2019-2020学年陕西省西安中学高三(上)期中数学试卷1 (含答案解析)

2019-2020学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷1

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合M ={x|?1≤x <3}，N ={x|x <0}，则集合M ∩(?R N)=( )

A. {x|0≤x <3}

B. {x|?1≤x <0}

C. {x|x

D. {x|x

2. 若复数z =1

2+i ，则z 的共轭复数z ?

在复平面上对应的点为( )

A. (1

2,1)

B. (1

2,i)

C. (1

2,?i)

D. (1

2,?1)

3. 已知命题p ：?x 0∈R ，sinx 0≥1

2，则￢p 是( )

A. ?x 0∈R ，sinx 0≤1

2 B. ?x 0∈R ，sinx 0<1

2 C. ?x ∈R ，sinx ≤1

2

D. ?x ∈R ，sinx <1

2

4. 若正数m ，n 满足m +n +3=mn ，不等式(m +n)x 2+2x +mn ?13≥0恒成立，则实数x 的

取值范围是 ( )

A. (?∞,?1]?[2

3,+∞) B. (?∞,?1]?[1

2,+∞) C. (?∞,?1

2]?[1

3,+∞) D. (?∞,?1

2]?[1

6,+∞) 5. 已知{a n }是正项等比数列，{b n }是等差数列，且a 4=b 5，则( )

A. a 2+a 6≥b 3+b 7

B. a 2+a 6≤b 3+b 7

C. a 2+a 6≠b 3+b 7

D. a 2+a 6=b 3+b 7

6. 已知函数f(x)={x 2+4x +m,x ??1

log 2(x +1),x >?1

，若函数g(x)=f(x)+1有三个零点，则实数m 的取值

范围是( )

A. (2,+∞)

B. (2,3]

C. [2,3)

D. (1,3)

7. 已知函数f(x)=sin 2x +sinxcosx ?1

2，则下列说法错误的是( )

A. f(x)的最小正周期是π

B. y =f(x)关于x =π

4对称

C. f(x)在[3π8,7π

8]上单调递减

D. f(x)的最小值为?√22

8. 已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP

????? =x AB ????? +y AC ????? ，则xy 的取值范围是( )

A. [19,4

9]

B. [19,1

4] C. [29,1

2] D. [29,1

4]

9. 直三棱柱ABC ?A 1B 1C 1底面是等腰直角三角形，AB ⊥AC ，BC =BB 1，则直线AB 1与BC 1所成角

的余弦值为( )

A. √3

6

B. 2

3

C. √32

D. 1

2

10.函数f(x)=x2+2(a?1)x+2在区间(?∞,6]上递减，则a的取值范围是()

A. [?5,+∞)

B. (?∞,?5]

C. (?∞,7]

D. [5,+∞)

11.函数f(x)=x

x2+a

的图象不可能是()

A. B.

C. D.

12.已知函数f(x)的定义域为R，且f(1)=2.对任意x∈R，有f′(x)<1，则不等式f(2x)<2x+1的

解集为()

A. (1,+∞)

B. (1

2

,+∞) C. (?∞,2) D. (?∞,1)

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.函数f(x)=(x+1)e x在点(0,1)处的切线方程的斜率为________．

14.已知向量m??? =(1,a)，n?=(4

a

,3a+1)，若m??? //n?，则实数a=______．

15.将函数f(x)=sin(ωx?π

6)(ω>0)的图象向左平移π

3

个

单位后，所得图象关于直线x=π对称，则ω的最小值为____．

16.三棱锥P?ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB+PC=

4，则当三棱锥的体积最大时，球O的表面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知正项数列{a?n}首项为2，其前n项和为S n，满足2S n?S n?1=4(n∈N??，n≥2)．

(1)求a2，a3的值；

(2)求数列{a n}的通项公式；

(3)设，数列{b n b n+2}的前n项和为T n，求证：T n<3

4

．

18. 在△ABC 中，AC =BC ，D 为边AC 的中点，AB =BD ．

(Ⅰ)求sin C ；

(Ⅱ)若△ABD 的外接圆半径为1，求△BDC 的外接圆半径．

19. 某化肥厂近几年的化肥产量统计如表：

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，预测该化肥厂2019年的化肥产量．

参考资料：y ?=b ?x +a ?，b ∧

=6

i=1

i ?x)(y i ?y)

