矩阵特征值的估计及其应用

收稿日期:2008-11-14

作者简介:薛建明(1982- ),女,硕士,研究方向为泛函分析和矩阵计算.Email:xuejianmi ng104@https://www.360docs.net/doc/d38381223.html,

文章编号:1671-9352(2009)12-0048-04

矩阵特征值的估计及其应用

薛建明,邹黎敏

(重庆三峡学院数学与计算机科学学院,重庆404000)

摘要:讨论矩阵特征值估计及其在稳定性理论中的应用。证明了矩阵的所有特征值都位于一个圆盘中,给出了定常线性系统在平衡位置渐近稳定的一个充分条件,并给出了数值算例。关键词:特征值;F 函数;范数;估计;稳定性中图分类号:O15112 文献标志码:A

Estimation for eigenvalues and its application

XUE Jian -ming,ZOU L-i min

(College of Mathematics and Computer Science of Chongqing,Three Gorges University ,Chongqing 404000,China)Abstract :T he purpose of this paper is to discuss the estimation for eigenvalues of matrices and its application in stability theory.We prove that all the eigenvalues of any complex matrix are located in one di sk.After that,we present a sufficient conditi on that a linear time -invariant sys tem is asymp totically stable in equilibrium position.Some numerical examples are given.Key w ords :eigenvalues;F function;norm;esti mation;stability

特征值的估计一直是矩阵分析领域非常热门的课题。特征值的定位与分布就是在复平面上对给出的矩阵的特征值的大小,所属区域给出一个范围。在自然科学的许多分支中,并不需要精确计算出矩阵的特征值,而只需要给出一个大体的分布范围。如在控制理论中,只需要判断系统方程中系统矩阵的特征值是否都具有非负的实部,就可以判断系统是否稳定;而在统计线性模型或是数值算法分析中,有时需要判断Her mite 矩阵是正定的,即所有的特征值都大于零

[1-4]

。

众所周知,动力系统d x

d t =f (x )的稳定性理论有着广泛的应用,而非线性系统的稳定性往往可以用其线性部分来处理。涉及常系数线性微分方程组

d x

d t

=Ax 的解的稳定性问题时,判断A 是否是稳定矩阵的方法有很多,如Routh -Hur witz,李亚普诺夫等方法。然而对于阶数较大的矩阵,上面的方法是比较复杂的,故寻求A 是稳定矩阵的简单判据是有必要的。文中先得到了矩阵特征值的估计,然后给出了定常线性系统在平衡位置渐近稳定的一个充分条件,并给出了数值算例验证估计的优越性。

设C

n @n

表示n @n 阶复矩阵的集合,若A =(a ij )I C

n @n

,称+A +F =tr(A *

A )为矩阵A 的F -范数,

其中A *

表示的A 的共轭转置。

1 矩阵特征值的估计

定义111 令映射f :C

n @n

y R +

G {0},若f 满足

第44卷 第12期

Vol.44 No.12

山 东 大 学 学 报 (理 学 版)

Journal of Shandong University(Natural Science)

2009年12月 Dec.2009

(1)对于任意的矩阵A ,若|tr A |2

>f (A ),则A 非奇异;

(2)对于任意的A I C ,有f (A I -A )=n -1n

(|tr(A I -A )|2-|tr A |2

)+f (A );(3)f (A )\n -1n |tr A |2,

则称f 为一个F 函数,记F 函数的全体为 f 。

定理111 设A I C

n @n

,f I f ,则A 的所有特征值位于如下一个圆盘之中:

z I C :z -tr A

n [

n f (A )-(n -1)|tr A |

2

n

。

证明 设K 为A 的任意特征值,令H =K I -A ,则由F 函数的定义,有

|tr H |2

[f (H ),

又由F 函数的定义可得

f (K I -A )=

n -1n

(|tr(K I -A )|2-|tr A |2

)+f (A ),于是

|tr(K I -A )|2[n -1n

(|tr(K I -A )|2-|tr A |2

)+f (A ),

即

|tr(K I -A )|2

n [f (A )-n -1n

|tr A |2

,

所以

n

2

K -tr A n

2

[n f (A )-(n -1)|tr A |2

,

故

K -tr A n

[

n f (A )-(n -1)|tr A |

2

n

。

于是定理得证。

定理112 设M I C

n @n

且被分块为如下形式:M =

A k @k

B k @(n -k )

C (n -k )@k

D (n -k )@(n -k )

,(1[k [n -1)。

令

f (M )=(n -1)

+M +2

F -max 1[k [n -1

+B k @(n -k )

+F -+C (n -

k )@k

+F

2

,

则f (M )I f 。

证明 (1)令

T (M )=|tr M |2

-(n -1)

+M +2

F -ma x 1[k [n -1

+B k @(n -k )

