A .sin cos A A >
B .sin cos B A >
C .sin cos A B >
D .sin cos B B >
5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( ) A .0
90 B .0
60 C .0
120 D .0
150
6.在△ABC 中,若2
2
tan tan b a B A =,则△ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .等腰或直角三角形 C .不能确定 D .等腰三角形
二、填空题
1.在△ABC 中,若,sin sin B A >则A 一定大于B ,对吗?填_________(对或错) 2.在△ABC 中,若,1cos cos cos 2
2
2
=++C B A 则△ABC 的形状是______________。 3.在△ABC 中,∠C 是钝角,设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+== 则z y x ,,的大小关系是___________________________。 4.在△ABC 中,若b c a 2=+,则=+
-+C A C A C A sin sin 3
1
cos cos cos cos ______。 5.在△ABC 中,若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是_______________。 6.在△ABC 中,若ac b =2
,则B B C A 2cos cos )cos(++-的值是_________。
三、解答题
1.在△ABC 中,若)sin()()sin()(2
222B A b a B A b a +-=-+,请判断三角形的形状。
2. 如果△ABC 内接于半径为R 的圆,且,sin )2()sin (sin 22
2B b a C A R -=-
求△ABC 的面积的最大值。
3. 已知△ABC 的三边c b a >>且2
,2π
=-=+C A b c a ,求::a b c
4.在△ABC 中,若()()3a b c a b c ac ++-+=,且tan tan 3A C +=+AB 边上的高
为,,A B C 的大小与边,,a b c 的长
答案
知识点巩固练习(一) 一、选择题
1.C
00tan 30,tan 302b
b a
c b c b a
=====-=2.A 0,sin 0A A π<<> 3.C cos sin()sin ,
,2
2
A A
B A B π
π
=->-都是锐角,则
,,2
2
2
A B A B C π
π
π
->+<
>
4.D 作出图形
5.D 01
2sin ,sin 2sin sin ,sin ,302
b a B B A B A A ===
=或0150 6.B 设中间角为θ,则22200005871
cos ,60,180601202582
θθ+-=
==-=??为所求 二、填空题 1.
12 11
sin sin sin cos sin 222
A B A A A ==≤ 2.0
120 22201
cos ,12022
b c a A A bc +-=
=-=
3.26-
00sin 2
15,
,4sin 4sin154sin sin sin 4
a b b A A a A A B B -======? 4. 0
120 a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13,
令7,8,13a k b k c k === 22201
cos ,12022
a b c C C ab +-=
=-= 三、解答题
1. 解:cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=
sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+=
cos 0A =或cos 0B =,得2
A π
=
或2
B π
=
所以△ABC 是直角三角形。
2. 证明:将ac b c a B 2cos 222-+=,bc a c b A 2cos 2
22-+=代入右边
得右边22222222
22()222a c b b c a a b c abc abc ab
+-+--=-=
22a b a b ab b a
-==-=左边,
∴
)cos cos (a
A b
B c a b b a -=- 3.证明:∵△AB
C 是锐角三角形,∴,2
A B π
+>即
02
2
A B π
π
>>
->
∴sin sin(
)2
A B π
>-,即sin cos A B >;同理sin cos B C >;sin cos C A >
∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++
知识点巩固练习(二) 一、选择题
1.C 12,,,::sin :sin :sin ::26
3
2
222
A B C a b c A B C π
π
π
=
=
=
==
= 2.A ,A B A B ππ+<<-,且,A B π-都是锐角,sin sin()sin A B B π<-= 3.D sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B === 4.D sin sin lg
lg 2,2,sin 2cos sin cos sin cos sin A A
A B C B C B C
===
sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-= sin()0,B C B C -==,等腰三角形
5.B 2
2
()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=
2222
2
2
01
3,cos ,6022
b c a b c a bc A A bc +-+-==
== 6.C 222
2cos 9,3c a b ab C c =+-==,B 为最大角,1
cos 7
B =- 二、填空题 1.
3392
211sin 4,13,22ABC S bc A c c a a ?======
sin sin sin sin 3a b c a A B C A ++===
++
2.> ,22A B A B ππ+>>-,即sin()
2tan tan()2cos()2
B A B B π
ππ->-=-
cos 1sin tan B B B ==,1
tan ,tan tan 1tan A A B B
>>
3. 2 sin sin tan tan cos cos B C
B C B C
+=+
sin cos cos sin sin()2sin 1cos cos sin sin 2
B C B C B C A
B C A A +++===
4. 锐角三角形 C 为最大角,cos 0,C C >为锐角
5. 060
2
2
2
23
1cos 22
b c a A bc +-=
=== 三、解答题 1.
