定积分练习题
第九章 定 积 分
练 习 题
§1定积分概念
习 题
1．按定积分定义证明：?-=b
a a
b k kdx ).(
2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：
（1）?∑=+=1
01
2
233
)1(41:;n
i n n i dx x 提示 （2）?10;dx e x （3）?b
a x dx e ; （4
）2(0).(:b
i a
dx
a b x
ξ<<=?
提示取
§2 牛顿一菜布尼茨公式
1．计算下列定积分：
（1）?+10)32(dx x ； （2）?+-1
022
11dx x x ； （3）?2ln e e x x dx ；
（4）?--102
dx e e x
x ； （5）?30
2tan π
xdx （6）?+
9
4;)1(dx x
x
（7）?+4
0;1x dx
（8）?e
e
dx x x
12
)(ln 1 2．利用定积分求极限： （1）);21(1
334lim n n
n +++∞→ （2）;)(1)2(1)
1(1222lim
??????++++++∞
→n n n n n n （3）);21
)2(111(
2
22lim n
n n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim n
n n n n n -+++∞
→ ππ
3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有
()()().b
a f x dx F
b F a =-?
§3 可积条件
1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑?≤?'
.''T T
i i i i χωχω
2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ?.
3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。证明：若仅在[a,b]中有限个点处
()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且
()().χχχχd g a b
d f a b ??=
3．设f 在[a,b]上有界，{}[],
,b a a n ?.lim c a
n
n =∞
→证明：在[a,b]上只有
() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。 4．证明：若f 在区间?上有界，则
()()()()"','".sup sup inf f f f f χ
χχχχχχχ∈?
∈?
∈?
-=-。
§4 定积分的性质
1.证明:若f 与g 都在[a,b]上可积,则
∑?
=→=?n
i b
a
i
i
i
T dx x g x f x g f 1
0,)()()()(lim
ηξ
其中i i ηξ,是T 所属小区间△i 中的任意两点,i=1,2…,n.
2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: (1)??1
1
;2dx x xdx 与
(2)??20
20
.sin ππxdx xdx 与
3.证明下列不等式:
(1)
20
;2
2π
π
π
<
(2)1201x e dx e <
(3)20
sin 12;xdx dx x π
π
<
(4)4 6.e e <
0.b
a
f x dx >?
5.设f 与g 都在[a,b]上可积,证明
[]
{}[]
{})(),()(,)(),()(m in m ax ,,x g x f x m x g x f x M b a x b a x ∈∈==
在[a,b]上也都可积.
6.试求心形线πθθ20),cos 1(≤≤+=a r 上各点极径的平均值.
7.设f 在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足.0)( m x f ≥证明
f
1
在[a,b]上也可积.
8.进一步证明积分第一中值定理(包括定理9.7和定理9.8)中的中值点ξ∈(a,b).
9.证明:若f 与g 都在[a,b]上可积,且g(x)在[a,b]上不变号,M 、m 分别为 f(x)在[a,b]上的上、下确界,则必存在某实数μ(m ≤μ≤M),使得
??=b
a
b
a
dx x g dx x g x f .)()()(μ
10.证明:若f 在[a,b]上连续,且??==b a
b
a
dx x xf dx x f ,0)()(则在(a,b)内至少
存在两点x 1,x 2,使f(x 1)= f(x 2)=0.又若?=b
a
dx x f x ,0)(2这时f 在(a,b)内是否至
少有三个零点?
11.设f 在[a,b]上二阶可导,且"f (x)>0.证明:
(1)?-≤??
?
??+b a dx x f a b b a f ;)(12 (2)又若[],,,0)(b a x x f ∈≤则又有
[].,,)(2)(b a x dx x f a b x f b
a ∈-≥? 12.证明:
(1)1
1
ln(1)11ln ;2
n n n +<++
+
<+ (2).1ln 1
211lim =+++
∞
→n
n n
§5 微积分学基本定理·定积分计算(续)
习 题
1． 设f 为连续函数，u 、v 均为可导函数，且可实行复合f °u 与f °v 证明：
?-=)
()
().('))(()('))(()(x v x u x u x u f x v x v f dt t f dx d
2．设f 在[a,b]上连续，?-=x
a dt t x t f x F .))(()(证明F ”b].[a,),()(∈=x x f x
3．求下列极限： （1）?→x x dt t x 02
;cos 1lim
（2）.)(0
22
2
2
lim dt
e dt e x t x
t x ?
?∞
→
4．计算下列定积分：
（1）?
20
5;2sin cos π
xdx x （2）?
-1
2;4dx x （3）
?
-a
a dx x a x 0
222);0(
（4）?
+-1
02
/32;)1(x x dx
（5）?-+10;x x e e dx （6）?
