信号与线性系统题解 阎鸿森 第六章

信号与线性系统题解 阎鸿森 第六章 习题答案

1. 用定义计算下列信号的拉氏变换及其收敛域，并画出零极点图和收敛域。 (a)(),0at e u t a > (b) (),0at te u t a > (c) (),0at

e u t a --> (d) [cos()]()c t u t Ω-

(e) [cos()]()c t u t Ω+θ- (f) [sin()](),0at

c e

t u t a -Ω> (g) (),b at b a δ-和为实数

(h) 23,0(),0

t t e t x t e t -?>?

=?

解：(a)

σ

1

,Re{}s a s a

>-，见图(a) (b)

2

1

,Re{}()

s a s a >-, 见图(a) (c) 1

,Re{}s a s a

-<-+,见图(b)

(d) 22

,Re{}c

s

s a s -

<-+Ω, 见图(c) (e)

22

cos sin ,Re{}0c c

s s s θθ

-Ω>+Ω,见图(d) (f)

22

,Re{}()c

c

s a a s Ω>-++Ω,见图(e)

(g) 2

1||

sb

a e a - ,整个s 平面

(h)

11,2Re{}332s s s

+-<<-+,见图(f) j Ω

a

0σ

(a)

jΩ

σ

a-

(b)

jΩ

σ

(c)

jΩ

σ0

(d)

a-

jΩ

σ

(e)

2-3

jΩ

σ

(f)

2.用定义计算图P6.2所示各信号的拉氏变换式。

X(t)

1

T

t

(a)

1

2

X(t)

123t

(b)

T

t

1

X(t)

(c)

1

T

t

X(t)

(d)

1

T/2

t

X(t)T

(e)

π

0X(t)

t

sin t

π

(f)

解： (a)

222

sin 111sin [()()]111

st sT st

s te dt

e t u t u t e dt e s s s π

--+∞

--π

-∞-=--π=-?=+++?

?0

1

(1)T

st sT e dt e s

--=-?

(b)

1

2

3

1

2

223232121

(1)()()1

(1)st

st

st s s s s s s s s e dt e dt e dt

e e e e e s s s e e e s -----------++=-+-+-=+--?

?? (c) 20111(1)T st sT sT te dt e e T s Ts

---=-+-?

(d)

0221(1)11111

(1)(1)(1)T

st sT sT sT sT t e dt T e e e e s Ts s s Ts

------

+=--+-=--?

(e) 2222221212()(1)[(1)]sT

sT sT s

X s e e e e s Ts s Ts

----=-+-+--

(f)

s

222

sin 111sin [()()]111

st sT st s te dt

e t u t u t e dt e s s s π

--+∞

--π

-∞-=--π=-?=+++?

?

3. 对图P6.3所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。 (a) x(t)的傅立叶变换存在。 (b) 2()t

x t e 的傅立叶变换存在 (c) ()0,0x t t => (d) ()0,5x t t =<

解：(a) x(t)的傅立叶变换存在，则j s =Ω应在()X s 的收敛域内 图(a) 1Re{}1s -<< 图(b) 3Re{}3s -<< 图(c) Re{}1s >-

(b) 2()t

x t e 的傅立叶变换存在，则s ＝-2轴一定在()x s 的收敛域内 图(a), Re{}1s <- 图(b), 3Re{}3s -<< 图(c), 3Re{}1s -<<- (c) x(t)=0,t>0,则x(t)为左边信号 图(a),Re{}1s <- 图(b),Re{}3s <- 图(c), Re{}3s <-

(d) x(t)=0, t<5,则x(t)为右边信号 图(a), Re{s}>1 图(b), Re{s}>3 图(c), Re{s}>-1

4. 针对图P6.4所示的每一个信号的有理拉氏变换的零极点图，确定：

(a) 拉氏变换式。

(b) 零极点图可能的收敛域，并指出相应信号的特征。 解： 图(a) 拉氏变换为 (1)

()(3)(1)

s X s k s s -=?

++，k 为常数。

收敛域Re{}3s <-时，信号为左边信号 为Re{}1s <-时，信号为右边信号。 为3Re{}1s -<<-时，信号为双边信号

图(b) 拉氏变换为21

()(2)(1)(1)

s X s k s s s +=?++-

收敛域Re{}2s <-时，信号为左边信号

为Re{}1s >时，信号为右边信号。

为

2Re{}11Re{}1s s -<<-?

?-<

时信号为双边信号时时，信号为双边信号

5. 在正文中我们提到，虽然拉氏变换的收敛性比傅立叶变换收敛性要强，但并不是任何信号的拉氏变换都存在。对下列信号，判断拉氏变换是否存在。若存在，请求出其拉氏变换 及其收敛域

(a) ()tu t (b) ()t t u t (c) 2()t

te u t - (d) 2()t e u t (e) ()t

e e u t (f) ,0

(),0

t t e t x t e t -???