+F -+C (n -k )@k

+F

2

,

若|tr M |2

>f (M ),即T (M )>0,设M 有s 个非零特征值,则rank M \s ,于是

|tr M |2

=

E s

i =1

K i 2

[s E s

i =1|K i |2

[rank M E s

i =1

|K i |2

。假设M 为奇异矩阵,则有

|tr M |2

[(n -1)E s

i =1

|K i |2

。又由文献[3]定理1知

E s

i =1

|K i |2

[+M +2

F -max 1[k [n -1

(+B k @(n -k )+F -+C (n -k )@k +F )2

,所以

|tr M |2

[(n -1)+M +2

F -max 1[k [n -1

(+B k @(n -k )+F -+C (n -k )@k +F )2

,(1)

于是T (M )[0,与条件矛盾,所以M 为非奇异矩阵。

第12期薛建明,等:矩阵特征值的估计及其应用

49

(2)设A I C为任意复数,则

f(A I-M)=(n-1)+A I-M+2F-max

k[k[n-1

+B k@(n-k)+F-+C(n-k)@k+F2。又因为

+A I-M+2F=1

n

[|tr(A I-M)|2-|tr M|2]++M+2F,

所以有

f(A I-M)=n-1

n

(|tr(A I-M)|2-|tr M|2)+f(M)。

(3)显然

f(M)-n-1

n |tr M|2=(n-1)+M+2F-max

1[k[n-1

+B k@(n-k)+F-+C(n-k)@k+F2-n-1

n

|tr M|2,

即

f(M)-n-1

n

|tr M|

2=(n-1)+M+2

F-ma x

1[k[n-1

+B k@(n-k)+F-+C(n-k)@k+F2-|tr M|2

n

。

所以,由式(1)可得

f(M)\n-1

n|tr M|

2。

综上可知f(M)I

f。

推论111设M I C n@n且被分块为如下形式:

M=

A k@k

B k@(n-k)

C(n-k)@k D(n-k)@(n-k)

I C n@n,(1[k[n-1)。

令

f(M)=(n-1)+M+2F-max

1[k[n-1

+B k@(n-k)+F-+C(n-k)@k+F2,则M的所有特征值位于如下一个圆盘之中:

z I C:z-tr M

n

[n f(M)-(n-1)|tr M|

2

n

。

证明推论111为定理111和定理112的综合推论。推论112设M I C n@n且被分块为如下形式:

M=

A k@k

B k@(n-k)

C(n-k)@k D(n-k)@(n-k)

I C n@n,(1[k[n-1),

令

f(M)=(n-1)+M+2F-max

1[k[n-1

+B k@(n-k)+F-+C(n-k)@+F2,设K=a+b-1为M的任一特征值,则

Re tr M

n

-

n f(M)-(n-1)|tr M|2

n

[a[Re tr M

n

+

nf(M)-(n-1)|tr M|2

n

。

推论113设定常线性系统的微分方程组为d x

d t

=A x,其中A为系数矩阵,若

Re tr A

n <-n f(A)-(n-1)|tr A|

2

n

,

则系统在平衡位置x=0是渐近稳定的。

注满足定义111的F函数有很多,如选取矩阵函数为

f(A)=(n-1)+A+2F,

由定理112的方法,容易验证f(A)I

f,于是立即可以得到文献[5]的主要结果。本文的定理111将此结果推广到了对于任意的F函数均成立。

50山东大学学报(理学版)第44卷

2数值算例

例211设

A=

5-13

-12-2

3-23

。

显然A是实对称矩阵,由推论111,可得所有特征值位于如下一个圆盘之中:

z I C:z-10

3

[14

3,

即

-113333[K[810000,

由著名的Gerschgorin定理,可得A的特征值位于如下三个圆盘的并:

{z I C:|z-5|[4}G{z I C:|z-2|[3}G{z I C:|z-3|[5},

即

-210000[K[910000

计算A的特征值为K1=010610,K2=210881,K3=718509,可见推论111对A的特征值的估计是有其优越性的。

例212考虑下面定常线性系统在平衡位置x=0的稳定性[6]。

d x d t =

d x1

d t

d x2

d t

d x3

d t

d x4

d t

=

-531-2

-1-401

-12-41

1-20-3

x。

因为

Re tr A

4=tr A

4

=-410000,f(A)=252,

故

-4f(A)-3|tr A|2

4

=-318730,

所以

Re tr A

4

[-4f(A)-3|tr A|

2

4

,

于是由推论113可知,系统在平衡位置x=0是渐近稳定的。

参考文献:

[1]HORN R A,J OHNSON C R.M atrix analysis[M].Cambridge:Cambridge University Press,1985.

[2]詹兴致.矩阵论[M].北京:高等教育出版社,2008.

[3]屠伯勋.矩阵秩的下界与方阵的非奇异性(?)[J].复旦大学学报:自然科学版,1982(04):416-422.

[4]黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵分析及应用[M].北京:科学出版社,2007.

[5]古以熹.矩阵特征值的分布[J].应用数学学报,1994(04):501-511.

[6]屠伯勋.两类迹占优阵的特征值的分布与估计[J].数学杂志,1988(01):67-74.

(编辑:陈丽萍)第12期薛建明,等:矩阵特征值的估计及其应用51