第五章_第一节_不定积分的概念、性质.
经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、
定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分
经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)
定积分的概念同步练习题(理科)(学生版)汇编
定积分的概念同步练习题(理科) 、选择题 把区间［1,3］ n 等分，所得n 个小区间的长度均为( 将［0 , t ］ n 等分，当n 很大时，求出的s 就是S 的准确值 6.已知 3f (x )d x = 56,则( 7.已知 b f (x )d x = 6,则,b 6f (x )d x 等于( ■ a ■ a BJ Ih 丨°_12山 + 1 10 .下列命题不正确的是 ( A. 若f (x )是连续的奇函数, B. 若f (x )是连续的偶函数, I : JO)山=21汎小h C. 若f (x )在［a , b ］上连续且恒正，则 b f (x )d x >0 1 A.- n 2 B.— n 3 C. 一 n 1 D.^ 对于以v = v (t )在［0 , t ］内汽车作直线运动经过的路程 S ,下列叙述正确的是( A . 将［0 , t ］n 等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时, 求得的 s 是S 的不足估计值 B . C. 将［0 , t ］n 等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时， 将［0 , t ］ n 等分，n 越大，求出的s 近似替代S 的精确度越高 求得的 s 是S 的过剩估计值 D. 一物体沿直线运动，其速度 v (t ) = t ，这个物体在 t = 0到t = 1这段时间所走的路程为 1 B.2 C. 1 3 D.2 4.定积分'3( — 3)d x 等于( J 1 D. 5 .定积分,b f (x )d x 的大小( M a A .与f (x )和积分区间［a , b ］有关，与 E i 的取法无关 .与f (x )有关，与区间［a , b ］以及E i 的取法无关 C.与f (x )以及E i 的取法有关，与区间 [a, b ]无关 .与f (x )、区间［a , b ］和E i 的取法都有关 A. 2f (x )d x = 28 -1 B. 3f (x )d x = 28 ■ 2 C. 2 2f (x )d x = 56 1 D. ，2 f (x )d x + 3f (x )d x = 56 '1 ' 2 A . 6 B . 6( b -a ) .36 .不确定 8.已知f (x )为偶函数且16 f (x )d x = 8，则 J o C . (x>0), (x <0), A . 0 B . 4 x 2 2x 9.设 f (x )= 6 f (x )d x 等于( -6 D . 16 则'1- 1f (x )d x 的值是(
定积分练习题1.doc
定积分练习题 一．选择题、填空题 1．将和式的极限 lim 1p 2 p 3p ....... n p 0) 表示成定积分 n P 1 ( p （ ） n 1 1 1 p dx 1 1 p dx 1 x p dx A ．dx B ． x C ．() D ． () 0 x 0 x n 2．将和式 lim ( 1 1 ......... 1 ) 表示为定积分 ． n n 1 n 2 2n 3．下列等于 1 的积分是 （ ） A ． 1 xdx B ． 1 C ． 1 1 1 ( x 1)dx 1dx D ． dx 2 1 2 4 | dx = 4． | x （ ） A ． 21 B ． 22 23 25 3 3 C ． 3 D ． 3 5．曲线 y cos x, x [0, 3 ] 与坐标周围成的面积 （ ） 2 5 A ．4 B ．2 D ． 3 C ． 2 1 e x )dx = 6． (e x （ ） A ． e 1 B ．2e 2 D ． e 1 e C ． e e 7.若 m 1 e x dx ， n e 1 dx ，则 m 与 n 的大小关系是（ ） 1 x A ． m n B ． m n C ． m n D ．无法确定 8. 9 y x 2 1 和 x 轴围成图形的面积等于 S ．给出下列结果： ．由曲线 1 1)dx ； ② 1 1 ①( x 2 (1 x 2 )dx ； ③ 2 ( x 2 1)dx ； ④ 2 (1 x 2 )dx ． 1 1 1 则 S 等于（ ） A ． ①③ B ． ③④ C ． ②③ D ． ②④ 10. y x cost sin t)dt ，则 y 的最大值是（ (sin t ） A ． 1 B ． 2 C ． 7 D ． 0 2 17 f ( x) 11. 若 f (x) 是一次函数，且 1 1 2 dx 的值是 f ( x) dx 5 ， xf ( x)dx 6 ，那么 x 1 ． 15．设 f (x ) sin x 3 x ，则 f (x) cos2 xdx ( ) 其余
定积分的概念与性质习题
1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴ b a xdx ? （a b <）； 【解】第一步：分割 在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a x k n -=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+， （1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b a n -?=， 取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+， （1,2,,k n =）， 第二步：求和 对于函数()f x x =，构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1) []2 b a b a n n na n n ---=+? 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步：取极限 令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=， 即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。 ⑵ 1 x e dx ?。 【解】第一步：分割
人教新课标A版高中选修2-2数学1.5定积分的概念同步练习(I)卷