∑(6x ?x)2

．

20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)过A(?1,32)、B(√3,?√3

2

)两点，过点P(0,1)的动直线l 与椭圆交于C 、D 两点

(1)求椭圆E 的标准方程；

(2)当CP ????? =2PD ????? 时，求直线l 的方程．

21. 设函数f(x)=(x ?a)lnx +b ．

(1)当a =0时，讨论函数f(x)在[1

e ,+∞)上的零点个数；

(2)当a >0且函数f(x)在(1,e)上有极小值时，求实数a 的取值范围．

22. 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x +y =4，曲线C 2：{x =1+cosθ

y =sinθ

(θ为参数)，以坐标原点为

极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)写出直线C 1与曲线C 2的极坐标方程；

(Ⅱ)若射线l ：θ=α(ρ>0)分别交C 1与C 2于A ，B 两点，求|OB|

|OA|的取值范围．

23.已知函数f(x)=|x?a|．

(1)若a=2，解不等式：xf(x)

(2)若f(x)+f(x+2a)≥|a|?|a?1|+3对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：解：∵集合M={x|?1≤x<3}，N={x|x<0}，

∴C R N={x|x≥0}，

集合M∩(?R N)={x|0≤x<3}．

故选：A．

推导出C R N={x|x≥0}，由此能求出集合M∩(?R N)．

本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

2.答案：D

解析：解：∵z=1

2

+i，

∴z?=1

2

?i，

∴z?在复平面上对应的点为(1

2

,?1)．

故选：D．

由已知求得z?，则答案可求．

本题复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3.答案：D

解析：解：因为特称命题的否定是全称命题所以，命题p：?x0∈R，sinx0≥1

2，则￢p是?x∈R，sinx<1

2

．

故选：D．

直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．

4.答案：A

解析：

【分析】

本题主要考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式，灵活变换主元是解决本题的关键，属中档题．【解答】

解：∵正数m，n满足m+n+3=mn，

∴m +n =mn ?3≥2√mn ，

∴mn ≥9，当且仅当“m =n =3”时取等号． 令t =mn ，则t ≥9．

(m +n)x 2+2x +mn ?13≥0?(t ?3)x 2+2x +mn ?13≥0?(x 2+1)t ?3x 2+2x ?13≥0 令g (t )=(x 2+1)t ?3x 2+2x ?13(t ≥9)

则关于t 的一次函数g (t )=(x 2+1)t ?3x 2+2x ?13≥0在[9,+∞)上恒成立， 所以(x 2+1)×9?3x 2+2x ?13≥0， 即3x 2+x ?2≥0， 解得x ≤?1或x ≥2

3． 故选A ．

5.答案：A

解析： 【分析】

本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题目． 【解答】

解：因为{a n }是正项等比数列，{b n }是等差数列， 所以a n =a 1·q n?1?,b n =b 1+(n ?1)d ． 又因为a 4=b 5，所以a 1q 4=b 1+4d ．

a 2+a 6=a 1q +a 1q 5?,

b 3+b 7=2(b 1+4d )=2b 5=2a 4．

a 2+a 6?2a 4=a 1q +a 1q 5?2a 1q 3=(a 1q 5?a 1q 3)?(a 1q 3?a 1q )=a 1q (q 2?1)2≥0． 所以a 2+a 6?

b 3+b 7． 故选A ．

6.答案：C

解析： 【分析】

本题考查了函数图象的运用，运用图象判断函数零点的问题，难度不大，属于中档题，关键画出图象，确定关键的点．

转化为y =f(x)与y =?1图象有3个交点，画出f(x)的图象，y =?1运动观察即可． 【解答】

解：∵函数f(x)={

x 2+4x +m,x ??1

log 2(x +1),x >?1, 若函数g(x)=f(x)+1有三个零点，

∴y =f(x)与y =?1图象有3个交点，

结合图像即{

f(?2)

f(?1)≥?1

, f(?1)=m ?3??1，f(?2)=m ?4

7.答案：B

解析： 【分析】

本题考查正弦型函数的性质，考查二倍角公式和辅助角公式，属于中档题． 利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，根据正弦型函数的性质依次判断即可． 【解答】

解：f(x)=sin 2x +sinxcosx ?1

2 =

1?cos2x

2

+12

sin2x ?1

2

=

√2

2

sin (2x ?π

4

)， 最小正周期为2π

2=π，故A 正确； 令x =π

4，得

，

所以x =π4不是函数的对称轴，故B 错误； 当x ∈[3π8,

7π

8

]时，2x ?π4

∈[π2

,

3π

2

]，

∵y =sinx 在[π2,3π

2]上是减函数，

所以f(x)在[3π8,

7π

8

]上单调递减，故C 正确；

由解析式可得f(x)的最小值为?√2

2

，故D 正确．

故选B ．

8.答案：D

解析：解：D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP ????? =x AB ????? +y AC ????? ， 可得x +y =1，x ，y ∈[13,2

