最新06第六章定积分
定积分
一、本章学习要求与内容提要
（一）学习要求
1．理解定积分的概念及其性质． 2．了解定积分的几何意义．
3．了解变上限的定积分的性质，熟练掌握牛顿莱布尼茨公式． 4．掌握定积分的换元法和分部积分法．
5．了解无穷区间上的广义定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定各分的换元法和分部积分法．
重点 定积分的概念及定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法．
难点 变上限的定积分，定积分的换元法和分部积分法． （二）内容提要 1．曲边梯形
所谓曲边梯形是指由曲线、直线和数轴所围成的平面图形． 2．定积分的概念与定积分的几何意义 （1）定积分的概念
设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，任取分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ， 把区间],[b a 分成n 个小区间),2,1]([,1n i x x i i =-，记为
{}i n
i i i i x n i x x x ?==-=?≤≤-11max ),,,2,1(λ ，
再在每个小区间],[1i i x x -上，任取一点i ξ，取乘积i i x f ?)(ξ的和式，即
i
n
i i
x f ?∑=1
)(ξ．
如果0→λ时上述极限存在（即这个极限值与],[b a 的分割及点i ξ的取法均无关），则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上可积，并且称此极限值为函数)(x f 在],[b a 上的定积分，记做
?
b
a
x x f d )(，即
?
∑=→λ?ξ=b a
n
i i i x f x x f 1
)(lim d )(，
其中)(x f 称为被积函数，x x f d )(称为被积表达式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区
间，a 与b 分别称为积分下限与积分上限，符号
?
b
a
x x f d )(读做函数)(x f 从a 到b 的定积分．
关于定积分定义的说明：
①定积分是特定和式的极限，它表示一个数．它只取决于被积函数与积分下限、积分上限，而与积分变量采用什么字母无关，例如
?
?
=2
/π0
2
/π0
d sin d sin t t x x ，一般地有
?
b
a
x x f d )(=?b
a
t t f d )(．
②定积分的存在定理：如果)(x f 在闭区间],[b a 上连续或只有有限个第一类间断点，则)(x f 在],[b a 上可积．
（2）定积分的几何意义 设)(x f 在],[b a 上的定积分为
?
b
a
x x f d )(，其积分值等于曲线)(x f y =、直线
b x a x ==,和0=y 所围成的在x 轴上方部分与下方部分面积的代数和．
3．定积分的性质
（1）积分对函数的可加性，即
?
??±=±b
a
b a
b
a
x x g x x f x x g x f d )(d )(]d )()([,
可推广到有限项的情况，即
???±±=±±±b
a
b
a
b
a
n n x x f x x f x x f x f
x f d )(d )(d )]()()([12
1 ．
（2）积分对函数的齐次性，即
?
?=b
a
b
a
k x x f k x x kf )( d )(d )(为常数．
（3）如果在区间],[b a 上1)(≡x f ，则
?
-=b a
a b x d 1．
（4）（积分对区间的可加性）如果b c a <<，则
?
??+=b
a
c
a
b
c
x x f x x f x x f d )(d )(d )(．
注意：对于c b a ,,三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍有
?
??+=b
a
c a
b
c
x x f x x f x x f d )(d )(d )(．
（5）（积分的比较性质）如果在区间],[b a 上有)()(x g x f ≤，则
?
?≤b a
b
a
x x g x x f d )(d )(．
（6）（积分的估值性质）设M 与m 分别是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值与最小值，则
)(d )()(a b M x x f a b m b
a
-≤≤
-?
．
（7）（积分中值定理） 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在区间],[b a 上至少
存在一点ξ，使得
?
-ξ=b
a
a b f x x f ))((d )(．
4．变上限的定积分 （1）变上限的定积分
当x 在],[b a 上变动时，对应于每一个x 值，积分
?
x
a
t t f d )(就有一个确定的值，
?
x
a
t t f d )(因此是变上限的一个函数，记作
?≤≤=x
a
b x a t t f x )( d )()(Φ，
称函数)(x Φ为变上限的定积分．
（2）变上限的定积分的导数
如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则变上限定积分?