解： (a) 存在

21

s

，Re{}0s > (b) (c) 存在

2

1

(2)

s +，Re{}2s >- (d) (e) (f)不存在 6.若已知1

{()}u t s

?=，收敛域为Re{}0s >，试利用拉氏变换性质，求下列信号的拉氏变换及其收敛域。 (a)2()t

e

u t -[cos()]()c t u t Ω (b) [sin()cos()]()c c t t u t Ω+Ω (c) [cos()]()at e t u t β-

(d) [cos()]()c t t u t Ω (e) [cos()]()at

c te

t u t -Ω (f) ()t e u t T --

(g) ()t

te u t T -- (h) '

()t t δ (i) 2''

()t t δ (j)

()k k a t kT ∞

=δ-∑

(k) 2(1)t u t -

(l) 0

()t t e u t T -+- (m) 2[cos()]()c t t u t Ω (n) [sin()]()c t u t T Ω-

(o)

sin()t

c d ττΩ?

(p) 1(1)()at t e u t ---

解： (a)

2,Re{}0c

s

s s 2

>+Ω (b)

2,Re{}0c

c

s s s 2

+Ω>+Ω (c)

2,Re{}()c

s s s β

αβ2

+>-++Ω (d) 22

2

2

,Re{}0()

c c s s s 2-Ω>+Ω

(e) 22

2(),Re{}()c c

s s s βββ2

+-Ω>-++Ω (f) (1)Re{}11

s T

e s s -+>-+

(g)

(1)2

1,Re{}1(1)

s T

Ts T e s s -+++>-+ (h) -1, Re{}s R ∈ (i) 1, Re{}s R ∈

(j) 1ln ,||1sT a

s ae T

->

- (k) 23112(),Re{}02s e s s s s

-++> (l) 0

(1)1

s T

t e e

s -+-?

+ (m) 22223

2(3)

,Re{}0()

c c s s s s Ω->+Ω (n) 2

2(cos cos ),Re{}0()

sT

c c c c e T s T s s -ΩΩ+Ω>+Ω (o)

22

,Re{}0()

c

c s s s Ω>+Ω (p)

22

(2)

,Re{}0()a s a s s s a +>+

7. 求图P6.7所示信号的拉氏变换式及收敛域。

(a)

221

(1)(1),Re{}0s s e e s s ----> (b) 1(1),Re{}01s s

a e ae s s s ---+>+

(c) 021,Re{}0st

e s s

->

(d) 2

2

4(1),Re{}0(1)

s s e s s e --->- (e)

2222

22222222

[(cos sin )],Re{}0(1)

()(1)

1,Re{}0

1c

c

c

c

sT c c c c c c s s s c c c c c

s c

e T s T s s s e

e e

s s s s e

-π-

Ωπ-

πΩ-

Ωπ-ΩΩ-ΩΩ+Ω+Ω+Ω>-Ω=+Ω-+Ω+ΩΩ=?>+Ω+

(f)

2

22

2(1)1,Re{}0(1)

(1)T T s s T

Ts s e e

s s e s e ------=>-+ (g)

11()

()

242(1)(1)

11

1

()(1)

()(1)

s s s

s s e

e

e s e s e τ

τ

τ

τ

-+-+------=+-+-

8. 计算下列X(s)的拉氏反变换： (a)

22

3,Re{}0(1)(4)

s

s s s >++ (c o s c o s 2)(

t t u t - (b)

2

23

,Re{}043s s s s +>++ 313()()22t t

e e u t ---+-

(c)

21

,Re{}3(21)(3)2

s s s s <<+- '32115[()()2()9()]42

t

t

e u t t t e u t T --+δ+δ+-

(d)

21

,Re{}356

s s s s +<-++

322()()t

t

e u t e u t ----+-

(e) 23

2

1

,Re{}1s s s s s

-+>- ()()t t e u t -+

(f)

21

,Re{}156

s s s s +>-++

[cos(2)]()t e t u t -

(g) 321

,1Re{}044s s s s s -+-<<+++

232c o s 2()s i n 2()()510

5

t

t u t t u t e u t --

+-+ (h) 3221,Re{}131

s s s s s ++>-++

2'

3()()2()()t

t

e u t e u t t t --+-δ+δ (i) 32

3

,1Re{}022s s s s s

+-<<++

2

311342222331()c o s ()s i n ()

