二重积分变量替换定理的不同证法
二重积分变量替换定理的不同证法
作者：高志锋;王澜峰
作者机构：河南大学,数学与信息科学学院,河南,开封,475001;安阳师范学院,数学系,河南,安阳,455000
来源：安阳师范学院学报
ISSN：1671-5330
年：2007
卷：000
期：002
页码：21-23
页数：3
中图分类：O172
正文语种：chi
关键词：正则变换;逐次换元法;Green公式法
摘要：针对二重积分变量替换公式,不同于一般》数学分析》教材中所用的直观但不太严格的证明方法,给出了两种相对简单且又严格的证明方法.它们分别是逐次换元法和Green公式法.前一种方法的主要思想是化一般正则变换为两个简单正则变换的复合,后一种方法巧妙的利用了Green公式.
叠加定理和替代定理
叠加定理和替代定理 1.加深对叠加定理和替代定理的理解 2.验证叠加定理只适用于线性电路，而替代定理则对线性电路和非线性电路均适用 1.叠加定理：多个独立电源共同作用的线性电路中，在任意一个支路中所产生的电压和电流 响应，等于各个电源分别单独作用时在该支路所产生的电压或电流响应的代数和。 注：电压源不工作时，短路处理，用一根理想导线代替 电流源不工作时，断路处理，从电路中拿掉 ——叠加定理只适用于线性电路，对非线性电路不适用 2.替代定理：若电路中某支路电路压uU,U或电流已知，则次电路可用电压的电压源iS或i,i的电流源代替，替代前后，电路中各支路电压、电流不变。 S ——替代定理则对线性电路和非线性电路均适用 1.验证叠加定理 II21a ++IU,8VU,5VS1S2 -- RR,100,R,200,112 b 图4-1 叠加定理
按图4-1接线，稳压二极管接入电路时的极性如图4-1所示，它处于反向工作状态，其稳定电压约5.5～6.5V。测量电压源单独作用及共同作用时的各支路电流II、、和电压I12U。将测量数据记录在表格一中。ab （V） U（mA）（mA） II（mA）表一、叠加定理 Iab12 电压源工作状态 U,8V,U,0V S1S2 U,0V,U,5V S1S2 U,8V,U,5V S1S2 2.验证替代定理 计算在电压源共同作用时稳压二极管的电阻值（R,UI），并在电阻箱上取此值，替ab代稳压二极管接入电路，电路如图4-2所示。测量电压源单独作用及共同作用时的各支路电 流I、I、和电压U。将测量数据记录在表格二中。 I12ab II21a ++IU,8VU,5VS1S2 -- RR,100,R,200,112 b 图4-2 替代定理 表二、替代定理 电压源工作状态 U（V） II（mA）（mA）（mA） Iab12 U,8V,U,0V S1S2 U,0V,U,5V S1S2 U,8V,U,5V S1S2 序号仪表设备名称选用挂箱型号数量备注
§3二重积分的变量代换
§3 二重积分的变量代换 也有一种情形，函数f 在D 上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。 例：2 2() x y D I e dxdy -+= ??，D={}222(,)|x y x y a +≤ 分析：∵f(x,y)=22() x y e -+在D 上几乎处处连续，有界函数{} 222(,)|x y x y a +≤=?D 是零测度集，∴f ∈R （D ） 22 2222 () a a x x y a a x I dx e dy --+---=?? =22 2 2 22 a a x x y a a x e dx e dy ------?? or 22 2222 () a a x x y a a x I dy e dx --+---= ? ? =22 2 2 22 a a x y x a a x e dy e dx ------?? 计算不出来！f ∈R （D ），但化为二次积分后算不出来。说明我们的计算方法有问题。因此，我们有必要寻找 更有效的计算二重积分的方法。联想到定积分的计算方法，换元法、分部积分法、N-L 公式等，特别是换元法，是一种化难为易的有效方法。在二重积分中能否利用这种化难为易的思想呢？是可以的。这就是我们今天给大家要讲解的，二重积分的变量代换，利用这种方法，就可以解决上面的计算问题。在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用。对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数。 1． 极坐标交换 先介绍极坐标变换：cos ,sin x r y r θθ== (0,02)r θπ≤<+∞≤≤。 设D 是2 R 中的有界闭区域，且D ?是2 R 中的零测度集；再设f 在D 上几乎处处连续的有界函数，根据上节内容可知：f ∈R （D ）∴ (,)D f x y dxdy ??有意义的；它的值不因对区域D 的分割方式不同而变化。 在直角坐标系中，我们是以平行于x 轴和y 轴的两族直线来分划区域D 为一系列小矩形的，在极坐标系中，若用极坐标网分割，即用r=常数的一族同心圆以及θ=常数的一族过极点的射线来分划D （如左图示），得出若干个小块ij σ，这时小块的面积若极为ij σ?，（,i j i j x y σ∈）则Rieman 和为 1 1 (,)n m i j ij i j f x y σ ==?∑∑ ， 注意到 ij σ?=221[()]2j j i j i r r r θθ+??-?=1(2)2j j j i r r r θ+???=21 2 j j i j i r r r θθ??+?? 易见,当i θ?，j r ?充分小时，ij σ可近似地看成一个矩形，边长分割为：j r ?和j i r θ?，即 ij σ?≈j j i r r θ??，若有Rieman 和 1 1 (,)n m i j ij i j f x y σ ==?∑∑中以 j j i r r θ??代替ij σ，并按极坐标交换：cos ,sin x r y r θθ== c o s ,s i n i j i j j i x r y r θθ==，1 1(,)n m i j ij i j f x y σ ==?∑∑≈ 1 1 (cos ,sin )n m j i j i j j i i j f r r r r θθθ==??∑∑。当分割的精度→ 0是，由上面分析知： 1 1 (,)n m i j ij i j f x y σ ==?∑∑→ (,)D f x y dxdy ??。
重积分的计算方法
重积分的计算方法 重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。一．二重积分的计算 1．常用方法 （1）化累次积分计算法 对于常用方法我们先看两个例子
对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下： 第一步：画出积分区域D的草图； 第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限； 第三步：计算累次积分。 需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。 选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。 （2）变量替换法 着重看下面的例子：
在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。 利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。 于积分区域的多样性。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。 （3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）
叠加定理和替代定理
叠加定理和替代定理 一、实验目的 1.加深对叠加定理和替代定理的理解 2.验证叠加定理只适用于线性电路，而替代定理则对线性电路和非线性电路均适用 二、实验原理与说明 1.叠加定理：多个独立电源共同作用的线性电路中，在任意一个支路中所产生的电压和电流响应，等于各个电源分别单独作用时在该支路所产生的电压或电流响应的代数和。 注：电压源不工作时，短路处理，用一根理想导线代替 电流源不工作时，断路处理，从电路中拿掉 ——叠加定理只适用于线性电路，对非线性电路不适用 2.替代定理：若电路中某支路电路压u 或电流i 已知，则次电路可用电压U U S =的电压源或i i S =的电流源代替，替代前后，电路中各支路电压、电流不变。 ——替代定理则对线性电路和非线性电路均适用 三、实验内容 1.验证叠加定理 8U 1S =V 5U 2S =Ω =2002=100R 1 图4-1 叠加定理 按图4-1接线，稳压二极管接入电路时的极性如图4-1所示，它处于反向工作状态，其稳定电压约5.5～6.5V 。测量电压源单独作用及共同作用时的各支路电流1I 、2I 、I 和电压 ab U 。将测量数据记录在表格一中。
表一、叠加定理 2.验证替代定理 计算在电压源共同作用时稳压二极管的电阻值（I U R ab =），并在电阻箱上取此值，替代稳压二极管接入电路，电路如图4-2所示。测量电压源单独作用及共同作用时的各支路电流1I 、2I 、I 和电压ab U 。将测量数据记录在表格二中。 8U 1S =V 5U 2S =Ω =2002=100R 1 图4-2 替代定理 表二、替代定理
四、实验设备 五、注意事项 1.稳压二极管的极性 2.电压源不做用时短路 3.可调电阻箱上的电阻必须事先调好 六、实验报告 1.列出测量数据表格 2.依据实测数据验证叠加定理，并验证叠加定理不适用于非线性电阻 3.验证替代定理并说明其适用情况 4.分析产生误差的主要原因
替代定理的妙用
