群发送相同的信息，就会发动广播攻击(broadcast attack)。例如，假设有如下的情节：丙要使用相同的公共指数e = 3和模给三个接收者发送相同的信息。 对这些等式运用中国剩余定理，甲就可以求出形式的等式。这就表明。也表明是在规则算法中(不是模算法)。甲可以求出 的值。 相关信息攻击：相关信息攻击(related message attack)是由Franklin Reiter提出来的，下面我们就简单描述一下这种攻击。丙用e = 3加密两个明文P1和P2，然后再把C1和C2发送给乙。如果通过一个线性函数把P1和P2联系起来，那么甲就可以在一个可行的计算时间内恢复P1和P2。 短填充攻击：短填充攻击(short pad attack)是由Coppersmith提出来的，下面我们就简单描述一下这种攻击。丙有一条信息M要发送给乙。她先用r1对信息填充，加密的结果是得到了C1，并把C1发送给乙。甲拦截C1并把它丢掉。乙通知丙他还没有收到信息，所以丙就再次使用r2对信息填充，加密后发送给乙。甲又拦截了这一信息。甲现在有C1和 C2，并且她知道C1和C2都是属于相同明文的密文。Coppersmith证明如果r1和r2都是短的，甲也许就能恢复原信息M。 （4）对解密指数的攻击 1001 害死人不偿命的(3n+1) 猜想（15 分 对任何一个正整数n，如果它是偶数，那么把它砍掉一半；如果它是奇数，那么把(3n+1)砍掉一半。这样一直反复砍下去，最后一定在某一步得到 n=1。卡拉兹在1950年的世界数学家大会 上公布了这个猜想，传说当时耶鲁大学师生齐动员，拼命想证明这个貌似很傻很天真的命题，结果闹得学生们无心学业，一心只证 (3 n+1) ，以至于有人说这是一个阴谋，卡拉兹是在蓄意延缓美国数学界教学与科研的进展?? 我们今天的题目不是证明卡拉兹猜想，而是对给定的任一不超过1000的正整数n，简单地数一下，需要多少步（砍几下）才能得到n=1？ 分析：输入一个正整数 n 进行循环， n=1 循环截止 , 判断 n, 如果它是偶数，那么把它砍掉一半； 如果它是奇数，那么把 (3 n+1) 砍掉一半。这样一直反复砍下去，最后一定在某一步得到 n=1， 并计算经过的次数m。 #include"stdlib.h" #include"stdio.h" int main() { int n,m; m=0; scanf_s("%d",&n); while(n!=1) { if(n%2==0) { n=n/2; } else { n=(3*n+1)/2; } m++; } printf_s("%d\n",m); system("pause"); } 1002 写出这个数（20分） 读入一个正整数n，计算其各位数字之和，用汉语拼音写出和的每一位数字。 分析：输入一个正整数n， while循环求出n的各位数字之和sum；如果 sum 等于 0，那么就输出它的拼音”ling ”；如果不等于0，输入数组 b 存放各位数字之和，在switch对这个数组进行判断数组 b 各个数的数值为多少，0 对应 "ling"; 1 对应 "yi";2:对应<"er";3对应"san";4对应"si";5对应"wu";6对应"liu";7对应"qi";8对应 "ba";9对应"jiu"; 素数是无限的，这已经是大家非常熟悉的数学常识了。而且证明的方法也存在好几种，这里不再赘述。下面介绍本人发现的一种证明素数无限的方法。不过估计支持的不多，反对的不会少。愿大家多提意见。 大家知道素数就是只能被自己和“1”整除的数字。而XY（X>1,Y>1）计算出的数字就一定是合数。而且所有的合数都可以由这个公式计算得到。因此凡是由公式计算的数字就一定是合数，而剩余的数字就一定是素数。根据这一公式就可以筛选素数，当然这种筛法一定是所有素数筛法中最笨的一种。我们不妨展开这个简单的合数公式，看看结果。 当X=2时，Y取2、3、4......时，计算结果是：4、6、8、10....... 当X=3时，Y取2、3、4......时，计算结果是：6、9、12、15....... 当X=4时，Y取2、3、4......时，计算结果是：8、12、16、20、....... .... ..... .............. 