+2
2;sin 1cos π
dx x
x
（7）?1
;arcsin xdx （8）?20
;sin πxdx e x （9）
;ln 1dx x e
e
?
（10）?1
;dx e x
（11）?+-a
a dx x
a x
a x 0
2
);0( （12）?
+20
.cos sin cos π
θθ
νθ
d
5.设f 在[-a,a]上可积。证明： （1）若f 为奇函数，则?-=a
a dx x f ;0)(
（2）若f 为偶函数，则??-=a
a
a
dx x f dx x f 0
.)(2)(
6．设f 为（-∞，+∞）上以p 为周期的连续周期函数。证明对任何实数a ，恒有
?
?+=p
a p
a
dx x f dx x f a .)()(
7．设f 为连续函数。证明：
（1）??=20
20
;)(cos )(sin ππdx x f dx x f （2）??
=
π
π
π
.)(sin 2)(sin dx x f dx x xf
8．设J （m,n ）?=20
,(cos sin π
n m xdx x n m 为正整数）。证明：
),,2(1
)2,(1),(n m J n
m m n m J n m n n m J -+-=-+-=
并求J(2m,2n).
9．证明：若在（0，∞）上f 为连续函数，且对任何a ＞0有
?==ax
x dt t f x g 常数)()(， ),,0(+∞∈x
则c x x
c
x f ),,0(,)(+∞∈=
为常数。 10．设f 为连续可微函数，试求
?-x
a dt t f t x dx d ,)(')(
并用此结果求?-x
tdt t x dx d 0
.sin )(
11．设)(x f y =为[a,b]上严格增的连续曲线（图 9-12）。试证存在ξ∈（a,b ），使图中两阴影部分面积 相等。
12．设f 为[0，2π]上的单调递减函数。证明：对
任何正整数n 恒有 ?
≥π20
.0sin )(nxdx x f
13．证明：当x ＞时有不等式 ).0(1
sin 2
c x dt t c
x x
?
+ 14
．
证
明
：若
f 在[a,b]
上可积，
[],)(,)(,,b a ==β?α?βα?上单调且连续可微在则有
??'=b
a dt t t f dx x f β
α
??.)())(()(
※
15.证明：若在[a,b]上f 为连续可微的单调函数，则存在[],,b a ∈ξ使得
???+=b
a
a
b
dx x f b g dx x f a g dx x g x f ξξ
.)()()()()()(
（提示：与定理9.11及其推论相比较,这里的条件要强得多,
因此可望有
一个比较简单的,不同于9.11的证明.）
※§6 可积性理论补叙
1. 证明性质2中关于下和的不等式(3).
2. 证明性质6中关于下和的极限式S T s t =→)(lim 0
.
3. 设 ???=.
,0.
,)(为无理数为有理数x x x x f
试求f 在[0,1]上的上积分和下积分;并由此判断f 在[0,1]上是否可积.
4. 设f 在[a,b]上可积,且[]],[.,,0)(b a f b a x x f 在试问=上是否可积?为什么?
5. 证明:定理9.14中的可积第二充要条件等价于“任给
T T 的对于一切满足存在δδε<>>,0,0都有εω''<-=?∑)()(T s t s x i T
i .
6.据理回答:
(1) 何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质?
(2) 何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等”的性质？ (3) 对于可积函数，若“所有下和（或上和）都相等”，是否仍有（2）的结论？ 7．本题的最终目的是要证明：若f 在[a,b]上可积，则f 在[a,b]内必定有无限多个处处稠密的连续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明：
（1）若T 是[a,b]的一个分割，使得S （T ）s(T)
（2）存在区间),,(],[111b a b a I ?=使得
.1)(i n f )(s u p )(1
1
1<-=∈∈x f x f I I x I x f ω
（3）存在区间),,(],[11222b a b a I ?=使得
.21
)(i n f )(s u p )(22
2<-=∈∈x f x f I I x I x f ω
（4）继续以上方法，求出一区间序列),,(],[11--?=n n n n n b a b a I
.1
)(i n f )(s u p )(n x f x f I n n
I x I x n f <-=∈∈ω
说明{}n I 为一区间套，从而存在;,2,1,0 =∈n I x n 而且f 在点x 0连续。 （5）上面求得的f 的连续点在[a,b]内处处稠密。
总 练 习 题
1．证明：若?在[0，a]上连续，f 二阶可导，且0)(≥''x f ，则有
??≥a
x dt t a
f dt t f a 00).)(1())((1?? 2.证明下列命题：
（1） 若f 在[a,b]上连续增，
???