3]， 则xy ≤(

x+y 2

)2

=14，当且仅当x =y =1

2

时取等号， 并且xy =x(1?x)=x ?x 2，函数的开口向下，对称轴为：x =1

2，当x =1

3或x =2

3时，取最小值， xy 的最小值为：2

9． 则xy 的取值范围是：[29,1

4]. 故选：D ．

利用已知条件推出x +y =1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．

9.答案：A

解析： 【分析】

本题主要考查了异面直线所成角，建立空间直角坐标系即可解得答案，属于基础题． 【解答】

解：以A 为原点建立空间直角坐标系，AB 为x 轴，AC 为y 轴， 所以A(0,0，0)，B 1(a,0，√2a)，B(a,0，0)，C 1(0,a ，√2a)， 所以AB 1??????? =(a,0，√2a)，BC 1??????? =(?a,a ，√2a)，

所以cos =√36 ，

故选A ．

10.答案：B

解析： 【分析】

根据题意求出二次函数的对称轴，即可得到函数的单调减区间，再结合题意进而得到答案． 本题主要考查一元二次函数的单调区间． 【解答】

解：由题意可得：函数f(x)=x 2+2(a ?1)x +2， 所以函数的对称轴为x =1?a ，

所以二次函数的单调减区间为(?∞,1?a]，

又因为函数f(x)=x 2+2(a ?1)x +2在区间(?∞,6]上递减，

所以6≤1?a，即a≤?5．

故选B．

11.答案：D

解析：

【分析】

本题考查函数的单调性的应用，函数的导数的应用，赋值法的应用，考查转化思想以及计算能力．通过a的取值，判断函数的图象，推出结果即可．

【解答】

解：当a=0时，函数化为y=1

x

，函数的图象为：C；

当a=1时，x=0时，y=0，x≠0时，函数化为y=

1

x+1

x

，函数的图象为：B；

当a=?1时，函数化为y=

x

x2?1

=1

x?1

x

，

当x∈(0,1)时，y=x?1

x

为增函数且y<0，

则函数y=

1

x?1

x

是减函数，f(0)=0，

可知函数的图象为：A；

故选D.

12.答案：B

解析：

【分析】

本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解决本题的关键是构造法的运用，属于中档题．先构造函数F(x)=f(x)?x，根据条件求出函数F(x)的单调性，结合不等式f(2x)?2x

【解答】

解：令F(x)=f(x)?x，则

F′(x)=f′(x)?1<0，

∴函数F(x)在R上单调递减函数，

∵f(2x)<2x+1，

∴f(2x)?2x

根据函数F(x)在R上单调递减函数可知2x>1，

，

解得：x>1

2

故选B．

13.答案：2

解析：

【分析】

本题考查导数的运用：求切线的斜率，正确求导是解题的关键，属于基础题．

求出函数的导数，可得切线的斜率．

【解答】

解：因为函数f(x)=(x+1)e x的导数为：f′(x)=(x+2)e x，

可得函数图象在点(0,1)处的切线斜率为：(0+2)×e0=2，

故答案为2．

14.答案：1

解析：

【分析】

本题主要考查平面向量共线的充要条件，属于基础题，

根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得3a+1=4，解得a的值，即可得答案．

【解答】

,3a+1)，

解：根据题意，向量m??? =(1,a)，n?=(4

a

若m??? //n?，3a+1=a×4

，

a

解可得a=1．

故答案为1．

15.答案：1

2

解析：

【分析】

本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．

利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得新的解析式，再利用三角函数的图象的对称性求得ω的最小值．

【解答】

解：将函数f(x)=sin(ωx?π

6)(ω>0)的图象向左平移π

3

个单位后，

可得函数y=sin(ωx+πω

3?π

6

)的图象；

再根据所得图象关于直线x=π对称，可得ωπ+πω

3?π

6

=kπ+π

2

，k∈Z，

∴当k=0时，ω取得最小值为1

2

，

故答案为1

2

．

16.答案：9π

解析：

【分析】

本题考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P?ABC视为正四棱柱的一部分，求出△ABC外接圆的半径，即可求出球的表面积．