在20以内，XY的计算结果占据了4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20这些位置，剩余的2、3、5、7、11、13、17、19这些合数公式放弃的位置就是素数（特殊数字1除外）。 大家可以看到，这是一组特殊的等差数列，正常部分是每一行都是一个可以向右无限延伸的等差数列，特殊部分是每一个数列中的项在列的方向上也组成了等差数列。这个是非常重要的，它是进一步证明素数无限的关键。可以说头两行数列的头两个项4、6、9这3个数字决定了所有的素数、合数的位置。向这样的等差数列还有很多，比如2、4、7这组也可组成类似的等差数列。还有：（3、5、8）；（5、7、10）；（6、8、11）等等，甚至（154、156、159）这样的数字组合也具有近似的性质。而只有4、6、9这组组合会形成素数、合数。所有的这些组合各自的计算结果大致在数轴头100个数字中大约占据75个位置，并剩余25个左右的空位。当然只有4、6、9这组组合剩余的25个空位是素数。而（154、156、159）这组组合要从数轴中的154开始到253结束，它也是剩余25个左右的空位。这些组合也许可以用于加密工作中。 4、6、9这3个数字决定了所有的素数、合数的位置。因此素数不是我们想象的那样飘忽不定，随意出现在数轴中的任意位置上，可以说它是被捆绑在合数放弃的位置上。还是观察4、6、9这3个数字形成的等差数列。 图中蓝色部分是20以内的素数产生过程。自第1行到第9行共9个等差数列。它们决定了20以内的素数。自第1行到第19行共19个等差数列可以产生40以内的素数。 奇异的素数规律现象（一） 江苏省南通市崇川区张忠(言) 在对素数规律的探索中, 我发现了一些令人难以置信的奇异现象如下: 现象一现利用某一确定的规则给出模2x3x5x7的两个最小非负剩余集: B={1,29,41,47,163,169,181,209.}, Y={0,12,18,30,42,60,72,102,108,138,150,168,180,198.} 则可发现以下两种情况: 情况甲: 1) 当b-y>0时: b-y与b+y是和为偶数2b的一对模210的简化剩余(类); 2) 当b-y>1,b+y<121时: b-y与b+y是和为偶数2b的一对奇素数. 例:59-0与59+0; 59-12与59+12;...59-48与59+48 都是和为偶数2b=118的一对奇素数. 等等,等等. 情况乙: 1)当y-1>0时: y-1与y+1为模210的孪生简化剩余(类). 2)当y-1>0且y+1<121时: y-1与y+1为孪生素数.例: 12-1与12+1; 18-1与18+1; 30-1与30+1; 42-1与42+1; 60-1与60+1 72-1与72+1 102-1与102+1 108-1与108+1 都是孪生素数. 现象二现仍用上面确定的同一规则给出模2x3x5x7的两个最小非负剩余集: B={2,58,68,82,128,142152,208.}, Y={15,21,39,45,69,81,99,105.} 则可发现以下情况: 情况甲: 1) 当b-y>0时: b-y与b+y是和为偶数2b的一对模210的简化剩余(类); 2) 当b-y>1,b+y<121时: b-y与b+y是和为偶数2b的一对奇素数. 情况乙 1) 当y-1>0时: y-2与y+2为模210的相差为4的一对简化剩余(类). 2)当y-2>0且y+2<121时: y-2与y+2为一对相差为4的素数.例: 15-2与15+2; 21-2与21+2; 39-2与39+2; ...105-2与105+2. 都是相差为4的素数对. 敬请各位老师指教! ... ... (未完待续!) 素数是无穷多的：从历史到数学教育的四种证法 GIORGIO T. BAGNI 数学系 罗马第一大学 摘要：数学教育历史的运用和带有历史元素的教学，学习过程有很大联系.在这里为了得到历史数据对数学教育的有效及正确的运用，我们主要讨论一些相关数学主题中关于数学历史分析的认识论问题.特别的，我们提出了一些理论体系并且强调了正确的社会和历史情境化地重要性.最后，我们列出不同时期的数学家为证明同一问题而提出的不同理论体系，并且我们对这些数学家的不同策略做出了比较. 1.历史和教学法：理论体系 将历史融于数学，这关系到那些总是带有历史性和认识性问题的心理过程（Radford, Boero & Vasco, 2000）.