??=∈-=?,
),
(],[,)(1)(a x a f b a x dt t f a x x F x
a
则F 为[a,b]上的增函数。
（2） 若f 在],0[+∞上连续，且f （x ）>0，则 ??=x
x
dt t f dt t tf x 0
)(/)()(?
为),0(+∞上的严格增函数，如果要使?在],0[+∞上为严格增，试问应补充定义?（0）=？
3、设f 在],0[+∞上连续，且A x f x =+∞
→)(lim 证明
?
=+∞→x
x A dt t f x 0)(1lim
4．设f 是定义的),(+∞-∞上的一个连续周期函数，周期为p 证明 ??=+∞→p x x dt t f p
dt t f x 00)(1)(1lim
5．证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中
只有一个是奇函数。 6．证明施瓦茨（Schwarz ）不等式：若f 和g 在[a,b]上可积，则
.)()()()(222
dx x g dx x f dx x g x f b
a b a b a ????≤??
? ?? 7．利用施瓦茨不等式证明：
（1）若f 在[a,b]上可积，则
??-≤??
? ??b
a b a dx x f a b dx x f )()()(22
（2）若f 在[a,b]上可积，且f （x ）>m>0，则
?
?
-≥?b
a
b
a
a b dx x f dx x f 2)()
(1
)( （3）若f 、g 都在[a,b]上可积，则有闵可夫斯基（Minkowski ）不等式： 2
122
122
1
2)()())()((??????+??????≤??????+???b
a b
a b
a dx x g dx x f dx x g x f
8．证明：若f 在[a,b]上连续，且f （x ）>0，则
??-≥??
?
??-b a b a dx x f a b dx x f a b )(ln 1)(1ln 9．设f 为),0(+∞上的连续减函数，f （x ）>0；又设 ∑?=-=n
k n
l
n dx x f k f a 1
.)()(
证明{}n a 为收敛数列。
10．证明：若f 在[a,b]上可积，且个个有f （x ）>0，则?>b
a dx x f 0)(，（提
示：由可积的第一充要条件进行反证：也可利用§习题7题的结论。）
第十章 定积分的应用
练习题
§1 平面图形的面积
1．求由抛物线y=x 2与y=2－x 2所围图形的面积。 2．求由曲线y=x ln 与直线x=
10
1
，x=10，y=0所围图形的面积。 3．抛物线y 2=2x 把圆x 2+ y 2≤8分成两部分，求这两部分面积之比。 4．求内摆线x=acos 3t ，y= asin 3t （a ﹥0）所围图形的面积（图10—7）。
5．求心形线r=a （1+cos θ）（a ﹥0）所围图形的面积。 6．求三叶形曲线r=asin θ（a ﹥0）所围图形的面积。 7．求由曲线
b
y
a x +=1（a 、
b ＞0）与坐标轴所围图形的面积。 8．求由曲线x=t －t 3，y=1－t 4所围图形的面积。 9．求二曲线r= sin θ与r=
3cos θ所围公共部分的面积。
10．求两椭圆22
221x y a b
+=与22221x y b a +=（a ＞0，b ＞0）所围公共部分的面积。
§2 由平行截面面积求体积
1．如图10—13所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试截得楔形体的体积。 2．求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积： （1）y=sin x ，0≤x ≤π，绕x 轴； （2）x=a （t －sin t ），y=a （1－cos t ）（a ＞0），0≤t ≤2π，绕x 轴；
（3）r=a （1+cos θ）（a ＞0），绕极轴；
（４）22
221x y a b
+=，绕ｙ轴。
3．已知球半径为r ，验证高为h 的球缺体积V=πh 2（r －
3
h ）（h ≤r ）。 4．求曲线x=a cos 3t ，y= ａsin 3 t 所围平面图形（图10—7）绕x 轴旋转所得立体的体积。
5．导出曲边梯形0≤y ≤f （x ），a ≤x ≤b 绕y 轴旋转所得立体的体积公式为
V=2π
()?b
a
dx x xf
6．求0≤y ≤sin x ，0≤x ≤π所示平面图形绕y 轴旋转所得立体的体积。
§3 平面曲线的弧长与曲率
1．求下列曲线的弧长 （1）y=x 3/2，0≤x ≤4； （2）y x +
=1；
（3）x=acos 3t,y=asin 3t(a ﹥0), 0≤t ≤2π；
（4）x=a(cos t+tsin t),y=a(sin t －tcos t) (a ﹥0), 0≤t ≤2π；
（5）r=asin
３
3
θ
(a ﹥0), 0≤θ≤3π； （6）r=a θ(a ﹥0), 0≤θ≤2π.
