高等数学(本科少学时类型)第三版上册

高等数学(少学时)期末复习试题4含答案

期末试卷 1．填空（每空2分，共10分）（1） =+→x x x tan 20)tan 1(lim ．（２）设x xe y =，则)10(y = ．（3）在(-∞,+∞)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . （4）曲线x xe y -=的凹区间是，凸区间是，拐点是．（５）定积分dx x ?+54 2)sin 1(ππ的取值范围是．２．选择题（每题２分，共10分）（1）若,)(lim 0A x f x x =-→,)(lim 0 A x f x x =+→则下列说法种正确的是（）. A.f(x 0)=A B. A x f x x =→)(lim 0 C.f(x)在点x 0有定义 D.f(x)在点x 0连续 (2) 若极限 x x f x x f x ?-?-→?)()(lim 0存在，则其值为（） A ．)(x f '- B. )(0x f ' C. )(x f ' （３）设函数2 2)4(-=x y ，则在区间2(-，)0和2(，)∞+内，y 分别为（） A ．单调增，单调增 B ．单调值，单调减 C ．单调减，单调增 D ．单调减，单调减（4）设曲线 246)1(x x y --=，则在区间 2(， )3和3(， )4内，曲线分别为（） A ．凹的、凹的 B ．凹的、凸的 C ．凸的、凹的 D ．凸的、凸的（５）?? -=1 010),(x dy y x f dy ( ). A.??-1 010),(x dx y x f dy B.??-x dx y x f dy 101 0),(

C.??-1 010),(y dx y x f dy D.??-1011),(y dx y x f dy ３．计算题（每题６分，共４８分）（１）3111lim 11x x x →??- ?--? ? （２）20sin 2tan lim x x x x → (３) x e y x 5sin 2=，求y '．（４）2 tan ln x y = ，求dy ．（5）?x x dx cos sin （6）?x x x dx ln ln ln （7）?-dx x x 29 （8）?3 0arctan xdx 4．甲、乙两厂合用一台变压器，其位置如图所示，若两厂用相同型号相同成本线架设输电线，问变压器设在输电干线何处时，所需输电线最短？（８分） 5.求微分方程的通解：2 1x xy dx dy +=．(8分) 6. 求由抛物线21x y -=和x 轴所围平面图形饶x 轴旋转所形成的旋转体的体积．（８分） 7.计算二重积分??+D d y x σ)23(，其中积分区域D 由两坐标轴及直线x+y=2所围成．（８分）

高数大一复习总结

高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）第二节数列的极限 ○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明 {}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=???? 2．即对0>?ε，()N g ε?=????，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明 ()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 1 ．由 ()f x A ε -<化简得 ()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε，()εδg =?，当 00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明 ()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言

1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X = 2．即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 第四节无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★）函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或 ∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞ →x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；） 3．由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞ ?=????）第五节极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则

高等数学(本科少学时类型)第三版上册

1、求函数29x y -=的定义域解：092 ≥- x 解得：33≤≤-x 2、求函数x x y 53++=的定义域解:3+X>=0, 解得： X>=-3 X.>=0 5X>=0 X>=0 3函数)2)(3(-+= x x y 的定义域解：(X+3)(X-2)>=0 解得：X ≤-3，X ≥2 4函数2 1 3--= x x y 的定义域解： 3X-1>=0 解得： X ≥ 31 2.,23 1 ><≤x x X-2≠0 X ≠2 5、求函数211 x x y --= 的定义域解： X ≠0 解得: X ≠0 012 ≥-x 11≤≤-x 6、求函数2 12 --= x x y 的定义域解：0 22 >--x x 解得;x<-1,x>2 7、求极限2 371 35lim 424+-+-∞→x x x x x =5/7 12、求极限37111 29lim 2436+-+-∞→x x x x x = ∞ 13、求极限37111 27lim 2523+-+-∞→x x x x x =0 14、求极限x x x 1sin lim 0→=1 15、求极限x x x 1 sin lim ∞→=∞