解:1
sin 4,2
ABC S bc A bc ?=
== 2
2
2
2cos ,5a b c bc A b c =+-+=,而c b >
所以4,1==c b
2. 证明:∵△ABC 是锐角三角形,∴,2
A B π
+>即
02
2
A B π
π
>>
->
∴sin sin(
)2
A B π
>-,即sin cos A B >;同理sin cos B C >;sin cos C A >
∴sin sin sin sin sin sin cos cos cos ,1cos cos cos A B C
A B C A B C A B C
>>
∴1tan tan tan >??C B A
3. 证明:∵sin sin sin 2sin
cos sin()22
A B A B
A B C A B +-++=++ 2sin cos 2sin cos
2222A B A B A B A B
+-++=+ 2sin (cos cos )222A B A B A B
+-+=+ 2cos 2cos cos 222C A B
=?
4cos cos cos 222
A B C
=
∴2
cos 2cos 2cos 4sin sin sin C
B A
C B A =++
4.证明:要证1=+++c
a b
c b a ,只要证222
1a ac b bc ab bc ac c +++=+++, 即222
a b c ab +-=
而∵0
120,A B +=∴0
60C =
2222
220cos ,2cos 602a b c C a b c ab ab ab
+-=+-==
∴原式成立。
5.证明:∵2
23cos
cos 222C A b
a c +=
∴1cos 1cos 3sin sin sin 222
C A B
A C ++?+?=
即sin sin cos sin sin cos 3sin A A C C C A B +++=
∴sin sin sin()3sin A C A C B +++= 即sin sin 2sin A C B +=,∴2a c b +=
知识点巩固练习(三)
一、选择题
1.C sin cos ),4
A A A π
+=
+
而50,
sin()14
4
424
A A A π
π
πππ<<<+
<
?-<+≤ 2.B
sin sin sin sin sin a b A B
A B c C
++==+
2sin cos 222A B A B A B
+--==
3.D 0
11cos ,60,sin 22
ABC A A S bc A ====V 4.D 0
90A B +=则sin cos ,sin cos A B B A ==,0
045,A <<
sin cos A A <,0
4590,sin cos B B B <<>
5.C 2
2
2
2
2
2
1,,cos ,1202
a c
b b
c b c a bc A A -=++-=-=-=
6.B 22
sin cos sin cos sin ,,sin cos sin cos cos sin sin cos sin A B A B A
A A
B B A B B A B
?=== sin 2sin 2,2222A B A B A B π==+=或 二、填空题
1. 对 ,sin sin B A >则22a b a b A B R R
>?>?> 2. 直角三角形
21
(1cos 21cos 2)cos ()1,2A B A B +++++= 21
(cos 2cos 2)cos ()0,2
A B A B +++= 2cos()cos()cos ()0A B A B A B +-++=
cos cos cos 0A B C =
3. z y x << ,,sin cos ,sin cos ,2
2
A B A B A B B A y z π
π
+<
<
-<<<
,sin sin sin ,,c a b C A B x y x y z <+<+<<<
4.1 sin sin 2sin ,2sin
cos 4sin cos
2222
A C A C A C A C
A C
B +-+++== cos 2cos ,cos cos 3sin sin 222222A
C A C A C A C -+==
则221sin sin 4sin sin 322
A C A C = 1
cos cos cos cos sin sin 3
A C A C A C +-+
22(1cos )(1cos )14sin sin 22
A C
A C =---++
22222sin 2sin 4sin sin 112222
A C A C
=-?++=
5. )2,3[ππ 2
tan tan tan tan tan ,tan tan()tan tan 1
A C
B A
C B A C A C +==-+=-
2tan tan tan tan()tan 1
A C
B A
C B +=-+=-
3tan tan tan tan 2tan B B A C B -=+≥=
3tan 3tan ,tan 0tan 3
B B B B B π
≥>?≥?≥
6.1 2
2
,sin sin sin ,b ac B A C ==B B C A 2cos cos )cos(++-
2cos cos sin sin cos 12sin A C A C B B =+++-
cos cos sin sin cos 12sin sin A C A C B A C =+++- cos cos sin sin cos 1A C A C B =-++
cos()cos 11A C B =+++=
三、解答题
1. 解:22222222
sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A
a b A B b A B B
++===--
cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A
A B A B A B A B
π===+=或2 ∴等腰或直角三角形
2.
