广义m对合矩阵和(m,l)幂等矩阵的充要条件及应用
广义m对合矩阵和(m,l)幂等矩阵的充要条件及应用
吕洪斌;杨忠鹏;冯晓霞;陈梅香;黄丽琴
【摘要】Based on the properties of the rank of the matrix polynomial, the necessary and sufficient conditions of generalized m involutory matrix and (m,l) idempotent matrix were obtained so as to generalize and improve the corresponding results of m involutory matrix and m-idempotent matrix.%由矩阵多项式的秩性质,给出广义m对合矩阵与(m,l)幂等矩阵的充要条件,推广并改进了m对合矩阵和m幂等矩阵的相应结论.
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2012(050)006
【总页数】6页(P1069-1074)
【关键词】广义m对合矩阵;(m,l)幂等矩阵;矩阵秩;充要条件
【作者】吕洪斌;杨忠鹏;冯晓霞;陈梅香;黄丽琴
【作者单位】北华大学数学学院,吉林吉林 132033;福建省高校重点实验室莆田学院应用数学实验室,福建莆田 351100;莆田学院数学系,福建莆田 351100;漳州师范学院数学系,福建漳州 363000;福建省高校重点实验室莆田学院应用数学实验室,福建莆田 351100;莆田学院数学系,福建莆田 351100;福建师范大学数学与计算机科学学院,福州 350007;福建省高校重点实验室莆田学院应用数学实验室,福建莆田 351100
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
1 基本概念与引理
设Fn×n和F[x]分别为数域F上的n×n阶矩阵和一元多项式集合; C为复数域; r(A)表示矩阵A的秩; f(x),g(x)∈F[x]的首项系数为1的最大公因式, 最小公倍式分别记为(f(x),g(x)),[f(x),g(x)]; N表示所有非负整数的集合, Z+=N\{0}.
若存在m∈Z+, 使得Am=In, 则称A∈Fn×n为m对合矩阵. 对给定的幂等矩阵
P2=P, 若AP=PA=A∈Cn×n且A2=P, 则称A为广义对合矩阵[1]. 若m,l∈N满足m>l, 并使得Am=Al, 则称A∈Fn×n为(m,l)幂等矩阵[2-3], 记
(1)
如果m(≥2)∈N, 则当Am=A时, A∈Fn×n称为m幂等的, 记
(2)
若存在最小的m, 使得m>l(m,l∈N)且Am=Al成立, 则称A∈Fn×n为本质(m,l)幂等的[2], 且本质(m,0)和(m,1)幂等矩阵分别称为本质m对合的和本质m幂等的. 由文献[2-3]知, 矩阵的(m,l)幂等性与所在数域扩大无关.
矩阵A∈Cn×n的Jordan标准形中的幂零Jordan块的最大阶数称为A的秩指数[4], 记为l(A). 本文把A∈Fn×n的特征多项式在复数域上的根称为A的特征根, 数域F上n×n阶矩阵总有n个特征根；单位根λ的阶k是指使λk=1成立的最小正整数, 易知n次单位根的阶不一定相同.
引理1[3] 设A∈Fn×n, 则A为(m,l)幂等的⟺l≥l(A), 同时A的每个非零特征根都是m-l次单位根, 且由其确定的Jordan块都是1阶的.
引理2[2] 设A∈Fn×n不是幂零的, 则A为本质(m,l)幂等的⟺ l=l(A), 每个非零特
征根λj确定的Jordan块都是1阶的,且所有零特征根的阶的最小公倍数为m-l.
引理3 设A∈Fn×n. 1) 如果l≥2且A为本质(m,l)幂等矩阵, 则A不可对角化； 2) 如果A为m幂等矩阵, 则A可对角化.
证明: 1) 由式(1)、引理1和引理2知, 当l≥2时, 本质(m,l)幂等矩阵都不可对角化.
2) 由式(2)知xm-x为m幂等矩阵A的化零多项式, 表明A的最小多项式无重根, 应用文献[5]中问题3.4.25和文献[6]中推论3.3.8知A可对角化. 证毕.
引理4[7-9] 设A∈Fn×n, f(x),g(x)∈F[x], 则
r(f(A))+r(g(A))=r((f(A),g(A)))+r([f(A),g(A)]).
引理5[10] 设P为幂等阵, 若A∈Fn×n满足AP=PA=A, 则存在可逆阵W∈Fn×n, 使得
A=Wdiag(A1,0)W-1, P=Wdiag(Ir,0)W-1, r(P)=r, A1∈Fr×r.
引理6 设则r(Ak)=r(Al), k=l+1,l+2,…,m.
证明: 由矩阵方幂的秩性质知, r(Al)≥r(Ak)≥r(Am)=r(Al). 证毕.
2 广义m对合矩阵的充要条件及应用
定理1 设A,P(=P2)∈Fn×n,满足AP=PA=A, 给定m(≥2)∈N, 则
(3)
其中ε0,ε1,…,εm-1是所有的m次单位根.
证明: 由引理5知, 存在可逆阵W∈Fn×n, 使得
Am-P=Wdiag(-Ir,0)W-1, A-εiP=Wdiag(A1-εiIr,0)W-1;
(4)
r(Am-P)=r(-Ir), r(A-εiP)=r(A1-εiIr), i=0,1,…,m-1.
(5)
设多项式fi(x)=x-εi(i=0,1,…,m-1), 这里ε0,ε1,…,εm-1为所有m次单位根. 因此
(6)
于是, 由文献[7]中定理2.2、文献[11]中推论3和文献[12]中推论1及式(4)～(6), 有
即式(3)成立. 证毕.
由定理1, 可得:
定理2[3] 设A,P(=P2)∈Fn×n, 满足AP=PA=A, m(≥2)∈N. 如果ε0,ε1,…,εm-1是所有的m次单位根, 则A∈Fn×n为广义m对合的⟺
当P=In时, 由定理2可得文献[13]的定理2.