222

t t s s s s u t e tu t e tu t --+?-++=---

(j) 2

1

,Re{}09s s <+

1sin 3()3

tu t --

9. 已知LTI 系统的系统函数H(s)及输入x(t)，求系统的响应y(t). (a) 2

23

(),()()68

s H s x t u t s s +==++ (b) 2

4(),()()(32)

t

s H s x t e u t s s s -+=

=++ (c) 222

2(),()()(9)

t

s s H s x t e u t s s -+==+ (d) 2

1(),()()56t

s H s x t te u t s s -+=

=++ 解： (a) 311151

()84284H s s s s =+-

++ 24315()()()()848

t t

y t u t e u t e u t --=+-

(b) 2

2413()12(1)

s

H s s s s s =

--++++ 2()2()()()3()t

t

t

y t u t e u t e u t te u t ---=---

(c) 1

()sin 3()3y t tu t =

(d) 2311

()()()()22

t t t y t e u t e u t e u t ---=-+

10. 计算下列微积分方程描述的因果系统的系统函数()H s 。若系统最初是松弛的，而且

()()x t u t =，求系统的响应()y t 。

(a) 22

()()()

43()()d y t dy t dx t y t x t dt dt dt ++=+ (b) 22()()()45()d y t dy t dx t y t dt dt dt

++=

如果()x t 为()t

e u t -，系统的响应y(t)又是什么？

解： (a)1

()3H s s =

+ 311()()()33

t

y t u t e u t -=-

(b) 2()45

s

H s s s =++

2()s i n ()

t

y t e

t u t -= 当输入()t

e u t -时，

(a) 311

()()()22t t y t e u t e u t --=

- (b) 2211()()cos ()sin ()33

t t t

y t e u t e tu t e tu t ---=--

11. 已知LTI 因果系统的输入2()()t

x t e u t -=，单位冲激响应()()t

h t e u t -=。 (a) 用时域分析法求系统响应y(t).

(b) 用复频域分析法求系统响应y(t) 解： (a) 2()()()(1)()t t t y t e u e u t d e e u t τττττ+∞

--+---∞

=-=-?

(b)

21

()(1)(2)

()()()

t t Y s s s y t e u t e u t --=

++=-

12. 某LTI 系统的有理系统函数H(s)的零极点及收敛域如图P6.12所示，若H(0)＝1。 求： (a) 求产生此输出的输入信号x(t).

(c) 若已知

|()|x t dt +∞

-∞

<∞?

，求输出信号x(t).,

(d) 已知一稳定系统，当输出2()t

e u t -时，输出为上述()x t 中的一个，确定是哪一个？

求出系统的单位冲激响应。

解：(a) 3(2)

()(1)(6)s H s s s -+=

-+

(b) 10(1)

()(1)(2)(5)s H s s s s --=

+++

(c) 2

()(1)(2)H s s s -=

-+

(d) 2

()(1)(2)

H s s s =

--

13. 已知因果全通系统的系统函数1()1

s H s s -=+，输出信号2()()t

y t e u t -= (a) 求产生此输出的输入信号x(t). (b) 若已知

dt ∞

∞

<∞?

+－|x(t)|，求输出信号x(t).

(c) 已知一稳定系统当输入为2()t

e u t -时，输出为上述x(t)中的一个，确定是哪个？求出

系统的单位冲激响应h(t).

解：(a)

2()x t 1

()2

H s s =

+。Re{}2s >-，()1()()(1)(2)Y s s X s H s s s +==

-+ 由于()H s 的ROC 为Re{}1s >-，()X s ∴的ROC 为2Re{}1s -<<或Re{}1s > 若 1ROC 为-2

()()()33

t t x t e u t e u t -=-- 若2ROC 为Re{s}>1，221()(2)()3

t

t x t e e u t -=

+ 1()x t ，2()x t 分别如图PS6.13(a),(b)所示：

(a)

(b)

(b)若

dt ∞

∞

<∞?

+－|x(t)|，则只能是1()()x t x t =

即：212

()()()33

t t x t e u t e u t -=

-- (c) 11

()()(),()(1)(2)1

s s X s Y S H s H s s s s ++==

∴=

-+-这就是(a)中系统的逆系统。 由于系统稳定∴ROC 为()c u t Re{}1s <

()()2()t h t t e u t =δ--

()Y s 的ROC 为Re{}2,()s X s >-∴的ROC 为2Re{}1s -<<

21()()2()3

t t

x t e u t e u t -=

-- 22()*()()2()*()t t t y t h t e u t e u t e u t --=--

当t>0时，0

22()

21()*()()3

t

t

t t e u t e u t e e d e u t τττ-----∞

-=

=? 当t<0时，22()

21()*()()3

t t t t t e u t e u t e e d e u t τττ-----∞-==-?