【解答】

解：由题意，V=1

3×1

2

×1?PB?PC

≤1

24(PB+PC)2=2

3

，

当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，

如图所示，将P?ABC视为正四棱柱的一部分，

则CD=2R，即PA2+PB2+PC2=4R2=9，可得R=3

2

，

故球的表面积是：S=4π×9

4

=9π，

故答案为：9π．

17.答案：解：(1)在2S n?S n?1=4中，a1=2

令n=2时，

则2(a1+a2)?a1=4,

解得，

令n=3时，

则2(a1+a2+a3)?(a1+a2)=4，

解得a3=1

2

；

(2)由2S n ?S n?1=4，①

得2S n?1?S n?2=4(n ∈N ?,n ≥3)，② ①?②得a n =1

2a n?1(n ∈N ?,n ≥3)， 又a 2=1

2a 1，

所以数列{a n }是首项为2，公比为1

2的等比数列． 故a n =2×(1

2)n?1=(1

2)n?2． (3)证明：因为

，

所以b n b n+2=1

n(n+2)=12(1

n ?1

n+2)． 故数列{b n b n+2}的前n 项和

T n =12[(1?13)+(12?14)+?+(1n ?1n +2)]

=12(1+12?1n +1?1n +2) =12(32?1n +1?1n +2

) =3

4?1

2(1

n+1+1

n+2)<34．

解析：本题考查数列的运算，数列的递推关系，等比数列的通项公式以及数列求和方法，属于中档题．

(1)由2S n ?S n?1=4，依次令n =2，3，即可求得a 2，a 3的值；

(2)把2S n ?S n?1=4中n 换成n ?2，得到2S n?1?S n?2=4，两式相减得到a n =1

2a n?1，利用等比数列的通项公式求得数列{a n }的通项公式；

(3)求出{b n }的通项，得到b n b n+2=1

n(n+2)=12(1

n ?1

n+2)，利用裂项相消法求和即可证得不等式．

18.答案：解：(1)连接BD ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，且a =b ，c =BD ．

在△BCD ，△ABC 中由余弦定理得：{c 2=a 2+b 2?2abcosC c 2=a 2+14b 2?abcosC ?cosC =3

4?sinC =

√7

4

； (2)令∠ADB =α，在△ABC 中有：c 2=a 2+a 2?2a 2×3

4=1

2a 2?c =√2

2

a =

√2

2

b ， 则有：cosα=

b 2

4

+c 2?c 22×b 2

×c =

√24

?sinα=

√144

?c =2Rsinα=

√14

2

(R 为△ABD 的外接圆半径)，

则有：2R′=c

sinC =2√2?R′=√2(R′为△BDC 外接圆半径)．

解析：本题考查三角形的解法，余弦定理以及应用，考查三角形的解法，是基本知识的考查． (1)连接BD ，在△BCD ，△ABC 中由余弦定理，转化求解求sin C ；

(2)令∠ADB =α，在△ABC 中通过余弦定理，求出c 与a 的关系，求出c ，然后通过正弦定理求解△BDC 的外接圆半径．

19.答案：解：(Ⅰ)根据表中数据，计算x =1

6×(1+2+3+4+5+6)=3.5，

y =1

6×(12.6+12.7+13+13.1+13.2+13.4)=13，

∑(6i=1x i ?x)(y i ?y)=(?2.5)×(?0.4)+(?1.5)×(?0.3)+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，

∑(6i=1x i ?x)2=(?2.5)2+(?1.5)2+(?0.5)2+0.52+1.52+2.52=17.5．

∴b ∧

=

6i=1i ?x)(y i ?y)

∑(6x ?x)

2=

2.817.5

=0.16，

∴a ∧

=y ?b ∧

x =13?0.16×3.5=12.44， ∴y 关于x 的线性回归方程为y ∧

=0.16x +12.44； (Ⅱ)由(Ⅰ)知y ∧

=0.16x +12.44，

当x =8时，y ∧=0.16×8+12.44=13.72， 即该地区2019年化肥产量估计值为13.72万吨．

解析：本题考查了线性回归方程的计算与应用问题，是基础题． (Ⅰ)根据表中数据计算x 、y ，求出回归系数，写出回归方程； (Ⅱ)利用回归方程计算x =8时y ∧

的值即可．

20.答案：解：(1)将点A(?1,32)、B(√3,?√3

2)代入椭圆E ：x 2

a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)， 得{1

a 2+9

4b 2=1

3a 2

+3

4b 2=1?{a 2

=4b 2=3 故椭圆E 的标准方程为

x 24

+

y 23

=1…………………………………………(5分)

(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，∵CP ????? =2PD ????? ，∴x 1+2x 2=0…………① 若直线l 的斜率存在，可设l ：y =kx +1 则由{x 2

4+

y 2

3=1

y =kx +1

得(4k 2+3)x 2+8kx ?8=0， ∴{

x 1+x 2=?8k

4k 2

+3x 1x 2=?8

4k 2

+3

与①联立解得k =±1

2

若直线l 的斜率不存在，则l ：x =0，∴|CP ????? |=√3+1,|PD ????? |=√3?1，

∴CP ????? ≠2PD ?????