定理3 设A,P(=P2)∈Fn×n, 满足AP=PA=A, m(≥2)∈N. 如果l0,l1,…,lm-1∈Z+, 且ε0,ε1,…,εm-1是所有的m次单位根, 则
(7)
证明: 由引理5和定理1的证明知, 对i=0,1,…,m-1, l0,l1,…,lm-1∈Z+, 有
(A-εiP)li=Wdiag((A1-εiIr)li,0)W-1, r(A-εiP)li=r(A1-εiIr)li;
(8)
(9)
设fi(x)=x-εi(i=0,1,…,m-1), 则由式(6)知
(10)
于是由文献[7]中定理2.2、文献[11]中推论3、文献[12]中推论1及式(8)～(10), 有
即式(7)成立. 证毕.
当l0=l1=…=lm-1=1时, 由定理3可得定理1.
例1 设易见A3=I3, 且3是使Ak=I3(k∈Z+)成立的最小正整数(即A为本质3对合的), 但另一个3次单位根并不是A的特征根.
在文献[13]定理1和定理2及文献[14]定理1的证明中, 都使用了：“(A-
εiIn)x=0的解空间Vi是属于特征根εi的特征子空间”. 例1表明, 即使A∈Cn×n 是本质m对合矩阵, 但所有的m次单位根ε0,ε1,…,εm-1也未必都是A的特征根. 因此, 定理1～定理3不仅证明要简单得多, 而且与m次单位根εi是否为
A∈Cn×n的特征根无关.
定理4 给定P=P2, A∈Fn×n满足AP=PA=A, 则
r(A-P)+r(P+A+A2+…+Am-1)=r(P)+r(Am-P), m(≥2)∈N；
(11)
Am=P ⟺ r(A-P)+r(P+A+A2+…+Am-1)=r(P).
证明: 由引理5知, 存在可逆阵W∈Fn×n, 使得
Ak-P=Wdiag(-Ir,0)W-1, Ak=Wdiag(,0)W-1, k∈Z+.
(12)
于是由文献[13]中定理2和式(12), 有
即式(11)成立, 进而可得Am=P的充要条件. 证毕.
当P=In时, 由定理4可得文献[15]的定理2.1和定理3.3.
3 (m,l)幂等矩阵的充要条件及应用
定理5 设A∈Fn×n, m,l∈N满足m>l, 若ε0,ε1,…,εm-l-1为m-l次所有单位根, 则
(13)
证明: 设f(x)=xl, g(x)=xm-l-1∈F[x], 则
(f(x),g(x))=1, [f(x),g(x)]=xm-xl;
注意到(x-εi,x-εj)=1, i≠j和由引理4, 有
r(Al)+r(Am-l-In)=n+r(Am-Al).
(14)
又由定理1的证明可知,
于是由式(14)有
即式(13)成立. 证毕.
由r(A0)=r(In)=n和式(1)知: 当l=0时, 由定理5可得文献[13]中定理2, 且可得到不同于引理1和引理2的(m,l)幂等矩阵的判定条件.
定理6 设A∈Fn×n, m,l∈N满足m>l, 若ε0,ε1,…,εm-l-1为m-l次所有单位根, 则
⟺
(15)
式(15)与如下由文献[8]中定理7给出的(m,l)幂等矩阵充要条件的形式不同:
⟺r(Al)+r(A-Am-l+1)=r(A), m>l(≥2)∈N.
当l=1时, 由式(15)可得文献[16]中定理6.
定理7 设A∈Fn×n, 则下述结论等价：
2) r(Ak)+r(Am-l-In)=r(Ak)+r(A-In)+r(In+A+A2+…+Am-l-1)-n=n, l≤k≤m-1;
3) r(Al)+r(Am-l-In)=r(Al)+r(A-In)+r(In+A+A2+…+Am-l-1)-n=n.
证明: 1)⟺ 2). 当t,k∈N满足t>k时, 设
f(x)=xk, g(x)=x-1, h(x)=1+x+x2+…+xt-k-1∈F[x],
显然f(x),g(x),h(x)两两互素, 且s(x)=f(x)g(x)h(x)=xt-xk, 于是由秩恒等式(14)或引理4有
r(At-Ak)=r(Ak)+r(At-k-In)-n,
而由文献[15]中式(2.2)和定理3.3可得秩恒等式
r(At-k-In)=r(A-In)+r(In+A+A2+…+At-k-1)-n,
从而
其中t,k∈N满足t>k.
当时, 由其化零多项式xm-xl取m=t, l=k及式(16), 有
由式(17)和引理6可得2).
2)⟺ 3) 在2)中取k=l可得3).
3)⟺ 1) 由秩恒等式(14)知3)成立时, r(Am-Al)=0, 即证毕.
当l=1时, 由定理3可得文献[16]中定理7.
如果1为A的s重特征根, 则m-l+1(≥2)和1分别为In+A+A2+…+Am-l的s重和n-s重特征根.
证明: 设复数λ1,λ2,…,λn∈C为的全部特征根, 由引理1和引理2知
λi=0或λi=1或λi≠1且
(18)
易见为In+A+A2+…+Am-l的特征根, 由式(18), 有
(19)
因为当λi≠1且时,
所以于是由式(18)知
且
(20)
又由式(18)～(20)知, 当有s个满足λi=1的特征根时, m-l+1(≥2)和1分别为
In+A+A2+…+Am-l的s重和n-s重特征根. 证毕.
由定理8及式(18)～(20)知, 当时, In+A+A2+…+Am-l的所有可能不同特征根仅有m-l+1(≥2)和1, 即该矩阵所有的特征根都是非零的, 于是有:
推论1 设则r(In+A+A2+…+Am-l)=n.
