定积分的应用练习题

题型

1. 由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积

2. 由已知条件，根据定积分的方法、性质、定

义，求体积内容一．微元法及其应用二．平面图形的面积

1.直角坐标系下图形的面积

2.边界曲线为参数方程的图形面积

3.极坐标系下平面图形的面积三．立

体的体积1.已知平行截面的立体体积

2.旋转体的体积四．平面曲线的弦长

五．旋转体的侧面积六．定积分的应

用1.定积分在经济上的应用2.定积分在物理上的应用题型题型I 微元法的应用题型II 求平面图形的面积题型III 求立体的体积

题型IV 定积分在经济上的应用题型V 定积分在物理上的应用

自测题六

解答题

4月25日定积分的应用练习题

?填空题

Vx 1 V X 3相应于区间［1 , 3］上的一段弧的长度为

C ? —2

1.求由抛物线线y x 2x ,

直线X 1和X 轴所围图形的面积为

2 2

2.抛物线y

2x 把圆x 8分成两部分，求这两部分面积之比为

3.由曲线

2 2

x y 4y,x

2 y 及直线y 4所围成图形的面积为

5.双纽线 r 2 .3sin2相应于 —上的一段弧所围成的图形面积为

x 6.椭圆 y

a cost bsin t （a 0,

b 0）所围成的图形的面积

为选择题

由曲线y 2

x , x

y 所围成的平面图形的面积为

1 2

A ? —

B ?

C ?

心形线 r a(1 cos ）相应于

x 2的一

1. 2.

段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（

3. 曲线

-相应于区间［0,a ］上的一段弧线的长度为

4. 由曲线y e x

0,y 2所围成的曲边梯形的面积为（

）

。

A. In ydy

e 2

B. e x

In 2

C. ln ydy

D. 2

e x

4.曲线y

三?解答题

1.求曲线y 2x,xy 2, y

所围成的平面图像的面积

求C 的值(Ov C v 1 =，使两曲线 y

3.已知曲线x ky

0)与直线y

x 2与y Cx 3所围成图形的面积为 - 3

x 所围图形的面积为

，试求k 的值.

0)与在点(-1, 0)和(1, 0)处的法线所围成的平面图形的面

积最小.

x 1上的一点，使该点处的切线及两坐标轴所围成图形的面积最小，并求

7.求由下列各平面图形的面积：

(1) r 2a cos (3) r 3(1 cos )

① 内摆线

. 3

x acos t, y a sin t

;②

4月26日定积分的应用练习题

基础题: 1.由曲线

y sinx

和它在x

-处的切线以及直线x

所围成的图形的面积是

x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ____________

2. 星形线 x acos t ， y a si nt 的全长为 ____________

3. 由抛物线y x 2

及y

x 所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积为 ________________

2 3 2 x

半立方抛物线y — x 1被抛物线y —截得的一段弧的长度为 _______________________

3 3

此最小面积 2

6.求椭圆x

3 2

与 T

所围公共图形的面积

8.求由下列曲线所围区域的面积

：(②，③，④图应补

全)

③ x

cos 41, y sin 4

t,t

% ;④

x 2t t

y 2t

2 t 3

4.求a 的值，使曲线 y a(1 x 2

) (a 5.在第一象限内求曲线

(2)r 2sin 与r 1的公共部分

(4) r , 2sin 与r 2

cos2的公共部分

0 1

图7.1-4③

5. 求抛物线y 2x x 2与x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积为 ____________________

6. 由y x

,x 2,y 0所围成的图形，分别绕 x 轴及y 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积分别为

7.由曲线x y,x 4和x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积为(

B. 32

受水的压力为(

8.曲线y 相应于区间［0, a ］上的一段弧线的长

度为

9 .水下由一个矩形闸门，铅直地浸没在水中. 它的宽为 2m, 高为 3m,水面超过门顶

2m ，则闸门上所

A. 245kN

B. 245N C . 205. 8N D. 205. 8kN 10. . (1)由曲线 x 2

, y x 所围成的图形绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积为 (2 )由双曲线 1

和直线x e,x 1与x 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积 x (3)曲线y Jx ^Vx 3相应于区间［1，3］上的一段弧的长度为 3 ⑷曲线x 2 (y 5) 16绕x 轴旋转所得旋转体的体积为 11.如右图，阴影部分面积为( ) A . b a") g(x)]dx