2*．求下列各曲线在指定点处的曲率： （1）xy=4，在点（2，2）； （2）y=ln x ，在点（1，0）； （3）x= a(t －sin t),y=a （1－cos t ） (a ﹥0),在t=2
π
的点； （4）x=acos 3t,y=asin 3t(a ﹥0),在t=
4
π
的点。 3．求a 、b 的值，使椭圆x=acos t ，y=bsin t 的周长等于正弦曲线y=sinx 在0≤x ≤2π上一段的长。
4．设曲线由极坐标方程r=r （θ）给出，且二阶可导，证明它在点（r ，θ）处的曲率为
K=
(
)
2
3
2
2
222r r r r r r '+'
'-'+。
5．用上题公式，求心形线r=a （1+cos θ）（a ＞0）在θ=0处的曲率、曲率半径和曲率圆。
6．证明抛物线y=ax 2+bx+c 在顶点处的曲率为最大。 7．求曲线y=e x 上曲率最大的点。
§4 旋转曲面的面积
1．求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积： （1）y=sin x,0≤x ≤π,绕x 轴；
（2）x=a(t －sin t),y=a(1－cos t)(a ＞0),0≤t ≤2π,绕x 轴；
（3）122
22=+b
y a x ，绕y 轴；
（4）x 2+(y －a)2=r 2(r ＜a ），绕x 轴。 2．设平面光滑曲线由极坐标方程
r=r(θ),α≤θ≤β（[α，β]?[0，π]，r （θ）≥0）给出，试求它绕极轴旋转所得
旋转曲面的面积计算公式。
3．试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积： （1）心形线r=a(1+cos θ)(a ＞0); （2）双纽线r 2=2a 2cos2θ (a ＞0).
§5 定积分在物理中的某些应用
1．有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长为10米和6米，高为20米，计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力。
2．边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α（0＜α＜90°)角斜沉于液体中。设a ＞b ，长边平行于液面，上沿位于深h 处，液体的比重为ν。试求薄板每侧所受的静压力。
3．直径为6米的一球浸入水中，其球心在水平面下10米处，求球面上所受静压力。 4．设在坐标轴的原点有一质量为m 的质点，在区间[a ，a+l]（a ＞0）上有一质量为M 的均匀细杆，试求质点与细杆之间的万有引力。
5．设有两条各长为l 的均匀细杆在同一直线上，中间离开距离c ，每根细杆的质量为M 。试求它们之间的万有引力。（提示：在第4题的基础上再作一次积分）
6．设有半径为r 的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为δ，在圆心处有一单位正电荷。试求它们之间作用力的大小。
7．一个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水。试问把水抽尽需作多少功？
8．长10米的铁索下垂于矿井中，已知铁索每米的质量为8千克，问将此铁索提出地面需作多少功？
9．一物体在某介质中按x=ct 3作直线运动，介质的阻力与速度
dt
dx
的平方成正比。计算物体由x=0移至x=a 时克服介质阻力所作的功。
10．半径为r 的球体沉入水中，其比重与水相同。试问将球体从水中捞出需作多少功？
§6 定积分的近似计算
1．分别用梯形和抛物线法近似计算?
2
1
x
dx
（将积分区间十等分）。 2．用抛物线法近似计算
?
π
sin dx x
x
（分别将积分区间二等分、四等分、六等分）。 3．图10-27所示为河道某一截面图，试由测得数据用抛物线法求截面面积。
（1）按积分平均
()dt t f a b b a
?-求这一天的平均气温，其中定积分值由三种近似法分别计算；
（2）若按算术平均∑=-1211121i i C 或∑=12
1
121i i C 求得平均气温，那么它们与矩形法积分平均和梯形法积分平均各有什么联系？简述理由。
第十一章 反常积分
练习题
§1 反常积分概念
1．讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值： （1）
dx xe x ?
+∞
-0
2
；(2)dx xe x ?+∞
∞--2
；(3)dx e x
?
+∞
1；(4)?+∞
+1
2)
1(x x dx
；(5)?+∞∞-++5442x x dx ；(6)
?
+∞
-0
sin xdx e x
；(7)?+∞
∞
-xdx e x
sin ；(8)?
+∞
+0
2
1x
dx .
2.讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值： （1）
?-b
a p a x dx
)(；（2）?-1021x dx ；（3）?-20|1|x dx ；（4）?-1021dx x x ；（5）?10ln xdx ；
（6）?
-1
1dx x x ；（7）?-102x
x dx ；（8）?10)(ln p x x dx
。
3．举例说明：瑕积分?
b
a
dx x f )(收敛时，dx x f b
a
)(2?不一定收敛。
4．举例说明：?
+∞
a
dx x f )(收敛且f 在[,)a +∞上连续时，不一定有0)(lim =+∞
→x f x 。
5．证明：
?