16、求极限x x x )51(lim -∞ →= e 5 - 17、求极限x x x 10 )31(lim -→= e 3 - 18、求极限x x x 3)21(lim -∞→=e 6- 19、求极限x x x ) 1ln(lim 0+→ =1 20、求极限a x a x a x --→sin sin lim =cos a 21、、求极限)1311(lim 31x x x ---→=1- 22、5)(0='x f ，则h x f h x f h ) ()2(lim 000 -+→=10 23、3)2(='f ，则h f h f h ) 2()52(lim --→=-15 24、函数x e y 5=，求y y ''',，)0(),0(y y ''' y’=e x 55 y ’’ =e x 525 y ’(0)=5 y ’’(0)=25 25、函数)13(cos 2+=x y ，求dy y ,'， y’=-6COS(3X+1)SIN(3X+1) dy= -6cos(3x+1)sin(3x+1)dx 26、函数)1(sin 2 2 +=x y ，求dy y ,' y’ =4XSIN( x 2 +1)COS( x 2 +1) dy=4xsin( x 2 +1)cos(x^2+1)dx 27、函数)35(tan 2 2 +=x y ，求dy y ,' y’=20xtan(x 2 5 +3)sec^2(x 2 5 +3) dy=20xtan(5x^2+3)sec^2(5x^2+3)dx 28、函数n x y =，求) 1(+n y y’=nx^(n-1) y ’’=n(n-1)x^(n-2) y ’’’=n(n-1)(n-2)x^(n-3) y(4)=n(n-1)(n-2)(n-3)x^(n-4) . . . y(n)=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)…….1=n! y(n+1)=0

高等数学(本科少学时类型)第三版下册试卷3

郑州轻工业学院一、填空题 1、[]22 ()()x f x f x dx -+-=? 。 2、曲面24z xy +=在点)0,2,1(处的切平面方程为 ___________________ 。 3、设10 (,)y I dy f x y dx = ? ? ，交换积分次序后，=I 。二、单项选择题 1 、 (,)(0,0lim x y →=（）（A ）3 （B ）6 （C ）不存在（D ）∞ 2 、设2(),x f x dt = ? 则(1)f '=（）（A ）（B ）3 （C ）36- （D ）63- 5、下列级数中条件收敛的是（）（A ）n n n 1) 1(1 1 ∑∞ =+- （B ）2 1 1) 1(n n n ∑∞ =- (C ）1 ) 1(1 +-∑∞ =n n n n （D ）) 1(1) 1(1 +-∑∞ =n n n n 三．解答题 1、求? ++40 1 22dx x x 2、设sin()x z e x y =- 求 dz 3、判别级数∑ ∞ =+++-1 1 1 1 sin ) 1(n n n n ππ 是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 5、求体积为a 3,而表面积最小的长方体的表面积五、计算二重积分??D dxdy y x 其中D 是由两条抛物线2x y = 、x y = 所围成的闭区域。六、求由两条抛物线 2 x y =，x y = 所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积。

七、已知微分方程244x y y y e '''-+= （1）求对应的齐次方程440y y y '''-+=的通解；（2）写出此方程的通解的形式。

高等数学Ⅱ答案。同济大学应用数学系本科少学时类型第三版

习题7-1 1. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解： 232(2)3(3) 2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c 习题7-2 1. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A (1, ?2, 3); B (2, 3, ?4); C (2, ?3, ?4); D (?2, ?3, 1). 解A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限. 2. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: A (3, 4, 0); B (0, 4, 3); C (3, 0, 0); D (0, ?1, 0). 解在xOy 面上, 的点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 的点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 的点的坐标为(x , 0, z ). 在x 轴上, 的点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 的点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 的点的坐标为(0, 0, z ). A 在xOy 面上, B 在yOz 面上, C 在x 轴上, D 在y 轴上. 3. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , ?c ); 点(a , b , c )关于yOz 面的对称点为