B . c

a 【g(x) b

f(x)]dx c [f(x) g(x)] dx

C . b a 【f (X) b g(x)]dx c [g(x) f (x)] dx

D . b a 【g(x) f (x)] dx

12.如图，

设点1 P 从原点沿曲线y= x 2

向点A(2,4)移动, 2 记直线OP 、曲线y= x 2及直线x= 2所围成的面积

分别记为Si, S 2,若S 1 = S 2,则点P 的坐标为 ____________ 13.求曲线y . x 0 x 4上的一条切线，使此切线与直 x 0, x 4以及曲线y -x 所围成的平面图形的面积最小 14.曲线y 2 2x 2和y .1 x 2围成一平面图形.求 (1)该平面图形的面积.

(2)将该平面分别绕 x 轴和y 轴旋转而成的旋转体的体积.

x a(cost tsint)

15. 求曲线

(0 t 2 ) 的弧长

y a (sin t t cost )

16. 一截面为等要梯形的贮水池，上底宽 6m,下底宽4m,深2m ，长8m ?要把满池水全部抽到距水池上方

20m 的水塔中，问需要做多少功？

17. 有一立体以抛物线 y 2

2x 与直线 x 2所围成的图形为底，而垂直于抛物线轴的截面都是等边三角形，求其体积。

x a, x 2

及

y 0

所围成的平面区域，其中 0 a 2.

试求：

(i )

绕y

轴旋转所成的旋转体的体积

M ，以及D 2绕x 轴旋转所成的旋转体的体积

(2)求常数a

的值，使得 D 1

的面积与D 2

的面积相等

(1)求该平面图形绕 x

轴旋转一周所得的旋转体的体积 .

(2)求常数a

，使直线x a 将该平面图形分成面积相等的两部分

20.设由抛物线 y x

(x 0)，直线 y a 2(0 a 1)与 y 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积

记为 V i (a)，由抛物线y x 2(x 0)，直线y a 2

(0 a 1)与直线x 1所围成的平面

图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为

V 2(a)，另V(a) V 1(a) V 2(a)，试求常数a 的值，使

V(a) 取得最小值。

18 .设 D

1 是由抛物线 y

和直线

a, y

所围成的平面区域，

2 是由抛物线 y

和直线

19.设平面图形由曲线 y

， y 2x

与直线 x 1所围成

定积分的应用

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。关键词定积分定积分的应用求旋转体体积变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=?

定积分及其应用练习带详细答案

定积分及其应用题一题面：求由曲线2 (2)y x =+与x 轴，直线4y x =-所围成的平面图形的面积．答案：323 ．变式训练一题面：函数f (x )＝???? ? x ＋2－2≤x <0， 2cos x ? ? ???0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) B ．2 | C ．3 D ．4 答案：D. 详解：画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π 202cos x d x ＝2＋2sin x |π20＝4. 变式训练二题面：由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) ￥ A ．2 3 B ．9－23 答案：详解：

注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ，B 的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为??－3 1(3－x 2－2x )d x ＝? ???? 3x －13x 3－x 2??? 1 －3＝3×1－13×13－12－ ? ?? 3×－3－1 3×－3 3 ]－－3 2 ＝32 3，选D. 题二 ^ 题面：如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )． A ．1 B ．1 C ．1 D ．17 变式训练一题面：函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．

定积分典型例题20例答案(供参考)

定积分典型例题20例答案例1 求2 1lim n n →∞L ．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?．例2 0 ? =_________．解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?．解（1）()f x '=42 2x x xe e ---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?．例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________．解对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．

一元一次不等式(积分问题)应用题专题 (答案已补)

一元一次不等式（积分问题）应用题专题(附答案) 1、某次数学测验共20道题（满分100分）。评分办法是：答对1道给5分，答错1道扣2分，不答不给分。某学生有1道未答。那么他至少答对几道题才能及格？解：设答对x题，则答错20-1-x=(19-x)题。5x-(19-x)*1>=80解得x>=16.5，因为题数是整数，所以x=17所以至少要答对17题。 2、在一次竞赛中有25道题，每道题目答对得4分，不答或答错倒扣2分，如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分，至少要答对多少道题目？解：设至少需要做对x道题(x为自然数)。 4x －2×(25－x)≥60 4x－50＋2x≥60 6x≥110 X≥19答：至少需要做对19道题 3、一次知识竞赛共有15道题。竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？解：设神箭队答对x题。则答错15-2-x，即（13-x）题8x-4（13-x）>90解得x>71/6所以至少答对12道题设飞艇队答对x题。则答错(15-x)题8x-4(15-x)>90解得x>25/2所以至少答对13道题 4、在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？