=
x
a
t t f x d )()(Φ在闭区间
],[b a 上可导，并且它的导数等于被积函数，即
?≤≤=='=x
a
b x a x f t t f x x x )( )(d )(d d )(d d ΦΦ．
5．无穷区间上的广义积分
设函数)(x f 在),[+∞a 上连续，任取实数a b >，把极限称为函数在无
穷区间上的广义积分，记做
??
∞
+∞→=b
a
a
b x x f x x f d )(lim d )(，
若极限存在，则称广义积分?
∞
+a
x x f d )(收敛；若极限不存在，则称广义积分
?
∞
+a
x x f d )(发
散．
类似地，可定义函数)(x f 在(]b ,∞-上的广义积分为
??
∞
--∞→=b
a
b
a x x f x x f d )(lim d )(．
函数)(x f 在区间),(+∞-∞上的广义积分为
?
?
?
∞
+∞
-∞
-∞
++=c
c
x x f x x f x x f d )(d )(d )(，
其中c 为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分?
∞+∞
-x x f d )(才是收敛的；否
则广义积分
?
+∞
∞
-x x f d )(是发散的．
6．微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，如果)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，则
)()()(d )(a F b F x F x x f b
a
b
a -==?
，
以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿–莱布尼茨公式． 7．定积分的计算 （1）定积分的换元法
设函数)(x f 在],[b a 上连续，令)(t x ?=，则有
?
?
'=b a
a
t t t f t x x
x f d )()]([)
(d )(β
???，
其中函数应满足以下三个条件： ①b a ==)(,)(β?α?；
②)(t ?在],[βα上单值且有连续导数；
③当t 在],[βα上变化时，对应)(t x ?=值在],[b a 上变化．
上述公式称为定积分换元公式．在应用换元)(t x ?=公式时要特别注意：用变换把原来的积分变量x 换为新变量t 时，原积分限也要相应换成新变量t 的积分限，也就是说，换元的同时也要换限．原上限对应新上限，原下限对应新下限．
（2）定积分的分部积分公式
设函数)(),(x v x u 在区间],[b a 上均有连续导数，则
??-=b
a
b
a
b a
u v uv v u d )
(d ．
以上公式称为定积分的分部积分公式，其方法与不定积分类似，但结果不同，定积分是一个数值，而不定积分是一类函数．
（3）偶函数与奇函数在对称区间上的定积分
设函数)(x f 在关于原点对称区间],[a a -上连续，则 ①当)(x f 为偶函数时，??-=a
a a
x x f x x f 0
d )(2d )(，
②当)(x f 为奇函数时，
?
-=a
a
x x f 0d )(．
利用上述结论，对奇、偶函数在关于原点对称区间上的定积分计算带来方便．
二、主要解题方法
1．变上限的定积分对上限的求导方法 例 1 已知 ?+=
t t x x
x F d 1sin )(2 ， 求 )(x F '．
解 ?
+=
x x t t x F sin 2
d 1)(=+
?
+x
c
t t sin d 1
=?
+-
2
d 1x c
t t ?
++x c
t t sin d 1，
)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1?+
=++-212x x x x cos sin 1?+．
小结 如果定积分上限是x 的函数，那么利用复合函数求导公式对上限求导；如果定积分的下限是x 的函数，那么将定积分的下限变为变上限的定积分，利用复合函数求导公式对上限求导；如果复合函数的上限、下限都是的函数，那么利用区间可加性将定积分写成两个定积分的和，其中一个定积分的上限是的函数，另一个定积分的下限也是x 的函数，都可以化为变上限的定积分来求导．
2． 利用换元积分法计算定积分的方法
例2 计算 （1）
?+
-4
d 11x x
x
， （2）?4π0
4d tan sec x x x ．
解 （1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限． 令 x t =
，x 2t = ，t t x d 2d = ，
当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是
?+-4
0d 11x x x
=?+-2
0d 211t t t t =?+--20d ]14
24[t t
t [
].