推论1表明定理8改进了文献[16]中定理7. 作为定理8的应用, 还可得:
定理9 设如果1为A的s重特征根, 则m和1分别为In+A+A2+…+Am-1的s 重和n-s重特征根, 且
(21)
证明: 由式(1),(2)并在定理8中取l=1知, 此时m和1分别为In+A+A2+…+Am-1的s重和n-s重特征根, 于是由引理3知,在复数域上是可对角化的, 从而
In+A+A2+…+Am-1在复数域上也是可对角化的. 于是由引理3存在可逆阵
Q∈Fn×n, 使得
(22)
由及式(22), 有
即式(21)成立. 证毕.
参考文献
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幂等矩阵的研究现状与意义
幂等矩阵的研究现状与意义 研究现状 幂等矩阵是一类具有良好性质的矩阵，在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛.先前已经有许多学者对幂等矩阵的一些性质和结论进行了归纳总结并对相关性质进行了推广，优化解题和证明问题的过程，使思维更简洁.四川师范大学陈明俭对幂等矩阵的若干等价条件进行了循环证明;雁北师范学院肖润梅介绍了幂等矩阵、对合矩阵的概念，讨论了幂等矩阵的充要条件;连云港师范学院王秀芳探讨了幂等矩阵的性质;内蒙古民族师院满良讨论了关于幂等矩阵秩的一类性质;大庆师范学院的董庆华、王成伟对幂等矩阵的相似标准型与分解形式进行了研究.学者们都在各自的研究课题上深入探讨，但目前能涵盖幂等矩阵完整性质的文献并不多，对于幂等矩阵分类问题的研究文献也很少. 意义 本文主要对幂等矩阵的若干等价命题、幂等矩阵的特征性质进行了概括并加以证明，以及对幂等矩阵的分类问题进行了研究.如本文首先对幂等矩阵下定义和刻划，接着对幂等矩阵的一些性质(包括幂等矩阵的特征值、幂等矩阵的秩的性质、幂等矩阵的和的性质等)进行了归纳总结，通过这部分内容来加深我们对幂等矩阵这一概念的理解，最后重点研究了幂等矩阵的分类问题.首先从 A'=A这类比较简单的幂等矩阵的分类问题入手，进而推广至k次幂等矩阵，
并对这类幂等矩阵分别在复数域和实数域上的分类问题进行讨论．这对我们理解幂等矩阵的本质，灵活运用幂等矩阵分析解决相关问题有一定的意义和作用. 在这次的研究中我学到了很多东西，不仅加深了我对幂等矩阵的理解，也让我积累了一些解决相关问题的经验.但是在这方面的知识我还有很多需要学习，今后我仍然会继续学习这方面的知识，不断完善自己.
矩阵代数概述
矩阵代数概述 一、基本定义 定义1：矩阵： 一个矩阵就是一个矩阵数组，更准确地讲，一个m*n 维矩阵就有m 行和n 列。正整数m 被称为行维数，n 被称为列维数。 11121212221 2n n ij m m mn a a a a a a A a a a a ????????==???????? 定义2：方阵 方阵具有相同的行数和列数。 一个方阵的维数就是其行数和列数 定义3：向量 （1）一个1*m 的矩阵被称为一个（m 维）行向量，并可记为： []12,,...,m x x x x ≡ （2）一个n*1的矩阵被称为一个（n 维）列向量，并可记为： 12n y y y y ???? ??≡?????? 定义4：对角矩阵 当一个方阵A 的非对角元素都为零时，它就是一个对角矩阵。我们总能将一个对角矩阵写成： 1122000000ij mn a a A a a ????????==???????? 定义5：单位矩阵和零矩阵 （1）用I （或为了强调维数而用I n ）表示的n*n 单位矩阵就是对角位置都是1，而其它位置都是0的对角阵； 10002000n I I n ??????=≡?????? （2）一个用0表示的m*n 零矩阵，就是所有元素都为零的m*n 矩阵。它并不一定是方阵。
二、矩阵运算 1. 矩阵加法 两个都是m*n 维的矩阵A 和B 可通过对应元素相加而相加： A+B=[a ij ]+[b ij ]。更准确地，有： 11111212112121 22222211 22n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++????+++??+=????+++?? 数值例子： 说明：不同维数的矩阵不能相加 2. 数乘 给定任意一个实数k （常被称为一个数量），数乘被定义为kA=[ka ij ] 数值例子： 3. 矩阵乘法 为了使矩阵A 乘以矩阵B ，得到AB ，A 的列维数和B 的行维数必须相同。因此，令A 为一个m*n 矩阵，而B 为一个n*p 矩阵，于是，矩阵乘法被定义为： 1n ik kj k AB a b =??=???? ∑ 换句话说，新矩阵AB 的第（i,j ）个元素，等于A 中第i 行的每个元素与B 中第j 列对应元素的乘积之和。如下简图可以使这个过程更一目了然： 11221...n ik kj i j i j in nj k a b a b a b a b ==+++∑ 数值例子：略 我们可以将一个矩阵与一个向量相乘。如果A 是一个n*m 矩阵，而y 是一个m*1向量，那么Ay 就是一个n*1的向量；如果x 是一个1*n 的向量，那么xA 就是一个1*m 的向量。 矩阵加法、数乘和矩阵乘法可以用各种方式组合，而且这些运算还满足几个熟悉的基本数值运算规则。在如下性质表中，A ，B 和C 都具有运算所需要的适当的维数，而α和β则是
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线性代数证明题 1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知 0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系. 2.设A 是n 阶矩阵，且0n A =，则A E n -必是可逆矩阵。 3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足1 24A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆. 5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1 PAP -的后n r -行全为零. 6．设矩阵,m n n m A B ??，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关. 7．如果,2 A A =称A 为幂等矩阵.设 B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB 8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1 -A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11 , 证明：A 可逆且T -+=）（C B A 1 。 10.设0=k A ，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E 11.设方阵A 满足A 2 -A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求1 1 2--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， T A A -为反对称矩阵。 13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量T β，使T A αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C A B =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ?矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =?)( 16.向量组A 能 用向量组B 表示，则R(A)<=R(B) 17.设B A ,分别为m n n m ??,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。 18、设，，，，144433322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=证明向量组
矩阵论判断题
（一） 一、判断题（40分）（对者打∨，错者打?） 1、设,n n A B C ?∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥> ，''' 120n σσσ≥≥≥> ， 如果'(1,2,,)i i i n σσ>= ，则22||||||||A B ++>. ( ? ) 2、设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ∨ ) 3、设n n C A ?∈可逆，n n C B ?∈，若对算子范数有1||||||||1A B -?<，则B A +可逆. ( ∨ ) 4、设323 121 00a a A a a a a -?? ?=- ? ?-? ? 为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵 ( ∨ ) 5、设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ∨ ) 6、设n n A C ?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞ =. ( ? ) 7、如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则1||||m in i i n x x ≤≤=是向量范数. ( ? ) 8、00101 401 10620 1 1 8A ????? ?=?????? 至少有2个实特征值. ( ∨ ) 9、设,n n A C ?∈则矩阵范数m A ∞ 与向量的1-范数相容. ( ∨ ) 10、设n n A C ?∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( ∨ ) （二） 1、设m n A R ?∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则2 22 1 ||||n i i A σ==∑. ( ? ) 2、设n n A C ?∈，且有某种算子范数||||?，使得||||1A <，则11||()||1|||| E A A --> -, 其中E 为n 阶单位矩阵. ( ? ) 1 1 1 ()() () () E E A E A E A A E A ---=--=---?1 1 () () E A E A E A ---=+-?
