函数的性质练习(奇偶性单调性周期性对称性)(附答案)
函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)
1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是
A.0
B.1
C.3
D.5
2、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )
A ．1
B ．4
C ．3
D ．2
3、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(f
A.0
B.2
C. 2-
D.2± 4、已知1
1
2)(-+
=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.16
5、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则
A.)(x f 为偶函数
B.)(x f 为奇函数
C.)(x f =)2(+x f
D.)3(+x f 为奇函数
6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是
A.)(x f 的周期为4
B. )(x f 的周期为6
C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称
D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1]
时，3
)(x x f =，则=)2013
(f A.1- B.0 C.1 D.2
8、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为 偶函数. 若3)1(=f ，那
么=)101
(f A.1 B.2 C.3 D.4
9、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )
A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ????
32 等于( )
A ．0
B ．1 C.12 D ．－1
2
11、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A ．f (－25) B ．f (80) C ．f (11) D ．f (－25) 12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则 ()7.5f 等于 （ ） A ．0.5 B ．0.5- C ．1.5 D ． 1.5- 13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与() 2 23f a a -+ （a R ∈）的大小关系是 （ ） A ．()2f -<( ) 2 23f a a -+ B ．()2f -≥() 2 23f a a -+ C ．()2f ->()2 23f a a -+ D ．与a 的取值无关 14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有 （ ） A ．()f x 0> B ．()f x 0< C ．()f x ()f x -≤0 D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2 212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．a ≤－3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 17、已知函数()()2 2 1,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是 （ ） A ．10b -<< B ．2b >C ．12b b <->或 D ．不能确定 18、已知函数()() 2 2 23f x x x =+-，那么 （ ） A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数 B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数 C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数 D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数 19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的 是 （ ） A ．()57122f f f ????<< ? ??? ?? B ．()57122f f f ????<< ? ????? C ．() 75122f f f ???? << ? ????? D ．()75122f f f ???? << ? ????? 20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则()2f -等于（ ） A ．1- B ． 114 C ．1 D ．114 - 21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定 23、已知函数=)(x f ???<-≥-0 ,10 ,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是 A. (1,-∞-)),2(+∞ B. (1,2-) C. (2,1-) D. (2,-∞-)+∞,1( ) 24、已知 )(x f 是定义在R 上的不恒为零的偶函数，且对任意x 都有)()1()1(x f x x xf +=+， 那么)2 5(f = A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题： 24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()2 2g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别 为 ; 26、定义在()1,1-上的奇函数()21 x m f x x nx += ++，则常数m = ，n = ； 28、．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 29、若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ?? =- ??? ⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ?? +-< ??? ． 30．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。 （1）证明：(1)0f =； （2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围。 31、已知 3 1≤a ≤1，若函数()2 21f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-． （1）求()g a 的函数表达式；（2）判断函数()g a 在区间[3 1 ，1]上的单调性，并求出()g a 的最小值 . 15.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=?,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1;(2)证明: ()f x 在R 上单调递减; ( 函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ > )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线 2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知， )2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点 ),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。 ∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f -= ∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f +=- （2）函数的点对称： · 函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 一、填空题 1．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1 、若f (a )＝23、则f (－a )＝________. 解析：根据题意、f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1、而h (x )＝x x 2＋1 是奇函数、 故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43. 答案：43 2．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R)是偶函数、值域为(－∞、4]、则该函数的解析式为f (x )＝________. 解析：由f (x )＝bx 2＋a (b ＋2)x ＋2a 2是偶函数、可得a (b ＋2)＝0.又其值域为(－∞、4]、∴b <0、且2a 2＝4、从而b ＝－2、∴f (x )＝－2x 2＋4. 答案：－2x 2＋4 3．若f (x )＝12x －1 ＋a 是奇函数、则a ＝________. 解析：∵f (x )为奇函数、∴f (－x )＝－f (x )、 则12－x －1＋a ＝－(12x －1 ＋a )、∴a ＝12. 答案：12 4．定义在R 上的偶函数f (x )、对任意x 1、x 2∈[0、＋∞)(x 1≠x 2)、有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 <0、则f (3)、f (－2)与f (1)的大小关系是________． 解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 <0、得f (x )在[0、＋∞)上单调递减、由偶函数性质得f (3) 函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全-. 换种说法： )(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 1、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。 2、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。 3、 )(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2 b a x +=对称。 4、 函数的轴对称： 定理1：如果函数 ()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2 b a x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论2：如果函数 ()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化. 5、 函数的点对称： 定理2：如果函数 ()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对 称. 推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称. 推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化. 三、总规律：定义在Ｒ上的函数 ()x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。 四、试题 1．已知定义为R 的函数()x f 满足()()4+-=-x f x f ，且函数()x f 在区间()+∞,2上单调递增.