3ln 44021ln 442-=+--=t
t t
（2）
?4π
4
d tan sec x x x =?4π0
3)
(sec d sec x x
4
3411sec 414π
04=-==x ．
小结 用换元积分法计算定积分，如果引入新的变量，那么求得关于新变量的原函数后，不必回代，直接将新的积分上下限代入计算就可以了．如果不引入新的变量，那么也就不需要换积分限，直接计算就可以得出结果．
3． 利用分部积分法计算定积分的方法
分部积分公式为
??
-=b
a
b
a b a
u v uv v u d d .
例3 计算（1）
?
1
d arctan x x ， （2）
x x x d ln 2e e
1
?
．
解（1）
?
1
d arctan x x =10
arctan x x
?
+-1
02
d 1x x x
=
102)1ln(21
4πx +- =2ln 2
1
4-π ．
（2） 由于在[1,e
1]上0ln ≤x ；在[2
e ,1]上，所以
=
x x x d )ln (1e
1?
-+
x x x d ln 2
e 1
?
=)2(d ln 2
1
e
1x x ?-+
)2
d(ln 2
e 1
2
x x ?
=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22
-4
2x ]2e 1
=
41-（412e 1+212
e 1）+（4
e -414e +41） =21-432
e 1+4
34
e ． 小结 被积函数中出现绝对值时必须去掉绝对值符号，这就要注意正负号，有时需要分段进行积分.
4． 广义积分的计算方法
例4 判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)
?
∞++0
2
2d )1(x x x ， (2)x x d )2(1
302?- ． 解 (1) 因为积分区间为无穷区间，所以
原式=+∞→b lim ?+b
x x x 022d )1(=+∞→b lim ?++b x x 0222)
1()
1(d 21=b b x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[
lim 2++-+∞
→b b =2
1，
故所给广义积分收敛，且其值为
2
1． (2) 因为 2→x 时，
∞→-2
)
2(1
x ，所以2=x 为间断点． 原式=?
-→-+
1120
20
)2(d lim εεx x +?+→-+322
022)2(d lim εεx x
=11200
]2
1[
lim εε-→--+x +3
2022]21[lim εε+→--+x
=]211
[
lim 10
1-+→εε+]1
1[lim 202εε+-+→=∞，
故广义积分发散．
小结 由上例可见，对于积分区间是有限的积分，首先要判断是定积分（称常义积分）还是被积函数有无穷间断点的广义积分．否则会出现错误的结果．如上例
?-3
02)2(d x x =3
2
1
--x =2
1
1-
-=错误结果． 三、学法建议
1．本章的重点是定积分的概念及几何意义．牛顿–莱布尼茨公式，定积分的换元积分法 与分部积分法．
2．学好本章内容，首先要理解定积分的概念，掌握用定积分的思想分析问题解决问题的方法．
3．要深刻理解微积分基本定理：牛顿–莱布尼茨公式。微积分基本定理，一方面揭示了定积分与微分的互逆性质；另一方面它又是联系定积分与原函数（不定积分）之间的一条纽带．
4．计算定积分的着眼点是算出数值，因此我们除了应用牛顿–莱布尼茨公式及积分方法（换元法、分部积分法）计算定积分以外，还要尽量利用定积分的几何意义、被积函数的奇偶性（对称区间上的定积分）以及递推公式=
?