212

()*()()()()33

t t y t h t e u t e u t x t -∴=--=

从而证明该系统当输入为()y t ，输出为()x t

14. 某LTI 系统的零极点如图P6.14所示。

(a) 指出与该零极点分布有关的所有可能的收敛域。

(b) 对(a)中所指出的每一个收敛域，确定相应的系统是否稳定，因果。 解：

(a) (,2);(2,1);(1,2);(2,)-∞----+∞

(b) 非因果，稳定；非因果，不稳定；非因果，稳定；因果，不稳定；

15. 对一个LTI 系统，我们已知如下信息：输入信号2()4()t

x t e u t =-；输出响应

22()()()t t y t e u t e u t -=-+

(a) 确定系统的系统函数H(s)及收敛域。 (b) 求系统的单位冲激响应h(t)

(c) 如果输入信号x(t)为(),t

x t e t -=-∞<<+∞ 求输出y(t)。 解：(a) 1

(),Re{}22

H s s s =

>-+ (b) 2()()t

h t e u t -= (c) ()2()()t t y t e e u d e τ+∞

---τ--∞

=

ττ=?

16. 若系统的单位阶跃响应为2()(1)()t

s t e u t -=-，为使输出响应2()()()t t y t e e u t --=-+,

求输出信号()x t 。 解： 1()()2

t

x t e u t -=

17. 一个LTI 系统的零极点如图P6.17所示。 (a)确定该系统的逆系统的零极点图。

(b)如果逆系统为稳定系统，求系统的单位冲激响应h(t). (c)如果逆系统为因果系统，求逆系统的单位冲激响应h(t). 解：(a)

(b) ()()()t

t

t e u t e u t -δ++- (c) ()()()t

t

t e e u t -δ+-

18. 已知x(t)的单位拉氏变换()s ?,试用()s ?表示下列信号的单边拉氏变换。

(a) ()x t T - (b) 0()s t

x t e (c) ()t

x d -∞ττ? (d) 22()

d x t dt

(e) ()x at (f) tx(t) 解：(a) 0

()()sT

st T

e

s x t e dt ---?+?

(b) 0()X s s - (c) 设()()t

x d s -∞

ττ←?→?

?

则有

()()()t

t

x d x d x d -∞

-∞ττ←?→ττ+ττ?

??，由时域积分性质得

1()(()

())

s s x d s

-∞

?=?+ττ?

，也可由定义直接求得。 (d) 2

'

()(0)(0)s s sX X ++?-- (e)

1()||s

X a a

(f)

()d

X s ds

19.求下列由微分方程描述的增量线性系统的响应y(t): (a) 确定该系统的逆系统的零极点图。

(b) 如果逆系统为稳定系统，求系统的单位冲激响应h(t). (c) 如果逆系统为因果系统，求逆系统的单位冲激响应h(t). 解：(a) 22

()12()c

c sY s Y s s Ω-+=

+Ω

Y(s)=222

c c

s s +Ω+Ω+

2'

2

2()4()2()()()()t

t

c c y t e u t t t e u t --=-δ+δ+Ω+Ω (b) 232

23()283()62()s Y s s sY s Y s s s -++-+=

+ 22341

()(56)(2)

s s s Y s s s s s s +++==

+++ 211

()()()22

t y t u t e u t -=

+ (c) 2

32

23

()283()62()s Y s s sY s Y s s s -++-+=

+ 43322232()(32)

s s s Y s s s s -++=++

2

2111()[3]()222

t

t t y t e e u t --=-+-+

(d) 322

3

()13()332()21

s Y s s s s Y s s sY s s ---+--+-=

+ 323222

567157

()(1)(32)1(1)2s s s Y s s s s s s s s s

----==-+-++++++ 277

()()5()()()22

t

t

t y t e u t te u t u t e u t ---=---

+ 20. 图P6.20所示电路，在t ＝0以前已经处于稳定状态。当t=0时，开关K 由“1”到“2”，试计算ｔ>0时的()c u t 和()L u t . 解：(a) (0)1c u =

()

3()()c c c du t u t u u t dt --

= 3()2

c s

u s s +=+

2()()()t

c u t t e u t -=δ+ (b) 3()()()()t

L L L u t u t u d u t -∞

-=

ττ=?

2

31

()()2()23

()21

()()2()

L L L t

L u s u s u s s s

s u s s u t t e u t -++=+=-=δ+

21. 对图P6.21(a)所示电路，起输入为图P6.21(b)所示，当0t -

=时(0)1c u V -

=，

(0)0L i -

=，求t>0时的()c u t 。 解：

22

()()

11()22c c i c d u t du t u t u dt dt

=--+ 22

11111

()()()2222

1()11122

s c c c s

c e s u s su s u s s s e u s s s ---=-+-++--=

-- 2(1)2(1)22

()2()(1)(1)33

t

t t c u t e u t e u t e u t -----=+

--- 22. 图P6.22所示电路，在t<0时已处于稳定状态，在t ＝0时，开关K 闭合，试求t>0时的

()c i t 及()L i t

23. 某系统如图P6.23所示，若电路达到稳定状态后，开关K 转换，试求K 转换后的响应

()c u t 。