解：设命中X次，脱靶（10-X）次5x-(10-x)>=356x>=45因为X为整数，所以X=8 5.有红、白颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的两倍比红球多，若把每一个白球都记作数2，每一个红球都记作数3，则总数为60，求白球和红球各几个？设红球x个，白球y个，则y

不定积分计算的各种方法论文.doc

不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分一、引言不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。二、不定积分的概念定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()R F∈ x C C +称为函数f(x)的不 ? 定积分，表为

?+=C x F dx x f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）, 其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。列如： at at =??? ? ??' 221，而?+=C at atdt 221； () x x cos sin ' =,而?+=C x xdx sin cos ； 2 ' 331x x =??? ? ??，而?+=C x dx x 3231. 这也就是说： ()?)(d x f dx 和?dx x f )(' 是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。三、不定积分的计算方法 1.直接积分法既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表：（1）、?+=C ax adx ,其中a 是常数. ?+=C x dx . （2）、?++= +C x dx 11 1 x ααα，其中α是常数，且α≠-1. （3）、? +=C x x dx ln ,x ≠0. （4）、C a a dx a x x +=?ln 1 ,其中a>0，且a ≠1.

定积分典型例题11198

定积分典型例题例1 求21lim n n →∞L ．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?．例2 ? =_________．解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ．例18 计算2 1 ||x dx -?．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?．分析被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ．解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．

定积分典型例题精讲

定积分典型例题例1 求332 1lim )n n n →∞+．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子 1 n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分.即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=3 4 =?. 例２ ? =___＿_＿_＿_．解法1 由定积分的几何意义知，0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= （0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法２本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ）,则 ? =22 tdt ππ-?=2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较12 x e dx ?,2 1 2 x e dx ?,1 2 (1)x dx +?．分析对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小,而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上单调递增,从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上,有1x e x >+.又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?,从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???．解法2 在[1,2]上,有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+.注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?.因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??.

定积分方法和应用

例3 求由曲线及轴所围图形的面积。解画草图，曲线与的交点是，取为积分变量，时，，时，，所以，例4求由圆与直线及曲线所围图形的面积。解画草图，取为积分变量，

例5 求抛物线与其在点处的法线所围成图形的面积。解先求出法线方程，画出草图，再求出法线与抛物线的两个交点，所以，例6 求曲线的一条切线，使得该切线与直线及曲线所围成的图形的面积 A 为最小。解（1）关键是找出目标函数，即所围面积与切点坐标间的函数关系。设为曲线上任一点，则此点处的切线方程为 , 于是所求面积

= （2）下面求 A 的最小值：令得。又当，时；当时，。故当时，A 取极小值，也是最小值，从而得到切线方程参数方程的情形按直角坐标情形分析，参数方程相当于积分时把积分变量做了变换。不用记公式。由连续曲线，轴及直线、所围图形的面积为其中例7求摆线的一拱与轴所围成的平面图形的面积。

解如图，对应与图中摆线的一拱，的变化范围为，参数t 的变化范围为。故所求面积为

= 2. 极坐标情形设曲线的极坐标方程为连续，由曲线及射线所围曲边扇形的面积为（记住）例8 求双纽线所围成的平面图形的面积。

解由于双纽线的图形和极轴与极点都对称，因此只需求出区间上部分面积再 4 倍即可 1. 平行截面面积已知的立体体积设空间立体被垂直于轴的平面所截，截面面积为，且立体在之间，则体积元素，立体体积例9 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。解取这平面与圆柱体的底面的交线

微积分作业(应用题6题)

