(完整版)(自己整理)圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习

圆锥曲线大综合

第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题

一．常考题型

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题

题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题

题型十：范围为题（本质是函数问题）

题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）

二．热点问题

1.定义与轨迹方程问题

2.交点与中点弦问题

3.弦长及面积问题

4.对称问题

5.范围问题

6.存在性问题

7.最值问题

8.定值，定点，定直线问题

第二部分 知识储备

一． 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题）

1. 判别式：24b ac ?=-

2. 韦达定理：若一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则

12b x x a +=-

，12c

x x a

?= 3. 求根公式：若一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则

1,22b x a

-±=

二．与直线相关的知识

1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式

2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈；

②点到直线的距离公式：

d =

或d =

（斜截式）

3. 弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：

1212)AB x AB y =-==-或 4. 两直线1111122222:

,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系：

① 12121l l k k ⊥??=- ②121212//l l k k b b ?=≠且

5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则

111

2

,22

x x y y x y ++=

= 三．圆锥曲线的重要知识

考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线

1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。

2. 圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程

②双曲线的标准方程 ③抛物线的标准方程 3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数,,a b c 三者的关系，p 的几何意义等

4. 圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆22b a ，双曲线2

2b a

，抛物线2p

②焦点三角形的面积：p 在椭圆上时122tan

2

F PF S b θ

=?V

p 在双曲线上时122/tan

2

F PF S b θ

=V

四．常结合其他知识进行综合考查

1． 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系

2． 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识

3． 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等 4． 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质

5． 不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等

五．不同类型的大题 （1）圆锥曲线与圆

例1.（本小题共14分）

已知双曲线

，右准线方程为

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线

交于不同的两点，证明的大小为定值…

【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得，解得，

∴，∴所求双曲线的方程为. （Ⅱ）点在圆上，

圆在点处的切线方程为， 化简得.

由及得， ∵切线与双曲线C 交于不同的两点

A 、

B ，且，

∴，且，

设A 、B 两点的坐标分别为，

则， ∵，且

，

22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>3x =C l 2

2

:2O x y +=0000(,)(0)P x y x y ≠l C ,A B AOB ∠2a c c a

?=???

?=??1,a c ==2

2

2

2b c a =-=C 2

2

12

y x -=()()0000,0P x y x y ≠22

2x y +=()00,P x y ()0

000

x y y x x y -=-

-002x x y y +=2

20

012

2

y x x x y y ?-=???+=?22002x y +=()222

000344820x x x x x --+-=l 2

002x <<20340x -≠()()

222

00016434820x x x ?=--->()()1122,,,x y x y 2

00

121222

00482,3434

x x x x x x x x -+==--cos OA OB

AOB OA OB

?∠=?u u u r u u u r u u u r u u u r ()()121212010220

1

22OA OB x x y y x x x x x x y ?=+=+--u u u r u u u r

.

∴ 的大小为.

【解法2】（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方

程为，化简得.由及得

①

②

∵切线与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且， ∴，设A 、B 两点的坐标分别为，

则， ∴，∴ 的大小为.

（∵且，∴，从而当时，方程①和

方程②的判别式均大于零）.

练习1：已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为. （Ⅰ）求椭圆的方程；

()2

1201201220

1422x x x x x x x x x ??=+

-++??-()222200002222

000082828143423434x x x x x x x x ?

?--??=+-+----????22002200828203434

x x x x --==-=--AOB ∠90?

()()0000,0P x y x y ≠22

2x y +=()00,P x y ()0000

x y y x x y -=--002x x y y +=2

20

012

2

y x x x y y ?-=???+=?22

002x y +=()222

00344820x x x x x --+-=()2

220

00348820x

y y x x ---+=l 2

002x <<2

0340x -≠()()1122,,,x y x y 22

00121222

008228

,3434

x x x x y y x x --==--12120OA OB x x y y ?=+=u u u r u u u r AOB ∠90?

22

002x y +=000x y ≠220002,02x y <<<<20340x -≠A ()22

:109x y C t t

+

=>:1()l x my m =+∈R C ,E F x B 0m =AEF 16

3

C

（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.

（2）圆锥曲线与图形形状问题

例2.1已知A ，B ，C 是椭圆W ：2

4

x ＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．

(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；

(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．

解：(1)椭圆W ：24

x ＋y 2

＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．

因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．

所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得

14

＋m 2

＝1，即m

＝2±.

所以菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝1

2

×2×2|m |

.

(2)假设四边形OABC 为菱形．

因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．

由2244,x y y kx m

?+=?=+?消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2

－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，

则

1224214x x km k +=-+，12122

2214y y x x m

k m k

++=?+=+. 所以AC 的中点为M 224,1414km m k k ??- ?

++??

. 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为1

4k

-.

因为k ·14k ??

- ???

≠－1，所以AC 与OB 不垂直．

所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．

所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．

练习1：已知椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 过点(2，1)，且以椭圆短轴的两个端点和

一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设M ,)x y （是椭圆C 上的动点，P ,0)p （是X 轴上的定点，求MP 的最小值及取最小值时点M 的坐标.