(?a, b, c); 点(a, b, c)关于zOx面的对称点为(a, ?b, c). (2)点(a, b, c)关于x轴的对称点为(a, ?b, ?c); 点(a, b, c)关于y轴的对称点为(?a, b, ?c); 点(a, b, c)关于z轴的对称点为(?a, ?b, c). (3)点(a, b, c)关于坐标原点的对称点为(?a, ?b, ?c). 4.自点P 0(x , y , z )分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标. 解在xOy面、yOz面和zOx面上, 垂足的坐标分别为(x 0, y , 0)、(0, y , z )和(x , 0, z ). 在x轴、y轴和z轴上, 垂足的坐标分别为(x 0, 0, 0), (0, y , 0)和(0, 0, z ). 5.过点P 0(x , y , z )分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解在所作的平行于z轴的直线上, 点的坐标为(x 0, y , z); 在所作的平行于xOy面的平面上, 点的坐标为(x, y, z ). 6. 一边长为a的立方体放置在xOy面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x轴和y 轴上, 求它各顶点的坐标. 7.已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2 (1, ?1, 0). 试用坐标表示式表示向量及 11.在yOz面上, 求与三点A(3, 1, 2)、B(4, ?2, ?2)和C(0, 5, 1)等距离

大一高数复习资料【全】.docx

高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数 O函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）O邻域（去心邻域）（★） U （a, 6 ）= {χ I X -a ￡ 6 } U （a, 6 ）= {χIO c∣x —a <δ} 第二节数列的极限 O数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列:X n证明Iim 【证明示例】；- N语言 1 ?由x n—a C g化简得n a g（g ）, ???N-II g ； 2 .即对? O , T N = g ［「。当n ?N 时，始终有不等式x n-a| <名成立， ?Iim :Xnf = a X ）：: 第三节函数的极限 O X > X O时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数f X ,证明IimfX=A ^?X O 【证明示例】；-'I语言 1 .由f （x ）—A ￡化简得OClX — X O lCg（名）， ?- =g ； O无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设f X为有界函数，g X为无穷小，则Iim ll fXgX =O （定理四）在自变量的某个变化过程中，若f X 为无穷大，则f-1X为无穷小；反之，若f X为无穷小，且f XPo ,贝U f j X为无穷大【题型示例】计算：Iim f X g X （或x—:） X ,-x o 1.???∣f（x）≤M ?函数f（X ）在X = X。的任一去心邻域U X0,:内是有界的；（???f X ≤M ,?函数f X在x? D上有界；） 2. Iim g X =0即函数g X是X r x0时的无穷小；J.X0 ' （Iim g X =O即函数g X是x-? -■时的无穷小；） X—■ 3 .由定理可知Iim II fXgX =O （Iim f X g X =O）第五节极限运算法则 O极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式P X、q X商式的极限运算 p(x )= a0x m+a1x m^ +… + a m I q(X)= b0χn +b]X n^1+ … + b n 2.即对NE >0 , 当Oc X-X O c6时, 始终有不等式f (X ) — A < J E成立， ?Iim f (x )= A Ox—?时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数f X ,证明Iim f X；= A x—^C 【证明示例】；- X语言 1. 由f （x）—A < E化简得X A g（E ）, ?X= g ； 2. 即对Pg >O , 2X=g2 ）,当x>X时，始终有不等式f （x）—Ac名成立， ??Iim f X =A X 1：: 第四节无穷小与无穷大 O无穷小与无穷大的本质（★）函数f X无穷小U Iim f X = O 『F 则有Iim止）=淳 b o n ：： m n = m n m Iim X )X O f(Xo ) g(χo) CO g X O T-Z 0 g X O i= 0,f X O = 0 g X O ^ f X O ^ 0 （特别地，当Iim f X =-（不定型）时，通常分 ^X O g（x）0 子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值 Iim害 X )3X -9 设:

专升本高数考试大纲

高等数学复习大纲参考书：高等数学（本科少学时类型）上下册同济大学应用数学系编高等教育出版社要求：一、函数与极限考试内容：函数的概念基表示法、函数的有界性、单调性、周期性和函数的奇偶性、复合函数、反函数、分段函数和隐函数、数列的极限、函数的极限、无穷小与无穷大、极限的运算法则、极限的存在准则及两个重要极限、无穷小的比较、函数的连续与间断点、连续函数的运算与初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质（最大值与最小值定理、介值定理）．考试要求：①理解复合函数及分段函数的概念；②了解极限的概念，掌握函数左极限与右极限的概念及极限存在与左、右极限之间的关系。③掌握极限的四则运算法则；④了解极限存在的两个准则，掌握利用两个重要极限求极限的方法；⑤理解无穷小、无穷大的概念，了解无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；⑥掌握函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型；⑦了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（最大值和最小值定理、介值定理）。二、一元函数微分学考试内容：导数的概念、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、函数和、差、积、商的求导法则、复合函数求导法则、初等函数的求导问题、二阶导数、隐函数的导数、由参数议程所确定函数的导数、函数的微分及其简单应用。中值定理与导数的应用、中值定理、罗必塔法则、函数和曲线性态的研究、函数单调性的判别、函数的极值及其求法、曲线的凸凹性的判别与拐点的求法、函数最大值和最小值的求法及简单应用。考试要求：①理解导数的概念，掌握导数与微分的关系，掌握导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程；②掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；③掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用；④了解高阶导数概念，会求显函数、由隐函数和由参数方程所确定函数的一阶、二阶导数；⑤了解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；⑥掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用；⑦会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、

