数形结合的数学思想 论文
编号：
本科毕业论文（设计）
题目：数形结合的数学思想
学院阜阳师范学院
专业数学与应用数学
学号201004010155
姓名叶丽雯
指导教师程向阳职称：教授
完成日期
诚信承诺
我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《数形结合的数学思想》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。
承诺人（签名）：
年月日
提纲：
一、摘要
二、研究数形结合的意义
三、正文
1、数学发展史上数形结合思想的体现
2、数形结合在教学中的体现
四、参考文献
数形结合的数学思想
姓名：叶丽雯学号：201004010155指导老师：程向阳
摘要：数学是研究空间形式和数量关系的科学，从定义中可以看出它是由数量关系和空间形式两部分组成，其对象都比较抽象。但如果把两者结合起来讨论，问题则会由抽象变得直观、具体，让学生一目了然。这种思想方法就是我接下来要介绍的数形结合思想。其本质使用两种抽象的思维有机的结合起来，使抽象问题具体化。数形结合是数学解题中常用的思想方法，有助于把握数学问题的本质，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美的统一起来；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。我认为，数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言。数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合在数学应用中的重要作用。
关键词：数学问题数形结合数学思想具体化抽象思维
The Mathematical Thinking of Combination of Number and
Shape
Name: YE Li—wen Student Number: 201004010155
Advisor: CHENG Xiang—yang
Abstract: the combination of number and shape is the thought method commonly used in solving mathematical problems, is the number of relations and spatial forms of mathematical problems of thinking, can make some abstract mathematics problems intuitive, vivid, can change the abstract thinking is the thinking in images, is helpful to grasp
the essence of mathematics problems, so that the number of "" and "shape" the exhibition of its long, complement each other, complement each other, make the logic thinking and image thinking unified perfect; in addition, the method of using number shape union, many problems will be smoothly done or easily solved, and the solution is simple and direct. Our famous mathematician Hua Lugging once said: "the combination of a variety of
good, split up all non. "Number" and "form" reflects the attributes of the two aspects. I think, the number shape
union mainly refers to the number and shape of the one relationships. The combination of number and shape is the abstract mathematical language. Quantitative relation with intuitive geometry, position relationship together, through
the "help to form the number" or "the number of solutions to form" through the combination of abstract thinking and thinking in images, can simplify the complex problem, the abstract problem, so as to optimize the objective way of solving problem. In this paper, through by thee example, the combination of an important role in mathematics application.
Keywords: mathematical problems the combination of number and shape mathematical thinking concrete
正文
一，研究数形结合的意义
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。再者，处于小学阶段的学生，思维开始学会逆转，教师在摘一阶段适当给学生灌输数形结合的思想，有助于培养其逻辑思维能力；处于中学以及高中阶段的学生逻辑思维趋于成熟，能够在没有外界的帮助下，解决抽象问题，这有利于教师传授数形结合的思想，这里的数学方法不仅有处理数学自身对象的方法，如分析，证明及数学成果的扩展等，而且还有为解决实际问题而构造数学模型的方法及数学的变换方法、公理方法、对称方法、结构方法等.避免学生在此阶段中，死记硬背、机械训练的状况。新课程标准下，要注重提高学生的数学思维能力，发展学生的应用意识，与时俱进的认识“双基”。由此可见，数形结合作为最主要的数学思想方法在新课程标准中有着重要意义，同时也发挥着重要作用。可见，数形结合在教学阶段尤为值得研究。
