第二章群(练习附答案)

1. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算2a b a b =+o ( C )

(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律

(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律

2. 在群G 中,a G ∈, a 的阶为12, 则8a 的阶为 ( B )

(A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 6

3．在7次对称群7S 中(25)(437)π=和(13)(546)λ=, 则πλ等于（ A ）

(A) (1376524) (B) (137)(6524) (C) (65)(24137) (D) (1746253)

7. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 ( B )

(A) 1-ba , b a 1- (B) b a 1-, 1-ba (C) a b 1-, b a 1- (D) b a 1-, 1-ab

8. 设M 是正整数集, 则对任意的,a b R ∈, 下面“o ”是代数运算的是( B ) (A) b a b a

=o (B) b a b a =o (C) 2a b a b =+-o (D) 2a b ab =-o 9. 设M 是实数集, 代数运算是普通加法，下列映射是M 的自同构的是( D )

(A) 2x x → (B) sin x x → (C) x x → (D) 5x x →-

10. 在偶数阶群G 中阶等于2的元数为 ( A )

(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定

11．在5次对称群5S 中元1(15)(24)π=和2(154)π=的乘积12ππ是（ D ）

(A) (14)(25) (B) (124) (C) (152) (D) (142)

12．若群G 的阶为48, G 的真子群H 的阶不可能为 ( C )

(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 24

13．群G 中元a 的阶为24中，那么G 的循环子群9()a 的阶为 ( C )

(A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 9

21．=A {所有整数},令τ: 2a a →,当a 是偶数;2

1+→a a ,当a 是奇数.则τ为

( B )

(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换

22．若)(a G =,且a 的阶为有限整数n ,则下列说法正确的是 ( A )

(A) G 与模n 的剩余类加群同构 (B) G 的阶可能无限

(C) 元21012,,,,,---n a a a a a Λ中没有相同元 (D) G 与整数加群同构

24. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C )

(A)22a b b =o (B)b a b a

=

o (C) 22a b a ab b =-+o (D) 10a b a b +=o 25. 在群G 中, ,,a b c G ∈, 则方程xaxba xbc =的唯一解为 ( D )

(A)11abca b -- (B) 111bca a b --- (C) 111a b a bc --- (D) 111a bca b ---

26．在6次对称群6S 中123456326514π??= ???

的阶是（ A ） (A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 6

31. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =-o ( C )

(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律

(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律

32. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( A )

(A) 2a b a b =+o (B)b a b a

=o (C) a b =o 10a a b =o 33. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( D )

(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 11ba b -- (D) 1a -

34．在5次对称群5S 中1234532541π??= ???

的阶是（ B ）

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

37. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )

(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 8

40．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

2.若G 为群,,,a b c G ∈,则3211()b c a c --- 123c ac b -- .

3.循环群()a 的阶是50，则它的子群15()a 的阶是 10 . 5.n 次对称群n S 的阶为 !n .

6.假定B A ?,那么B A I A , B A Y B .

11.一个有限非可换群至少含有______ 6 ______个元素 .

14.5次对称群5S 的阶为 120 .

19.设G 是17阶群，则G 的生成元有 16 个.

28.若群的元a 的阶是15，b 的阶是8,且ab ba =, 则8a 和ab 的阶分别是 15 和 120 .

30. 若群G 的阶为60, G 的子群H 的阶为15，则H 在G 中的指数为 4 .

35. 若G 是由集合A 的全体一一变换所作成, 则G 是一个 变换 群.

1．设}4,3,2,1{=A ,则能找到A A ?到A 的一一映射. ( × )

7．有限群中存在某个元的阶无限. ( × )

1. 用循环置换的方法写出三次对称群3S 的全体元.说明集合})23(,)1({=N 是

3S 的子群,并且写出N 的所有左陪集.

解: )}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ,(2分) 因为N 是有限集合, 由

)1()1)(1(=,

)23()23)(1(=,)23()1)(23(=,)1()23)(23(=知N 是封闭的,所以N 是3S 的子群.(4分)

N 的全体左陪集为(6分):

)}23(),1{()23()1(==N N ,)}132(),12{()132()12(==N N ,

)}123(),13{()123()13(==N N

4.求出阶是32的循环群()a 的所有子群.这些子群是否都是不变子群.

解: 因为()a 为循环群,所以()a 为交换群,

又因为32的所有正整数因子为：1，2，4，8，16,36.

所以循环群()a 的所有子群为循环子群：

()a ，2()a ,4()a ，8()a ，16()a 360()(){}a a e ==.

并且这些子群都是不变子群.

7.找出对称群3S 的所有子群.

解:因为3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =，它的子群的阶只可能为：1，2，3，6.