它是数学研究以及其是否开放的重要课题(Fauvel & van Maanen, 2000). 关于历史和数学之间的相互关系，我们可以从不同层面来考虑：为了加强学生的学习信念，趣闻轶事介绍是很有用的.层次高的还能引出各学科之间的关系以及元认识的可能性(Furinghetti & Somaglia, 1997).这些层面不仅仅是反映实际教育问题，而且意味着重要的认识论假设(Radford, 1997)：例如，历史数据的选取是和认识论相关的，而基于我们的文化结构和信念，一些问题总是和她们的解释一起被我们考虑到(Gadamer, 1975). 从历史的观点来看，数学家在执行解决问题或证明的步骤中经常会碰到一些新的概念，而这些概念将会在若干年或若干世纪后被理论化，并且最后它的形式会被我们认为是真正的数学模型(Giusti, 1999).而在教育领域内我们也可以指出类似的演化：通常一个新的概念第一次被接触是在炒作、执行步骤当中.A. Sfard 指出抽象数学的发展，可以被认为是新产品被理解被接受的过程.(Sfard, 1991; Slavit, 1997) 历史发展和认识过程的相似使我们开始考虑认识论的问题：通过不可避免的错误、障碍克服、关键再向将历史作为一种路径，轨迹而最终引出现代理论是否正确？那么社会和文化又在历史时期扮演怎样的角色呢？而克服这种只进化观点是有必要的：由古典目的论的观点可知只是不是绝对的，正如我们所预见的它最终会被文化机构方面理解(Radford, 1997). 让我们介绍一些简单的理论体系. 根据认识论障碍的观点(Brousseau, 1983)，学习历史的目的是为了寻找制度约束，而这些制度约束的学习是为了让我们能理解已经存在的知识，他们的方法是连接到他们的解决方案的(Radford, Boero & Vasco 2000,p. 163).障碍显然可以分为认识论、个体发展、教学和文化(Brousseau, 1989)，并且这种分发指出知识领域是和其他领域隔绝的这一观点的特点是是他知识论的假设(Radford,1997).这种情况在数学中再现，数学家遇到了和以前数学家同样的障碍：学生获得知识的隔绝的方法，缺乏师生互动及生生互动(Brousseau, 1983). 上诉观点所支持的认识论观点是相关的，在这里我们再次强调现如今我们看待历史事件而不带有现代观点影响是不肯能的(Gadamer, 1975)；所以我们不得不考虑下述困难：我们是否应该为了避免历史对过去观念的污染而否决历史的参考和教育作用？否则我们只需只需接受我们现代的观点，并考虑到当我们回顾过 1001害死人不偿命的(3n+1)猜想(15 分 对任何一个正整数n,如果它就是偶数,那么把它砍掉一半;如果它就是奇数,那么 把(3n+1)砍掉一半。这样一直反复砍下去,最后一定在某一步得到n=1。卡拉兹在 1950 年的世界数学家大会上公布了这个猜想,传说当时耶鲁大学师生齐动员,拼命想证明这个貌似很傻很天真的命题,结果闹得学生们无心学业,一心只证(3n+1),以至于有人说这就是一个 阴谋,卡拉兹就是在蓄意延缓美国数学界教学与科研的进展…… 我们今天的题目不就是证明卡拉兹猜想,而就是对给定的任一不超过 1000 的正整数n,简 单地数一下,需要多少步(砍几下)才能得到n=1？ 分析:输入一个正整数n进行循环,n=1循环截止,判断n,如果它就是偶数,那么把它砍掉一半;如果它就是奇数,那么把(3n+1)砍掉一半。这样一直反复砍下去,最后一定在某一步得 到n=1,并计算经过的次数m。 #include"stdlib、h" #include"stdio、h" int main() { int n,m; m=0; scanf_s("%d",&n); while(n!=1) { if(n%2==0) { n=n/2; } else { n=(3*n+1)/2; } m++; } printf_s("%d\n",m); system("pause"); } 1002写出这个数(20 分) 读入一个正整数n,计算其各位数字之与,用汉语拼音写出与的每一位数字。 