二、数形结合的历史
数的产生来源于计数。产生数的的概念之后，用来表示“数”的工具首先是一系列“形”在古代的各种各样的计数法中，都是以具体的图形来表示抽象的数。随着时间流逝，人类文明进程的不断推进，数学内容不断扩大，尤其在17-18世纪直至19世纪，被包括在数学领域内的许多学科和分支已经独立出去，而在各学科的边界又不断创造和衍生出一系列新的科学技术群，这些新学科现在以融合成面向21世纪的庞大的数学科学领域，它是一个具有内在统一性的科学技术群。
数与形是数学中的俩大基本概念，一部数学史数与形的概念产生、发展、变迁的历史‘现代数学也是围绕着这两个概念不断对其不断抽象、概括、提炼而发展起来的。正因为数学内涵的不断扩充，数学中最原始的对象是数与形这两概念自身也处于不断变化中。从最初计数而产生的自然数，从最初土地测量而产
生的几何，发展成为研究代数系统内在规律的现代代数学，
以及与群论，拓扑学，计算机科学等数学分支相融合的种类
纷呈的现代几何学。数与形亦作为数学的两大基本研究对象
经历了一个“合久必分，分久必合”的过程，从融合走向分
离继而又走向融合。
㈠古埃及的象形数字（公元前3400年左右）
很早以前，人们就用不同的形状来代表数字，数形结合的思想已开始萌芽，（这里以埃及为例）埃及人很早就发明了象形文字记号，这是一种以十进制为基础的系统，但却没有位值的概念。（如图所示）
㈡笛卡尔“数形结合”
笛卡尔潜心研究自己的新领域——直角坐标系。死前给心爱的公主的最后一封情书中写道：r=a(1-Sin θ)，公主看到后，立即明了恋人的意图，立马把方程的图形画出来，看到图形他开心极了，原来方程的图像是一颗心的形状。这就是著名的心形线。
在笛卡儿之前，几何与代数是数学中两个不同的研
究领域。笛卡儿站在方法论的自然哲学的高度，认为
希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。
对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和
公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必
须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的
数学”。笛卡儿的思想核心是：把几何学的问题归结
成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，
从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了我们现在称之为的“解析几何学”。1637年，笛卡儿发表了《几何学》，创立了直角坐标系。他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的位置，用坐标来描述空间上的点。他进而又创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。最为可贵的是，笛卡儿用运动的观点，把曲线看成点的运动的轨迹，不仅建立了点与实数的对应关系，而且把形（包括点、线、面）和“数”两个对立的对象统一起来，建立了曲线和方程的对应关系。这种对应关系的建立，不仅标志着函数概念的萌芽，而且标明变数进入了数学，使数学在思想方法上发生了伟大的转折--由常量数学进入变量数学的时期。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。笛卡儿的这些成就，为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分，为一大批数学家的新发现开辟了道路。
《几何学》一书提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞生。此后，人类进入变量数学阶段。
在卷三中，笛卡儿指出，方程可能有和它的次数一样多的根，还提出了著名的笛卡儿符号法则：方程正根的最多个数等于其系数变号的次数；其负根的最多个数(他称为假根)等于符号不变的次数。笛卡儿还改进了韦达创造的符号系统，用a, b, c,…表示已知量，用x, y, z,…表示未知量。
解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。
正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”
㈢华罗庚的“数形结合”
求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
（2）（9分）因为组成此正方形的小圆圈共有n行，每行有n个，所以共有（n×n ）
个，即n2个．
∴1+3+5+7+…+（2n-1）=n× n =n2．（10分）
点评：考查了数形结合思想数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
三、数形结合在教学中的应用（主高中）
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：
㈠解决集合问题
在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
【例】从集合中元素所表示的集合意义来看，集合M表示的是以原点为圆心，3为半径的圆位于x轴及其上方的那部分，集合N是一条直线。因为P为单元素集合，这就意味着直线y=x+b与半圆22
x+y=9（y 0）只有一
个公共点，其题意如图所示：
㈨处理方程的问题
处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；
㈩解决向量问题
向量是中学数学中非常重要的基本概念之一，由于它具有几何形式与代数形式的“双重特征”，所以它是数形结合的载体。向量的坐标表示可使向量的运算完全代数化，将数学中的“数”与“形”完美的结合在一起，这样可使许多几何问题转化为代数问题，把抽象问题具体化。
(十一)解决概率问题
概率与统一是一门专门研究偶然想象统计规律的科学，它有着广泛的应用背景。由于随机变量是中学数学中各种变量的一种形式，与函数、不等式、数列中的变量是一致的。
文献参考
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[7]裘光明主编.数学辞海（第一卷）[M].陕西教育出版社,1-5.