解:2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=-
222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=-
2222
2
2
,cos 452a b c a b c C C ab +-+-====
2222,2sin ,2,sin c
R c R C a b R C
===+-=
2
2
2
2
22,R a b ab ab +=+≥≤
21sin 2S ab C ==≤2
max 2
12R S +=
另法:1sin 2sin 2sin 244
S ab C ab R A R B =
==??
22sin 2sin sin sin 4
R A R B A B =
??=
21
[cos()cos()]2
A B A B =??--+
221[cos()22(122
A B =??-+≤?+
2
max 12
S R ∴=
此时A B =取得等号 3. 解:sin sin 2sin ,2sin
cos 4sin cos
2222
A C A C A C A C
A C
B +-+++==
1sin
cos ,cos ,sin 2sin cos 222424224
B A
C B B B B -===== 3,,,2
4242
B B
A C A C
B A
C π
πππ-=
+=-=
-=-
3331
sin sin(
)sin cos cos sin 4444
A B B B πππ=-=-=
1
sin sin()sin cos cos sin 444
4
C B B B πππ
=-=-=
::sin :sin :sin a b c A B C ==)77(:7:)77(-+
4. 解:2
2
2
01
()()3,,cos ,602
a b c a b c ac a c b ac B B ++-+=+-==
=
tan tan tan(),1tan tan A C A C A C ++=
=-
tan tan 2A C =
tan tan 3A C +=
得tan 1
tan 2tan 1tan 2A A C C =??=????==+????00
00
75454575
A A C C ??==????==????或 当00
75,45A C ==
时,1),8sin b c a A
=
=== 当00
45,75A C ==
时,1),8sin b c a A
=
=== ∴当000
75,60,45A B C ===
时,8,1),a b c ===
当000
45,60,75A B C ===
时,8,1)a b c ===。
解三角形单元测试题
一、选择题:
1、在△ABC 中,a =3,b =7,c =2,那么B 等于( )
A . 30°
B .45°
C .60°
D .120° 2、在△ABC 中,a =10,B=60°,C=45°,则c 等于 ( )
A .310+
B .(
)
1310
-
C .13+
D .310
3、在△ABC 中,a =32,b =22,B =45°,则A 等于(
)
A .30°
B .60°
C .30°或120°
D . 30°或150° 4、在△ABC 中,a =12,b =13,C =60°,此三角形的解的情况是( )
A .无解
B .一解
C . 二解
D .不能确定 5、在△ABC 中,已知bc c b a ++=2
2
2
,则角A 为( )
A .
3
π B .
6
π
C .
3
2π D .
3π或3
2π
A
C
B 0150 30米 20米 6、在△AB
C 中,若B b A a cos cos =,则△ABC 的形状是( )
A .等腰三角形
B .直角三角形
C .等腰直角三角形
D .等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的范围是( )
A .()10,8
B .
(
)
10,8
C .
(
)
10,8
D .
()8,10
8、在△ABC 中,已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )
A .直角三角形
B .等腰三角形
C .等腰直角三角形
D .正三角形 9、△ABC 中,已知===B b x a ,2, 60°,如果△ABC 两组解,则x 的取值范围( )
A .2>x
B .2
C .33
4
2<
4
2≤
②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其中成立的个数是 ( )
A .0个
B .1个
C .2个
D .3个 11、在△ABC 中,3=AB
,1=AC ,∠A =30°,则△ABC 面积为 ( )
A .
2
3 B .
4
3
C .
2
3
或3 D .
43 或2
3 12、已知△ABC 的面积为
2
3
,且3,2==c b ,则∠A 等于 ( ) A .30°
B .30°或150°
C .60°
D .60°或120°
13、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ,则△ABC 的面积为 ( )
A . 14
B .142
C .15
D .152
14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空
地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米a 元,则
购买这种草皮至少要( )
A . 450a 元
B .225a 元
C . 150a 元
D . 300a 元
15、甲船在岛B 的正南方A 处,AB =10千米,甲船以每小
时4千米的速度向正北航行,同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲,乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( )
A .
7
150
分钟 B .
7
15
分钟 C .21.5分钟 D .2.15分钟
16、飞机沿水平方向飞行,在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30°,向前飞行10000
米,到达B 处,此时测得目标C 的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为( )
A . 5000米
B .50002 米
C .4000米
D .24000
米
17、在△ABC 中,10sin =a °,50sin =b °,∠C =70°,那么△ABC 的面积为( )
A .
