直接开平方法解方程练习题

限时训练（时间：40分钟分值40分）

一、选择题：（每题3分）

1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（）

A. 230x -=

B. 2(1)40x --=

C. 220x x +=

D. 22(1)(21)x x -=+

2. 下列说法中正确的是（）

A. 方程24x =两边开平方，得原方程的解为 2x =

B. 3x =是方程29x =的根，所

以得根是3x = C. 方程2250x -=的根是5x =± D. 方程232640x x -+=有两个相

等的根

二填空题（每题3分）

3.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是_____

4. 方程220(0)x m m +=<的根为_____

5. 若2(1)10x +-=，则x 得值等于_____

6.当x =________时，分式293x x -+无意义；当x =________时，分式293

x x -+的值为零。 7. 若222(3)25a b +-=，则22a b +=_________

8.一元二次方程22(21)(3)x x -=-的解是___________

9.方程()412

=-x 的解是______________。二、用直接开平方法解下列一元二次方程（1-3每题3分，4题4分）

（1）2435x -= （2）(2)(2)21x x -+=

（3）22(2)(12)x -=+ （4）2269(52)x x x -+=-

解一元二次方程练习题(配方法、公式法)(最新整理)

解一元二次方程练习题(配方法) 配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a 看做未知数x ，222)(2b a b ab a +=+±并用x 代替，则有。 222)(2b x b bx x ±=+±配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2 ②、x 2－5x+ =（x －）2；③、x 2+ x+ =（x+ ）2 ④、x 2－9x+ =（x －）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为___ ____，所以方程的根为_________． 5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是 7．把方程x 2+3=4x 配方，得 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为 9．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2．（2）x 2+8x=9

（3）x 2+12x-15=0 （4） x 2-x-4=04 110.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。解一元二次方程练习题(公式法) 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式： )0(02≠=++a c bx ax

解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)(入门简单))

解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程：（1）2225x =；（2）2 1440y -=． 2. 解下列方程：（1）2(1)9x -=；（2）2(21)3x +=；（3）2(61)250x --=．（4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程：（1）25(21)180y -=；（2） 21(31)644 x +=；（3）26(2)1x +=；（4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥ 4. 填空（1）28x x ++（）=（x + ）2．（2）223 x x - +（）＝（x - ）2．（3）2b y y a -+（）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)； 2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ．

6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02x x ---+= 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程（1）210x x --=；（2）23920x x -+=．（3）23(1)12x +=；（4）2 410y y ++=；（5）2884x x -=；（6）2310y y ++=．

因式分解法、直接开平方法(2)

第一章因式分解 1.2.1 因式分解法、直接开平方法（2）主备人备课时间集体修订时间课型新授课授课人许大精授课时间教学札记教学目标： 1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。 2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。 3、引导学生体会“降次”化归的思路。知识与能力：通过两种方法解简单的一元二次方程，初步培养学生解方程的能力，培养学生观察、类比、转化的思维能力．情感态度价值观：通过平方根的理论，因式分解的理论求一元二次方程的解，使学生建立旧知与新知的联系，由已有的知识形成新的数学方法，激发学生的学习兴趣，让学生形成勤奋学习的积极情感，为以后学习打下良好的基础．通过解方程的教学，了解“未知”可以转化为“已知”的思想．教学重点: 掌握用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。教学难点：通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。教学课时：1课时教学方法：自主、合作、探究教学媒体：多媒体教学过程：（一）复习引入 1、判断下列说法是否正确 (1) 若p=1，q=1，则pq=l( )，若pq=l，则p=1，q=1( )； (2) 若p=0，g=0，则pq=0( )，若pq=0，则p=0或q=0( )； (3) 若x+3=0或x-6=0，则(x+3)(x-6)=0( )，若(x+3)(x-6)=0，则x+3=0或x-6=0( )； (4) 若x+3= 或x-6=2，则(x+3)(x-6)=1( )，