同济大学编高等教育出版社出版高等数学本科少学时类第三版下册高等数学外加线性代数期末测试四川专用

同济大学编高等数学（本科少学时类）第三版下册+线性代数期末押题测试（四川专用） 1、极限 = +-→1 sin 1sin lim ) 0,0(),(x y x y y x （）. A 、2 B 、2- C 、12- D 、1 2 2、设 { }2 22),(a y x y x D ≤+=，若π =--??dxdy y x a D 222，则=a （）. A 、1 B 、3 23 C 、343 D 、3 21 3、微分方程x xe y y 22='-''的特解* y 形式可设为（）． A 、x e b ax x 2)(+ B 、x e b ax 2)(+ C 、x xe 2 D 、22()x x ax b e + 4、若n 维向量组 12,,,m αααL 线性无关，则必有（）． A 、m n < B 、m n > C 、m n ≤ D 、m n ≥ 5、设3阶方阵A 的特征值分别为：1-，0，2，且E A A A 32)(2 +-=?，则=|)(|A ?（）． A 、54 B 、12 C 、0 D 、1 1、设xy xy y x f 2 4),(-+=，则=→),(lim ),(),(y x f y x 00（）. A 、 21 B 、4 1 C 、4 D 、∞ 2、设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则0(,)(,) lim x f a x b f a x b x →+--=（）. A 、0 B 、),2(b a f x C 、),(b a f x D 、),(2b a f x 3、在区域D ：220x R y -≤ ≤上的二重积分σd xy D ??2的值为（）. A 、2 R π B 、2 4R π C 、3 3 2R π D 、0 4、设B A 、都是n 阶方阵，下列等式成立的是（）．

高等数学人才培养方案

《高等数学》课程教学要求课程编号：课程类别：公共基础课学时：108 先修课程：高中数学适用层次/专业：三年制高职高专/四年制本科理工、经管类专业本课程开设的系/教研室：基础部/数学教研室教材/教学参考书：《高等数学》（本科少学时类型）（第3版）同济大学应用数学系编著高等教育出版社 /《高等数学》侯风波主编机械工业出版社，《高等数学》同济大学数学教研室编人才培养目标：高职院校的人才培养的总目标是培养社会需要的高素质职业人才。高等数学课程的开设是服务于这个总目标的。现代数学的发展与应用不断地改变着人们的日常生活、工作和学习方式。数学与我们如影随形，且已物化在我们的周围。所以作为现代人必须具备一定的数学修养。我们开设这门课的目标为：1使学生具有一定专业所需的数学知识和思想。2.提高学生综合能力和素质，完善学生人格。培养要求：使学生通过数学课程的学习掌握一定的数学思想和方法，具备一定的利用数学建模的方法解决实际问题的能力。一、课程性质和任务高等数学课是高职各专业必修的一门重要的基础课。通过本课程的学习，学生将较系统的获得大纲所列内容的基本知识，必需的基础理论和常用的运算方法为学生学习后续课程和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法。通过教学要实现传授知识和发展能力两方面的教学目的，能力培养要贯穿教学全过程。本课程关于能力方面的要求是：培养学生具有比较熟练的基本运算能力、自学能力、综合运用所学知识去分析研究问题和解决问题的能力、初步抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力。教学中要认真探讨和贯彻“以应用为目的，以必需、够用为度”的原则。教学重点要放在“掌握概念，强化应用，培养技能”上。执行大纲时，要注意以下几点：