如果212x x <<，且421<+x x ，则()()21x f x f +的值（A ）. A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负. 1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2= C ．y ＝x 2 －4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a ~ 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2 －mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2 －a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． - (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 ； 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请想一下有哪些美？ 对于对称美，请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？ 生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？若给它适当地建立直角坐标系，那么会发现什么特点？ 数学中对称的形式也很多，这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数 二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用 三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件． 2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？ 提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？ 提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个． 考点2 周期性 (1)周期函数： 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝lg 1－x 1＋x ；(2)f(x)＝ ? ? ?x2＋x(x>0)， x2－x(x<0)； (3)f(x)＝ lg(1－x2) |x2－2|－2 . 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像： []b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 2、奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++-- ③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= （2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①))(2,)(2(),(),(2 222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++- =与点关于直线成轴对称；0=++C By Ax ②函数))(2()(2)(2222B A C By Ax A x f B A C By Ax B y x f y +++-=+++-=与关于直线 0=++C By Ax 成轴对称。 ③0))(2,)(2(0),(2 222=+++-+++-=B A C By Ax B y B A C By Ax A x F y x F 与关于直线 函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. －2 B.－1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-，则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是（） A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ． 1 / 9 函数的奇偶性与周期性精选习题 一、选择题 1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2 g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函 数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7 B ．-9 C ．-11 D ．-13 2．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121 x f x x x π? ? =-++ ? +? ?，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 3．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1x x e f x ?? =- ?+?? 的图象大致形状为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且 (2)()f x f x +=-，则有（ ） A ．13 ()()(1)3 2f f f << B ．3 1(1)()()2 3 f f f << C ．13 (1)()()32 f f f << D ．31()(1)()23 f f f << 5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当 [0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ） A ．3 B ．-3 C ．2 D ．-2 6．（利用奇偶性周期性判断方程根的个数）函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与 2 / 9 (1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019 x f x - =的根的个数是（ ） A ．2020 B ．2019 C ．1010 D ．1009 7．（利用奇偶性周期性求字母范围）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有 ()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112x f x ??=- ??? ，若关于x 的方程()()log 20(1) a f x x a -+=>在区间(]2,6-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． ) 2 C ． 2?? D ． 2?? 二、填空题 8．（利用奇偶性解不等式）已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2 3f x x x =-，则不等式 ()22f x -≤的解集为___． 9．（奇偶性与导函数结合）已知定义在()(),00,-∞?+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()2 2 424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为_____． 10（由函数图象判断周期性求函数值）如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C （x ，y ）滚动时形成的曲线为y ＝f （x ），则f （2019）＝________． 函数奇偶性对称性与周期性有关结论 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 函数奇偶性、对称性与周期性 奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、几个重要的结论 （一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 4、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称。 5、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 6、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 7、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 8、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 (c b a +对称。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。 2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -= 对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。 6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。 7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称 （三）函数的周期性 1、)()(x f T x f =+ ?)(x f y =的周期为T 2、)()(b x b f a x f ++=+ )(b a < ?)(x f y =的周期为a b T -= 3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 4、) (1)(x f a x f =+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f - =+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 6、) (1)(1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+- =+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 3= 8、) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4= 函数的单调性奇偶性训练题 一、选择题 1. 下列函数中,在区间 上为增函数的是( ). A ． B ． C ． D ． 2．函数 的增区间是（ ）。 A ． B ． C ． D ． 3． 在 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。 A ． B ． C ． D ． 4 已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［1,2a a -］，则（ ） A ．3 1=a ，b ＝0 B ．1a =-，b ＝0 C ．1a =，b ＝0 D ．3a =，b ＝0 5.设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，则),2(-f )(πf ，)3(-f 的大小关系是 A )2()3()(->->f f f π B )3()2()(->->f f f π C )2()3()(-<- 函数对称性、周期性和奇偶性规律总结 注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。 2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称，∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。 注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y - 换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。 ()(())()g x f x f x -=--= 3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y - ∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称，∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称。 