若(x+3)(x-6)=1，则x+3= 或x-6=2( )。答案：(1) √，×。(2) √，√。(3)√，√。(4)√，×。 2、填空：若x2=a；则x叫a的，x= ；若x2=4，则x= ；若x2=2，则x= 。答案：平方根，±，±2，±。（二）创设情境前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。给出1．1节问题一中的方程：(35-2x)2-900=0。问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? （三）探究新知让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“复习引入”中的内容引导学生，按课本P．6那样，用因式分解法和直接开平方法，将方程(35-2x)2-900=0“降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。（四）讲解例题展示课本P．7例1，例2。按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。引导同学们小结：对于形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程，既可用因式分解法解，又可用直接开平方法解。因式分解法的基本步骤是：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积(本节课主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。直接开平方法的步骤是：把方程变形成(ax+b)2=k(k≥0)，然后直接开平方得ax+b= 和ax+b=- ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。注意：(1) 因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程；

(完整版)配方法解一元二次方程练习题及答案

配方法解一元二次方程练习题及答案 1．用适当的数填空： ①、x22； ③、x2=2； ④、x2－9x+ =2 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x2-ax+1可变为2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成2=b的形式为_______， _________． 5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是 A． B．- C．±3D．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是 A．2+1B．2-1C．2+1D．2-1 7．把方程x+3=4x配方，得 A．2=7B．2=21 C．2=1D．2=2 8．用配方法解方程x2+4x=10的根为 A．2 ± B．-2 C． D．

9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值 A．总不小于B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数 10．用配方法解下列方程： 3x2-5x=2． x2+8x=9 x2+12x-15=01 x2-x-4=0 所以方程的根为? 11.用配方法求解下列问题求2x2-7x+2的最小值；求-3x2+5x+1的最大值。一元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 21、4x?1?0、?、?x?1??、81?x?2??1622 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.y2?6y?6?0、3x2?2?4x、x2?4x?96 4、x2?4x?5?0 5、2x2?3x?1?0 、3x2?2x?7?0 7、?4x2?8x?1?0 、x2?2mx?n2?09、x2?2mx?m2?0?m?0? 三、用公式解法解下列方程。 32y、3y2?1?2y1、x2?2x?8?0 、4y?1? 4、2x2?5x?1?0、?4x2?8x??16、2x2?3x?2?0

一元二次方程的解法(直接开平方法)

用直接开平法解一元二次方程学习目标： 1、使学生理解直接开平方法的定义和基本思想； 2、学会用直接开平方法解一元二次方程； 3、知道：形如（含有未知数）2＝非负数，的方程都可以用直接开平方法解。重点：用用直接开平方法解一元二次方程；难点：如何识别一个一元二次方程可以用用直接开平方法解；教学过程：一、检查预习 1、解方程：0362=-x 二、复习练习 1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及系数。（1）245x x -= （2）235x = （3）()()()2212 2-+=+-y y y y 2、要求学生复述平方根的意义。（1）文字语言表示：如果一个数的平方等于a ，这个数叫a 的平方根。（2）用式子表示：若a x =2，则x 叫做a 的平方根。一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（3）4 的平方根是，81的平方根是， 100的算术平方根是。三、新课讲解例1：解下列方程（1）x 2＝4；（2）x 2－1＝0; 处理：1、让学生尝试解，然后总结方法。 2、形如)0(2≥=a a x ，a x ±= 练习：解下列方程（1）092=-x （2）022=-x 例2、解方程（1）025162=-x 练习：解下列方程：（1）12y 2－25＝0；（2）01642=-x 例3、解方程（x ＋1）2＝144 练习：解方程025)2(42=-+x 四、巩固练习

1、请大家帮帮忙，挑一挑，拣一拣，下列一元二次方程中，哪些更适宜用直接开平方法来解呢？ ⑴ x 2=3 ⑵ 3t 2-t=0 ⑶ 3y 2=27 ⑷ (y-1)2-4=0 ⑸ (2x+3)2=6 ⑹ x 2+x-9=0 ⑺ x 2=36x ⑻ x 2+2x+1=0 2、解下列方程（1）0822=-x （2）3592=-x （3）09)6(=-+x （4）06)1(32=--x ] 五、小结。直接开平方法解一元二次方程的关键是要化成什么形式？（学生畅所欲言）六、小测解下列方程（1）1692=x （2）01222=-x （3）036)2(2=-+x （4）3)13(2=-x 七、作业 1、预习配方法：尝试解方程 0242=+-y y 2、完成学习辅导P17——P18。