人教新课标A版选修2-2数学1．5定积分的概念同步练习（I）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共15题；共30分) 1. （2分）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（） A . B . 1 C . 2 D . 2. （2分）(2017·临汾模拟) 一物体A以速度v（t）=t2﹣t+6沿直线运动，则当时间由t=1变化到t=4时，物体A运动的路程是（） A . 26.5 B . 53 C . 31.5 D . 63 3. （2分）在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F与缩短的距离按胡克定律计算.今有一弹簧原长，每压缩1cm需0.049N的压缩力，若把这根弹簧从70cm压缩至50cm（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（）功（单位：J） A . 0.196 B . 0.294 C . 0.686 D . 0.98
4. （2分） (2017高二下·枣强期末) 已知二次函数的图像如图所示，则它与轴所围图形的面积为（） A . B . C . D . 5. （2分）求由抛物线与直线所围成的曲边梯形的面积时，将区间[ 等分成个小区间，则第个区间为（） A . B . C . D . 6. （2分）由函数y=ex ， y=e及直线x=0所围成的图形的面积为（） A . 1 B . C . e
7. （2分）二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（） A . 3 B . C . 3或 D . 3或 8. （2分） (2016高一下·宜春期中) 二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（） A . 3 B . C . 3或 D . 3或 9. （2分）已知，，记则的大小关系是（） A . B . C . D . 10. （2分）设物体以速度v(t)=3t2+t(m/s)作直线运动，则它在0～4s内所走的路程为（） A . 70m
最新定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法 教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难点：定积分换元条件的掌握 重点：换元积分法与分部积分法 由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法 定理假设 (1) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上连续； (2) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上有连续且不变号的导数； (3) 当?Skip Record If...?在?Skip Record If...?变化时，?Skip Record If...?的值在?Skip Record If...?上变化，且?Skip Record If...?， 则有 ?Skip Record If...?．(1) 本定理证明从略．在应用时必须注意变换?Skip Record If...?应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1计算?Skip Record If...?． 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 解 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?．于是 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?． 例2 计算?Skip Record If...??Skip Record If...?． 解 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，? ?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?． 显然，这个定积分的值就是圆?(图5－8)． 例3 计算?Skip Record If...?． 解法一 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?． 当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，于是 ?Skip Record If...?． 解法二 也可以不明显地写出新变量?Skip Record If...?，这样定积分的上、下限也不要改变． 即 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?．
定积分测试题
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ） )(2122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 2 3xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 2 3xdx --? 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、 1 2
定积分的概念和性质公式
1.曲边梯形的面积 设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间 兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12… 在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积 求和取极限：则面积取极限
J=1 其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成 n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。任取? _ _ 做 求和取极限：则路程一取极限 将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间 上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ， 记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的 点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即 定义设函数」?、在L?二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点
其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。■叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间 上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所 3.