分析:输入一个正整数n, while循环求出n的各位数字之与sum;如果sum等于0,那么就输出它的拼音”ling”;如果不等于0,输入数组b存放各位数字之与,在switch对这个数组进行判断数组b各个数的数值为多少,0对应"ling"; 1对应"yi";2:对应<"er";3对应"san";4对应"si";5对应"wu";6对应"liu";7对应"qi";8对应"ba";9对应"jiu"; 一、选择题 1．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想是一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，素数对(,2)p p +称为孪生素数对，问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积超过20的概率为（ ）． A ． 23 B ． 34 C ． 45 D ． 56 2．某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良； 100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ） A ．35 B ．1180 C ．119 D ．56 3．某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A 至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（ ） A ．0.23 B ．0.2 C ．0.16 D ．0.1 4．一道竞赛题，A ，B ，C 三人可解出的概率依次为1 2，13，14 ，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（ ） A ． 1 24 B ． 1124 C ．1724 D ．1 5．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a ，则函数()2 24 f x x ax =++至多有一个零点的概率为（ ） A ． 13 B ． 12 C ． 23 D ． 56 6．设两个独立事件A 和B 同时不发生的概率是p ,A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同,则事件A 发生的概率为( ) 第1章前言 质数在研究整数的过程中占有一个很重要的地位，它被称为自然数的“建筑的基石”．虽然有很多数学家和学者致力于对它的研究，但成果并不显著，仍有许多问题有待解决．例如，哥德巴赫猜想困扰了人们几百年，有很多数学家对它进行了多年的研究但并没有得到解决．我国数学家陈景润的“陈氏理论”是迄今为止世界上关于哥德巴赫猜想研究的最好成果．这一成果给后人很大鼓舞，似乎离最后结果仅一步之遥，但仍一直无进展．梅森质数是数论研究的一项重要内容，研究梅森质数具有重大的意义，也是当今科学探索的热点和难点之一．随着现代科学技术的迅速发展，也加快了对质数的研究．运用计算机能够较快的计算某自然数是否是质数，知道在某范围内质数的分布情况．由于质数的无穷性，要想计算更大的质数仅有计算机还远远不够，还需要有更高的理论要求．同时，质数在加密和解密技术中的应用有了更高的要求，求尽可能大的质数和大数分解引起了通讯界和数学界的极大兴趣．另外，质数在奥数中也屡屡出现，技巧性非常强，可以锻炼和提高学生的思维．所以有必要对质数的相关问题进行阐述． 本文着重介绍质数相关问题，能够使读者形象、直观地目睹质数分布规律，了解有关质数问题． 首先，在质数基本知识中介绍质数的定义、性质及算术基本定理，并讨论判定质数的两个定理一个是威尔逊定理和另一个判定定理； 其次，研究质数个数问题，质数分布问题，得到质数个数有无穷多个，在某两个自然数之间大约有多少质数和两个相邻质数的间隙可以任意大等结论．还介绍用幼拉脱斯展纳筛法和质数辐射法来求从1到某自然数n之间所有的质数，进而分析质数的分布问题，并讨论它们的区别； 最后，介绍有关质数的著名问题，如费马质数是否有有限，梅森质数是否有无穷多个，什么是孪生质数，并用聚数来研究孪生质数对一些性质，哥德巴赫猜想的由来、研究意义等问题，以及它们理论的推广与应用． 素数史简介（第一课时） 教学目标： 1.了解什么是素数 2.了解关于素数无穷多个欧几里得证明 3.