综上可知，直线l 的方程为y =±1

2x +1，

即x ?2y +2=0或x +2y ?2=0……………………………………………………(12分)

解析：(1)将点A(?1,32

)、B(√3,?√3

2

)代入椭圆E ：x 2

a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)，列出方程，求出a ，b ，

即可得到椭圆方程．

(2)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，通过CP ????? =2PD ????? ，推出x 1+2x 2=0，若直线l 的斜率存在，可设l ：y =kx +1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，转化求解即可．

本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．

21.答案：解：(1)当a =0时，f(x)=xlnx +b ，

∴ f′(x)=1+lnx ≥0在[1

e ,+∞)上恒成立， ∴f(x)在[1

e ,+∞)上单调递增， ∴f(x)min =f(1

e

)=?1

e

+b ．

当?1e +b ≤0，即b ≤1

e 时，函数有唯一的零点； 当?1

e +b >0，即b >1

e 时，函数没有零点． (2)∵f′(x)=lnx +x?a x

?,?x ∈(1,e)，

令

，

∴g′(x)=1

x +a

x 2>0 恒成立， ∴g(x)在(1,e)上单调递增，

∴当1g(1) = 1?a ， g(x)

e ， ∵函数f(x)在(1,e)上有极小值，

∴{

g (1)=1?a <0

g (e )=2?a e >0 ， 解得1

解析：本题主要考查利用导数研究函数极值、最值、零点个数问题，属于中档题． (1)先求导，求出最小值，再根据最小值和0的关系分类讨论可得到函数零点个数； (2)函数在(1,e)上有极小值时，函数不单调，构造函数

，得到函数在(1,e)上单调

递增，从而得到不等式组，求解即可．

22.答案：解：(Ⅰ)由C 1：x +y =4，得直线C 1的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=4，

由C 2：{x =1+cosθ

y =sinθ，得(x ?1)2+y 2=1，

即x 2+y 2=2x ，

∴曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ； (Ⅱ)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，?π4<α<π

2， 则ρ1=4

cosα+sinα，ρ2=2cosα，

|OB|

|OA|=ρ2ρ

1

=14?2cosα(cosα+sinα)=14(cos2α+sin2α+1)=14[√2cos(2α?π

4)+1]， ∵?π4<α<π

2

，∴?√22

)≤1， ∴0<14

[√2cos(2α?π4

)+1]≤1

4

(√2+1)．

∴|OB||OA|的取值范围是(0,1

4

(√2+1)].

解析： 【分析】

(Ⅰ)直接化C 1的普通方程为极坐标方程，化C 2的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程； (Ⅱ)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，?π

4<α<π

2，则ρ1=4

cosα+sinα，ρ2=2cosα，代入|OB|

|OA|，整理后利用三角函数的最值得答案．

本题考查简单曲线的极坐标方程，考查三角函数最值的求法，是中档题．

23.答案：解：(1)a =2时，不等式xf(x)

{x ≥2(x ?2)x

综上，原不等式的解集为{x|x <0或1

(2)f(x)+f(x +2a)≥|a|?|a ?1|+3对任意的实数x 恒成立， 可化为|x ?a|+|x +a|≥|a|?|a ?1|+3对任意的实数x 恒成立， ∵|x ?a|+|x +a|≥|2a|， ∴|2a|≥|a|?|a ?1|+3， ∴|a|+|a ?1|≥3；

a <0时，不等式化为?a ?a +1≥3，解得a ≤?1； 0≤a ≤1时，不等式化为a ?a +1≥3，不成立； a >1时，a +a ?1≥3，解得a ≥2；

综上，实数a 的取值范围是a ≤?1或a ≥2．

解析：(1)a =2时不等式xf(x)

?x(x ?2)

求并集；

(2)由题意可化为|x ?a|+|x +a|≥|a|?|a ?1|+3对任意的实数x 恒成立，根据绝对值不等式|x ?a|+|x +a|≥|2a|，得出|2a|≥|a|?|a ?1|+3，求绝对值不等式的解集即可．

本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．