注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y - ∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称，∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称. 注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。 5、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以2(2)y b f a x =--经过点11(2,2)a x b y -- 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f 函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性） “定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。 1. 奇偶性 f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇； ③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称 （2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3 x y =在)1,1[-上不是奇函数 常用性质： 1．0)(=x f 是既奇又偶函数； 2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足) ()()(x f x f x f =-=； 4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称； 5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足： （1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 （2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数 2) ()()(x f x f x --= ?和一个偶函数 2) ()()(x f x f x -+= ψ的和。 2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意 且 ① 总有 则称 在区间M 上单调递增 ② 总有则称在区间M 上单调递减 应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性 一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二） 求函数的单调区间 定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论 （1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( ) A ．f(x)＝x2＋x B ．f(x)＝tan x C ．f(x)＝x ＋sin x D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f(x)g(x)是偶函数 B ．|f(x)|g(x)是奇函数 C ．f(x)|g(x)|是奇函数 D ．|f(x)g(x)|是奇函数 3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝23 ，则f(－a)＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1) 6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1 ，则a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a≥23 B ．a<－1 C ．－1 函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） 函数单调性奇偶性经典练习 一、单调性题型 高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法： 121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>??>Q 210x x ∴->，1(4)0x ->，2(4)0x -> 12()()f x f x ∴> 故函数()f x 在区间(4)+∞，上为减函数. 练习1 证明函数21 ()3 x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法） 练习2 证明函数2()f x x =2()3 -∞，上为增函数（定义法、快速判断法） 练习3 求函数3 ()2 x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法) 练习4 求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法） §2.3 函数的奇偶性与周期性 知识梳理： 1．奇、偶函数的概念 2．奇、偶函数的图象特征 3．具有奇偶性函数的定义域的特点 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数 (2)最小正周期 5．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f (x )为奇函数，在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上应为 ； (2)若函数f (x )为偶函数，在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上应为 ． 6．奇、偶函数和与积的奇偶性的判定 基础自测： (2013·广东)定义域为R 的四个函数y ＝x 3， y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 (2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当 x >0时，f (x )＝x 2＋1 x ，则f (－1)＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 (2014·湖南)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 (2014·四川)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝ ? ????－4x 2 ＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1， 则f ????32＝________ . (2014·湖南)若f (x )＝ln (e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 例题分析： 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ； (2)f (x )＝? ????－x 2＋2x ＋1，x ＞0， x 2＋2x －1，x ＜0； (3)f (x )＝4－x 2 x ； (4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (5)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)． 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝lg （4－x 2） |x －2|＋|x ＋4|； (2)f (x )＝? ????x 2＋x ，x ＜0， －x 2＋x ，x ＞0. 已知函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13. (1)求证：f (x )是周期函数； (2)若f (1)＝2，求f (99)的值； (3)若当x ∈[0，2]时，f (x )＝x ，试求x ∈[4，8]时函数f (x )的解析式． 已知函数f (x )，x ∈R 的图象关于y 轴对称， 且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，同时f (x ＋2)＝ f (x )，求f (x )． 设定义在[－2，2]上的偶函数f (x )在区间 [0，2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________________． 已知定义域为(－1，1)的奇函数f (x )，在 (－1，1)上又是减函数，且满足f (2x －1)＋f ???? 13＜0，则x 的取值范围为______________． (2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝?? ???x （1－x ），0≤x ≤1， sinπx ，1＜x ≤2， 则f ????294＋f ????416＝________. (2014·石家庄一模)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3 a ＋1， 则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2) 作业： 1．(2014·广东)下列函数为奇函数的是( ) A ．2x －1 2 x B ．x 3sin x C ．2cos x ＋1 D ．x 2＋2x 2．(2014·新课标Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结 §2.3函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数,关于y轴对称 奇函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数,关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值 时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正 数就叫做f(x)的最小正周期． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．( × ) (2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( √ ) (4)若函数f (x )＝x (x －2)(x ＋a ) 为奇函数，则a ＝2.( √ ) (5)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ ) (6)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2 014)＝0.( √ ) 2．(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1 x ，则f (－1)等于( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A 解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是() A ．－13B.13C.12D ．－12 答案 B 解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13 . 4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 答案 A 解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数，函数对称性、周期性和奇偶性规律总结
2019版一轮优化探究理数练习：第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性 含解析
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