关于广义幂等矩阵的性质的探讨正文
关于广义幂等矩阵的性质的探讨 左航（导师：谢涛） （湖北师范学院 数学与统计学院 湖北 黄石 435002） 1.引言 在高等代数中，矩阵是代数学的一个重要研究对象，也是数学研究中不可缺少的工具。我们把满足2A A =的矩阵A 叫做幂等矩阵，把满足2σσ=的线性变换σ叫做幂等变换。文【1，2】已给出了幂等矩阵与幂等变换的性质和等价条件。本文试图通过引入k 次幂等矩阵和k 次幂等变换的概念，来推广幂等矩阵和幂等变换，并讨论它们的性质。同时由于可逆矩阵对处理矩阵问题的重要性，文中在可逆幂等矩阵的基础上给出可逆n 阶k 次幂等矩阵的定义，并总结出相关的一些性质。而且在计量经济学中对于大多数经济现象进行比较静态分析的结果，都可以合理地归结为一个线性经济模型Ax=b ，其中的系数矩阵A 往往是一个幂等矩阵。为此，也有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究。 1.幂等矩阵 定义1.1 任何一个满足幂等关系2A A =的矩阵A 称为幂等矩阵。显然，n 阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。关于幂等矩阵，目前已有一些结论，我们选择其中一些性质列举如下： 1.1.1幂等矩阵的特征值只取0和1两个数值； 1.1.2所有的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是奇异矩阵； 1.1.3所有幂等矩阵的秩与迹相等，即()()Rank P Tr P =； 1.1.4若P 为幂等矩阵，则'P 也为幂等矩阵； 1.1.5若P 为幂等矩阵，则I P -也为幂等矩阵()()Rank I P n Rank P -=-所有对称的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是半正定的； 1.1.6令n ?n 幂等矩阵P 的秩为r,则P 有r 个特征1和n r -个特征值0；
幂等变换
摘要 幂等变换是一类特殊的线性变换，它不是孤立存在的，而是与其它线性变换紧密相连，在物理、化学等学科中也有着广泛的应用，极大地推动和丰富了它们的发展，许多新的理论、技巧和方法的诞生与发展都是幂等变换理论的应用与推广. 本文首先简要叙述了一般线性变换的基本理论，在此基础上给出幂等变换的定义，并指出几类特殊的幂等变换；其次，归纳总结了幂等变换的性质，如幂等矩阵的形式、幂等变换的特征值与特征向量、特征多项式、秩与迹及幂等变换的对角化问题，讨论过程由浅入深，层层推进，对幂等变换的相关知识形成了较为完整的知识体系，对幂等变换的一些特殊的性质理解深刻；最后，结合幂等变换的概念与性质，给出常见的习题及解题技巧，并举例说明幂等变换与其它线性变换的联系与转化. 关键词：幂等变换；幂等矩阵；性质；应用
Abstract Idempotent transformations are a special type of linear transformation.It's not isolated，but closely connected with other linear transformation.In physics，chemistry，and other disciplines also has a wide range of applications，greatly promote and enrich their development.Birth of many new theories，techniques and methods are idempotent transformations and development application and popularization of the theory. This paper begins with a brief description of the basic theory of linear transformations，on this basis for idempotent transformation defined，the idempotent transformation and pointed out that some kinds of special.Second，discussed the nature of power transform，idempotent matrix of the form，idempotent transformation characteristic value and characteristic vector，characteristic polynomial，diagonalization of rank and track and idempotent transformation problems，discussion easy-to-digest，layers of promoting.For idempotent transformation knowledge formed a relatively complete system of knowledge，some special properties for idempotent transformation understand deep.Finally，with idempotent transformation and the concept of nature，out common problems and problem-solving skills，descriptions and examples of power-link，and other linear transforms and transformation. Key words: Idempotent transformation; Idempotent matrix; Nature; Application
线性代数：可交换整理