+∞
a
dx x f )(收敛，且存在极限)(lim x f x +∞
→=A ，则A=0。
6．证明：若f 在[,)a +∞上可导，且?
+∞
a
dx x f )(与?
+∞
'a
dx x f )(都收敛，则0)(lim =+∞
→x f x 。
§2 无穷积分的性质与收敛判别
习 题
1．证明定理11.2及其推论1
2．设f 与g 是定义在[,)a +∞上的函数，对任何u ＞a ，它们在[a ，u]上都可积。证明：若
()dx x f
a
?
+∞
2
与()dx x g a
?+∞
2
收敛，则()()dx x g x f a
?
+∞
与()()[]dx x g x f a
2
?
+∞
+也都
收敛。
3．设f 、g 、h 是定义在[,)a +∞上的三个连续函数，且成立不等式h （x ）≤f （x ）≤g （x ）。证明： （1） 若()dx x h a
?+∞与()dx x g a
?
+∞
与()dx x f a
?
+∞
也收敛；
（2）又若
()dx x h a
?
+∞
=()dx x g a
?
+∞
=A ，则()dx x f a
?
+∞=A 。
4．讨论下列无穷积分的收敛性： （1）
?
+∞
+0
3
41
x dx ； （2）
dx e x
x
?
+∞
-1
1； （3）
?
+∞
+0
1x
dx ； （4）
?
+∞
+1
3
1arctan dx x x
x ；
（5）
()?
∞
++1
1ln dx x x n
； （6）?∞++01dx x x n m
（n 、m ≥0）
5．讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛： （1）
dx x x
?∞
+1
sin ； （2）()?∞++021sin sgn x x ； （3）
?
∞
++0
100cos dx x
x
x ； （4）()?∞+e xdx x x sin ln ln ln 。
6．举例说明：
()dx x f a
?
+∞
收敛时()dx x f
a
?
+∞
2
不一定收敛；()dx x f a
?+∞
绝对收敛时，
()dx x f
a
?
+∞
2
也不一定收敛。
7．证明：若
()dx x f a
?
+∞
绝对收敛，且()0lim x f x →+∞
=，则()dx x f
a
?
+∞
2
必定收敛。
8．证明：若f 是[,)a +∞上的单调函数，且
()dx x f a
?
+∞
收敛，则()0lim x f x →+∞
=，且
()+→??
?
??=x x o x f ,1∞。
9．证明：若f 在[,)a +∞上一致连续，且
()dx x f a
?
+∞
收敛，则()0lim x f x →+∞
=。
10．利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法。
§3 瑕积分的性质与收敛判别
习 题
1．写出性质3的证明。
2．写出定理11.6及其推论1的证明。 3．讨论下列瑕积分的收敛性： （1）
()
?-2
2
1x dx
； （2）
dx x
x ?
π
2
3sin ；
（3）
?
1
ln x
x dx ； （4）
?-1
01ln dx x x
；
（5）?-1
03
1arctan dx x x ； （6）dx x x
m ?-20cos 1π
； （7）
1
11sin dx x x
α?
； （8）?+∞-0ln xdx e x
。 4．计算下列瑕积分的值（其中n 为正整数）： （1）
()
?1
ln dx x n
； （2）dx x
x n ?
∞
+-0
1
5．证明瑕积分J=()?
2
sin ln π
dx x 收敛，且J=－2
πln2 .(提示: 利用()2
0ln sin x dx π
?
=
()?
2
cos ln π
dx x ，并将它们相加。
）
6．利用上题结果，证明： （1）
()2ln 2
sin ln 2
πθθθπ
-
=?d ；
（2）?
=-π
πθθ
θ
θ0
2ln 2cos 1sin d 。
总 练 习 题
1．证明下列等式 （1）
1
1
1,011p p x x dx p x x --+∞=>++?
?；
（2）
1
0,0111
p p x x dx dx p x x --+∞
+∞=<<++?
?。
2．证明下列不等式： （11
2
π
<<
?
；
（2）
2
1111122x e dx e e
+∞-??-<<+ ????。 3．计算下列反常积分的值： （1）
()0cos 0ax e bxdx a +∞
->?
； （2）()0
sin 0ax e bxdx a +∞
->?
（3）
?
+∞
+0
2
1ln dx x x ； （4）()?2
0tan ln π
θθd 。 4．讨论反常积分
()λλ,0sin 0
≠?
+∞
b dx x
bx
取何值时绝对收敛或条件收敛。 5．证明：设f 在[0,)+∞上连续，0＜a ＜b. （1）若
()lim x f x k →+∞
=，则
()()()()0
0ln f ax f bx b
dx f k x a
+∞
-=-?