2π0
d cos x x n 的已有结果来算出数值．
5．应用牛顿–莱布尼茨公式计算有限区间定积分时，应注意不要忽略了被积函数在积分区间上连续或有第一类间断点的条件，否则会出现错误的结果．
微积分在生活中的应用
龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/d43876674.html, 微积分在生活中的应用 作者：曹红亚 来源：《数学大世界·中旬刊》2020年第01期 【摘要】微积分产生于十七世纪后期，完善于十九世纪。在现代社会中，微积分是高等数学中至关重要的组成部分，在数学领域中扮演着不可替代的角色，与此同时，微积分在现实生活中的应用也越来越广泛。本文将就微积分在生活中的应用进行深入的分析与探究。 【关键词】微积分;现实生活;实际应用 众所周知，微积分建立的基础是实数、函数以及极限。关于微积分的定义，其指的是微分学和积分学二者的总称，其更代表着一种数学思想。微积分的发展与现实生活的发展是密切相关的，现在的微积分已经广泛存在于诸多自然科学当中，如天文学、生物学、工程学以及经济学等等，在现实生活着发挥着越来越重要的作用。以下笔者结合自己多年的相关实践经验，就此议题提出自己的几点看法和建议。 一、微积分在日常工作中的应用 微积分不仅仅应用在科研领域，其更实实在在地存在于我们的生活当中。例如日常生活中，我们需要装修或者从事装修工作，都需要进行工程预算，这时我们便会不自觉地应用微积分原理，首先将整个装修工程科学划分成为多个小单元，然后对应用到的材料和工时进行计算，最终得出总的造价。再比如，现在很多人特别是年轻人都希望创造一份属于自己的事业，那么其在创业时可能会应用到微积分。如对所选地址处的车流量以及人流量进行了解，在一天的几个时间段，做一分钟的调查，测出经过的人数或车数，再通过计算得出每天或每月的人流量或车流量，这将是我们创业的一个重要参考面。 二、微积分在曲线领域中的应用 在微积分的现实应用中，最具代表性的便是求曲线的长度、切线以及不规则图形的面积。 如在当前社会中，相关数字音像制品或者正流行的数字油画，其都需要将图像和声音分解成为一个个像素或者音频，利用数字的方式来进行记录、完成保存。在重放的时候，再由设备用数字方式来解读还原，使我们听到或看到几乎和原作一模一样的音像。再比如，中央电视台新闻频道的时事报道中常看到地球转向某一点，放大，现出地名，播送最新动态的新闻画面。它的整体概貌是拼装的，是由卫星将地球分成一个个小区域进行拍照，最后拼接成地球的形状，才让我们形象地、跨时空地欣赏新闻报道的同步魅力。 三、微积分在买卖中的应用
第五章定积分及其应用
第五章 定积分 【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积． 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1．定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ， 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，L ，1[,]n n x x -， 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，L ，1n n n x x x -?=-．在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤） ，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2,,i n =L ） ，并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑． 记 12max{,,,}n x x x λ=???L ，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即
1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ， 其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间． 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件） （1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积． （2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上 一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值． 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差． 二、定积分的性质
定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用 摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。 关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余 引言 积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题 在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。 设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有 dx x u u x u x )()0()(0?'+= 例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本 C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。 解 总成本函数 dx x c c x c x ?'+='0)()0()( =dx x x x )100143(1000002+-+? =x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+ 2 利用定积分由变化率求总量问题 如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。 解 所求的总产量为 dt t Q Q ?'=0 5)( 650)150200()600400(|)640()1220(10 5210 5=+-+=+=+=?t t dt t (件) 3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值 例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为
第六章定积分空间解析几何
姓名______________ 学号__________________ 2012级信息计算科学 《高等数学选讲》练习题(5) 第六章 定积分及应用 1.抛物线22y x =把圆22 8x y +≤分成两部分，求这两部分面积之比 2. 求两椭圆22221x y a b +≤，22 221x y b a +≤的公共部分的面积. 3.求三叶玫瑰线sin3r a θ=（a>0）所围成的图形的面积. 4.设由y 轴，2,y x y a ==（01a <<）所围成的平面图形，由y a =，2y x =，1x =所围的平面图形都绕y 轴旋转，所得旋转体的体积相等，则a =_________ 5.一圆锥形水池，池口直径30m ，深20m ，池中盛满了水.试求将全部池水抽出池外需做的功. 6. 求函数1tan ()1tan x f x x -= +在区间[0,]4 π上平均值. 7.计算定积分 221x x e dx e π π-+?. 8.讨论下列反常积分的收敛性： （1） 01m x dx x +∞+? （,0n m ≥） （2）0arctan n x dx x +∞? （3）1201(ln )dx x x ?