下面是可交换矩阵的充分条件： (1) 设A , B 至少有一个为零矩阵,则A , B 可交换; (2) 设A , B 至少有一个为单位矩阵, 则A , B可交换; (3) 设A , B 至少有一个为数量矩阵, 则A , B可交换; (4) 设A , B 均为对角矩阵,则A , B 可交换; (5) 设A , B 均为准对角矩阵（准对角矩阵是分块矩阵概念下的一种矩阵。即除去主对角线上分块矩阵不为零矩阵外，其余分块矩阵均为零矩阵）,且对角线上的子块均可交换，则A , B 可交换; (6) 设A*是A 的伴随矩阵,则A*与A可交换; (7) 设A可逆,则A 与其逆矩阵可交换; 注：A的逆矩阵经过数乘变换所得到的矩阵也可以与A进行交换。 (8) （n=0,1..., ）可与(m=0,1..., )交换.这一点由矩阵乘法的结合律证明。 定理2 (1) 设AB =αA +βB ,其中α,β为非零实数,则A , B 可交换; (2) 设A m +αAB = E ,其中m 为正整数,α为非零实数,则A , B 可交换. 定理3 (1) 设A 可逆,若AB = O 或A = AB或A = BA ,则A , B 可交换; (2) 设A , B 均可逆, 若对任意实数k , 均有A = ( A - k·E) B ,则A , B 可交换. 定理4 下列均是A , B 可交换的充要条件: (1) A2 - B2 = ( A + B) ( A - B) =( A - B) ( A + B) (2) ( A ±B) 2 = A 2 ±2 AB + B2 ; (3) ( AB)T= ATBT; (4) ( AB)*= A*B* 定理5 可逆矩阵A , B 可交换的充要条件是： (AB) = A ·B . 定理6 (1) 设A , B 均为(反) 对称矩阵, 则A , B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵; (2) 设A , B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A , B 可交换的充要条件是AB 为反对称性质1 设A , B 可交换,则有: (1) A·B = B ·A , ( AB) = A B, 其中m , k 都是正整数; (2) A f ( B) = f ( B ) A ,其中f ( B ) 是B 的多项式,即A 与B 的多项式可交换; (3) A - B = ( A - B ) ( A + A B …+B ) = ( A + A B + …+ B) ( A - B) (4) ( A + B )^m = (矩阵二项式定理) 性质2 设A , B 可交换, (1) 若A , B 均为对合矩阵,则AB 也为对合矩阵; (2) 若A , B 均为幂等矩阵, 则AB , A + B -AB 也为幂等矩阵; (3) 若A , B 均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵; (4) 若A , B 均为幂零矩阵,则AB , A + B 均为幂零矩阵.
广义m对合矩阵和(m,l)幂等矩阵的充要条件及应用
广义m对合矩阵和(m,l)幂等矩阵的充要条件及应用 吕洪斌;杨忠鹏;冯晓霞;陈梅香;黄丽琴 【摘要】Based on the properties of the rank of the matrix polynomial, the necessary and sufficient conditions of generalized m involutory matrix and (m,l) idempotent matrix were obtained so as to generalize and improve the corresponding results of m involutory matrix and m-idempotent matrix.%由矩阵多项式的秩性质,给出广义m对合矩阵与(m,l)幂等矩阵的充要条件,推广并改进了m对合矩阵和m幂等矩阵的相应结论. 【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》 【年(卷),期】2012(050)006 【总页数】6页(P1069-1074) 【关键词】广义m对合矩阵;(m,l)幂等矩阵;矩阵秩;充要条件 【作者】吕洪斌;杨忠鹏;冯晓霞;陈梅香;黄丽琴 【作者单位】北华大学数学学院,吉林吉林 132033;福建省高校重点实验室莆田学院应用数学实验室,福建莆田 351100;莆田学院数学系,福建莆田 351100;漳州师范学院数学系,福建漳州 363000;福建省高校重点实验室莆田学院应用数学实验室,福建莆田 351100;莆田学院数学系,福建莆田 351100;福建师范大学数学与计算机科学学院,福州 350007;福建省高校重点实验室莆田学院应用数学实验室,福建莆田 351100 【正文语种】中文
离散数学第二版邓辉文编著第一章第三节习题答案
1.3 运算的定义及性质 习题1.3 1.分别判定取绝对值运算||、加法运算+、减法运算-、取大运算max 、取小运算min 是否为自然数集合N 上的代数运算. 解 因为对于任意∈x N ，∈||x N ，所以取绝对值运算||是N 上的1元代数运算. 又因为对于任意任意∈y x ,N ，有∈+),m i n (),,max(,y x y x y x N ，因此加法运算+、取大运算max 、取小运算min 是自然数集合N 上的2元代数运算. 而对于∈3,2N ，由于?-=-132N ，所以减法运算-不是自然数集合N 上的2元代数运算. 2.证明: 集合}N |3{∈=n A n 关于数的加法运算不封闭. 证 由于A ∈213,3，而A ?=+12332 1 ，所以A 关于数的加法运算不封闭. 3.设},,{c b a A =，求出A 上的2元代数运算的个数. 解 考虑A 关于2元代数运算*的运算表，在运算表中需要填运算结果的有 933=?个位置，而显然每个位置填c b a ,,中任意一个元素均可，于是任意一种填 充元素的方法都是A 上一种代数运算，因此A 上的2元代数运算的个数为9 3. 4. 将十进制数365转换成八进制. 解 因为365 = 45 ? 8 + 5，45 = 5 ? 8 + 5，于是 5858558)585(58453652+?+?=+?+?=+?=， 因此，365 = (555)8. 5. 分别计算16(mod 3)，-16(mod 3)，0(mod 3). 解 因为16 = 5 ? 3 + 1，-16 = (-6) ? 3 + 2，0 = 0 ? 3 + 0，所以16(mod 3) = 1，-16(mod 3) = 2，0(mod 3) = 0. 6. 利用素因数分解计算gcd(36, 48)和lcm(36, 48). 解 因为36 = 22 ? 32， 48 = 24 ? 3，于是gcd(36, 48) = 22 ? 3 = 12，lcm(36, 48) = 24 ? 32 = 144. 7. 使用欧几里得算法，计算gcd(14, 158) 并求出整数x 和y 使得gcd(14, 158) = 14x + 158y . 解 因为158 = 11 ?14 + 4, 14 = 3 ? 4 + 2, 4 = 2 ? 2, 所以gcd(14, 158) = 2. 由于 2 = 14 - 3 ? 4，4 = 158 - 11 ?14, 于是2 = 14 - 3 ? (158 - 11 ?14) = 14 ? 4 + 158 ? (-3). 8.设},3,2,1{=A 试根据所给定的运算表分别讨论其幂等性、交换性以及是否有单位元素，若有，请指出A 中各元素的逆元素.