；
（2）若
()
dx x x f a ?∞
+收敛，则
()()()a
b
f dx x bx f ax f ln 00=-?∞+. 6．证明下述命题：
（1）设f 为[,)a +∞上的非负连续函数. 若
()dx x xf a
?
+∞
收敛，则()dx x f a
?
+∞
也收敛。
（2） 设f 为[,)a +∞上的连续可微函数，且当x →+∞时，f （x ）递减地趋于0，则
()dx x f a
?
+∞
收敛的充要条件为()dx x f x a
?+∞
'收敛。
定积分测试题及答案
定积分测试题及答案 班级： 姓名： 分数： 一、选择题：（每小题5分） 1.0=?（ ） A.0 B.1 C.π D 4π 2(2010·山东日照模考)a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a 8．函数F (x )＝??0 x t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 9．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝??1 x 1t d t ，若f (x ) 第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1. 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y 4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 2 2 =+ b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 体的体积。 旋转轴旋转，计算所得两个轴及所围成的图形，分别绕由y x y x x y 0,2,.133=== 14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x a x ch a y ==== ;,2sin )2(轴绕与x x y x y π = = ; ,)2 0(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π ≤≤== ; 0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-= ; , 16)5()6(22轴绕y y x =+- 。产生的旋转体的体积旋转 轴绕轴所围的图形处的切线和及其在求由抛物线x x x y )2,0()1(4.152-= 积。轴旋转所得旋转体的体所围图形绕求x y x y x 2223,4.16≥ ≤+ 求其体积。 ， 图面都是等边三角形为底，垂直于长轴的截一立体以椭圆)26(125 100.1722 -≤+y x 不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则： 题目1证明题 容易 d x 证明丄 f (X _t) f Tt)dt = f(X)_ f (a)。 dx 'a 题目2证明题 容易 题目3证明题 一般 b 设函数 f(x)在［a,b ］内可导，且 f(a)=0,［ f(x)dx = 0 证明：在［a,b ］内至少存在一点E 使f(E )=0。 题目4证明题 一般 设f(X)= f(X +a). na 证明：当n 为正整数时 L f(x)dx= nj0f(x)dx 。 利用积分中值定理证明 :lim f 4 sin n xdx = 0。 」0 1 1 证明：x m (1-x)n dx = Lx n (1 —x)m dx 。 题目6证明题 一般 设f (x)在［a,b ］上有定义,且对［a,b ］上任意两点x, y, x — y |.则f (x)在［a,b ］上可积，且 1 2 题目7证明题 一般 设f(X)在［a,b ］上的连续,在(a,b)内可导,且f(a) = f (b) =0. 证明：4a|f(x)|dx (a,b)内至少存在一点匕，设f (x)在［a,b］上正值，连续，则在 ￡ b 1 b 使J a f (x)dx = J E f (x)dx = —J a f (x)dx。 ■* 2 题目9证明题一般 丑丑 证明：0＜FsinXxdxc『sin n xdx。 题目10证明题一般 1/ dx 兀 求证:一＜〔＜-。 20 2,3 6 2V4 —X +x 6 题目11证明题一般 设f(x)在区间(a,b)上连续，且在(a,b)内任一闭区间上积分为零，证明f(x)在(a,b)内恒等于零。 题目12证明题一般 若函数f(x)在［0,1］上连续， a 3 2 1 a2 (a A O)。 证明:J0x f(x )dx=5 J o xf (x)dx 题目13证明题一般 设函数f(x)和g(x)在［a,b］上连续， b 2 b 2 b 2 证明:［f f(x)g(x)dx］< f f (x)dx 订g (x)dx。 a a a 题目14证明题一般 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 题目1证明题 容易 。证明 )()()()(a f x f dt t f t x dx d x a -='-? 解答_ 。 )()()()()()()()()()()()() ()()()( a f x f x f a f dt t f t x dx d dt t f a f x a dt t f a x t f t x t df t x dt t f t x x a x a x a x a x a -=+-='-=∴ +-=+-=-='-????? 题目2证明题 容易 。 利用积分中值定理证明 0sin lim :40 0=?→dx x n n π 解答_ 。 使 上存在点在由积分中值定理 0sin lim 0 sin lim 1sin 0sin lim 4 ]4 [0, ( )04( sin lim sin lim ,]4 ,0[, 40 00 40 =∴=∴< 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2 2 1x y =与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1 =与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3 cos =，t a y 3 sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积 ２、求对数螺线θ ρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积 ３、求由曲线x y sin =和它在2 π= x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3 x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的 