高中数学 1.5.3 定积分的概念同步练习 新人教A版选修2-2
选修2-2 1.5.3 定积分的概念 一、选择题 3(－3)d x等于( ) 1．定积分 ?? 1 A．－6 B．6 C．－3 D．3 [答案] A 3(－3)d x表示由x＝1，x＝3，y＝0及y＝－3所围成的[解析] 由积分的几何意义可知 ?? 1 3(－3)d x＝－6. 矩形面积的相反数，故 ?? 1 b f(x)d x的大小( ) 2．定积分 ?? a A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关 B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关 C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关 D．与f(x)、区间[a，b]和ξi的取法都有关 [答案] A [解析] 由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知A正确． 3．下列说法成立的个数是( ) - 1 -
- 2 - ①??a b f (x )d x ＝∑i ＝1 n f (ξi ) b －a n ②??a b f (x )d x 等于当n 趋近于＋∞时，f (ξi )· b －a n 无限趋近的值 ③??a b f (x )d x 等于当n 无限趋近于＋∞时，∑i ＝1 n f (ξi ) b －a n 无限趋近的常数 ④??a b f (x )d x 可以是一个函数式子 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] A [解析] 由??a b f (x )d x 的定义及求法知仅③正确，其余不正确．故应选A. 4．已知??1 3f (x )d x ＝56，则( ) A.??1 2f (x )d x ＝28 B.??2 3f (x )d x ＝28 C.??1 22f (x )d x ＝56 D.??12f (x )d x ＋??2 3f (x )d x ＝56 [答案] D [解析] 由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝3及y ＝0围成的曲边梯形可分拆成两个：由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝2及y ＝0围成的曲边梯形知由y ＝f (x )，x ＝2，x ＝3及y ＝0围成的曲边梯形． ∴??13f (x )d x ＝??12f (x )d x ＋??2 3f (x )d x
定积分单元测试题
定积分单元测试题 一、填空题 1、 dx x ? +4 1 1=___________。 2、广义积分43 x dx - +∞ =? 3、________1 1 02=+?dx x x 。 4、()________1202 =-?dx x 。 5、设 ()32 1 2-=? -x dt t f x ，则()=2f 。6、=+? 3 1 ln 1e x x dx 。 7、()=?? ????++++??-dx x x x x x π πcos 113sin 222 4 。8、x dt t x x ?→0 20cos lim =____________ 9、12 12|| 1x x dx x -+=+? 。 10、= -?dx x 201. 11、2 22sin 1cos x x dx xdx π π-+=+? 12、已知()2 cos ,x F x t dt =?则()F x '= 13、已知()2 x t x F x te dt -=?，则()F x '= 二、单项选择 1、若连续函数 ()x f 满足关系式()2ln 220+?? ? ??=?x dt t f x f ，则()x f 等于（ ）。 （A ）2ln x e ； （B ） 2ln 2x e ； （C ） 2ln +x e ； （D ） 2ln 2+x e 。 2、设 )(x f 连续，则=-?x dt t x tf dx d 0 22)(（ ） （A ）)(2x xf ； （B ）)(2x xf -； （C ）)(22x xf ； （D ）)(22x xf -。 3、设 )(x f 是连续函数，且?+=10 )(2)(dt t f x x f ，则)(x f =（ ） （A ）1-x ； （B ）1+x ； （Ｃ）1+-x ； （D ）1--x 。 4、设()()x a x F x f t dt x a = -?，其中()f x 为连续函数，则lim ()x a F x →=（ ） （A ）a （B ）)(a af （C ）)(a f （D ）0 5、 =?dt e dx d b x t 2( ) (A)2x e (B)2x e - (C)22x b e e - (D)2 2x xe - 6、=-+?→x dt t x x cos 1)1ln(lim 2sin 0 ( ) (A)8 (B)4 (C)2 (D)1 7、反常积分收敛的是( )
定积分练习题
第九章 定 积 分 练 习 题 §1定积分概念 习 题 1．按定积分定义证明：?-=b a a b k kdx ).( 2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分： （1）?∑=+=1 01 2 233 )1(41:;n i n n i dx x 提示 （2）?10;dx e x （3）?b a x dx e ; （4 ）2(0).(:b i a dx a b x ξ<<=? 提示取 §2 牛顿一菜布尼茨公式 1．计算下列定积分： （1）?+10)32(dx x ； （2）?+-1 022 11dx x x ； （3）?2ln e e x x dx ； （4）?--102 dx e e x x ； （5）?30 2tan π xdx （6）?+ 9 4;)1(dx x x （7）?+4 0;1x dx （8）?e e dx x x 12 )(ln 1 2．利用定积分求极限： （1）);21(1 334lim n n n +++∞→ （2）;)(1)2(1) 1(1222lim ??????++++++∞ →n n n n n n （3）);21 )2(111( 2 22lim n n n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim n n n n n n -+++∞ → ππ