高等数学C课程教学标准Word版

《高等数学C》课程教学标准课程名称：高等数学C 英文名称： Higher Mathematics C 学时： 110 学分： 8 课程类型：必修课程性质：公共基础课开课学期：第一、二学期第一部分：课程性质、课程目标与要求《高等数学C》课程是我校经济学、金融学、工商管理、旅游管理、档案学等管理类专业学生的一门必修的重要基础理论课。通过本课程学习要使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算，使学生掌握一元函数微积分、多元函数微积分、无究级数、常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为今后各专业的后继学习或熟练使用数学工具奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，注意培养学生熟练的计算能力、抽象思维能力与逻辑推理能力。并逐步提高几何直观和空间想象能力与自学能力，逐步培养学生的创新精神和创新能力。在教学中，要强调应用背景，结合管理类专业的特点，充实理论的应用性内容。教学时间应安排在第一学年（第一、二学期）。建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决高等数学问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。第二部分：教材与参考文献目录本课程拟采用由同济大学应用数学系编的、高等教育出版社2007年出版的《高等数学》（第六版）上、下册一书，作为本课程的主教材。为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：

1. 《高等数学例题与习题》，同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社. 2. 《高等数学》(本科少学时类型)(第3版)上、下册，同济大学应用数学系编，高等教育出版社. 3. 《微积分》(第3版),朱来义编，高等教育出版社. 4. 《微积分中的典型例题分析与习题》，朱来义编，高等教育出版社. 5. 《高等数学》，蔡高厅等主编，天津大学出版社. 6.《高等数学辅导30讲》，张元德、宋列侠编，清华大学出版社. 7.《高等数学学习指导与单元测试》，韩廷武、沙玉英等编，中国矿业大学出版社. 8. 《高等数学全程指导》，张仲毅、韩廷武等编，东北大学出版社. 9. 《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社. 10. 《高等数学应用205例》，李心灿等编，高等教育出版社. 11.《微积分》（上、下册），陈文灯编，高等教育出版社. 12. 《高等数学讲义》(第二版)上、下册，樊映川等编，高等教育出版社. 13．《高等数学》（一元微积分）、（多元微积分），郝志峰、谢国瑞、汪国强编，高等教育出版社. 第三部分：教学内容纲要和课时安排本门课程的内容按教学要求的不同，对概念和理论性的知识，由高到低分别用“理解”，“了解”二级区分，对运算、方法和技巧方面的知识，由高到低用 “掌握”，“会或能”二级区分。本门课程分两学期讲授，第一学期讲第一章至第四章的内容，约需56课时（不含习作课），第二学期讲第五章至第十二章的内容，约需50课时（不含习作课），具体按排如下：第一章、函数与极限（教学时数安排：课堂教学18课时）基本要求 1）理解映射与函数概念，了解函数奇偶数、单调性、周期性和有界性，理解复合函数的概念，了解反函数的概念，掌握基本初等函数的性质及其图形，会建立简单实际问题中的函数关系式。 2）直观了解极限的概念，了解极限的N ε-、εδ- 定义，掌握极限四则运算法则，了解极限性质。 3)了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则)，会用夹逼准则求极限，理解两个重要极限并掌握两个重要极限求极限的方法。

高等数学第三版上册答案

高等数学第三版上册答案【篇一：中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3 章课后习题详解】 t>习题3-1 ★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 ?。（1） f(x)?2x2?x?3,[?1,1.5]；（2） f(x)?x?x,[0,3]。知识点：罗尔中值定理。 2 解：（1）∵f(x)?2x?x?3在[?1, 1.5]上连续，在(?1,1.5)内可导，且f(?1)?f(1.5)?0， ∴ （2）∵∴ 1 ?(?1,1.5)即为所求。 4 f(x)?x?x在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)?f(3)?0， f(x)?x?x 在[0,3]上满足罗尔定理的条件。令 y?4x3?5x2?x?2在区间[0,1]上的正确性。 f(1)?f(0) 1?0 3 2 知识点：拉格朗日中值定理。可验证定理的正确性。 1]连续，在(0,1)内可导，∴y?4x?5x?x?2在解： ∵y?f(x)?4x?5x?x?2在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件。又区间[0, f?(?)? 32 f(1)??2,f(0)??2，f?(x)?12x2?10x?1， ∴要使