立体体积 ６、计算曲线()x y -=33 3 上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3 cos =，t a y 3 sin =的全长 ８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→ F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成 正比，即：kS =→ F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3 ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水 面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022 >=p px y 与直线p y x 2 3 = + 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积 第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数 dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+? ? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx 定积分的证明题https://www.360docs.net/doc/1010248979.html,work Information Technology Company.2020YEAR 题目1证明题 容易 。证明 )()()()(a f x f dt t f t x dx d x a -='-? 解答_ 。 )()()()()()()()()()()()() ()()()( a f x f x f a f dt t f t x dx d dt t f a f x a dt t f a x t f t x t df t x dt t f t x x a x a x a x a x a -=+-='-=∴ +-=+-=-='-????? 题目2证明题 容易 。 利用积分中值定理证明 0sin lim :400=?→dx x n n π 解答_ 。 使 上存在点在由积分中值定理 0sin lim 0 sin lim 1sin 0sin lim 4 ]4 [0, ( )04( sin lim sin lim ,]4 ,0[, 40 00 40 =∴=∴< 第五章 定积分 (A 层次 ) 1． 2 sin x cos 3 xdx ； 2 ． x 2 a 2 x 2 dx ； 3 ． 3 dx ； a 1 x 2 1 x 2 1 4． 1 xdx ； 4 5． 5 4x 1 dx ； 1 dx ； x 1 6． 3 1 x 1 4 e 2 7． 1 dx ； dx ； 9 ． 1 cos2xdx ； 8 ． x 2 2x 2 x 1 ln x 2 10． x 4 sin xdx ； 11 ． 2 4 cos 4 xdx ； 12 ． 3 sin 2 x dx ； 5 x 2 5 x 4 2x 2 1 13． 3 x dx ； 14 ． 4 ln x dx ； 15 ． 1 xarctgxdx ； 2 1 4 sin x x 16． 2 e 2x cosxdx ； 17 x sin x 2 dx ； 18 e ． 0 ． 1 sin ln x dx ； 0 19． 2 cos x cos 3 xdx ； 20 ． 4 sin x dx ； 21 ． x sin x dx ； 4 0 1 sin x 0 1 cos 2 x 1 1 x 1 x 2 2 x ln dx ； 23 ． 24 ． 2 ln sin xdx ； 22． 0 1 x 1 x 4 dx ； 0 25． dx dx 0 。 1 x 2 1 x (B 层次 ) y t x 所决定的隐函数 对 的导数 dy 。 1．求由 cos 0 y x e dt tdt dx 2．当 x 为何值时，函数 I x x te t 2 dt 有极值？ 3． d cos x 2 dt 。 cos t dx sin x 4．设 f x x 1, x 1 2 ，求 f x dx 。 1 2 , x 1 0 2 x x arctgt 2 5． lim 0 dt 。 x 2 x 1 定积分及其应用 题一 题面： 求由曲线2(2)y x =+与x 轴，直线4y x =-所围成的平面图形的面积． 答案：323 ． 变式训练一 题面： 函数f (x )＝???? ? x ＋2(－2≤x <0)，2cos x ? ? ???0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积 为( ) A.5 2 B ．2 C ．3 D ．4 答案：D. 详解： 画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π 202cos x d x ＝2＋2sin x |π20＝4. 变式训练二 题面： 由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 3 B ．9－2 3 C.353 D.323 答案： 详解： 注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ，B 的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为??－3 1 (3－x 2－2x )d x ＝? ????3x －13x 3－x 2??? 1 －3 ＝3×1－13×13－12－ ? ?? 3× －3 －13× －3 3 ]－ －3 2 ＝323，选D. 题二 题面： 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )． A ．1 B ．1 C ．1 D ．17 变式训练一 题面： 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点． 定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 第六章 定积分练习题及答案 一、填空题 (1) 根据定积分的几何意义，?-=+2 1)32(dx x 12 =-?dx x 2 024π ,=?π0 cos xdx ____0____ (2）设?-=1110)(2dx x f ，则?-=1 1)(dx x f _____5____， ?-=1 1)(dx x f ____-5___，?-=+1 1]1)(2[51dx x f 512 . (3) =?102sin dx x dx d 0 (4) =?2 2sin x dt t dx d 4sin 2x x 二、选择题 （1） 定积分?12 21ln xdx x 值的符号为 （B ） .A 大于零 .B 小于零 .C 等于零 .D 不能确定 三、计算题 1.