第七章 空间解析几何与向量代数 1.设一平面通过原点及（6，-3，2），且与平面420x y z -+=垂直，则此平面方程为_________ 2.设直线L ：321021030 x y z x y z +++=??--+=?，及平面π：420x y z -+-=，则直线L （ ） （A ）平行于平面π. （B ）在平面π上. （C ）垂直于平面π. （D ）与平面π斜交. 3. 已知A 点和B 点的直角坐标分别为（1,0,0）与（0,1,1）.线段AB 绕z 轴一周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面z=0,z=1所围成立体的体积. 第八章 多元函数微分法及其应用 1.设2(,)u xf x y xy =-，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2,u u x x y ?????. 2.设x z xy y =+ ，其中()y y x =是由方程221x y +=所确定的函数，则dz dx = _________ 3.设函数(,)f x y 可微，(0,0)0f =，'(0,0)x f m =，'(0,0)y f n =，()[,(,)]t f t f t t ?=，则 '(0)?=_________. 4.设方程33 3z xyz a -=，求隐函数的偏导数2z x y ???. 5.设(,)z f x y =是二次连续可微函数，又有关系式u x ay =+，v x ay =- （a 是不为零的常数），求2z u v ???
微积分第六章-定积分的应用
第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 §6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者 扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一
个实际问题的步骤。 §6.2 定积分在几何中的应用 一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?) (2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 22 2x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 )
微积分 经管类 第四版 吴赣昌 习题全解 第六章定积分的应用
第六章定积分的应用
课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：???<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< 第六章 定积分的应用 §6.1 定积分的元素法 §6.2 平面图形的面积 一、填空题 1．定积分 ? b a dx x f )(的几何意义是 。 2． )(x f 、g(x)在[a,b] 上连续，则由y=f(x),y=g(x)和x=a,x=b 所围成图形的 面积A= 。 3．计算y 2=2x 与y=x-4所围成图形的面积时，选用 作积分变量较为简捷。 二、选择题 1．曲线y=x ln 与直线0,,1 === y e x e x 及所围成的区域的面积S= 。 （A ）、2)11(e - （B ）、e e 1- （C ）、e e 1+ （D ）、e 1 1+ 2．曲线r=2acos θ所围图形的面积A= 。 （A ）、 θθπ d a 22 0)c o s 2(2 1 ? （B ）、θθππd a 2)c o s 2(21?- （C ）、 θθπ d a 2 20 )c o s 2(2 1? （D ）、2θθπd a 220)cos 2(21? 3．曲线?????==t a y t x 3 3sin cos 所围图形的面积A= 。 （A ）、 28a π （B ）、24a π （C ）、283a π （D ）、22 a π 三、求下列各曲线所围成的图形的面积。 1． 曲线y=x 3-6x 与y=x 2所围成图形的面积。 2． 曲线y=-x 2+-3及共在点（0，-3）和（3，0）处的切线所围成图形的面积。 3． 曲线y=sinx 与y=sin2x(0)π≤≤x 所围成图形的面积。 4． r =3cos θθcos 1+=r 及所围成图形的面积。 5． 摆线?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x 的一拱（)20π≤≤t 与横轴所围成图形的面积。 四、在曲线族y=a(1-x 2)(a>0)中确定一条曲线，使该曲线和其在（-1，0）和（1，0）两点处 的切线所围图形的面积最小。 定积分在经济中的应用 一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量 根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分： ()()()b a R b R a R x dx '-=? （1） ()()()b a C b C a C x dx '-=? （2） ()()()b a L b L a L x dx '-=? （3） 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润 ()I x 的改变量（增量） 。 解 首先求边际利润 ()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+ 所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出： 300 250 (300)(250)()R R R x dx '-=?300250(0.0825)x dx =-+?=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==? ?=250万元 300 300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+??=-100万元 二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称 2 121 ()t t f t dt t t -? 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。 例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数： 第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 教学目的：理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一、 再论曲边梯形面积计算 ],[b a 上连续，且0)(≥x f ， 底为],[b a 1．化整为零 用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110 将区间分成 ),,2,1(1n i x x x i i i =-=?- 并记 },,,m ax {21n x x x ???= λ 相应地，曲边梯形被划分成 n 个窄曲边梯形，第 i 个窄曲边梯形的面积记为 n i A i ,,2,1, =?。 于是 ∑=?= n i i A A 1 2．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 ),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈??≈?