高三数学第二次月考试卷

冠龙高级中学200届高三数学第二次月考试卷

1. 设全集U={1，a ，5，7},集合M={1，a 2-3a+3},C U M={5，7},则实数a=

2. sin515°cos35°－ cos25°cos235°的值为

3. 函数f(x)=x 2－1(x<0)的反函数是

4. 已知m

1+i =1－ni ，其中m 、n 是实数，i 是虚数单位，则m+ni=

5. 若向量b a ,满足：4)2()(-=+?-b a b a

，且4,2==b a ，则a 与b 的夹角等于

6. 已知圆C 的方程为014222=+-++y x y x ，直线l 的方程为4x+3y+8=0， 则圆心C 到直线l 的距离为 .

7. 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .

8. 若长方体的三个面的面积分别是6,3,2,则长方体的外接球的体积为

9. 设P 是双曲线192

22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、

2F 分别是双曲线的左、右焦点。若3||1=PF ，则=||2PF

10. 设0384,1}{220062005=+->x x a a q a n 是方程和若的等比数列是公比的两个根，则20082007a a += .

11. 定义在R 上的函数)(x f ，如果存在函数为常数）b k b kx x g ,()(+=，使得

)(x f ≥)(x g 对一切实数x 都成立，则称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数．现

有如下命题：

① 对给定的函数)(x f ，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；

② ()2g x x =为函数()2x f x =的一个承托函数； ③定义域和值域都是R 的函数)(x f 不存在承托函数．

其中正确命题的序号是 二、选择题(每小题4分，满分16分)

12. 函数??? ?

?

+=2sin πx y 是 （ ）

A. 周期为π2的偶函数

B. 周期为π2的奇函数

C. 周期为π的偶函数

D. 周期为π的奇函数 13. 设M=1

2a a +

- (23)a <<，N=212

1log ()16x +，x R ∈，则M 、N 的大小关

系是 ( )

A. M

B. M=N

C. M>N

D. 不能确定

14. 已知平面α外不共线的三点C B A 、、到α的距离都相等，则下列结论中正确的一个是 ( ) A ．平面ABC 必平行于平面α B ．平面ABC 必与平面α相交

C ．平面ABC 必垂直于平面α

D . 存在ABC ?的一条中位线平行于α或在α内

15. 函数1

1)(2

-+-=x x a x f 为奇函数的充要条件是 （ ）

A 、10<

B 、10≤

C 、1>a

D 、1≥a

三、解答题(本大题共6小题,共90分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本小题满分14分)

已知函数()sin 2cos 2f x x x =+. (1)求)(x f 的最小正周期； (2)求当]2

,

0[π

∈x 时,)(x f 的最大值及最小值,并指出对应的x 的值.

17. (本小题满分14分）如图AB ⊥平面BCD ，DC ⊥BC ，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC

（1）求AD 与平面ABC 所成角的大小 （2）若AB=2，求点B 到平面ACD 的距离

18. (本小题满分14分）在数列{}n a 中，11211,,2n n n n a S a a a a S -==+++= （*

n N ∈则2n ≥)。

(1)求证：数列{}n s 是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式．

19. （本小题满分14分）某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据检测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线： (1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式

(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，假若某病人一天中最多服4次药，第一次服药时间为8：00，问一天中怎样安排服药时间效果最佳？

20. (本小题满分16分）如图，已知点P （3，0），点A 、B 分别在x 轴负半轴和y 轴上，且0=?BA BP ，AB AC 2-=．当点B 在y 轴上移动时，记点C 的轨迹为E ． （1）求曲线E 的方程；

（2）已知向量i ＝（1，0），j

＝（0，1），过点Q （1，

0）且以向量)(R ∈+t j t i 为方向向量的直线l 交曲线E

于M 、N 两点．若D （-1，0），且0>?DN DM ，求t 的取值范围．

21. (本小题满分18分）已知函数1()log 1

a

mx

f x x -=-(0,1)a a >≠是奇函数. (1) 求实数m 的值；

(2) 判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明；

(3) 当(,2)x n a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值； (4) 设函数()()()

2

815f x g x ax x a

=-+--，8a ≥时，存在最大实数t ，使得

(]1,x t ∈时，()55g x -≤≤恒成立，请写出t 与a 的关系式．

高三参考答案

一、填空题 1. 3 2.

2

3

3.