了解孪生素数的相关知识 教学过程： 一、什么是素数？ 素数是指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。素数在数论中有着很重要的地位。 最小的素数是2，也是素数中唯一的偶数（双数）；其他素数都是奇数（单数）。质数有无限多个，所以不存在最大的质数。 围绕著素数存在很多问题、猜想和定理。著名的有孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。 素数序列的开头是这样的： 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37， 41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89， 97，101，103，107，109，113 二、素数无穷性的证明 1.素数是否是无穷的呢？答案是肯定的最经典的证明由欧几里得证明在他的几何学原本中就有记载，虽然过去了2000多年但是至今仍然闪烁着智慧的光辉！证明如下假设素数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1,p2,...,pn，设x = (p1·p2·...·pn)+1 如果x是合数，那么它被从p1,p2,...,pn中的任何一个素数整除都会余1，那么能够整除x的素数一定是大于pn素数，而如果说x是素数因为x>pn仍然和pn是最大的素数前提矛盾。因此说如果素数是有限个那么一定可以证明存在另一个更大素数在原来假设的素数范围之外，所以说素数是无限个的。 2.欧几里得对素数无穷性的证明。 人类在正整数领域走得越远，素数将变得越来越稀少。 人们可能想，因为它们出现的频率越来越小，它们或许将在某处终止。早在公元前约300年时，欧里几得第一次证明了素数是无穷的。他用的是如下的间接论证： 设n代表最后一个素数。 ▲ 现在，从所有素数直至并包含最后素数n的积得出数 2×3×5×7×11×……×n。 ▲ 将这个积加1，称这数为k。k=2×3×5×7×11……×n+1。 ▲ k是素数！ 假使k不是素数，那末我们用来得出上述积的素数表中一定漏掉了一个素数。我们知道2，3，5，2，11，…，n中的任何数来除时，总余下1。因此k必然是一个新的素数。所以素数是无穷的。 三、什么是孪生素数？ 孪生素数指的就是这种间隔为 2 的相邻素数，它们之间的距离已经近得不能再近了，就象孪生兄弟一样。最小的孪生素数是 (3, 5)，在 100 以内的孪生素数还有 (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) 和 (71, 73)，总计有 8 组。但是随着数字的增大，孪生素数的分布变得越来越稀疏，寻找孪生素数也变得越来越困难。 压力式喷雾干燥塔各主要工艺 控制参素数对产品质量的影响 廖庆禄 （福建杨振华851生物科技股份有限公司，福建福州350015）摘要：通过对GNT～101型压力式喷雾干燥塔使用时各控制参素数的分析，指出喷雾过程各主要控制参素数对产品质量有着不同的影响，并探讨了他们之间的相互关系，明确了当某个参数发生变化，其它参数也应做相应调整，以及对于不同品种控制参数是不同的，应根据实验总结出不同的控制参数要求。 喷雾干燥是液体工艺成形和干燥工业中最广泛应用的工艺。最适用于从溶液、乳液、悬乳液和可泵性糊状液体原料中生成粉状、颗粒状或块状固体产品。在制药工业中，喷雾干燥常用于对中药提取浓缩液的干燥，药品生产中，通常对药粉的颗粒大小分布、残留水份含量、堆积密度和颗粒形状色泽有着不同的要求。要想达到要求就需对喷雾干燥过程各控制参数对产品质量的影响加以分析。目前所使用的喷雾干燥器主要有压力式、气流式、和离心式三种。压力式喷雾干燥器（又称喷雾干燥塔）在生产中使用最普遍。压力式喷雾干燥器的产品成微粒状，一般平均粒度可达150-200um左右，产品有良好的流动性、润湿性、润滑性等应用性能，所以深受用户的欢迎。【1】本文即以作者所在单位使用的上海乳品机械厂生产的GNT～101型压力式喷雾干燥塔为例进行探讨。 1 工作原理 本设备为立式压力喷雾干燥器，物料由高压均质泵经高压管由塔顶均风器中间喷入塔内，经喷头雾化呈70-80度雾化角的雾滴，雾滴与相对湿度很低，经过过滤和加热的再经均风器进入的热风接触，二者瞬间发生强烈的热交换和质交换；热风的热能供给雾滴使其水分蒸发，并干燥成含水分合乎要求的粉粒，蒸发出 来的水分被热风带走，通过袋过滤器由排风机排入大气。其中大部分产品落至塔体圆锥部分，由震锤震落至出粉口连续排至接粉桶（袋）。 2 工作特点 （1）干燥速度快，料液经雾化后表面积大大增加，在热风气流中，瞬间就可蒸发92%-98%的水分，完成干燥时间仅需数秒钟，特别适用于热敏性物料的干燥。该型号设备水分蒸发量为70公斤/小时。 （2）产品具有良好的均匀度、流动性和溶解性，产品纯度高，质量好。 （3）生产过程简化，操作控制方便。对于湿含量40-80%（特殊物料可达90%）的液体能一次干燥成粉粒产品，干燥后不需要粉碎和筛选，减少生产工序，提高产品纯度。对产品粒径、松密度、水份，在一定范围内可通过改变操作条件进行调整，控制和管理都很方便。 （4）适用于热敏性和非热敏性物料的干燥，适用于水溶液和有机溶剂物料的干燥，原料液可以是溶液、泥浆、乳浊液、糊状物或融熔物等均可处理。 （5）喷雾干燥的缺点主要是投资费用比较高和喷雾干燥属于对流型干燥器，热效率比较低（除非利用非常高的温度），一般为30%～40%。【2】 3 生产过程各主要控制工艺参数对产品质量的影响 喷雾干燥过程需要密切注意操作参数的变化，以便生产出符合一定要求的干燥产品。生产过程的每个阶段都能对干燥产品的性能产生一定程度的影响。如雾化方法和料液性质将确定产品的粒度分布、松密度、外观和湿含量。雾滴与空气的接触、干燥室的设计以及实际的干燥操作情况将确定产品的松密度、湿含量、易碎性、口味和活性的保持。在实际生产中，对于特定设备而言，，主要对料液中固含量、料液温度、进风温度、塔内温度、排风温度、塔内真空度、雾化压力和进料速度这几个参数进行控制。3.1 料液中固含量 如何证明形如4n3的素数有无限多个 篇一：证明形如4n+3的素数有无限多个 四、证明题（每小题10分，3题共30分） 1.证明：形如4n+3（n为非负整数）的素数有无限多个. 证明：用反证法 若形如4n3的素数为有限个，设为p1,p2,pk.(整个证明的思想是用反正法，先设形如4n+3的素 数只有有限个，设为p1,p2,pk，再找到4n+3形式 的数p,并且这个p是不等于p1,p2,pk的，这样就与 我们假设的有限个就矛盾了) 令q4p1p2pk14(p1p2pk1)3，（现在构造一个数q，通过变形我们知道q也是4n+3 形式的数，显然qpi,i1,2,.....k（若相等则有 (4p1p2pi1pi1pk1)pi1，这不可能），若q已经为 素数，就找到了不等于p1,p2,pk的素数q，定理已 经得证，若q不是素数，我们考虑它的素因数，在 下面的步骤） 显然pi都除不尽q.（反证法，若能除尽，即piq，而由上面可知14p1p2pkq，则有pi1，矛盾）若q为素数，而qpi，i1,2,.....k，定理已经得证.（这个结论上面的注已经说明） 现在考察q不是素数，那么它必有素因数（一个数能分解为 若干素数的乘积） (4l1)(4m1)4(4lmlm)14u1，（此式子说明4n+1形式的乘积还是4n+1的形式）而q一定不能全是4n1形式素因数，一定还有4n3形式的素因数p，（因为q也是4n+3的形式，若全是4n+1的形式， 它们的乘积得不到4n+3的形式，故一定还有 4n3 形式素因数p. 由假设知q是奇数，它的因 数肯定都是奇数，所以它的因数要么是4n+1的形 式，要么是4n+3的形式，不可能是4n+2与4n+4 的形式（因为这两个还是偶数）） 且不是p1,p2,pk中的一个，与假设矛盾. （前面已经证明pi 都除不尽q，而p是q的因数， 因此p能整除q，故p不是p1,p2,pk中的一个） 故形如4n3的素数有无限多.（一开始我们假设的是有限个，k 个，而现在我们 找到了不等于p1,p2,pk的其它的4n+3形式的素 数p，顺环往复，这说明有限个的假设不正确， 故形如4n+3的素数有无限多个） 注：主要步骤就是黑字的部分，后面的彩色的字是我做的注解，做题目的时候可以不写。 篇二：论文：关于素数有无穷多个的证明 摘要：有关于素数的个数是无穷多个的定理有许多的证明方 姓名：朱海英 学号：201415010124 班级：师范一班 专业：数学与应用数学指导教师：王宏仙 素数的性质及研究 一、素数定义 一个整数a≠0，它的所有倍数为：qa，q=O，±1，±2??