高等代数论文
有关幂等矩阵与对合矩阵换位子的进一步讨论 聂晓柳 (数学与应用数学系 指导教师:杨忠鹏) 摘 要：本文主要研究了复数域上幂等矩阵和对合矩阵换位子的秩等式，及其可逆的等价条件.同时利用幂等矩阵与对合矩阵的性质,研究了它们的差与和的秩等式及其可逆的等价条件.在这篇文章中，主要使用了两种经典的方法：一、把对合矩阵转化为幂等矩阵；二、分块矩阵的高斯消元法.我们还进一步涉及了其它类型的特殊矩阵的换位子的相关性质，并提出了以后的研究方向. 关键词：幂等矩阵 对合矩阵 换位子 矩阵的秩 可逆性 Abstract ：In this paper, we mainly study the rank equalities for the communicator of the idempotent matrix and the involutory matrix, and the invertible equivalent conditions of the communicator in the complex field. Using properties of idempotent matrices and involutory matrices, we also study the rank equalities of the difference and the sum of one idempotent matrix and one involutory matrix, including their invertibility, respectively, by two classical tools: transforming an involutory matrix into an idempotent matrix and applying block Gaussian elimination. Besides we further study the rank equalities of the communicator of other special matrices. And we also propose some problems for further work in the future. Key words ： Idempotent matrix Involutory matrix Communicator Rank equality Invertibility 0、符号说明及引言 幂等矩阵与对合矩阵是矩阵论中的重要组成局部,在许多内容和各种学科中都非常有用,请参看[1-11,14-17].为了后面的写作方便，首先进行符号说明. 用m n C ⨯表示复数域C 上的所有m n ⨯矩阵组成的集合; n C 表示复数域C 上所有n 维列向量组成的集合, E 表示n 阶单位矩阵，()r A 表示矩阵A 的秩。假设2,n n A C A A ⨯∈=，称A 为幂等矩阵。设复矩阵()ij n n A a ⨯=为A 的共轭矩阵,其中ij a 为ij a 的共轭复数.'A 即对A 进行转置.'A 表示A 的共轭转置矩阵. 在本文中用*A 表示A 的共轭转置矩阵;假设3,n n A C A A ⨯∈=，称A 为三次幂等矩阵。假设,n n m A C A A ⨯∈=，称A 为m 次幂等矩阵；假设 2,n n A C A E ⨯∈=，称A 为对合矩阵。假设 ,n n m A C A E ⨯∈=,称A 为幂么矩阵；分块矩阵()m n k M C ⨯+∈,[],M A B =, m n A C ⨯∈,m k B C ⨯∈.()m l n N C +⨯∈,A N C ⎡⎤ =⎢⎥⎣⎦, m n A C ⨯∈,l n C C ⨯∈。假设2,P P λ=称P 为scalar-potent 矩阵，以下简记为S -矩阵； ,,n n A B C AB BA ⨯∈-称为A 与B 的换位 子.()R T 表示T 的值域.对分块矩阵的初等变换的符号说明:()()r i r j ±表示矩阵的第i 行加上或减去第j 行，()()p i p j ±表示矩阵的第i 列加上或减去第j 列，()()r i k r j ±⋅表示第i 行加上或减去第j 行的k 倍；()()p i p j k ±⋅表示第i 列加上或减去第j 列的k 倍. Yongge Tian ，George P.H.Styan 在文献 [1]中得到了同一种类型矩阵的差，和，换位子的秩等式，即两个幂等矩阵的差,和,换位子的有关秩等式,同时相应地得到了两个对合矩阵
幂等矩阵的性质(1)
目录 中文摘要 (1) 英文摘要 (1) 1 引言 (1) 2 幂等矩阵的概念 (3) 3 幂等矩阵的性质 (4) 3. 1 幂等矩阵的主要性质 (4) 3. 2 幂等矩阵的等价性命题 (7) 3. 3 幂等矩阵的线性组合的相关性质 (11) 4 幂等矩阵与其他矩阵的关系 (14) 4. 1 幂等矩阵与对合矩阵 (14) 4. 1. 1 对合矩阵 (14) 4. 1. 2 幂等矩阵与对合矩阵的关系 (15) 4. 2 幂等矩阵与投影矩阵 (16) 4. 2. 1 投影矩阵 (16) 4. 2. 2 幂等矩阵与投影矩阵的关系 (17) 结束语 (19) 参考文献 (20) 致谢 (21) 英文原文 (22) 英文译文 (29)
幂等矩阵的性质 数学与应用数学专业2009级王素云 摘要:本文对幂等矩阵的一些性质进行归纳总结及推广, 并将幂等矩阵与其他特殊矩阵进行了比较. 给出幂等矩阵的概念. 讨论幂等矩阵的主要性质, 并将其进行推广. 然后研究了幂等矩阵的等价性命题, 以及幂等矩阵的线性组合的相关性质. 再结合对合矩阵和投影矩阵更深入的研究幂等矩阵的性质, 分别讨论了幂等矩阵与对合矩阵, 幂等矩阵与投影矩阵的关系. 关键字: 幂等矩阵; 性质; 对合矩阵; 投影矩阵; 广义逆矩阵 PROPERTIES OF IDEMPOTENT MATRIX Suyun Wang, Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics Abstract In this paper, some properties of the idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent matrix and the nature of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and the projection matrix are discussed. Key Words the idempotent; the nature; involution matrix; the projection matrix; generalized inverse matrix 1 引言 幂等矩阵是矩阵中非常特殊的一类矩阵，也是非常重要且非常常见的一类矩阵，很多其他特殊矩阵都与幂等矩阵有着密切的联系，如对合矩阵及投影矩阵。幂等矩阵在数学领域及其他许多领域的应用都非常广泛，幂等矩阵更是矩阵论中的一个基础部分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要作用。近年来有关此问题的研究吸引了国内外许多研究学者的关注，关于幂等矩阵的研究已经成为矩阵论中的