估计积分的值：dx x x ?-+3 121 解：设1)(2+=x x x f ，先求)(x f 在]3,1[-上的最大、最小值， ,) 1()1)(1()1(21)(222222++-=+-+='x x x x x x x f 由0)(='x f 得)3,1(-内驻点1=x ，由3.0)3(,5.0)1(,5.0)1(==-=-f f f 知,2 1)(21≤≤- x f 由定积分性质得 221)()21(2313131=≤≤-=-???---dx dx x f dx 2.已知函数)(x f 连续，且?- =10)()(dx x f x x f ，求函数)(x f . 解：设 a dx x f =?10)(，则a x x f -=)(，于是 a adx xdx dx a x dx x f a -=-=-==????2 1)()(1 0101010， 得41=a ，所以4 1)(+=x x f . 3. dx x x x ?++1 31 222) 1(21 解：原式=dx x x dx x x x x )111()1(1213 121312222++=+++?? 3112+-= π 4. ?--1 12d x x x 解：原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 5. ?--1 12d x x x 解：原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 6. ?-1 02dx xe x 上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 题目1证明题 容易 。证明 )()()()(a f x f dt t f t x dx d x a -='-? 题目2证明题 容易 。利用积分中值定理证明 0sin lim :400=?→dx x n n π 题目3证明题 一般 。使内至少存在一点证明：在，内可导，且在设函数0) (f ],[0)(0)(],[)(='==?ξξb a dx x f a f b a x f b a 题目4证明题 一般 。为正整数时证明：当， 设??=+=a na dx x f n dx x f n a x f x f 0 0 )()( )()( 题目5证明题 一般 。证明： )1()1(1 0 1 0 ??-=-dx x x dx x x m n n m 题目6证明题 一般 。且 上可积在则有上任意两点且对上有定义在设2)(21)()()(,],[)( .)()(, ,],[,],[)(a b a f a b dx x f b a x f y x y f x f y x b a b a x f b a -≤---≤-? 题目7证明题 一般 。其中证明且内可导在上的连续在设 )(sup ,)()(4 :. 0)()(,),(,],[)( 2x f M a b M dx x f b f a f b a b a x f b x a b a '=-≤==< 题目8证明题 一般 。使， 内至少存在一点上正值，连续，则在在设???==b b dx x f dx x f dx x f b a b a x f a a )(21)()( ),( ],[ )(ξξξ 题目9证明题 一般 。证明： sin sin 0 202 01??<<+ππ xdx xdx n n 题目10证明题 一般 。求证：?<+-<1032 6421πx x dx 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 题目1证明题 容易 d X 证明 (x -t) f (t)dt = f (x) - f (a) dx J a 解答_ X a (x-t)f (t)dt X = [(X —t)df(t) X X =(X 一 t)f(t) a + [ f(t)dt X = (^-X) f (a) + [ f (t)dt d X ^X a (X -t)f(t)dt --f(a) f(x) f (x) - f (a)。 题目2证明题 容易 由积分中值定理，在[0,…]上存在点',使 4 Iim 4 Sin n XdX= Iim Sin n ( 0) G 三[0,] n 》：：0 n 匚 4 4 Iim Sin n 4 J 0 Q 0 . sin ：： 1 .Iim Sin n =0 n _O π .Iim 4 Sin n XdX= 0。 —0 0 题目3证明题 一般 b 设函数 f (x)在［a,b ］内可导，且 f(a)=0, f(x)dx = 0 -a 证明：在［a,b ］内至少存在一点?使f 「)=0。 解答_ 由积分中值定理，在(a,b)存在一点'1，使 b ［ f (x)dx = f (： 1)(b -a) = 0 f ( 1 ) =0 在区间［a ， 1］上,应用罗尔定理，可知存 在一点 二(a ， ' 1) (a,b)使f ( J=0b 题目4证明题 一般 设 f (x) = f (x +a)， na a 证明：当n 为正整数时 0 f (x)dx = n .°f(x)dx 解答 利用积分中值定理证明 解答 π :Ijm 4 Sin n XdX 二 0 n 0 0 1 D ， 3 9 ， 5 9 ， 3 7 ， 5 7 4 定积分测试题及答案 班级：姓名：分数： 一、选择题：（每小题5 分） 1. ? 1-x2dx =（） A.0 B.1 C. 2 2(2010·ft东日照模考)a＝∫0的大小关系是( ) 2 x d x，b＝∫0 2 e x d x，c＝∫0sin x d x，则a、b、c A．a 1 6 6．(2010·湖南省考试院调研) -1 (sin x ＋1)d x 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．2＋2cos1 D ．2－2cos1 7. 曲线 y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线 y ＝1 所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π 2 D ．π x 8．函数 F (x )＝ ∫0 t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值 0，无最小值 B ．有最大值 0 和最小值－32 3 32 C ．有最小值－ ，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 3 x 9．已知等差数列{a }的前 n 项和 S ＝2n 2＋n ，函数 f (x )＝ 1 ，若 n n f (x )高等数学定积分应用习题答案
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