3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有 ()()().b a f x dx F b F a =-? §3 可积条件 1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑?≤?' .''T T i i i i χωχω 2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ?. 3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。证明：若仅在[a,b]中有限个点处 ()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且 ()().χχχχd g a b d f a b ??= 3．设f 在[a,b]上有界，{}[], ,b a a n ?.lim c a n n =∞ →证明：在[a,b]上只有 () ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。 4．证明：若f 在区间?上有界，则 ()()()()"','".sup sup inf f f f f χ χχχχχχχ∈? ∈? ∈? -=-。 §4 定积分的性质 1.证明:若f 与g 都在[a,b]上可积,则 ∑? =→=?n i b a i i i T dx x g x f x g f 1 0,)()()()(lim ηξ 其中i i ηξ,是T 所属小区间△i 中的任意两点,i=1,2…,n. 2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: (1)??1 1 ;2dx x xdx 与 (2)??20 20 .sin ππxdx xdx 与 3.证明下列不等式: (1) 20 ;2 2π π π <
(完整版)定积分的概念同步练习题(理科)(教师版)
定积分的概念同步练习题（理科） 一、选择题 1． 把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( B ) A.1 n B.2n C.3 n D. 12n 2． 对于以v ＝v (t )在[0，t ]内汽车作直线运动经过的路程S ，下列叙述正确的是( C ) A ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的不足估计值 B ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的过剩估计值 C ．将[0，t ]n 等分，n 越大，求出的s 近似替代S 的精确度越高 D ．将[0，t ]n 等分，当n 很大时，求出的s 就是S 的准确值 3． 一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间所走的路程为( B ) A.1 3 B.1 2 C ．1 D.32 4．定积分??13(－3)d x 等于( A ) A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 5．定积分??a b f (x )d x 的大小( A ) A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关 B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关 C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关 D ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 6．已知??1 3f (x )d x ＝56，则( D ) A.??1 2f (x )d x ＝28 B.??23f (x )d x ＝28 C.??1 22f (x )d x ＝56 D.??12f (x )d x ＋??2 3f (x )d x ＝56 7．已知??a b f (x )d x ＝6，则??a b 6f (x )d x 等于( C ) A ．6 B ．6(b －a ) C ．36 D ．不确定 8.已知f (x )为偶函数且??06 f (x )d x ＝8，则??-6 6f (x )d x 等于( D ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 9．设f (x )＝????? x 2 (x ≥0)，2x (x <0)， 则? ?1－1f (x )d x 的值是( ) [答案] D[解析] 由定积分性质(3)求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确，故应选D. 10．下列命题不正确的是( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则 B ．若f (x )是连续的偶函数，则
第五章定积分综合练习题
第五章定积分综合练习题 一、填空： 1、函数)(x f 在],[b a 上有界是 )(x f 在],[b a 上可积的 条件，而) (x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的 条件； 2、由定积分的几何意义，则 ? -1 21dx x = ； 3、设 ,18)(31 1 =? -dx x f ,4)(3 1 =?-dx x f 则=?3 1 )(dx x f ； 4、正弦曲线 x y sin =在 ],0[π上与x 轴所围成的平面图形的面积 是 ； 5、某汽车开始刹车，其运动规律为,510)(t t v -=问从刹车开始到停车，汽车驶过的距离是 ； 6、?=x tdt y 02sin ，则4 π= 'x y = ； 7、估计定积分? +4 /54 /2)sin 1(ππdx x 的值的范围是： ； 8、比较下列两个积分值的大小：? 2 1 ln xdx ?2 1 2)(ln dx x ； 9、)(x f ''在],[b a 上连续，则=''? b a dx x f x )( ； 10、无穷积分? +∞ 1 dx x p 收敛，则p 的取值范围是 . 二、计算下列各导数. 1、 ?+2 211x x dt t dx d 2、?? ???==??t t udu y udu x 00sin cos ，求dx dy . 三、计算下列各定积分. 1、 dx x x )1(2 1 +? 2、dx x ?+3 31211 3、dx x ?--2121211
