江苏高考应用题 含解析

2018年-2008年江苏高考应用题（共10题）

说明：应用题考在17题或18题，是解答题的第三、四两题之一，是中档题，是学生取得优分必须要突破的题型，必须重视。做错的认真订正，并在可能的情况下多练。

1．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ． （1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

2.如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.

3. 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱

1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1PO 的四倍.

（1）若16,PO 2,AB m m ==则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？

容器Ⅱ

容器ⅠG

O

H

F E

D

C

B

A

O 1

G 1

F 1

E 1

D 1

C 1

B 1

A 1

4. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2

a

y x b

=+（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；

（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .

①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.

5．如图：为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，经测量，点位于点正北方向60处，点位于点正东方向170处，（为河岸），。 （1）求新桥的长；

（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？

6．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m ．在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C

．假设缆车匀速直线运动的速度为

OA BC BC AB M OA BC O A m A O m C O m OC 4

tan 3

BCO ∠=

BC

OM

min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，1312cos =

A ，5

3cos =C ． （1）求索道AB 的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？

7. 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221

(1)(0)20

y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？

请说明理由．

8、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm

（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2

）最大，试问x 应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3

）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

x

x

E

F A

B

D

C

C

B

A

D

M

N

x （千米）

y （千米）

O

9、某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=，∠ADE=。

(1)该小组已经测得一组、的值，tan =，tan =，请据此算出H 的值；

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，-最大？

10．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km,

CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ． （Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式．

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

解析如下：

1．（本小题满分14分）

某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆

O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

αβαβαβαβα

βC

B

P O

A

D

17．【答案】（1）；（2）当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

【解析】

（1）连结并延长交于，则，所以． 过作于，则，所以， 故，，

则矩形的面积为，

的面积为．

过作，分别交圆弧和的延长线于和，则． 令，则，． 当时，才能作出满足条件的矩形，

所以的取值范围是．

（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为，

设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为， 则年总产值为

，．

设，，

则．

令，得，当时，，所以为增函数； 当时，，所以为减函数，

1,41??

????

π6θ

=PO MN H PH MN ⊥10OH =O OE BC ⊥E OE MN ∥COE θ∠=40cos OE θ=40sin EC θ=ABCD ()()240cos 40sin 108004sin cos cos θθθθθ?+=+CDP △()()1

240cos 4040sin 1600cos sin cos 2

θθθθθ??-=-N GN MN ⊥OE G K 10GK KN ==0GOK θ∠=01sin 4θ=

0π0,6θ??∈ ???

0π2,θθ??

∈????ABCD sin θ1,41??

????

4:34k ()30k k >()()48004sin cos cos 31600cos sin cos k k θθθθθθ?++?-()8000sin cos cos k θθθ=+0π2,θθ??

∈????

() sin cos cos f θθθθ=+0π2

,θθ??

∈???

?

()()()()222

cos sin sin 2sin sin 12sin 1sin 1f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+()=0f θ'π6θ=

0π6,θθ??

∈ ???

()>0f θ'()f θππ,62

θ??∈ ???

()<0f θ'()f θ

因此，当

时，取到最大值． 2.（本小题满分16分） 如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.

【答案】（1）16（2）20

【解析】解:（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥.

记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处.

( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)

π

6

θ=

()f θ容器Ⅱ

容器Ⅰ

G

O

H

F

E D

C

B

A O 1

H 1

G 1

F 1

E 1

D 1

C 1

B 1

A 1(第18题)

（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.

由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ， 所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处. 过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足， 则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，

所以KG 1=

6214

242

-=，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 2

5

KGG KGG απ=+==

∠∠. 因为

2απ<<π，所以3cos 5

α=-. 在ENG △中，由正弦定理可得

4014sin sin αβ=，解得7

sin 25

β=. 因为02βπ<<

，所以24cos 25

β=

. 于是42473

sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555

NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=

?+-?=∠. 记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而 EP 2=

22

20sin P NEG

Q =∠.

答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.

(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm) 3. （本小题满分14分）

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱

1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1PO 的四倍.

（1）若16,PO 2,AB m m ==则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？

【答案】（1）312（2）1PO

4.（本小题满分14分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连

接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，

，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，

的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米

和千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2

a

y x b

=+（其中a ，b 为常数）模型.

（1）求a ，b 的值；

（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .

①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.

【答案】（1）1000,0;a b ==（2）①()f t 定义域为[5,20]，②min ()t f t ==千米 （2）①由（1）知，2

1000

y x =

（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,

t t ??

???

， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，32000

y x

'=-

，

5．（满分16分）如图：为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，经测量，点位于点正北方向60处，点位于点正东方向170处，（为河岸），

。 （1）求新桥的长；

（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？

OA BC BC AB M OA BC O A m A O m C O m OC 4

tan 3

BCO ∠=

BC

OM

（2）设，即，由（1）直线的一般方程为，圆的半

6．（本小题满分16分）

如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。一种是从A 沿直线步行 到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两 位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m ．在甲出发min 2后，乙从

A 乘缆车到

B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到

C ．假设缆车匀速直线运动的

速度为min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，

1312cos =A ，5

3

cos =C ． （1）求索道AB 的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解：（1）如图作BD ⊥CA 于点D ，

OM t =(0,)

M t (060)t ≤≤BC 436800x y +-=M

B

A

D

M

N

设BD ＝20k ，则DC ＝25k ，AD ＝48k ， AB ＝52k ，由AC ＝63k ＝1260m ， 知：AB ＝52k ＝1040m ．

（2）设乙出发x 分钟后到达点M ， 此时甲到达N 点，如图所示． 则：AM ＝130x ，AN ＝50(x ＋2)，

由余弦定理得：MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN cos A ＝7400 x 2－14000 x ＋10000， 其中0≤x ≤8，当x ＝35

37 (min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短． （3）由（1）知：BC ＝500m ，甲到C 用时：126050 ＝126

5 (min)．

若甲等乙3分钟，则乙到C 用时：1265 ＋3＝1415 (min)，在BC 上用时：86

5 (min) ． 此时乙的速度最小，且为：500÷865 ＝1250

43 m/min ．

若乙等甲3分钟，则乙到C 用时：1265 －3＝1115 (min)，在BC 上用时：56

5 (min) ． 此时乙的速度最大，且为：500÷565 ＝625

14 m/min ． 故乙步行的速度应控制在[125043 ，625

14 ]范围内． 7. （本小题满分14分）

如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221

(1)(0)20

y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

【答案及解析】

【命题意图】本题主要考查函数、方程和基本不等式基础知识，考察数学阅读能力和解决实际问题能力. 【解析】（1）令0y =，得221

(1)020

kx k x -

+=，由实际意义和题设条件知0x >，0k >， x （千米）

y （千米）

O

（第17题）

x

x

A B

D C 故2

201k x k =

+=20

1k k

+≤202=10，当且仅当k =1时取等号. (2) ∵a ＞0，∴炮弹可击中目标?存在k ＞0，使=221

(1)20

ka k a -

+成立 ?关于k 的方程2

2

2

20640a k ak a -++=有正根 ?判别式2

2

2

(20)4(64)0a a a ?=--+≥?6a ≤. ∴当a 不超过6（千米）时，可击中目标.

8、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部

分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的

点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm

（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2

）最大，试问x 应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求

出此时包装盒的高与底面边长的比值。

解析：考察空间想象能力、运用数学知识解决实际问题的能力、建模能力、导数的运用，中档题。 （1）2

2

2

2

604(602)2408S x x x x =---=-（0

(2)

(602)42(30)(030)2

V x x x x x =-=-<<，所以，'122(20),V x x =- 当020,x <<时，2030V x V <<递增，当时，递减，所以，当x=20时，V 最大。

此时，包装盒的高与底面边长的比值为2

x 12

2x

=（60－2）

2 9、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，

仰角∠ABE=，∠ADE=。

(1)该小组已经测得一组、的值，tan =，tan =，请据此算出H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：

m ），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m ，

试问d 为多少时，-最大？

[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 （1）

，同理：，。 AD —AB=DB ，故得

，解得：。 αβαβαβαβαβtan tan H H AD AD ββ=?=tan H AB α

=tan h BD β=tan tan tan H H h βαβ-=tan 4 1.24

124tan tan 1.24 1.20

h H αβα?===--

因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。 （2）由题设知，得，

（当且仅当时，取等号） 故当时，最大。 因为，则，所以当时，-最大。

故所求的是

。

10．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km,

CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式．

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 【解析】本小题主要考查函数最值的应用．

解：（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10

cos cos AQ OA θθ

=

=

, 故 10

cos OB θ

=

，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ， 所以1010

1010tan cos cos y OA OB OP θθθ

=++=

++-， d AB =tan ,tan H H h H h d AD DB d

αβ-=

===2tan tan tan()()

1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d

αβαβαβ--

--====

--+?+-+?+()

H H h d d

-+

≥d =d =tan()αβ-02

π

βα<<<

02

π

αβ<-<

d =αβd C

B

P

O

A

D

所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=

+04πθ?

?<< ??

?

②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=

所求函数关系式为)010y x x =+<<

（Ⅱ）选择函数模型①，()()()

'

2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ

-----=

=g

令'

y =0 得sin 1

2

θ=

，因为04πθ<<，所以θ=6π，

当0,

6πθ?

?

∈ ??

?

时，'

0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ??

∈

???

时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，

min 10y =+。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边

3

km 处。