一元二次方程的解法(直接开平方法)练习题

一元二次方程的解法（直接开平方法）一、选择题： 1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（） A. 2 30x -= B. 2(1)40x --= C. 220x x += D. 22(1)(21)x x -=+ 2. 下列说法中正确的是（） A. 方程2 4x =两边开平方，得原方程的解为 2x = B. 3x =是方程29x =的根，所以得根是3x = C. 方程2 250x -=的根是5x =± D. 方程2 32640x x -+=有两个相等的根 3.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是_____ A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2 2 43b x a =± 4. 方程2 20(0)x m m +=<的根为_____ A.2 m - B.2 - C.2 ± D.2 ± 5. 若2 (1) 10x +-=，则x 得值等于_____ A. 1± B. 2± C. 0或2 D. 0或-2 二、填空题： 1.当x =________时，分式293x x -+无意义；当x =________时，分式29 3 x x -+的值为零。 2. 若2 22(3)25a b +-=，则22a b +=_________ 3.一元二次方程2 2(21)(3)x x -=-的解是___________ 4.方程 ()412=-x 的解是______________。三、用直接开平方法解下列一元二次方程（1）2 435x -= （2）(2)(2)21x x -+= （3 ）22((1x = （4）2 269(52)x x x -+=- 四、设α和β是方程2 (2) 9x +=的两个根，求αβ +的值。

初中数学例题：用直接开平方法解一元二次方程

初中数学例题：用直接开平方法解一元二次方程 4.（2016春?仙游县月考）求下列x的值（1）x2﹣25=0 （2）（x+5）2=16．【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．【答案与解析】解：（1）∵x2﹣25=0， ∴x2=25， ∴x=±5．（2）∵（x+5）2=16， ∴x+5=±4， ∴x=﹣1或﹣9．【总结升华】应当注意，形如=k或（nx+m）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根： (1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0； (4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，

∴ x=19或x=-19． (2)∵2y2-72=0， 2y2=72， y2=36， ∴ y=6或y=-6． (3)∵5a2-1=0， 5a2=1， a2=， ∴a=或a=-． (4)∵-8m2+36=0， -8m2=-36， m2=， ∴m=或m=-．【变式2】解下列方程： (1)（2015 ?东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0； (2)（2014秋?滨州校级期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9. 【答案】解：(1)∵ (2x+3)2=25， ∴ 2x+3=5或2x+3=-5． ∴x1=1，x2=-4． (2)∵（1﹣2x）2=x2﹣6x+9，

∴（1﹣2x）2=（x﹣3）2， ∴1﹣2x=±（x﹣3）， ∴1﹣2x=x﹣3或1﹣2x=﹣（x﹣3），∴x1=4 ，x2=﹣2． 3

解一元二次方程练习题(配方法公式法)

解一元二次方程练习题 (配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+）2②、x 2－5x+=（x －）2；③、x 2+ x+=（x+）2④、x 2－9x+=（x －）22．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______， ? 所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是 7．把方程x 2+3=4x 配方，得 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为 9．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2．（2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）41 x 2-x-4=0 10.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。

解一元二次方程练习题(公式法) 一、填空题 1．一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，它的根是_____ 当b-4ac<0时，方程_________． 2．方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，则有________，?若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________． 3．用公式法解方程x 2=-8x-15，其中b 2-4ac=_______，x 1=_____，x 2=________． 4．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________． 5．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到 6．不解方程，判断方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有个 7．当x=_____ __时，代数式与的值互为相反数． 8．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a 的值为________．二、利用公式法解下列方程（1）25220x x （2）（3）x=4x 2+2 13x 22 1 4x x 012632x x