应用题： 1.设生产某种产品x 个单位时的成本函数为C(x)=100+0.25x 2 +6x (万元) 求:(1)当x=10时的总成本、平均成本和边际成本; (2)当生量x 为多少时,平均成本最小? 解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为： C （X ）=100+0.25X 2+6X c (X)= X 100 +0.25X+6,,C ' (X)=0.5X+6 所以C(10)=100+0.25×102+6×10=185c (10)= 10100+0.25×10+6=18.5C '(10)=0.5×10+6=11 (2)令'C =－2 100X +0.25=0,得X=20(X=－20舍去) 因为X=20是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当X=20时,平均成本最小. 2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p(q 为需求量,p 为价格).试求: (1)成本函数,收入函数; (2)产量为多少吨时利润最大? 解：（1）成本函数C （q ）=60q+2000 因为q=1000－10p,即p=100－ 101q 所以收入函数R （q ）=p ×q=(100－101q)q=100q －10 1 q 2 （2）因为利润函数L(q)=R(q) －C(q)=(100q －101 q 2－(60q+2000) =40q －10 1 q 2－2000 且'L (q)=(40q －10 1 q 2－2000)’=40－0.2q 令'L (q)=0, 即40－0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定义域内的唯一驻点. 所以,q=200是利润函数L （q ）的最大值点，即当产量为200吨时利润最大。 3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数q=2000-4p,其中p 为价格,q 为产量,这种产品在市场上是畅销的试求:(1)价格为多少时利润最大? (2)最大利润是多少? 1、解：（1）C （p ）=50000+100q=50000+100(2000－4p) =250000－400p R(p)=pq=p(2000－4p)=2000p －4p 2 利润函数L （p ）=R(p) －C(p)=2400P －4p 2－250000,且令 'L (p)=2400－8p=0 得p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。（2）最大利润L(300)=2400×300－400×3002－250000=110000(元)

不定积分的典型例题

例1．計算 dx x x ?++1 1 42 解法1 ).12)(12(1224+- ++ =+x x x x x 而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以 )121 121(21112242dx x x dx x x dx x x ???++++-=++ . )]12arctan()12[arctan(2 11 )12( ) 1221 1 )12( ) 12(21) 21)22(121)22(1[212 2 22c x x x x d x x d dx x dx x +++-= ++++ +--=++ ++- =???? 解法2 dx x x x x x x x dx x x ??+++-++-=++)12)(12(2)12(112 2242 . arctan 21)12arctan(211212242 c x x dx x x x x dx +++=++++=?? 解法3 ???+-=++=++≠22222421)1 (11111,0x x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x x x x d +-=+--=?21arctan 212)1() 1 (22 ,2 221arctan 2 1lim 20 π - =-+ →x x x Θ ,2 221arctan 21lim 20π=--→x x x

由拼接法可有 .0 2 221arctan 2100 ,2 221arctan 21112242 ??? ? ? ? ?<+--=>++-=++?x c x x x x c x x dx x x ππ 例2.求 .) 1()1(2 2 23dx x x x ?+++ 解将被积函数化为简单的部分分式 (*)1 )1(1)1()1(222223?????++++++=+++x D Cx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .2 11)1(2)1(2 3=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为 . 2.24 26)1() 2(2)1(3lim ]12[lim )1() 1()1(2[lim 2232212312 2231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以 .2 1 -=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得 .1,1-=?+=C C A 故有 . arctan 2 1 )1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dx x D Cx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++?? 例3. 求 .) ()1(2 424dx x x x x ? ++ 解令 ,2x u =再用部分分式，則

§定积分的应用习题与答案

第六章定积分的应用（A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y = 与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1= 与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3cos =，t a y 3sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的面积

２、求对数螺线θρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积３、求由曲线x y sin =和它在2π =x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体的体积５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积６、计算曲线()x y -= 33 3上对应于31≤≤x 的一段弧的长度７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长

８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧原长拉伸6cm ，计算所作的功９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功１０、设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？１１、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力１２、设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 2 3=+ 所围成的平面图形为D 1）求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积

定积分典型例题56177

定积分典型例题例1 求332 1lim )n n n →∞+．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 3321lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=03 4 =?．例2 ? =_________．解法1 由定积分的几何意义知，0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π．例18 计算 2 1 ||x dx -? ．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 2 1 ||x dx -? ＝02 1 ()x dx xdx --+?? ＝220210[][]22x x --+＝5 2 ．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算 2 20 max{,}x x dx ? ．分析被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ．解 232 12 2 2 12010 1 1717 max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且1 ()3()f x x f t dt =+? ，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分 ()b a f x dx ? 是常数（,a b 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而 1 ()f t dt ? 是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且1 1 (3)()x a dx f t dt a +==??．所以