-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=?≈ n i i i x f A 1 )(ξ 4．取极限，使近似值向精确值转化 ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f A )()(lim 1 ξλ 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题： （1）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =- 分量),,2,1(n i A i =?，而 ∑=?=n i i A A 1 ],[b a 具有可加性。 (2)用i i x f ?)(ξ近似i A ?，误差应是i x ?的高阶无穷小。 只有这样，和式 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ?=?-??≈?ξξ 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。 二、元素法 1．能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U ],[b a 有关； (2) U 对于区间],[b a 具有可加性； (3) U 部分量i U ?可近似地表示成i i x f ??)(ξ。 2 (1) 根据问题，选取一个变积分变量，并确定它的变化区间 (2) 第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量 注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法x i 和取点法 i 有关; 而 ? b a dx x f )(与x i 和 i 无 关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即： [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2．定积分存在定理 定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx 浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)( a F b F dx x f b a -=? PINGDINGSHAN UNIVERSITY 院系 : 经济与管理学院 题目 : 定积分在生活中的应用 年级专业: 11级市场营销班 学生姓名 : 孙天鹏 定积分在生活中的应用 定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述 1、定积分的定义： 设函数()f x 在区间[],a b 上有界. ①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<< <<=,把区间[],a b 分成 n 个小区间[][][]01121,,,, ,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ?=-， 221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。 ②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积 ()i i f x ξ?（1,2, ,i n =） ， ③作出和 ()1 n i i i S f x ξ==?∑。记{}12max ,,,n P x x x =???作极限()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑ 如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当 0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在 区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()b a f x dx ?，即 ()b a f x dx ?=I =()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑, 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ??叫做积分区间。 微积分的应用 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 微积分建立之初的应用：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛 的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 微积分作为一种实用性很强的数学方法和根据，在数学发展中的地位是十分重要的。例如，微分可以解决近似计算问题。比如：求sin29°的近似值，求不规则图形面积或几何体体积的近似值等。通过微积分求极限、利用微分中值定理，能够及时的放缩多项式，有利于不等式的化简和证明。极限求和、导数求和、积分求和也都是解决求数列前n项和的好方法。其次，数理化不分家。而且微积分在不等式中也有很大的运用，我们可以运用微积分中值定理，泰勒公式，函数的单调性，极值，最值，凸函数法等来证明不等式。在物理问题上，通过解微分方程研究物体运动问题、气体问题、电路问题也是非常普遍的。已知位移——时间函数计算速度，已知速度——时间函数计算加速度（即生活中交通管理方面的应用）；运动学中的曲线轨迹求解（即生活中在篮球投篮训练中的应用）；求不规则物体的重心；力学工程中计算变力和非恒力做功等等。在化学领域，用气相色谱仪和液相色谱仪做样品化学成分分析时，我们得到的并不是直观的数字结果，而是一张色谱图。色谱图是由一个一个的峰组成的，而我们进行定量计算的根据，就是这些峰的面积。而求这些峰的面积，就需要用到积分。现在的仪器里都集成了自动积分仪，只要选定某一个峰，它就能把积分计算出来。最终得到的成分含量就是基于积分原理计算出来的 微积分的应用不仅仅遍及各个学科，也渗透到了社会的各个行业，甚至深入人们日常生活和工作。利用微积分进行边际分析（经济函数的 第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 31]3132[)(10323 102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=422)2 14(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆122 22=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a ydx S 04?=0 2)cos (sin 4πt a td b (高等数学)第六章定积分(全部) 第六章定积分 第一节概念及性质 一.定积分问题举例 1.引例1.曲边梯形的面积 引：在农业生产中，我们经常会遇到丈量土地面积的问题.在工厂中，又会遇到计算生产材料的面积问题.如果所遇到的需要计算面积的图形（见图1）是不规则的，人们一般采用分割法. （1）曲边梯形的概念 设函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上非负、连续，由直线?Skip Record If...?及曲线?Skip Record If...?所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线?Skip Record If...?