2221直接开平方法解一元一次方程

22.2.1 直接开平方法解一元一次方程学习目标 1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n （n≥0）的方程．活动1、阅读教材第35页至第37页的部分，完成以下问题一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？计算：用直接开平方法解下列方程：（1）x2=8 （2）(2x－1)2=5 （3）x2+6x+9=2 （4）4m2－9=0 （5）x2+4x+4=1 （6）3(x－1)2－9=108 解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思想称为“降次转化思想”．

归纳：如果方程能化成的形式，那么可得活动2 知识运用课堂训练例1用直接开平方法解下列方程：（1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9n2－24n+16=11 练习：（1）2x2－8=0 （2）9x2－5=3 （3）(x+6)2－9=0 （4）3(x－1)2－6=0 （5）x2－4x+4=5 （6）9x2+6x+1=4 （7）36x2－1=0 （8）4x2=81 （9）(x+5)2=25 （10）x2+2x+1=4 活动3 归纳内化应用直接开平方法解形如，那么可得达到降次转化之目的．

解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)

? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程：（1）2225x =；（2）2 1440y -=． 2. 解下列方程：（1）2 (1)9x -=；（2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=．（4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程：（1）25(21)180y -=；（2） 21(31)644 x +=；【（3）26(2)1x +=；（4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空（1）28x x ++（）=（x + ）2 ．（2）223 x x - +（）＝（x - ）2．（3）2b y y a -+（）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；

2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程（1）210x x --=；（2）23920x x -+=．（ 12. 用适当的方法解方程（1）23(1)12x +=；（2）2 410y y ++=；

(完整版)解一元二次方程配方法练习题

- 1 - 解一元二次方程练习题(配方法) 步骤：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空： ①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x －）2； ③x 2 + x+ =（x+ ）2 ；④ x 2 －9x+ =（x －）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若 x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则 m 的值是（） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2．（2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2-x-4=0 （5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=52 11.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 12．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（） A ．（2x －2）2+3 B ．（2x －2）2－3 C ．（2x+2）2 D ．（x+2）2－3 13．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（） A ．x 2－8x+（－4）2=31 B ．x 2－8x+（－4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2－4x+4=－11 14．已知一元二次方程x 2－4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。（1）你选的m 的值是；（2）解这个方程． 15．如果x 2－4x+y 2 ，求（xy ）z 的值

直接开平方法练习题

22.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____= （x+______）2．问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s?的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，?P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8c m 2？老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ 2p ）2 2p ．问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得： 12 x ·2x=8 x 2=8

根据平方根的意义，得x=±22即x1=22，x2=-22 可以验证，22和-22都是方程1 2 x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以22秒后△PBQ的面积等于8c m2．二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±22 即2t+1=22，2t+1=-22 方程的两根为t1=2-1 2 ，t2=-2- 1 2 例1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1 所以，方程的两根x1=-1，x2=-3 例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．?一年后人均住房面积就应该是10+?10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思

解一元二次方程配方法练习题

! 解一元二次方程配方法练习题 1．用适当的数填空： ①、x2+6x+ =（x+ ）2； ②、x2－5x+ =（x－）2； ③、x2+ x+ =（x+ ）2； ④、x2－9x+ =（x－）2 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______． ! 4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（） A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x配方，得（） A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（）【 A．2．-2．． 9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（） A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数 10．用配方法解下列方程：（1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9 #

（3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 11.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值； ? （2）求-3x2+5x+1的最大值。 12. 用配方法证明：（1）21a a -+的值恒为正；（2）2982x x -+-的值恒小于0． | 13. 某企业的年产值在两年内从1000万元增加到1210万元，求平均每年增长百分率． \

一元二次方程及其解法直接开平方法

一元二次方程及其解法直接开平方法【学习目标】 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想. 【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点进阶：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点进阶： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 要点二、一元二次方程的解法 1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程：

21.2解一元二次方程——直接开平方法的教学设计

教学设计案例 21.2 解一元二次方程第1课时直接开平方法一、内容和内容解析（1）内容：会用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程（2）内容解析：一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，而一元二次方程的解法更是本章的重点内容。本节课中，首先通过知识回顾环节的3个小题为本节课的学习做一铺垫。然后再通过“探究新知”环节中“问题串”建立一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为x2=p的形式,通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基，并自然地引出“降次”的策略，归纳出形如(x+n)2=p(p ≥0)的一元二次方程的解的情况，不仅为后面用配方法解比较复杂的一元二次方程的学习做好铺垫，而且也为我们后续学习二次函数等知识打下坚实的基础。同时，这节课的内容还突出体现了化归、类比、分类讨论等数学思想方法。基于以上分析，确定本节课的教学重点是：运用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，领会降次——转化的数学思想。二、目标和目标解析 1.目标： (1)理解一元二次方程降次的转化思想 (2)会利用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程． 2.目标解析达成目标的标志是：如果方程能够转化符合为形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程时，那么就能通过直接开平方法将一元二次方程转化为一次方程求解。三、教学问题诊断分析在以前的学习中，学生不仅了解了平方根的意义、掌握了完全平方式的结构特征，而且还具备了一些方程的转化能力。本节课首先复习平方根的相关知识，再从具体的实际问题中列出一元二次方程，并根据平方根的意义直接开平方求解方程，对于方程的解是否符合实际问题，进行探讨。

直接开平方法练习题

1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（） A. 230x -= B. 2(1)40x --= C. 2 20x x += D. 22(1)(21)x x -=+ 2. 下列说法中正确的是（） A. 方程24x =两边开平方，得原方程的解为 2x = B. 3x =是方程29x =的根，所以得根是3x = C. 方程2250x -=的根是5x =± D. 方程232640x x -+=有两个相等的根 3.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是( ) A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2 243b x a =± 4. 方程220(0)x m m +=<的根( ) A.2m - B.2m - C.22 m -± D.2m -± 5. 若2(1)10x +-=，则x 得值等于( ) A. 1± B. 2± C. 0或2 D. 0或-2 6、用直接开平方法解方程k h x =+2)( ，方程必须满足的条件是（） A ．k ≥o B ．h ≥o C ．hk ＞o D ．k ＜o 7、方程22) 1(=-x 的根是（） A.-1、3 B.1、-3 C.1-2、1+2 D.2-1、2+1 8、下列解方程的过程中，正确的是（） (A)22-=x ,解方程，得x=±2 (B)42)2(=-x ,解方程，得x-2=2,x=4 (C)92)1(4=-x ,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=47;x2=41 (D)252)32(=+x ,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 9.当x =________时，分式293 x x -+无意义；当x =________时，分式293 x x -+的值为零。 10. 若222(3)25a b +-=，则22a b +=_________ 11.一元二次方程22(21)(3)x x -=-的解是___________ 12.方程()412 =-x 的解是______________。

解一元二次方程(直接开方法配方法)练习题100道

解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x －）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x －）2 2．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（） A ．2 B ．-2 C ． D ．6．用配方法解下列方程：（2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662 =--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 4、01322=-+x x 5、07232=-+x x 6、01842 =+--x x 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 2 2 2

初中数学解一元二次方程直接开平方法一

初中数学解一元二次方程直接开平方法讲义一 1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程． 3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入

一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程： (1)4x2＝9；

(2)(x ＋3)2－2＝0. 解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得 x 2＝ 94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32 ，x 2＝－32 . (2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝ 2或x ＋3＝－ 2. ∴原方程的解是x 1＝ 2－3，x 2＝－ 2－3. 方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝ a ，x 2＝－a . 初中【类型二】直接开平方法的应用 (2014·山东济宁中考)若一元二次方程 ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是 m ＋1与2m －4，则b a ＝________.

解析：∵ax2＝b，∴x＝±b a，∴方程的两个根互为相反数，∴ m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a＝2，∴ b a＝4，故答案为4. 【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________．解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2. 【类型四】直接开平方法的实际应用

(直接开平方法)练习题

§23.2一元二次方程的解法练习题（一）（第1课时）授课班级____ 上课时间：______ 第____ 节典例分析用直接开平方法解下列一元二次方程： 2249(3)16(6)x x -=+ 解：开平方得，7(3)4(6)x x -=±+ 7(3)4(6)x x -=+由115.x =得 7(3)4(6)x x -=-+由得23 .11 x =- 点评：直接开平方法解一元二次方程的要点是：通过等式变形变出2 x n =或2 ()x m n -=的形式，再直接开平方；另外注意方程解得书写格式1x 、 2x . 课下作业一、选择题： 1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（） A. 230x -= B. 2 (1)40x --= C. 2 20x x += D. 2 2 (1)(21)x x -=+ 2. 下列说法中正确的是（） A. 方程2 4x =两边开平方，得原方程的解为 2x = B. 3x =是方程2 9x =的根，所以得根是3x = C. 方程2 250x -=的根是5x =± D. 方程232640x x -+=有两个相等的根 3.已知0a ≠，方程22 2 9160a x b -=的解是_____ A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2243b x a =± 4. 方程2 20(0)x m m +=<的根为_____ A.2 m - B.2- C.2± D.2 ± 5. 若2 (1)10x +-=，则x 得值等于_____ A. 1± B. 2± C. 0或2 D. 0或-2 二、填空题： 1.当x =________时，分式29 3x x -+无意义；当 x =________时，分式 29 3 x x -+的值为零。 2. 若2 2 2 (3)25a b +-=，则22 a b +=_________ 3.一元二次方程2 2 (21)(3)x x -=-的解是___________ 4.方程()412 =-x 的解是______________。三、用直接开平方法解下列一元二次方程（1）2 435x -= （2）(2)(2)21x x -+= （3 ）2 2 ((1x =+ （4）2 2 69(52)x x x -+=- 四、设α和β是方程2 (2)9x +=的两个根，求 αβ+的值。

《21.2.1第1课时直接开平方法》同步习题(含答案).doc

21． 2.1第1课时直接开平方法1基础题知识点 1用直接开平方法解形如x2＝ p(p≥ 0)的一元二次方程1．下列方程可用直接开平方法求解的是(A) A ． x2＝ 4 B． 4x 2－ 4x－ 3＝ 0 C．x2－ 3x＝ 0 D． x2－ 2x－1＝ 9 2．(阳泉市平定县月考)一元二次方程 x2－ 9＝ 0 的根为 (C) A ． x＝ 3 B． x＝－ 3 C．x1＝ 3， x2＝－ 3 D ． x1＝0， x2＝ 3 3．若代数式3x 2－ 6 的值是21，则 x 的值是 (B) A ． 3 B．±3 C．－ 3 D．± 3 4．若一个圆的面积是 2，则它的半径 r＝ 10cm. 100 π cm 5．关于x的一元二次方程x2＋ a＝ 0 没有实数根，则实数 a 的取值范围是a＞ 0．6．用直接开平方法解下列方程： (1)x 2－ 25＝0; 解： x2＝ 25， x1＝ 5， x2＝－ 5. (2)4x 2＝ 1； 2 1 解： x ＝， x1＝1 ， x2＝－ 1 . 2 2 (3)0.8x 2－ 4＝ 0; 解： 0.8x 2＝ 4， x2＝ 5， x1＝5，x2＝－ 5.

(4)4.3 － 6x2＝ 2.8. 解： 6x2＝ 1.5， 1 2 x ＝， 1 1 x1＝2， x2＝－2. 知识点 2用直接开平方法解形如(mx＋ n)2＝ p(p ≥0) 的一元二次方程 7．(丽水中考)一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x＋ 6＝ 4，则另一个一元一次方程是(D) A ． x－ 6＝ 4 B． x－6＝－ 4 C．x＋ 6＝ 4 D ． x＋6＝－ 4 8．(鞍山中考)已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1) 2＝ b 的根的情况是 (C) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 9．对形如(x＋m)2＝n的方程，下列说法正确的是(C) A ．直接开平方得x＝－ m±n B．直接开平方得x＝－ n±m C．当n≥ 0 时，直接开平方得x＝－ m±n D．当n≥ 0 时，直接开平方得x＝－ n± m 10．用直接开平方法解下列方程： (1)3(x ＋ 1)2＝ 1； 3 解： (x＋ 1)2＝ 19， 1 x＋ 1＝±， 3