所以它的所有子群为：

1阶子群1{(1)}H =；

2阶子群21{(1),(12)}H =，22{(1),(13)}H =，23{(1),(23)}H =；

3阶子群3{(1),(123),(132)}H =；

6阶子群3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =。

9.取对称群6S 的元1123456543216π??= ???和2123456623415π??= ???

,计算12ππ，112ππ-.

解: 1(15)(24)π=，2(165)π=，12(24)(56)ππ=, (或12123456143265ππ??= ???

) 112(15)(24)(165)(24)(56)ππ-==,（或112123456143265ππ-??= ???

）

12.求剩余类加群18Z 的所有生成元和所有子群.

解：因为剩余类加群18Z 是循环加群，

所以它的所有生成元为：[1],[5],[7],[11],[13],[17]；

所有子群为：([1]),([2]),([3]),([6]),([9]),([0]).

16.用循环置换的方法写出5次对称群5S 的元11234554321π??= ???和21234532541π??= ???

,

并计算12ππ，1212ππ-，1212πππ-.

解: 1(15)(24)π=，

2(135)π=，

12(53)(24)ππ=, (或121234514523ππ??= ???

)

1

212(35)(24)(135)(13)(24)ππ-==,（或12121234534125ππ-??= ???

） 1212(135)(35)(24)(15)(24)πππ-==. （或12121234554321πππ-??= ???

）

17.求出模48的剩余类加群48Z 的所有子群.这些子群是否是不变子群? 解: 因为48Z 为循环群,所以48Z 为交换群,

又因为48的所有正整数因子为：1，2，3，4，6，8，12，16,24，48. 所以模48的剩余类加群48Z 的所有子群为循环子群：

([1]), ([2]),([3]),([4]), ([6]), ([8]), ([12]), ([16]), ([24]), ([0]). 并且这些子群都是不变子群.

1. 设群G 中元a 的阶为n ，试证：m a e =当且仅当|n m .

证明: 必要性:

设m nq r =+, 其中,q r 为整数, 0r n ≤<,

那么有()m nq r n q r r a a a a a e +====,

由a 的阶为n 知0r =,即|n m .

充分性:

由|n m 可设m nq =, 其中q 为整数,

那么有()m nq n q q a a a e e ====,

8.若群G 的每一个元都适合方程2x e =，那么G 是交换群.

证明: 任取,a b G ∈, 可知2a e =，2b e =，2()ab e =,

所以 11,,a a b b --==

111()ab ab b a ba ---===

所以G 是交换群.

9.证明: 一个循环群必是一个交换群.

证明: 设循环群()G a =，任取,k l a a G ∈，则有

k l k l l k a a a a a +==

所以循环群G 是交换群.

12. 证明：有限群中元的阶都有限.

证明: 设G 是一个有限群，对任意的a G ∈，则元

432101234,,,,,,,,,,a a a a a e a a a a ----=L L

都是G 中元，且其中一定有相同元.

不妨设,j i a a j i =<，则有j i i i a a a a --=，即j i a e -=. 由0j i ->且为有限正整数得a 的阶为有限.

13. 证明: 阶为素数的群一定是循环群,且群中任意元都可作为群的生成元. 证明: 设G 是一个阶为素数p 的有限群,

则对任意的a G ∈,G 的循环子群123(){,,,,,}p a e a a a a =L 有p 个不同的元, 所以()G a =为循环群, 且群中任意元都可作为群的生成元.

1、设b a ,是群G 中的元素，且2||=a ，5||=b ，则10||=ab 。 (√ )

2、法则ab b a b a -+=ο不是自然数集N 上的一个代数运算。(√)

3、设集合},,2,1{n M Λ=，则M 上所有对换作成的集合是n 次对称群n S 的一个生成系。(√)

4、设M 是实数集，规定：0≥??ab b a ，则?是M 上的一个等价关系。( × )

5、交换群中任意两个子群的乘积仍是子群。(√)

7、设a 是循环群中一个元素，则>>=<

8、若||||Y X =，则X 到Y 的映射?是满射当且仅当?是单射。(×)

3、试求置换)23)(13479(1=τ，)2468)(135(2=τ，???

? ??=462157376543213τ的阶。

4、任意集合上自身到自身的映射称之为置换。(×)

5、有限群中的元素的阶一定都有限。(√)

3、在群G 中设k a =||，则对任意整数s ，=||s a 。

4、设12()k h i i i =L 是n S 的一个-k 循环，则1h -= 。

1、在5S 中，令1234523154f ??= ???，1234513452g ??= ???

，计算1fgf -。 1、设G 是交换群，0n >为整数，令{|}n H a G a e =∈=，证明：H 是G 的子群。 1、在整数集Z 中，令2a b a b =+-o 。证明：Z 关于乘法“o ”构成一个群。

4、设>=