4、 dx x ? 40 2 tan π 5、dx x x x ?-+++0 122 41133 6、dx x ?π20sin 四、求极限 2 )sin(0 2lim x tdt x x ?→. 五、用换元积分法求下列定积分： 1、?-+1 12 ) 511(1 dx x 2、?2 /6 /2 cos ππ udu 3、?+2 1 ln 1e x x dx 4、 ? -π θθ0 3 )sin 1(d 5、? -2 2 2dx x 6、? +41 1x dx 六、用分部积分法求下列定积分： 1、 ? e xdx x 1 ln 2、? 2 /30 arcsin xdx 3、?-1 dt te t 七、求定积分 ?10 dx e x 八、求定积分 ?2 /0 cos πxdx e x 九、求定积分 ? π 3cos 2sin xdx x . 十、求定积分 ? 4 /0 4tan πxdx . 十一、设 ,0 ,0,1)(2???≥<+=-x e x x x f x 求?-2 )1(dx x f . 十二证明：若函数)(x f 在],[a a -上连续，则?-=--a a dx x f x f 0)]()([. 十三证明：??+=+1 1 12211x x t dt t dt . 十四、判定无穷积分 ? +∞ 1 41 dx x 的收敛性，如果收敛，计算其值.
定积分的概念同步练习题
定积分的概念同步练习题 一、选择题 1． 把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1 n B.2n C.3 n D. 12n 2． 对于以v ＝v (t )在[0，t ]内汽车作直线运动经过的路程S ，下列叙述正确的是( ) A ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的不足估计值 B ．将[0，t ]n 等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的s 是S 的过剩估计值 C ．将[0，t ]n 等分，n 越大，求出的s 近似替代S 的精确度越高 D ．将[0，t ]n 等分，当n 很大时，求出的s 就是S 的准确值 3． 一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间所走的路程为( ) A.1 3 B.1 2 C ．1 D.32 4．定积分??13(－3)d x 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 5．定积分??a b f (x )d x 的大小( ) A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关 B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关 C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关 D ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 6．已知??1 3f (x )d x ＝56，则( ) A.??1 2f (x )d x ＝28 B.??23f (x )d x ＝28 C.??1 22f (x )d x ＝56 D.??12f (x )d x ＋??2 3f (x )d x ＝56 7．已知??a b f (x )d x ＝6，则??a b 6f (x )d x 等于( ) A ．6 B ．6(b －a ) C ．36 D ．不确定 8.已知f (x )为偶函数且??06 f (x )d x ＝8，则??-6 6f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 9．设f (x )＝????? x 2 (x ≥0)， 2x (x <0)， 则? ?1－1f (x )d x 的值是( ) 10．下列命题不正确的是( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则 B ．若f (x )是连续的偶函数，则 C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则??a b f (x )d x >0
2016年专项练习题集-定积分的计算
2016年专项练习题集-定积分的计算
2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 2 2 -?=（ ） A.233 B.31 C.34 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分
【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(1 22 -?=123 153 x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭 图形的面积为（ ） A 、22 B 、42 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的
函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由 ???==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 8103412 9 942 30 3 =??? ? ?-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.22 -? 2 412x x -+dx =（ ） A.π4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A
【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y=2 4 x- +,即(x-2)2+y2=16(y≥0). 12x ∵22-?2 x- +dx表示以4为半径的圆的四分之一12x 4 面积.∴22-?2 x- +dx=π4. 12x 4 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A设定v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B设定在A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后赛车A 追上赛车B所用的时间t(s)为( )
数学高二-选修2-2同步练习 第四章1定积分的概念
高手支招6体验成功 基础巩固 1.用定积分定义求由x=2,x=3,y= 2 1 x ,y=0围成的图形的面积. 解:在[2,3]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间[2,2+ n 1 ],[2+ n 1 ,2+ n 2 ] (2) n n1 - ,3],记第i个区间为[2+ n i1 - ,2+ n i ](i=1,2,…,n),其长度为Δx= n 1 . 分别过上述n-1个分点作x轴的垂线与曲边梯形相交,把曲边梯形分成n个小曲边梯形, 它们的面积分别为ΔS1、ΔS2、…ΔS n,显然S=∑ = ? n i i S 1 ,设f(x)= 2 1 x ,如图所示,当n很大时,Δx 很小,在区间[2+ n i1 - ,2+ n i ]上,可以认为函数f(x)= 2 1 x 的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于ξi=) 2 )( 1 2( n i n i + - +处的函数值f(ξi)= ) 2 )( 1 2( 1 n i n i + - + ,这样在区 间[2+ n i1 - ,2+ n i ]上,用小矩形面积ΔS′i近似地代替ΔS i,则有ΔS i≈ΔS′i=f(ξi)·Δx=) 2 )( 1 2( n i n i + - +· n 1 =(i=1,2,…,n). ∴S n=∑ = n i1 ΔS′i=∑ = n i1 f(ξi)· n 1 = n 1 ［ 3 ) 1 2( 1 ) 2 2 )( 1 2( 1 ) 1 2(2 1 ? - + + + + + + + n n n n n ］ = 2 1 6 1 3 1 2 1 3 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 = - = - - + + + + + + + - n n n n n . 思路分析:定积分的概念产生于分割、近似代替、求和、取极限这四步.故用四步法求定积分要注意解题的层次性,当然本题省略了求极限这一步. 2.已知某物体做直线运动,其在时刻t(s)的速度为v(t)=t3(m/s),求物体在时刻t=0秒至时刻t=5秒这5秒时间内运动的距离. 解:s=?0 5 v(t)dt=∑ = n k1 ( n 5 ·k）3· n 5 (n→∞)=∑ = n k1 4 4 5 n ·k3(n→∞)
定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法 教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难 点：定积分换元条件的掌握 重 点：换元积分法与分部积分法 由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的． 1．定积分换元法 定理 假设 (1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续； (2) 函数)(t x ?=在区间],[βα上有连续且不变号的导数； (3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ?=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(β?α?， 则有 []dt t t f dx x f b a ?? '=β α ??)()()(． (1) 本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(t x ?=应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分． 例1 计算? -2 1 1 dx x x ． 解 令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=．当1=x 时，0=t ；当2=x 时， 1=t ．于是 ??? ?? ? ??+-=?+=-1021022 1 1112211dt t tdt t t dx x x ??? ? ?-=-=412)a r c t a n (210 πt t ． 例2 计算? -a dx x a 0 22)0(>a ．
解 令t a x sin =，则t d t a dx cos =．当0=x 时，0=t ；当a x =时，2 π = t ．故 ? -a dx x a 0 22dt t a t a ??=20 cos cos π dt t a )2cos 1(2 20 2 += ? π 20 2 2s i n 212π ??????+= t t a 4 2 a π= ． 显然，这个定积分的值就是圆222a y x =+在第一象限那部分的面积(图5－8)． 例3 计算?20 5sin cos π xdx x ． 解法一 令x t cos =，则xdx dt sin -=． 当0=x 时，1=t ；当2 π =x 时，0=t ，于是 6 1 6 1 sin cos 01 6 50120 5= -=-=?? t dt t xdx x π ． 解法二 也可以不明显地写出新变量t ，这样定积分的上、下限也不要改变． 即 x d x x d x x c o s c o s s i n c o s 20 5 20 5 ?? -=π π 61610cos 61206 =??? ? ?--=-=π x ． 此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元 不需要变换上、下限． 例4 计算dx x ?-π sin 1． 解 dx x ? -π sin 1?-=π02 c o s 2s i n dx x x 注去绝对值时注意符号．