这个集合是完全确定的。零是所有非零整数的倍数。对于一个整数b≠O，显然±1，±b一定是b的约数,它们称为b的显然约数,b的其它约数(如果有的话)称为b的非显然约数。由显然约数的定义引出素数的定义。定义：设整数P≠0，±1，如果它除了显然约数±1，±P外没有其它的约数，那么，P就称为素数，若a≠0，±1，且，不为素数，则a 为合数。本文所说的素数均为正数。我们已定义了素数的定义，下面我们来介绍素数的性质。 二、素数的性质 性质1：若P为素数，?a∈Z，则pla或(p，a)=1。 证：设(p，a)=d，则有dlp，又P为素数．∴d=l或P，即(P，a)=1或Pla。 性质2：设p>l，P∈Z，?a,b∈Z，若plab，则pla或plb?p为素数。证：“?”，p>1，P∈Z，设P为合数，则p=cd(1 ∈Z，有sp+at=1．∴sbp+abt=b．∴plb。同理可得，pla。 性质3：相邻两素数比值的极限为1，即lim n→∞P n P n+1 =1,P n为第n 个素数。由性质3得出推论1。 推论1：m为正整数，a为任意正整数，P r表示不大于m a的最大的素 数，则有lim n→∞m a P r =1. 证：由于素数无限，m→∞ 时，P r→∞ ，用P r+1表示大于m a的第一个素数，则有P r+1>m a，则 有1≤m a P r ≤P r+1 P r ,由性质3可得，lim n→∞P r+1 P r =1，故lim n→∞m a P r =1, 命题得证。 素数具有上述几个基本性质，下面来探讨素数的其它性质与定理。 定理1：大于2(5除外)的素数的4次方个位数字必为1。 证：p为素数，且p>2(5除外)，则P的个位数字必为1，3，7或9。(10n+4)4≡1(mod10)n∈Z+ (10n+3)4≡1(mod10)n∈Z+ (10n+7)4≡1(mod10)n∈Z+ (10n+9)4≡1(mod10)n∈Z+ 数学对于计算机的重要性 可能有很多朋友在网上看过google公司早几年的招聘广告，它的第一题如下了:{first 10-digit prime found in consecutive digits e}.com，e中出现的连续的第一个10个数字组成的质数。据说当时这个试题在美国很多地铁的出站口都有大幅广告，只要正确解答了这道题，在浏览器的地址栏中输入这个答案，就可以进入下一轮的测试，整个测试过程如同一个数学迷宫，直到你成为google的一员。 又如Intel某年的一道面试题目:巴拿赫病故于1945年8月31日。他出生年份是他在世某年年龄平方减去这年年龄的差，问:他是哪年出生的?这道看似很简单的数学问题，你能不能很快地解答呢? 下面则是一道世界第一大软件公司微软的招聘测试题:中间只隔一个数字的两个素数被称为素数对，比如5和7，17和19，证明素数对之间的数字总能被6整除(假设这两个素数都大于6)，现在证明没有由三个素数组成的素数对。这样的试题还有很多很多，这些题目乍初看上去都是一些数学问题。但是世界上一些著名的公司都把它们用于招聘测试，可见它们对新员工数学基础的重视。数学试题与应用程序试题是许多大型软件公司面试中指向性最明显的一类试题，这些试题就是考察应聘者的数学能力与计算机能力。 某咨询公司的一名高级顾问曾说:微软是一家电脑软件公司，当然要求其员工有一定的计算机和数学能力，面试中自然就会考察这类能力。微软的面试题目就考察了应聘人员对基础知识的掌握程度、对基础知识的应用能力，甚至暗含了对计算机基本原理的考察。所以，这样的面试题目的确很“毒辣”，足以筛选到合适的人。 四川大学数学学院的曹广福教授曾说过:“一个大学生将来的作为与他的数学修养有很大的关系”。大学计算机专业学生都有感触，计算机专业课程中最难的几门课程莫过于离散数学、编译原理、数据结构，当然像组合数学、密码学、计算机图形学等课程也令许多人学起来相当吃力，很多自认为数据库学得很好的学生在范式、函数依赖、传递依赖等数学性比较强的概念面前感到力不从心，这些都是因为数学基础或者说数学知识的缺乏所造成的。 数学是计算机的基础，这也是为什么考计算机专业研究生数学都采用最难试题(数学一)的原因，当然这也能促使一些新的交叉学科如数学与应用软件、信息与计算科学专业等飞速发展。