《大学电路/电路原理/电路分析》06--替代定理的妙用电学中重要的电路定理有叠加定理、齐性定理、替代定理、戴维宁定理、诺顿定理和最大功率传输定理，在不同的场合解决各类电路问题，真的是太精妙了。 叠加定理把多电源电路变为单电源电路，一下子回到高中物理。齐性定理体现了线性电路的比例性质，其“倒推法”用在单电源多电阻电路就是一个字--“绝”。戴维宁定理和诺顿定理特别擅长于只求某一支路参数的场合，把待求支路从电路中一取走，变成开口电路，难度一下降低。最大功率传输定理将复杂的求导变成求戴维宁/诺顿等效电路中的等效电阻了。但唯独对替代定理的介绍最少，相应的例题应就更少。其实替代定理是一个非常棒的定理，用得好，考试时大可以提前交卷！接下来介绍替代定理在推导及计算中的妙用。 1．替代定理 替代定理是指已知电路中某一支路的参数，如两端的电压，流过支路的电流，那么该支路可等效为一个电压源，或电流源，又或是一个电阻，如下图所示： 其证明过程也是相对简单的，等效为电压源时只需在支路上串联2个大小相等，方向相反的电压源，如下图所示： 虚线框内支路电压刚好和下面的电压源抵消了，电压为0，可用一条导线替代，这样就只剩下面那个电压源了，得证。 而等效为电流源时，则需在支路两端并联2个大小相等，方向相反的电流源，如下图所示：
虚线框内流过支路的电流和右边的电流源也抵消，电流为0，整个框可以去掉，只剩左边那个电流源了。 2. 替代定理在定理推导中的应用 戴维宁定理是指，一个含源一端口可以等效为一个实际电压源模型，在证明时该定理就先替代定理，再用叠加定理来操作的，如下图所示： 图中N s表示含源一端口，N0表示无源一端口。有学生问替代时为什么选电流源而不选电压源，主要是由于在接着使用的叠加定理，将电流源置零时可直接将其断开，方便计算，如果选电压源，置零时就要短接，求解麻烦。将分电路中求出的电压u叠加，得到表达式为： 根据式中的电压电流关系，得到等效电路就是实际电压源模型，即戴维宁等效电路，如下图所示： 看到这里，只想喊一句：“太妙了！” 3．替代定理在解题中的应用 替代定理在一些复杂电路中最能显示它的优势，如下图所示：
基尔霍夫定律与替代定理验证实验
基尔霍夫定律与替代定理验证实验 一、实验目的 1、加深对基尔霍夫定律的理解。 2、用实验数据验证基尔霍夫定律。 3、熟练掌握仪器仪表的使用技术。 二、仪器设备 GDDS－2C智能型电工电子系统实验装置 三、原理与说明 基尔霍夫定律是电路理论中最基本的定律之一，它阐明了电路整体结构必须遵守的规律，应用极为广泛。 基尔霍夫定律有两条：一是电流定律，另一是电压定律。 1、基尔霍夫电流定律（简称KCL）：对任意节点，在任意时刻，流入该节点所有支路电流的代数和为零（或：流入节点的电流等于流出节点的电流）。 KCL是电荷守恒和电流连续性原理在电路中任意结点处的反应。是对结点处支路电流加的约束，与支路上接的是什么元件无关，与电路是线性还是非线性无关。KCL方程是按电流参考方向列写的，与电流实际方向无关。KCL可推广应用于电路中包围多个结点的任一闭合面。 2、基尔霍夫电压定律（简称KVL）：任一时刻，任一回路，延任一绕行方向，所有支路电压的代数和恒等于零。 KVL的实质反映了电路遵从能量守恒。是对回路中的支路电压加的约束，与回路各支路上接的是什么元件无关，与电路是线性还是非线性无关。KVL方程是按电压参考方向列写的，与电压实际方向无关。 替代定理定理： 对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为u k、电流为i k，那么这条支路就可以用一个电压等于u k的独立电压源，或者用一个电流等于i k的独立电流源，或用R=u k/i k的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值。 四、实验内容与步骤 (一)、基本要求 1、验证基尔霍夫电流定律 （1）、按照图3－4所示实验线路接线：取电阻R=1KΩ，
二重积分的变量代换
§4 二重积分的变量代换 引言 有一种情形，函数f 在D 上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。 例如 2 2() x y D I e dxdy -+=??，D={}222(,)|x y x y a +≤ 分析：∵函数f(x,y)=2 2() x y e -+ 在有界区域D={}222(,)|x y x y a +≤处处连续，∴f ∈R （D ） 22 2222 () a a x x y a a x I dx e dy --+---=?? =22 2 2 22 a a x x y a a x e dx e dy ------?? 或者 22 2222 () a a x x y a a x I dy e dx --+---=?? =22 2 2 22 a a x y x a a x e dy e dx ------?? 计算不出来！f ∈R （D ），但化为二次积分后算不出来，因此，我们有必要寻找更有效的计算二重积分的方法. 联想到定积分的计算方法，换元法、分部积分法、N-L 公式等，特别是换元法，是一种化难为易的有效方法. 在二重积分中能否利用这种化难为易的思想呢？二重积分的变量代换，就是这种方法，。在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用. 对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数. 1 定积分换元积分法公式的改写 2 一元函数)(x f y =在0x 的导数的绝对值)(0x f '的几何意义 3 函数行列式的几何意义 设变换),( , ),(v u y y v u x x ==的Jacobi 0) ,() ,(≠??v u y x D '是在该变换的逆变换),( , ),(y x v v y x u u ==下XY 平面上的区域D 在UV 平面上的象. 由条件0) ,() ,(≠??v u y x , 这里的逆变换是存在的. 一般先引出变换),( , ),(y x v v y x u u ==,设函数),( , ),(y x v v y x u u ==在XOY 平面上的区域D 内有连续的偏导数 . 在此变换之下,XOY 平面上的区域D 变为UV 平面上的区域D ', 且 设0),(),(≠??=v u y x J .由此求出变换),( , ),(v u y y v u x x ==，并且 1 ),(),(),(),(-??? ? ????=??y x v u v u y x . 引理1( 补充) 设变换T ： ),( , ),(y x v v y x u u ==如上所述, 又设在XOY 平面上有一块包
变量替换法应用
“变量替换法”在各类计算中的应用 下面通过各类计算中的典型例子加以具体阐述“变量替换法”在高等数学教学中适用的各种运算问题类型。 1 在极限运算中的应用 例1 求111 1 0lim x x x x x e e e e +-→- +-． 分析：该极限看上去形式比较复杂，需要作化简处理，将函数中的一个单元(子函数1x e )作为一个整体进行变量替换，令1x e u =，该极限就变成为容易求解的等价极限形式，可使问题迎刃而解。 解：令1 x e u =，则1 1x e u -=，且当0x +→时，x →+∞，于是 2211=lim lim 111u u u u u u u u →+∞→+∞+ +==--原式 例2 求 01lim x x a x →-． 分析：该极限看起来形式简单，但没有直接可利用的公式套用，需要进行变 量替换，若令1x a u -=，可转化为对数形式的函数极限101lim log (1)u u a u →+，即可联系到第二个重要极限的结果来计算。 例3 求2222(,)(0,0)sin()lim (3)() x y x y xy x y →+++. 解：令22x y u +=，则(,)(0,0)x y =时，即0u →，于是 (,)(0,0)01sin 11=lim lim (3)033 x y u u xy u =→==++原式 这里，所引入的变量表示了一个二元函数。 2 在导数运算中的应用 在导数运算中变量替换法主要用于复合函数(包括隐函数)的求导问题，根据链式法则，通过对复合函数复合关系的分析，引入中间变量，将复合函数拆成几
个简单函数，使求导运算得以顺利进行。这里所引入的变量表示的都是函数，且它们只起中间变量的作用，即在求导过程中，需要时引进来，求导完之后要回代，需要注意的是清楚地分析复合函数的复合关系、恰当地引入中间变量且弄清每个中间变量所表示的函数是运用该方法熟练进行求导的关健所在。 例4 求ln cos(1)y x =+的导数 解：令cos(1)u x =+,1v x = +,则ln y u =，cos u y =，1v x =+ 于是''1sin(1)'(ln )(cos )(sin )tan(1)cos(1) u v x y u v v x u x -+==-==++ 注意：复合函数中间变量换元要分层次，引入不同的中间变量。 例5 设22 (,sin )z f x y x y =+，且f 具有一阶连续偏导数，求z x ??. 解：令22u x y =+，sin v x y =，则(,)z z x y =，于是 2sin 2sin u v u v z z u z v f x f y xf yf x u x v x ?????=+=+=+????? 该例子表明多元复合函数求偏导时，也必须对函数的复合结构做出正确分析，通过引入中间变量进行替换，才能使运算得以进行，这里两个中间变量都各自表示了一个相应的二元函数。 例6 设1z e xyz -=，求z y ?? ． 解：视(,)z z x y =，对方程两边的y 求导，得 ()0x z z e xz xy y y ??-+=?? 所以2z xz y e xy ?=?- 这里z 视为,x y 的二元隐函数(,)z x y ，则z 相当于链式法则中的中 间变量。 例7 设()f x 可导，10()()x n n n F x t f x t dt -=-?，求'()F x ． 解：该变限函数是无法直接进行求导的，只有通过变量替换，令 n n x t u -=,即可转化为可求解的形式。