[8]新课程标准（2011版）
2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题15 数形结合思想(原卷版)
专题15 数形结合思想 专题点拨 数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合． (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种： ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围； ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围； ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系； ④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； ⑤构建立体几何模型研究代数问题； ⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； ⑦构建方程模型，求根的个数； ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等． (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： ①准确画出函数图像，注意函数的定义域； ②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解． (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； ②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； ③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； ④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解． 例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用
数形结合思想在小学数学中的应用完整版
数形结合思想在小学数 学中的应用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
德宏师范高等专科学校 毕 业 论 文 系部：数学系 姓名：李宏 班级：2013级初等教育理科1班 目录
数形结合思想在小学数学教学中的应用 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想，数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。本文主要研究了四个方面的问题：一是数学结合思想的简要概述；二是数形结合在小学数学中的意义和价值；三是数形结合在小学数学中的应用；四是在运用数形结合教学中，应注意的问题。 【关键词】数形结合；小学数学；教学应用 引言：小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的是思维素质，而数学思想方法是增强学生数学观念、形成良好思维素质的关键。随着小学数学教学改革的不断深入，小学数学的教学模式更加多样化，传统的教学模式已经逐渐被取代。在多媒体教学的加入下，小学数学中的抽象概念变得形象，生动学生的数学逻辑思维能力以及创新能力也是显着提升。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。运用数形结合的方法，可以直现感知抽象的理论及概念，避免机械记忆，使枯燥的名词真正地活起来，看得见，更有助于学生掌握知识。新课程标准修改后,将“双基”改为了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验[1]，说明人们已经意识到数学思想方法的重要性。这一转变并不是偶然，而是纵观小学数学学习内容和小学生的认知特点而决定的。常用的数学思想方法：对应思想、假设思想、比较思想、符号化思想、类比思想、转化思想、分类思想、集合思想及数形结合思想等。本文就数形结合思想进行讨论。1数学结合思想的简要概述 我国数学家张广厚曾说过：“抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。”这句话深刻阐明了“数形结合”的思想[2]。依据《数学课程标准》中“变注重知识获得的结果为知识获得的过程”的教育理念，我以学生发展为立足点，以自主探索为主线，以求异创新为宗旨，采用多媒体辅助教学，运用设疑激趣直观演示，实际操作等教学方法，引导学生动手操作、观察辨析、自主探究，让学生全面、全程地参与到每个教学环节中，充分调动学生学习的积极性，培养学生的自主学习、合作交流、解决实际问题的能力。 数形结合思想的涵义 数、形是一个数学事物两个方面的基本属性。数形结合思想的实质是数字与
数形结合思想论文(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 渗透数形结合思想，提高学生的数形结合能力 初教数学1112班范杰凯0407311081 内容提要：数形结合思想是一种重要的数学思想之一，可以通过“以形助数”、“以数赋形”使某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维，体现了转化的思想，化归的思想，有助于把握数学问题的本质。因此，在高中数学教学中应注重运用数形结合思想，提高学生的思维能力和数学素养。本文结合自己的教学实践，阐述了如何使用教材对数形结合思想进行有效渗透，使学生逐步提高数形结合的能力。 关键词：数形结合思想转化化归 正文： 新课标指出“使学生获得必要的数学基础知识和基本技能”是高中数学课程的目标之一。我国著名的数学家华罗庚先生曾用“数缺形时少直观，形离数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”形象生动的阐述了数形结合的意义。以下结合自己的教学实践，分别从引导学生直观感受基本的数学概念，亲身探究定理、结论产生的背景及应用等方面渗透数形结合思想，逐步提高学生的数形结合的能力。 在解决数学问题时，根据问题的条件和结论，使数的问题借助形去观察，而形的问题借助数去思考，采用这种“数形结合”来解决问题的策略，我们称之为“数形结合的思想方法”。它的主要特点：数形问题解决；或形数问题解决。也就是说：“以形助数”、“以数赋形”两种处理问题的途径，这本身体现了转化的思想，化归的思想。数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特性和规律，揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合
起来，并充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题得到解决。一、借助直观图示，理解抽象概念，研究函数的性质，直观体会数形结合思想 在初中学生对函数已有了初步的认识，但对用集合语言描述函数的概念，用代数方法研究函数的单调性、奇偶性等性质还是感到困难，因此在教学中采取用数形结合思想让学生借助直观图示理解抽象概念，自己动手画函数的图象，研究函数的性质。 在讲完函数的概念以后，出了一道这样的练习题：下列图象中不能作为函数的图象的是（） 让学生从形的角度进一步理解函数的概念。 在研究一次函数和二次函数的性质与图象时，由于学生在初中已用描点法作过一次函数和二次函数的图象，因此我先从学生已有知识出发，让学生列表、描点、连线，作出一次函数和二次函数的图象，引导他们先从数的角度认识单调性、奇偶性，对称性，然后再通过图象直观感觉单调性、奇偶性，对称性，让学生深刻体会“数缺形时少直观，形离数时难入微”。 二、借助实验活动，探究直线与平面垂直的判定定理，形象感受数形结合思想