f(1)?f(0)5?0，只要：??(0,1)， 1? 012 ∴??? 1?012 ★3.已知函数。解：要使的?。 f(2)?f(1)3 2?1★★4.试证明对函数总是位于区间的正中间。证明：不妨设所讨论的区间为[a,b]，则函数y?px2?qx?r在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，从而有 f(b)?f(a)(pb2?qb?r)?(pa2?qa?r) b?ab?a b?a ，结论成立。 2 ★5.函数 f(x)?x3与g(x)?x2?1在区间[1,2]上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满知识点：柯西中值定理。思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程便为所求。解：∵f(x)?x3及g(x)?x2?1在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且在(1,2)内的每一点处有 g?(x)?2x?0，所以满足柯西中值定理的条件。要使 ? 14 即为满足定理的数值。 ★★★6.设 f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)?0。求证： / 结论出发，变形为 f/(x)x?f(x)，然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常

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高等数学（本科少学时类型）函数与极限函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）数列的极限 ○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列 {}n x ，证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由 n x a ε -<化简得 ()εg n >， ∴ ()N g ε=???? 2．即对 >?ε， ()N g ε?=????，当N n >时，始终有不等式 n x a ε -<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 函数的极限 ○ 0x x →时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数 ()x f ，证明 ()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 1．由 ()f x A ε -<化简得 () 00x x g ε<-<， ∴ ()εδg = 2．即对 >?ε， () εδg =?，当 00x x δ <-<时，始终有不等式()f x A ε - <成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数 ()x f ，证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1．由 ()f x A ε -<化简得 ()x g ε>， ∴ ()εg X = 2．即对 >?ε， ()εg X =?，当X x >时，始终有不等式 ()f x A ε- <成立， ∴()A x f x =∞ →lim 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★）函数 () x f 无穷小 ?()0l i m =x f 函数 () x f 无穷大 ?( )∞=x f l i m ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设 ()x f 为有界函数， ()x g 为无穷小，则 ()()lim 0 f x g x ?=???? （定理四）在自变量的某个变化过程中，若 ()x f 为无穷大，则() 1f x -为无穷小；反之，若 ()x f 为无穷小，且 ()0 f x ≠，则 ()x f 1-为无穷大【题型示例】计算： ()()0l i m x x f x g x →???? ?（或 ∞→x ） 1．∵ () f x ≤ M ∴函数 () f x 在 x x =的任一去心邻域() δ,0x U 内是有界的；（∵ () f x ≤ M ，∴函数 () f x 在D x ∈上有界；） 2． ()0 lim 0 =→x g x x 即函数 ()x g 是0x x →时的无穷小；（ ()0 lim =∞ →x g x 即函数 ()x g 是∞→x 时的无穷小；） 3 ．由定理可知 ()()0 lim 0 x x f x g x →?=???? （()()lim 0 x f x g x →∞ ?=????）极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式 () p x 、 ()x q 商式的极限运算设： ()()?????+?++=+?++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1101 10则有 ()()???????∞ =∞→0 lim 0 0b a x q x p x m n m n m n >=< （特别地，当 ()()0 l i m 0 x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值 23 3 lim 9x x x →-- 【求解示例】解：因为3→x ，从而可得 3≠x ，所以原式 ()(23 333 lim lim 933 x x x x x x x →→--==-+-其中 3 x =为函数

高等数学(上)课程教学大纲

《高等数学》（上）课程教学大纲 [课程代码]： [英文译名]： [适用专业]：非数学专业的所有专业 [适用层次]：本科 [学分数]：5 [总学时数]：80-96 一、本课程教学目的和任务高等数学课程是进入高等专业学习的学生的一门必修的重要的基础理论课。一方面，它为我们学习后继课程提供了必不可少的数学基础知识，也为解决实际问题提供了有效的数学方法；另一方面，通过各个教学环节，逐步培养大家具有初步抽象概括问题的能力、一定的逻辑推理能力、比较熟练的运算能力、综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力以及自学能力。二、本课程的基本要求掌握高等数学的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而初步掌握微积分的基本思想和方法，具有运用极限方法分析和解决实际问题的能力，为学习有关后继课程提供必要的高等数学基础知识。三、本课程与其他课程的关系（前修课程要求，后继课程等）高中数学知识。四、课程内容（重点及必须掌握内容）第一部分、函数、极限、连续（一）函数 1．知识点函数的定义函数的表示法分段函数反函数复合函数隐函数函数的性质（有界性奇偶性周期性单调性）基本初等函数初等函数 2．要求 (1)理解函数的概念。掌握函数的表示法，会求函数的定义域。 (2)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (3)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (4)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。（二）极限 1．知识点数列极限的定义与性质函数极限的定义及性质函数的左极限与右极限无穷小与无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则）两个重要极限： e 11lim ,1sin lim 0=?? ? ??+=∞→→x x x x x x 2．要求 (1)理解数列及函数极限的概念（对极限定义中的“N -ε”，“δε-”等形式表述不作要求）。 (2)会求数列极限。会求函数的极限（含左极限、右极限）。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质（惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。

高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-1 1. 设A =(- , -5) (5, + ), B =[-10, 3), 写出A B , A B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A B =(- , 3) (5, + ), A B =[-10, -5), A \ B =(- , -10) (5, + ), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A B )C =A C B C . 证明因为 x (A B )C x A B x A 或x B x A C 或x B C x A C B C , 所以 (A B )C =A C B C . 3. 设映射f : X Y , A X , B X . 证明 (1)f (A B )=f (A ) f (B ); (2)f (A B ) f (A ) f (B ). 证明因为 y f (A B ) x A B , 使f (x )=y (因为x A 或x B ) y f (A )或y f (B ) y f (A ) f (B ), 所以 f (A B )=f (A ) f (B ). (2)因为 y f (A B ) x A B , 使f (x )=y (因为x A 且x B ) y f (A )且y f (B ) y f (A ) f (B ), 所以 f (A B ) f (A ) f (B ). 4. 设映射f : X Y , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中 I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x X , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.

高等数学

2013年专升本《高等数学》考试大纲一、考试的基本要求较系统地理解和掌握高等数学的基本概念、基本理论和方法，具有一定的抽象思维、逻辑推理、运算能力以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。二、考试方法、考试时间。考试方法为闭卷笔试；考试时间为120分钟。三、题型比例填空题占20%；选择题占20%；解答题(包括证明题)占60% 四、试卷考试内容、考试要求 1、一元函数、极限、连续考试内容：一元函数概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及图形，建立函数关系，数列、函数极限的定义及性质，函数左、右极限，无穷小、无穷大概念及关系，无穷小的性质及比较，极限四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ,e x x x =+∞→)11(lim ，函数连续性，间断点，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质考试要求：（1）理解函数的概念，会求函数的定义域、值域。（2）理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。（3）掌握基本初等函数的性质及图形。（4）理解极限存在与左、右极限间的关系。（5）掌握极限的性质及四则运算法则。（6）了解极限存在的两个准则，会利用两个重要极限求极限。（7）理解无穷大、无穷小的概念，掌握无穷小的比较方法并会用等价无穷小求极限。

（8）理解函数连续性概念（含左、右连续），会求函数间断点。（9）掌握连续函数性质、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。 2、一元函数微分学考试内容：导数的概念、导数的几何意义、函数可导性与连续性的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数的四则运算，复合函数、反函数、隐函数和参数方程所确定函数的微分法、高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数，微分的概念，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，罗尔定理、拉格朗日中值定理、洛必达法则，函数极值，最大（小）值求法及简单应用，函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线考试要求：（1）理解导数、微分的概念及关系，理解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，理解可导性与连续性间的关系。（2）掌握基本初等函数求导公式，导数的四则运算法则以及复合函数求导法则。了解一阶微分形式不变性，会求函数的微分。（3）了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。（4）会求隐函数、参数方程所确定的一、二阶导数。（5）理解并掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理。（6）理解函数极值概念，掌握用导数判断函数单调性和求函数极值的方法。掌握函数最大（小）值的求法及简单应用。（7）会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，了解函数图形的水平、铅直渐近线。（8）掌握洛必达法则求未定式极限的方法。 3、一元函数的积分学考试内容：原函数和不定积分的概念、不定积分的基本公式、性质、定积分的概念及基本性质，变上限积分定义的函数及导数，牛顿—莱布尼茨公式，不定积分、定积分的换元法及分部积分法，反常积分的概念、计算，定积分的应用考试要求：

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