矩阵相合的充要条件(二)
矩阵相合的充要条件(二) 矩阵相合的充要条件 1. 什么是矩阵相合？ 矩阵相合是指两个方阵在相似变换下具有相同的结构。换句话说，如果两个矩阵可以通过线性变换进行相似转化，那么它们就是相合的。 2. 矩阵相合的充要条件 矩阵相合的充要条件之一是它们有相同的特征值（Eigenvalue）。充分条件：相同的特征值 •如果一个矩阵A与一个矩阵B相合，那么它们一定有相同的特征值。 证明过程： •假设矩阵A和矩阵B相合，即存在一个非奇异矩阵P，使得P-1AP = B。那么对于任意的向量X，有AX = λX（其中λ是特征 值）。 •然后我们对矩阵B进行相似变换，有P-1BP = P-1APP-1 = A(P-1P)P = A。 •因此，矩阵A和矩阵B具有相同的特征值。
必要条件：特征值一一对应且代数重数相等 •如果一个矩阵A和矩阵B具有相同的特征值，并且这些特征值的代数重数（Algebraic Multiplicity）也相等，那么它们一定是 相合的。 证明过程： •设矩阵A和矩阵B具有相同的特征值λ1，λ2，…，λn，对应的几何重数（Geometric Multiplicity）分别为m1，m2，…，mn。•根据线性代数的知识，对于矩阵A，存在mj个线性无关的特征vector（j=1,2,…,n）。同理，对于矩阵B，也存在mj个线性无 关的特征vector。 •我们可以将这些特征vector组成两个矩阵P和Q，其中P的第j 列是与矩阵A的特征值λj对应的特征vector，Q的第j列是与 矩阵B的特征值λj对应的特征vector。 •因为A和B具有相同的特征值，所以存在一个非奇异矩阵R，使得R-1AP = B。换句话说，AR = BR。 •由于P和Q分别由m1，m2，…，mn个线性无关的特征vector组成，所以它们的行列式不为0。那么我们可以得到R = PQ-1。进 而有AR = APQ-1 = BPQ-1 = BR。 •因此，矩阵A和矩阵B是相合的。
对合矩阵的判定及几何意义
莆田学院数学系 “高等代数选讲”课程论文题目：对合矩阵的判定及几何意义 姓名：庄凯丽 学号：21041126 数学系2002级本科（1）班 2005 年6月23 日
[摘要]对合矩阵的定义、对合矩阵的判定、对合矩阵的几何意义 [关键字]对合矩阵、初等变换、秩、相似、特征值、对合变换 一、 对合矩阵的定义 矩阵A 满足条件2 A E =，则称A 是对合矩阵。 二、 对合矩阵的判定 设A 为n n ⨯矩阵，则下列条件都是A 为对合矩阵的充要条件： （1）1A A -= 。 （2）1 A -为对合矩阵。 （3）* A 为对合矩阵。 （4）()()A E A E n ++-=秩 秩 （[1] P208 3） （注：此处[K]K=1,2, 6.表命题出处，见参考文献） (5)矩阵A 相似于形如00n n E E --⎛⎫ ⎪⎝ ⎭秩(E-A)秩(E+A)的方阵。 下面我们分别对上述几个命题进行证明： 证明（1）：由对合矩阵的定义，显然成立。 证明（2）： A 为对合矩阵⇔1A A -=⇔1A -为对合矩阵。 证明（3）： ⇒A 为对合矩阵，即2A E =。 则 2 2 1A A E === *1A A A A A -==（由（1）） () ()2 2 2 *22A A A A A A E ==== 即* A 为对合矩阵。 ⇐* A 为对合矩阵，即 () 2 *A E = （*） () 2 2 1 *** 1,n A A E A A -====又 得 21 1n A -= 有2 1A =
（*）式两端同时式乘以A ，右乘以A ，得 *AEA A ==右边 即2 A E = A 为对合矩阵。 证明（4）：考察矩阵00 A E A E +⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （*） 对（*）式作分块矩阵的初等变换 2 00002()()()()0002 2 220A E A E A E A E A E A E E A E A E A E A E A E A E E A E E +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ →→ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ +-+-⎛⎫⎛ ⎫ ⎛-- ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪⎝-⎝⎭⎝⎭ 由初等变换不改变矩阵的秩 有 200 00A E A E A E E +⎛⎫ -⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 秩秩即 ()()()()22A E A E A E E A E n ++-=-+=-+秩秩秩秩秩所以 2A E =，即() 2200A E A E -=⇔-=⇔秩 ()()A E A E n ++-=秩秩 在证明命题（5）之前，我们先来证明几个命题： 命题1、矩阵2 A 的特征值等于（考虑它们的重数）矩阵A 的特征值的平方。 （[3] P182 1126） 证明：设A 的所以特征值为12,, s λλλ ()() () ()()() 1212s s E A E A λλλλλλλλλλλλλλ-=---+=+++有
论文 对合矩阵
长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练 对合矩阵 系（部）：信息与计算科学 专业：数学与应用数学 学号： 2009031121 学生姓名：陈付平 成绩： 2012 年６月