高三数学教案 数形结合思想
第十三专题 数形结合思想 考情动态分析： 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复复杂问题简单化、抽象总是具体化，从而起到优化解题途径的目的. 一般地说，“形”具有形象、直观的特点，易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题速度、优化解题过程的一种重要方法. 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题，可起到事半功倍的效果. 数形结合的重点是研究“以形助数”，但以数解形在近两年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视. 数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域和最值问题中，在三角函数问题中都有充分体现.运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，这在选择题、填空题解答中更显优越. 第一课时 方程、函数中数形结合问题 一、考点核心整合 利用“形”的直观来研究方程的根的情况，讨论函数的值域（或最值），求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，能使烦琐的数量运算变得简捷. 二、典例精讲： 例1 方程的实根的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无穷多个 例 2 已知函数x x x g x x f 2)(|,|23)(2 -=-=，构造函数)(x F ，定义如下：当)()(x g x f ≥时，)()(x g x F =；当)()(x g x f <时，)()(x f x F =.那么)(x F （ ） A 、有最大值3，最小值1- B 、有最大值727-，无最小值 C 、有最大值，无最小值 D 、无最大值，也无最小值 例3 已知0>x ，设:P 函数x c y =在R 上单调递减；:Q 不等式1|2|||>-+c x x 的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，试求c 的取值范围. 例 4 已知0>a ，且方程022 =++b ax x 与方程022 =++a bx x 都有实数根，求b a +的最小值. 三、提高训练： （一）选择题： 1．函数||x a y =和a x y +=的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A 、),1(+∞ B 、)1,1(- C 、),1[]1,(+∞--∞ D 、),1()1,(+∞--∞ 2．已知],0(π∈x ，关于x 的方程a x =+)3 sin(2π 有两个不同的实数解，则实数a 的 取值范围为（ ）
初中数学中的数形结合思想
浅谈初中数学中的数形结合思想 在解决初中数学问题过程中，运用数形结合的思想，根据问题的具体情形，把图形性质问题转化成数量关系来研究。或者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以“数”助“形”或以“形”助“数”，使问题简单化、具体化，促进“数”与“形”的相互渗透，这种转换不但能提高教学质量，同时也能有效地培养学生思维素质，所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在。 数形结合在数学教学中对学生能力的培养是非常重要的，而对一个学生数学能力的培养主要包括使学生形成运算能力和利用数学思想方法解题的能力。数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想，它贯穿了数学教学的始终。本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。 数形结合的思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数与形结合起来进行分析研究把抽象的数学语言与直观的图形结合起来；使复杂的问题简单化抽象的问题具体化；通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在一下两个方面。 一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式；把代数关系（数量关系）与几何图形的直观形象有机的结合起来，使抽象的问题形象化复杂的问题简单化。 如1.利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等。 2.用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理。 3.用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题。 4.用图形比较不等式的大小问题。解这种类型题的关键是根据数（量）结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。 二、由形思数数形结合。解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性；将图形信息转化为代数信息，利用数（量）特征将图形问题转化为代数问题来解决。这类问题在初中数学中运用的也比较多，如： 1.用数（量）表示角的大小和线段的大小，用数（量）的大小比较角的大小
2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：27转化与化归思想、数形结合思想
第一部分 二 27 一、选择题 1．已知f (x )＝2x ，则函数y ＝f (|x －1|)的图象为( ) [答案] D [解析] 法一：f (|x －1|)＝2|x － 1|. 当x ＝0时，y ＝2.可排除A 、C ． 当x ＝－1时，y ＝4.可排除B ． 法二：y ＝2x →y ＝2|x |→y ＝2|x － 1|，经过图象的对称、平移可得到所求． [方法点拨] 1.函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求： ①会画各种简单函数的图象； ②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． 2．作图、识图、用图技巧 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换． 描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行． (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系． (3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究． 3．利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换： y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位 h <0，左移|h |个单位y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换： y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )，