定积分及其应用练习-带详细答案
定积分及其应用
题一 题面：
求由曲线2
(2)y x =+与x 轴，直线4y x =-所围成的平面图形的面积． 答案：323
．
变式训练一
题面：
函数f (x )＝????
?
x ＋2(－2≤x <0)，2cos x ? ?
???0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积
为( )
A.5
2 B ．2 C ．3
D ．4
答案：D. 详解：
画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π
202cos x d x ＝2＋2sin x |π20＝4.
变式训练二 题面：
由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 3 B ．9－2 3 C.353
D.323
答案： 详解：
注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ，B 的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为??－31
(3－x 2－2x )d x ＝? ????3x －13x 3－x 2???
1
－3
＝3×1－13×13－12－
?
??
3×－3－1
3×－3
3
]－
－3
2
＝32
3，选D.
题二 题面：
如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )．
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
变式训练一
题面：
函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．
若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________． 答案：π4
.
详解：
设A (x 0,0)，则ωx 0＋φ＝π2，∴x 0＝π2ω－φ
ω. 又y ＝ωcos(ωx ＋φ)的周期为2π
ω， ∴|AC |＝πω，C ? ??
??
π2ω－φω＋πω，0.
依题意曲线段ABC 与x 轴围成的面积为 S ＝－∫π2ω－φω＋πωπ2ω－φ
ωωcos(ωx ＋φ)d x ＝2. ∵|AC |＝πω，|y B |＝ω，∴S △ABC ＝π
2. ∴满足条件的概率为π
4.
变式训练二 题面：
（2012?福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：C. 详解：
根据题意，正方形OABC 的面积为1×1=1， 而阴影部分由函数y=x 与y=
围成，其面积为∫01（
﹣x ）dx=（
﹣
）|01=，
则正方形OABC 中任取一点P ，点P 取自阴影部分的概率为=； 故选C ．
金题精讲 题一 题面：
（识图求积分，二星）已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )．
A ．2π5
B ．43
C ．32
D ．π2
答案：
变式训练一
题面：
如图求由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－1
4x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．
答案：43
. 详解：
由?????
y ＝－x 2，
y ＝－1，
得交点
A (－1，－1)，
B (1，－1)．
由??
?
y ＝－14x
2
，
y ＝－1，
得交点C (－2，－1)，D (2，－1)．
∴所求面积
S ＝2??????∫10? ????－14x 2＋x 2d x ＋??1
2? ????－14x 2＋1d x ＝43.
变式训练二 题面：
例1求在[0,2]π上，由x 轴及正弦曲线sin y x =围成的图形的面积. 答案：4. 详解：
作出sin y x =在[0,2]π上的图象如右 sin y x =与x 轴交于0、π、2π，所 求积220
0sin |sin |(cos )|(cos )|4s xdx xdx x x π
πππ
ππ=+=---=?
?
题二 题面：
（作图求积分，四星）求曲线3
6y x x =-与曲线2
y x =所围成的图形的面积． 交点的横坐标分别为2,0,3-，12112
S =．
变式训练一
题面：
求曲线2
y x =，y x =及2y x =所围成的平面图形的面积. 答案：
76
. 详解：
作出2
y x =，y x =及2y x =的图如右 解方程组2
2y x y x
=??
=? 得2
4x y =??
=?
0x y =??
=? 解方程组2
y x y x =??=?
得1
1x y =??=? 0
0x y =??=?
∴所求面积122
01
(2)(2)s x x dx x x dx =-+-?? 1
2
20
1(2)xdx x x dx =+-?
?
21232
01
11|()|23x x x =
+- 7
6
=
答：此平面图形的面积为7
6
变式训练二 题面：
求由抛物线2
8(0)y x y =>与直线6x y +=及0y =所围成图形的面积. 答案：403
. 详解：
作出2
8(0)y x y =>及6x y +=的图形如右：
解方程组2
860y x x y ?=?+-=?
得2
4x y =??=?
解方程组600x y y +-=??
=? 得60
x y =??=?
∴
所求图形的面积62(6)s x dx =+-??
3226202
2140|(6)|323
x x x +-= 题三
x
题面： （1）由曲线y x =
，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为_______．
（2）由曲线2
y x =与直线2y x =-所围成的封闭图形的面积为_______． 答案：（1）163；（2）9
2
．
变式训练一
题面： 设f （x ）=，函数图象与x 轴围成封闭区域的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：C.
详解：
根据题意作出函数的图象：
根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=
故选C
变式训练二 题面：
已知函数
的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）
A ． 1/2
B ． 1
C ． 2
D ． 3/2
答案：D. 详解：
由题意图象与x 轴所围成图形的面积为
10
2
(1)cos x
dx xdx π--++??
210
021()|sin |2x x x π-=-++ 1
12=+ 32
=
. 故选D ．
题四 题面：
（导数与积分结合，二星）设函数()m
f x x ax =+的导函数为()21f x x '=+，则
2
1
()f x dx -?的值等于______．
答案：56
．
变式训练一
题面：
设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则??12f (－x )d x 的值等于
( )
A.56
B.12
C.23
D.16
答案：A. 详解：
由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是∫21f (－x )d x
＝∫21(x 2
－x )d x ＝? ????13x 3－12x 2???
2
1
＝56.
变式训练二 题面：
设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则??1
2f (－x )d x 的值等于( )
A.56
B.12
C.23
D.16
答案：A. 详解：
由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是??1
2f (－
x )d x ＝??1
2 (x 2－x )d x ＝
???? ????13x 3－12x 221＝56.
题五 题面：
（化简后求积分，四星）（1）求
2
1sin 2xdx π
-
20
sin cos x x dx
π
=-?原式
420
4
(cos sin )(sin cos )x x dx x x dx π
π
π=-+-??22 2.=
（2）4
40
(sin cos )22
x x
dx π
+?
变式训练一
题面：
与定积分∫3π01－cos x d x 相等的是( ) A.2∫3π0
sin x 2d x B.2∫3π0??????
sin x 2d x C.?
??
???2∫3π0sin x 2d x D ．以上结论都不对
答案：B. 详解：
∵1－cos x ＝2sin 2x
2，
∴∫3π01－cos x d x ＝∫3π0
2 ??????
sin x 2d x ＝
2∫3π0?
??
?
??
sin x 2d x .
变式训练二
题面：
40
cos xdx π
=?
________.
答案：22.
详解：
因为40
cos xdx π
=?
sin x ????
π
40
＝sin π4＝22，所以∫π40cos x d x ＝22. 题六 题面：
（定积分的运用，三星）函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．
(1)若φ＝π6，点P 的坐标为????
0，332，则ω＝________；
(2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为________．
[解析] (1)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)求导得，f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，把φ＝π6和点?
???
0，332代
入得ωcos ????0＋π6＝332解得ω＝3．
(2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数f ′(x )＝3cos ????3x ＋π6，求得A ???
?π
9，0， B ????5π18，－3，C ????4π9，0，故△ABC 的面积为S △ABC ＝12×3π9×3＝π
2，曲线段与x 轴所围成的区域的面积S ＝－
???f (x ) 4π9π
9＝－sin ????4π3＋π6＋sin ????3π9＋π6＝2，所以该点在△ABC 内的概率为P ＝S △ABC S ＝π
4
.
同类题一
题面：
设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2. (1)求y ＝f (x )的表达式；
(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 答案：
(1) f (x )＝x 2－2x ＋1.
(2) 13. 详解：
(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2，
所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2－2x ＋1.
(2)依题意，所求面积为
S ＝?
?0
1(x 2－2x ＋1)d x ＝(13x 3－x 2＋x )|10
＝1
3.
同类题二 题面：
设y =f （x ）是二次函数,方程f （x ）=0有两个相等的实根，且
f ′（x ）=2x +2.
（1）求y =f （x ）的表达式；
（2）求y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
（2）若直线x =－t （0＜t ＜1＝把y =f （x ）的图象与两坐标轴所围成图形的面
积二等分，求t 的值. 答案：
（1）f （x ）=x 2+2x +1. （2）13
.
（3）t =1－32
1. 详解：
（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，则f ′（x ）=2ax +b ， 又已知f ′（x ）=2x +2 ∴a =1，b =2.
∴f （x ）=x 2+2x +c
又方程f （x ）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c =0，即c =1. 故f （x ）=x 2+2x +1.
（2）依题意，有所求面积=3
1
|)31()12(01
23201
=++=++--?
x x x dx x x . （3）依题意，有x x x x x x t t d )12(d )12(2
021++=++??---，
∴0
23123|)31(|)31
(t t x x x x x x ---++=++，－
31t 3+t 2－t +31=3
1
t 3－t 2+t ，2t 3－6t 2+6t －1=0，
∴2（t －1）3=－1，于是t =1－3
2
1.
思维拓展 题一 题面：
（几何法求积分，四星）
（1）计算
?
，1
2
1sin x xdx -?；（2）求椭圆22
221x y a b
+=的面积．
0044b S a ==??，转化为圆的面积．
同类题一
题面：
求定积分1
1
dx -?
的值.
答案：
2
π． 详解：
1
1
dx -?
表示圆x 2＋y 2
＝1在第一、二象限的上半
圆的面积．
因为2
S π=半圆，又在x 轴上方．
所以1
1
dx -?
＝
2
π．
同类题二 题面：
20
)a
x dx -?
的值是（ ）
A.
143π
- B. 143π+ C. 123π- D. 12
π- 答案：A. 详解：
积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x 2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，
故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x 轴和直线x=1围成的图形的面积之差．
即
20
)a
x dx -?
1
231001|4
43
x dx x π
π
=
-=
-? 14
3π
=
-
.
故答案选
A