称为曲边. （2）求曲边梯形的面积?Skip Record If...?. 第一步（分割）：在?Skip Record If...?内任意插入?Skip Record If...?个分点：?Skip Record If...?，把?Skip Record If...?分成n个小区间.第?Skip Record If...?个小区间记为：?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，同时?Skip Record If...?也代表第i个小区间的长度(?Skip Record If...? ?Skip Record If...?),则?Skip Record If...?. 第二步（代替）：注意到由于?Skip Record If...?是连续函数，只要划分足够细，每个小曲边梯形的高在对应的小区间上可近似看作不变，即可以任取一点?Skip Record If...?，以?Skip Record If...?的值作为?Skip Record If...?的高.则这时的小曲边梯形可近似看作小矩形. 所以?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?. 第三步（求和）：?Skip Record If...?. 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1 定积分概述 (2) 1.1定积分的定义 (2) 1.2定积分的性质 (2) 1.3定理及方法 (3) 2定积分的应用 (4) 2.1 定积分在平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用 (4) 2.2定积分在物理中的应用 (8) 3总结 (11) 致谢 (11) 参考文献 (11) 定积分在生活中的应用 数学与应用数学专业学生郑剑锋 指导教师徐玉梅 论文摘要：本文简要的讨论了定积分在生活中的基本应用。数学方面包括应用定积分计算平面曲线的弧长、平面图形的面积以及立体图形的体积和物理应用。 关键词：微元法定积分数列极限 The Definite Integral in Our Life of Application Student majoring in mathematics and applied mathematics Jianfeng Zheng Tutor Yumei Xu Abstract：This paper discussed the definite integral in our life of basic applications. Mathematics including application of definite integral calculation plane curve arc length, the plane figure of the area and volume of three-dimensional graph and physical applications. Key words: Micro element method definite integral sequence limit 引言 本文主要介绍了定积分在生活中的应用，定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用，微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 第六章 定积分 第一节 定积分的概念 思考题： 1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1） ? -x x d 1 1, （2）?--x x R R R d 22, （3）?x x d cos 02π, （4）?-x x d 1 1 . 解：若[]? ≥∈x x f x f b a x a b d )(,0)(,,则 时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线 b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，?≤x x f x f a b d )(,0)(则在几何 上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 111 1=+-=?-A A x x . （2）由上图（2）所示，2 πd 2 22 2 R A x x R R R ==-? -. （3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π 20=--++=+-+=?A A A A A A A x x . ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) (4) （4）由上图（4）所示，1112 1 22d 61 1=??? ==?-A x x . 2. 若当b x a ≤≤，有)()(x g x f ≤，下面两个式子是否均成立，为什么？ （1）x x g x x f b a b a d )(d )(?≤?, （2）x x g x x f d )(d )(?≤?. 答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，x x f d )(?与x x g d )(?不能比较大小，故（2）式不成立. 3. n 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？ 答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但n 个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算 公式是∑=n i i a n 11,后者计算公式是?-b a x x f a b d )(1. 习作题： 1. 用定积分的定义计算定积分 ?b a x c d ,其中c 为一定常数. 解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间 ],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为x ?i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间 []i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ??)(ξ的和式： ∑∑==--=-?=??n i n i i i i i a b c x x c x f 1 1 1)()()(ξ, 记}{max 1i n i x ?=≤≤λ, 则 )()(lim )(lim d 0 a b c a b c x f x c n i i i b a -=-=??=∑? = →→λλξ. 2. 利用定积分的估值公式，估计定积分 ? -+-11 34)524(x x x d 的值. 解：先求524)(3 4 +-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由 0616)(2 3 =-='x x x f , 得0=x 或8 3=x . 比较 7)1(,1024 27 )83(,5)0(,11)1(=- ===-f f f f 的大小，知 11,1024 27 max min =- =f f ，高等数学第六章定积分的应用
(完整版)定积分在经济中的应用
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