定积分及应用题库A

定积分及其应用题库A 一.填空题 1. 由定积分的几何意义计算 ? -=+2 1 )32(dx x _______ ? =-2 24dx x _________ ? =π cos xdx ______ ?-=21 dx x _________ 2.若??=+b a a b dt t f dx x f b a x f )()(则,上连续],[在)( . 3．由曲线])1,0[(2∈=x x y 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为_______________。 4．由曲线)2 0(cos π ≤ ≤=x x y 与x 轴及直线x=0所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为_______________。 5.?-=1 134sin xdx x . 6.广义积分， ? ∞ +- =1 3 4 dx x _____。 7.设? ??≥=0,10 ,)(x ＜x x x f ，则=?-dx x f )(21 . ★8. ._______sin 02 =?dt t dx d x ★9.设==-≠?k x x k k 则且,0)2(,00 2 . ★10.=+? +∞ 02 11 dx x . 二、选择题 1．下列等于1的积分是（） A ．dx ?1 01 B ．dx x ?+10)1( C ．dx x ?10 D ．dx ?1021 2.? -+π π dx x x x 2 21sin 等于（） A 、2 B 、－1 C 、0 D 、1 3．dx e e x x ?-+1 0)(= （） A ．e e 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1 - 4.已知?=x tdt x f 02sin )(，则)4 (π f '= （）

高数定积分的应用

第六章定积分的应用教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6.1 定积分的元素法回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) ( 是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以

[a , b ]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A )( . 一般情况下, 为求某一量U , 先将此量分布在某一区间[a , b ]上, 分布在[a , x ]上的量用函数U (x )表示, 再求这一量的元素dU (x ), 设dU (x )=u (x )dx , 然后以u (x )dx 为被积表达式, 以[a , b ]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U )(. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积 1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.

定积分典型例题

定积分典型例题例 1 求 Iim J 2(^n τ +Q2n 2 +H ∣ +V ∏3). n _.: ∏ 分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限?若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间［O, 1］n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 1 III 1 解将区间［0, 1］ n 等分，则每个小区间长为.汉=丄，然后把—=丄1的一个因子-乘入和式中 n n n n n 各项?于是将所求极限转化为求定积分?即 n i ?^贰+痢+山+疔)=曲(￡ +￡ +川+晋)=MdX=扌? 例 2 ￡ J 2x 一 X d X __________ . 解法1由定积分的几何意义知， °?2x -χ2dx 等于上半圆周(x_1) y =1 (y_0) 与X 轴所围成的图形的面积?故 2? 2^x 2dx = _ ? ■° 2 解法2本题也可直接用换元法求解?令 x_1 = sint (—巴

不定积分_定积分复习题与答案

上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（）（A ）3sin ax C a x +；（B ）2sin ax C a x +；（C ）sin ax C ax +；（D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（）（A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（）（A ）123s s s <<；（B ）213s s s <<；（C ）312s s s <<；（D ）231s s s <<

不定积分的计算

不定义：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f （x ），即对任一x ∈I ，都有 ()()dF(x)=f(x)dx F x f x '=或那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数F （x ），使对任一x I ∈都有 ()()F x f x '= 简单地说：连续函数一定有原函数。一、换元积分法 1、第一类换元法定理：设f （u ）具有原函数，()u x ?=可导，则有换元公式：()[()]()[()]u x f x x dx f u ???='=?，设要求()g x dx ?，如果函数g （x ）可以化为g x [()]()x x ??'?（）=的形式，那么 ()()[()]()[()]u x g x dx f x x dx f u du ???='==?? . 这样，函数g （x ）的积分即化为函数f （u ）的积分，如果能求得f （u ）的原函数，那么也就求出了g(x)的原函数。例，求 ? 解：被积函数中，cos2x 是一个复合函数：cos2x=cosu ，u=2x ，常数因子恰好是中间变量u 的导数，因此，作变换u2x ，便有： 2cos 2cos 22cos 22()cos sin 22cos 2sin 2xdx x dx x x dx udu u c u x xdx x c =?=?= =+==+?????即将代入得 2、第二类换元法定理：设()x t ?=是单调的可导的函数，并且()0t ?'≠，又设[()]()f t t ??'具有原函数，则有换元公式：1 x ()[[()]()]t f x dx f t t dt ???-='=??（）（2）其中1 x ?-（）是()x t ?=的反函数。证明：设[()]()f t t ??'的原函数为()t Φ，记1 [()](x F x ?-Φ=），利用复合函数及反函数的求导法则。得到：1 F ()[()]()[()]()() d dt x f t t f t f x dt dx t ????Φ''= ? =? ==' 即F(x)是f （x ）的原函数，所以有：1 ()()[()]f x dx F x c x c ?-=+=Φ+? =1 () [[()]()]t x f t t dt ? ??-='?