许多天才程序员本身就是数学尖子，众所周知，BillGates的数学成绩一直都很棒，他甚至曾经期望当一名数学教授，他的母校——湖滨中学的数学系主任弗雷福?赖特曾这样谈起过他的学生:“他能用一种最简单的方法来解决某个代数或计算机问题，他可以用数学的方法来找到一条处理问题的捷径，我教了这么多年的书，没见过像他这样天分的数学奇才。他甚至可以和我工作过多年的那些优秀数学家媲美。当然，比尔也各方面表现得都很优秀，不仅仅是数学，他的知识面非常广泛，数学仅是他众多特长之一”。影响一代中国程序人的金山软件股份有限公司董事长求伯君当年高考数学成绩满分进一步说明了问题。很多数学基础很好的人，一旦熟悉了某种计算机语言，他可以很快地理解一些算法的精髓，使之能够运用自如，并可能写出时间与空间复杂度都有明显改善的算法。 程序设计当中解决的相当一部分问题都会涉及各种各样的科学计算，这需要程序员具有什么样的基础呢?实际问题转换为程序，要经过一个对问题抽象的过程，建立起完善的数学模型，只有这样，我们才能建立一个设计良好的程序。从中我们不难看出数学在程序设计领域的重要性。算法与计算理论是计算机程序设计领域的灵魂所在，是发挥程序设计者严谨，敏锐思维的有效工具，任何的程序设计语言都试图将之发挥得淋漓尽致。 程序员需要一定的数学修养，不但是编程本身的需要，同时也是培养逻辑思维以及严谨的编程作风的需要。数学可以锻炼我们的思维能力，可以帮助我们解决现实中的问题。可以帮助我们更高的学习哲学。为什么经常有人对一些科学计算程序一筹莫展，他可以读懂 黎曼假设(2)素数个数公式《黎曼假设》(2)突破性解答 素数分布规则③——素数个数公式 千禧年世界数学难题之四解答 1900年希尔伯特23个问题第8题 世界数学难题解答 作者：中国数论研究者 江西景德镇 乐平林登发 (经济师) 邮箱：2208831455@https://www.360docs.net/doc/d29877203.html, 2015.7.8 ㈠前言 随着《黎曼假设》素数分布被级数筛法突破性解答，《孪生素数猜想》素数对被序号筛法突破性解答，在数论史上还有关于素数无限发展，无限延伸从0至∞的发展趋势，它们的数量计算还是渺茫，难以捉摸。 古今很多学者創造过一些计算素数个数公式，不是属于数理逻辑推导出来的，而是捕风捉影硬套产生的，所以很多公式一用就失效，目前世界上还沒有素数个数精确公式，那怕局部区域使用的也沒有，大家都在渴望，期盼着…… 当前是万民创业，万众创新时代，陷入僵局的素数分布问题应运而生，应运而解，上可顺乎天意，下和谐接地气，素数分布个数公式要出世了，古老数论将有突破性进展。 ㈡基础理论引导 自然数是素数及素数变換形态模式共同产生的混合体，六进制1633规则级数筛法揭露自然数中素数分布规则，只有在阳奇数6N+1和在阴奇数6N-1中有素数存在。 阳奇数中的素数叫阳素数，阴奇数中的素数叫阴素数，从此知道素数也有阴阳之分。 由六进制中6分解：6=1X2x3中得到1，2，3，是0号原始素数。 因此素数理念革命性改变了，素数有三种：原始素数，阳素数，阴素数。因此 素數数量精确公式： ∑全体素数分布数量个数 =∑原始素数+∑阳素数+∑阴素数。 后二种统称普通素数，1是先天性原始素数。 在阳奇数中除阳素數以外，还有阳复合“积”合数，可以用十字街规则把它筛选出来。同样在阴奇数除阴素数以外，还有阴复合“积”合数，也可以用十字街规则把它筛选出来。 这些复合“积”合数在相对区域来说数量是变化的，是动态的。随区域变化而变化，分布数量十分不均匀。所以在无数次探索中釆取以动制动求解，才符合数理逻辑。只有转换思维方法，简单而直接的答案就可能是最合理可行的。 ㈢主题： 素数分布规则③——素数个数公式 从铁路规则双轨数中结构分析： ①原始素数即0号素数1，2，3，共三个。孪生素数猜想初等证明详解
素数无限证明及对RSA攻击描述
PAT计算机能力考试乙级1-10题答案
素数的奥秘-素数
奇异的素数规律现象(一)
翻译,素数是无限多的
PAT计算机能力考试乙级110题答案
深圳市必修第二册第五单元《概率》测试卷(包含答案解析)
关于质数问题的讨论
素数史简介(1)
压力式喷雾干燥塔各主要工艺控制参素数对产品质量的影响
如何证明形如4n3的素数有无限多个.doc
素数的性质及研究
数学对于计算机的重要性
黎曼假设(2)素数个数公式