对合矩阵 陈付平 长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022 摘要：对合矩阵的定义、对合矩阵的判定、对合矩阵的几何意义 关键词：对合矩阵、初等变换、秩、相似、特征值、对合变换 引言： 对合矩阵是举阵中的一类矩阵，它在代数数学中有着广泛的应用，本文通过对对合矩阵的介绍，了解对合矩阵的判断以及对合矩阵的几何意义。 1 对合矩阵的定义： 矩阵A 满足条件2 A E =，则称A 是对合矩阵。 2 对合矩阵的判断 设A 为n n ⨯矩阵，则下列条件都是A 为对合矩阵的充要条件： （1）1A A -= 。 （2）1 A -为对合矩阵。 （3）* A 为对合矩阵。 （4） ()()A E A E n ++-=秩秩 （[1] P208 3） (5)矩阵A 相似于形如00n n E E --⎛⎫ ⎪⎝⎭秩(E-A)秩(E+A)的方阵。 （注：此处[K]K=1,2, 6.表命题出处，见参考文献） 下面我们分别对上述几个命题进行证明： 证明（1）：由对合矩阵的定义，显然成立。 证明（2）： A 为对合矩阵⇔ 1A A -=⇔1A -为对合矩阵。 证明（3）： ⇒A 为对合矩阵，即2 A E =。 则22 1A A E ===
* 1A A A A A -==（由（1） ） ()()222*22 A A A A A A E ==== 即*A 为对合矩阵。 ⇐* A 为对合矩阵，即 () 2 *A E = （*） () 22 1 ***1,n A A E A A -====又 得211n A -= 有2 1A = （*）式两端同时式乘以A ，右乘以A ，得 * AEA A ==右边 即2 A E = A 为对合矩阵。 证明（4）：考察矩阵00 A E A E +⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （*） 对（*）式作分块矩阵的初等变换 200002()()()()00022 0220A E A E A E A E A E A E E A E A E A E A E A E A E E E A E E +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ +-+-⎛ ⎫⎛⎫⎛⎫ --- ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ -⎝⎭⎝⎭ 由初等变换不改变矩阵的秩 有200 00A E A E A E E +⎛⎫-⎛ ⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 秩秩 即()()()()22A E A E A E E A E n ++-=-+=-+秩秩秩 秩秩 所以2 A E = 即 ()2 200A E A E -=⇔-=⇔秩()()A E A E n ++-=秩秩 在证明命题（5）之前，先证明几个命题： 命题1、矩阵2 A 的特征值等于（考虑它们的重数）矩阵A 的特征值的平方。 （[3] P182 1126） 证明：设A 的所以特征值为12,,s λλλ
(完整版)高代定理整理
高代定理整理 一．线性方程组理论 定理一：设向量组a1,a2.......a s线性无关，则向量B可以由a1,a2.......a s线性表出的充分必要条件是a1,a2.......a s,B线性相关。 定理二：设向量组a1,a2.......a s线性无关，则向量B不能由a1,a2........a s线性表出的充分必要条件是a1,a2.......a s,B线性无关。 定理三：几何空间中任意4个向量都线性相关。 定理四：K n中，任意n+1个向量都线性相关。 定理五：如果向量B可以由向量组a1,a2.......a s线性表出，则表出方式唯一的充分必要条件是a1,a2.......a s线性无关。 定理六：由非零向量组成的向量组a1,a2.......a s（s>=2)线性无关的充分必要条件是：每一个a i(1
19对合矩阵的判定及几何意义
[摘要]对合矩阵的定义、对合矩阵的判定、对合矩阵的几何意义 [关键字]对合矩阵、初等变换、秩、相似、特征值、对合变换 一、 对合矩阵的定义 矩阵A 满足条件2 A E =，则称A 是对合矩阵。 二、 对合矩阵的判定 设A 为n n ⨯矩阵，则下列条件都是A 为对合矩阵的充要条件： （1）1A A -= 。 （2）1 A -为对合矩阵。 （3）* A 为对合矩阵。 （4）()()A E A E n ++-=秩 秩 （[1] P208 3） （注：此处[K]K=1,2, 6.表命题出处，见参考文献） (5)矩阵A 相似于形如00n n E E --⎛⎫ ⎪⎝ ⎭秩(E-A)秩(E+A)的方阵。 下面我们分别对上述几个命题进行证明： 证明（1）：由对合矩阵的定义，显然成立。 证明（2）： A 为对合矩阵⇔1A A -=⇔1A -为对合矩阵。 证明（3）： ⇒A 为对合矩阵，即2A E =。 则 2 21A A E === *1A A A A A -==（由（1）） () ()2 2 2 *22A A A A A A E ==== 即* A 为对合矩阵。 ⇐* A 为对合矩阵，即 () 2 *A E = （*）
() 2 2 1 *** 1,n A A E A A -====又 得 21 1n A -= 有2 1A = （*）式两端同时式乘以A ，右乘以A ，得 *AEA A ==右边 即2 A E = A 为对合矩阵。 证明（4）：考察矩阵00 A E A E +⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （*） 对（*）式作分块矩阵的初等变换 00002()()()()002 2 220A E A E A E A E A E A E E A E A E A E A E A E E A E E +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ →→ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ +-+-⎛⎫⎛ ⎫ -- ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ -⎝⎭⎝⎭ 由初等变换不改变矩阵的秩 有 200 00A E A E A E E +⎛⎫ -⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 秩秩即 ()()()(22A E A E A E E A ++-=-+=- 秩秩秩秩秩所 以 2A E =，即 ()2200A E A E -=⇔-=⇔ 秩 ()()A E A E n ++-=秩秩 在证明命题（5）之前，我们先来证明几个命题： 命题1、矩阵2 A 的特征值等于（考虑它们的重数）矩阵A 的特征值的平方。 （[3] P182 1126）