64
1
B .
32
1 C .
16
1 D .
8
1
18、若△ABC 的周长等于20,面积是310,A =60°,则BC 边的长是( ) A . 5 B .6 C .7 D .8
19、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ,则x 的取值范围是( )
A .51<B .135<C .50<D .513<20、在△ABC 中,若
c
C
b B a A sin cos cos =
=,则△ABC 是( ) A .有一内角为30°的直角三角形 B .等腰直角三角形
C .有一内角为30°的等腰三角形
D .等边三角形
二、填空题
21、在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 22、在△ABC 中,===B c a ,2,33150°,则b =
23、在△ABC 中,A =60°,B =45°,12=+b a ,则a = ;b = 24、已知△ABC 中,===A b a ,209,181121°,则此三角形解的情况是 25、已知三角形两边长分别为1和3,第三边上的中线长为1,则三角形的外接圆半径为 .
26、在△ABC 中,()()()6:5:4::=+++b a a c c b ,则△ABC 的最大内角的度数是 三、解答题
27、在△ABC 中,已知210=AB ,A =45°,在BC 边的长分别为20,33
20
,5的情况下,求相应角C 。
28、在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,a ,b 是方程02322
=+-x x 的两个根,且()1cos 2=+B A 。
求:(1)角C 的度数; (2)AB 的长度。
29、在△ABC 中,证明:2
2221
12cos 2cos b a b B a A -
=-。
30、在△ABC 中,10=+b a ,cosC 是方程02322
=--x x 的一个根,求△ABC 周长的最小值。
解三角形单元测试答案
一、选择题
1-5. CBCBC 6-10. DBBCC 11-15. BDBDA 16-20. ACCBB 二、填空题
21、2:3:1 22、7 23、61236-,24612- 24、无解 25、1 26、120° 三、解答题
27、解:由正弦定理得BC BC A AB C 10
sin sin =
= (1)当BC =20时,sinC =2
1
;AB BC >Θ C A >∴ 30=∴C °
(2)当BC =
33
20
时, sinC =23;
AB BC AB <?45sin Θ C ∴ 有两解 ?=∴60C 或120°
(3)当BC =5时,sinC =2>1; C ∴不存在
28、解:(1)()[]()2
1
cos cos cos -=+-=+-=B A B A C π ∴C =120°
(2)由题设:
??
?=+=3
22
b a ab
?-+=?-+=∴120cos 2cos 22
22
2
2ab b a C BC AC BC AC AB
()()
102322
2
2
2
=-=-+=++=ab b a ab b a
29、证明:???? ??---=---=-222222222222sin sin 21
1sin 21sin 212cos 2cos b B a
A b a b
B a A b B a A 由正弦定理得:2
222sin sin b
B
a A = 2
2221
12cos 2cos b
a b B a A -=-∴
30、解:02322
=--x x Θ 2
1
,221-
==∴x x 又C cos Θ是方程02322
=--x x 的一个根 2
1cos -=∴C 由余弦定理可得:()ab b a ab b a c -+=??
? ??-
?-+=2
2
22212 则:()()755101002
2
+-=--=a a a c
当5=a 时,c 最小且3575==c 此时3510+=++c b a
∴△ABC 周长的最小值为3510+ 31、解:(1)由()B A C B A cos cos sin sin sin +=+ 可得12
sin
22
=C
0cos =∴C 即C =90° ∴△ABC 是以C 为直角顶点得直角三角形 (2)内切圆半径 ()c b a r -+=
21
()1sin sin 2
1-+=B A 2
1
221
4sin 22-≤-??? ?
?+=
πA ∴内切圆半径的取值范围是???
?
?
?
-212,0
1.常见三角不等式
(1)若(0,)2
x π
∈,则sin tan x x x <<. (2) 若(0,
)2
x π
∈
,则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 2.同角三角函数的基本关系式
22sin cos 1θθ+=,tan θ=
θ
θ
cos sin ,tan 1cot θθ?=. 3.正弦、余弦的诱导公式
21
2(1)sin ,sin()2(1)s ,
n
n n co απαα-?
-?+=??-?
21
2(1)s ,s()2(1)sin ,
n
n co n co απαα+?
-?+=??-?
4.和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ; tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
m .
22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.
sin cos a b αα+
=)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决
定,tan b
a
?=
). 45.二倍角公式
sin 2sin cos ααα=.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.
22tan tan 21tan α
αα
=
-
.