)1y x =>- 4. 2+i 5. 120° 6. 2 7. 4x x -- 8. π6 9. 7 10. 18 11. ①

二、选择题

12. A 13. C 14. D 15. B 三、解答题 16. 解

:()2(

2cos 2))224

f x x x x π=+=+……………………………4分 (1))(x f 的最小正周期为22

T π

π== ………………6分

(2)∵≤≤x 02

π

, ∵52444x πππ≤+≤ …………………………9分

∵ 当5244x ππ+=即x =2

π

时,)(x f 取得最小值为1- ……………………11分

当24

2

x π

π

+

=

即x =

8

π

时,)(x f

…………………………14分 17. 解：（1）∵AB ⊥平面BCD ∴∠ADB=30°又DC ⊥BC, 得DC ⊥AC ………2分 ∴CD ⊥平面ABC, ∠ACD 是AD 与平面ABC 所成的角， ………4分 设AB=BC=a,则

,,2,,AC BD AD a DC ===

=1ACD ?∠==DC 在Rt 中tan CAD=

AC 45CAD ∴∠=?，即AD 与平面ABC 所成的角为45° ………7分

（2）设点B 到平面ACD 的距离为

h,

2,AB BC AC CD ====,又

B ACD A BCD V V --=

，即21111

,223333ACD BCD S h S AB h ???=?∴=??得

∴B

……… 14分

18. 解：(1)

12(,2)n n a s n N n *-=∈≥且,112n n n s s s --∴-=,1

3n

n s s -∴

=, …4分 ∴数列{}n s 是以111s a ==为首项,以3为公比的等比数列. …7分

(2)由(1)知, 1

3n n s -=,当2n ≥时, 21223n n n a s --==?.11a ∴=不适合上式, …10分

∴数列{}n a 的通项公式为2

1(1),

23

(2).

n n n a n -=?=?

?≥? …14分

19. 解（1）由题意：112(0)2

4321(8)5

52t t y t t ?

≤≤??=??-+<≤?? …7分

（2）设第二次服药在第一次服药后t 1小时,则14

32

455

t -+

= 13t ∴=（小时） 因而第二次服药应在11:00 …9分 设第三次服药在第二次服药后2t 小时22432432(3)45555t t ??

-

++-++=????

解得24t =（小时）

即第三次服药应在15:00。 11分 设第四次服药在在第三次后2t 小时显然31t >，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和

32432432(4)45555t t ??

∴-++-++=????

解得3 3.5t =（小时） 即第四次服药应在18:30

…14分 20. 解：（1）设A （a ，0），B （0，b ），C （x ，y ） …1分 则a x -=(，)y ，a -=(，)b ，a (=，)b -，3(=，)b -． …3分

因为0=?BA BP ，AB AC 2-=．所以??

?

??-==-=+，，，

b y a a x b a 22032 …5分

消a 、b 得x y 42

-=．所以曲线E 的方程为)0(42

<-=x x y ．………… ……8分

（2）设R （x ，y ）为直线l 上一点，则由条件知)(j t i

+=λ,即1(-x ，1()λ=y ，)t ．

所以λ=-1x ，且t y λ=，消λ得l 方程为)1(-=x t y ． …10分

由???-=-=，

，x y x t y 4)1(2消y 得0)2(22222=+--t x t x t ． …11分 设1(x M ，)1y 、2(x N ，)2y ，则1(1+=x ，)1y ，1(2+=x ，)2y ．

)1)(1(21++=?x x )1)(1()1)(1(2122121--+++=+x x t x x y y

=

+++-++=1))(1()1(2212212t x x t x x t 2

22222

2

4

81)2(2)1()1(t t t t t t t -=++--++? …13分

所以04)2(42

2

2

>--=?t t ，且0482

2>-t t ，解得12

12

<

<<-t 或

12

2

<

∴11log log 011

a

a mx mx

x x +-+=---. …2分 即11111

mx mx

x x +-?=--- ∴22211m x x -=-对定义域中的x 均成立.

∴21m = 即1m =（舍去）或1m =-. ∴ 1m =-. …4分 (2) 由(1)及题设知：1()log 1a

x f x x +=-，设1122

1111x x t x x x +-+===+---， ∴当121x x >>时，211212122()22

11(1)(1)

x x t t x x x x --=

-=---- ∴12t t <. 当1a >时，12log log a a t t <，即12()()f x f x <.

∴当1a >时，()f x 在(1,)+∞上是减函数. …6分 同理当01a <<时，()f x 在(1,)+∞上是增函数. …8分 (3) 由题设知：函数()f x 的定义域为(1,)(,1)+∞?-∞-，

∴①当21n a <-≤-时，有01a <<. 由(1)及(2)题设知：()f x 在(,2)n a -

为增函数，由其值域为(1,)+∞知1log 1121

a n n a +?=?

-??-=-?（无解）； …11分

②当12n a ≤<-时，有3a >.由(1)及(2)题设知：()f x 在(,2)n a -为减函数,

由其值域为(1,)+∞知1

1

log 13a n a a =??

-?=?-?

得2a =+1n =. …13分 (4) 由(1)及题设知：

()()()22

241681583()3f x g x ax x a ax x a x a a

=-+--=-++=--++，

则函数()y g x =的对称轴4

x a

=

，8a ≥∴410,2x a ??

=

∈ ???

. …15分 ∴函数()y g x =在(]1,x t ∈上单调减.

∴()()(1)g t g x g ≤≤

t 是最大实数使得(]1,x t ∈恒有5()5g x -≤≤成立， …16分

2

(1)1135,(1)()1183(1)(8)0g a g g t a at t t at a =-≤<-=-+--=-+-> ∴2

()835g t at t =-++=-,即288at t =+． …18分