AE AF 3x =M N MN B

（3）圆锥曲线与直线问题 例3.1已知椭圆22:24C x y +=，

（1）求椭圆C 的离心率.

（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆2

22x

y +=的位置关系，并证明你的结论.

解析：⑴椭圆的标准方程为：22

142x y +

=， 2a =

，b =

则c =

c e a ==;

⑵直线AB 与圆22

2x y +=相切.证明如下：

法一：

设点A B ,的坐标分别为()()002x y t ,,,，其中00x ≠.

因为OA OB ⊥，所以0OA OB ?=u u u r u u u r ，即00

20tx y +=，解得00

2y t x =-. 当0x t =时，2

02t y =-，代入椭圆C

的方程，得t =故直线AB

的方程为x =圆心O 到直线AB

的距离d .

此时直线AB 与圆

222x y +=相切. 当0x t ≠时，直线AB 的方程为()002

2y y x t x t

--=--，

即()()0000220y x x t y x ty ---+-=. 圆心O 到直线AB 的距离

d =

.

又220

024x y +=，0

2y t x =-，故

d =

=

=此时直线AB 与圆222x y +=相切. 法二：

由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =，OA OB ⊥，

①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时直线AB 的方程为2x y +=或2x y -+=， 原点到直线AB

，此时直线AB 与圆222x y +=相切； ②当0k ≠时，直线OB 的方程为1

y x k =-，

联立2

2

24

y kx x y =??+=?得点A

的坐标??,

或??

?；

联立12y x

k y ?

=-??

?=?

得点B 的坐标()22k -,， 由点A 的坐标的对称性知，无妨取点

A ??

,

进行计算， 于是直线AB

的方程为：

))2222y x k x k k

-=

+++，

即(

(2

1220k x y k -+++=，

原点到直线AB 的距离

d =

=,

此时直线AB 与圆222x y +=相切。 综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切. 法三：

①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时

22OA OB =

,=，

AB ==

AB

的距离OA OB d AB

?=

=

=、

此时直线AB 与圆222x y +=相切； ②当0k ≠时，直线OB 的方程为1

y x k

=-，

设

()()

1122A x

y B x y ,,,，则

1

OA

，2OB ==

联立2

2

24

y kx x y =??+=?得点A

的坐标??,

或??

?；

于是A OA =

，OB =

21k AB +

所以

OA OB d AB

?=

=直线AB 与圆2

22x y +=相切；

综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切

练习1：已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=

>>过点(0,1)，倍. 过椭圆

左焦点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，O 为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线AB 垂直于x 轴，判断点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由； （Ⅲ）若点O 在以线段AB 为直径的圆内，求直线AB 的斜率k 的取值范围.

（4）圆锥曲线定值与证明问题

例4.1已知椭圆C

的中心在原点O ，焦点在x C 上的点到两个焦点的距离之和为4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过原

点与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：2

||||2||AM AN OP ?=．

解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=

>>，

由题意知222,

224,a b c c

a

a ?=+?

?=??=??

解得2a =，1b =．

所以椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=．……………………………5分 （Ⅱ）设直线AM 的方程为：(2)y k x =+，则(0,2)N k ．

由 22

(2)44,y k x x y =+??+=?

，得2222

(1+4)161640k x k x k ++-=（*）． 设(2,0)A -，11(,)M x y ，则2-，1x 是方程（*）的两个根，

所以2

12

2814k x k -=+．

所以222

284(

,)1414k k

M k k -++．

||AM =

214k =

=+．

||AN ==

222

8(1)

||||1414k AM AN k k +==++．

设直线OP 的方程为：y kx =．

由 22

44,

y kx x y =??+=?，得22(14)40k x +-=． 设00(,)P x y ，则2

02

414x k =+，2

2

2414k y k =+． 所以22

244||14k OP k +=+，22

2

882||14k OP k +=+．

所以2

||||2||AM AN OP ?=．

例4.2:已知椭圆C ：22221X y a b

+= （a>b>0

）的离心率为2 ，A （a,0）,B(0,b)，O （0，

0），△OAB 的面积为1.

（I ）求椭圆C 的方程；

(I I)设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与Y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N 。 求证：AN BM ?为定值。

练习1：已知椭圆

,椭圆短轴的一个端点与两个

. (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)已知动直线与椭圆相交于、两点. ①若线段中点的横坐标

为,求斜率的值;②若点,求证:为定值.

练习2：已知抛物线C : y 2 ＝2 px （p ＞ 0），其焦点为F ，O 为坐标原点，直线 AB （不垂直

于x 轴）

过点F 且抛物线C 交于 A ，B 两点，直线OA 与OB 的斜率之积为－p ． （1）求抛物线C 的方程；

（2）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点 D ，求证：||

||

OD OM ＞2

:C 22

221(0)x y a b a b

+=>>C (1)y k x =+C A B AB 12-k 7

(,0)3

M -MA MB ?u u u r u u u r

练习3：动点),(y x P 到定点)0,1(F 的距离与它到定直线4:=x l 的距离之比为

2

1. (Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ） 已知定点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(4,)Q t 在直线l 上，作直线AQ 与轨迹C 的另一个交点为M ,作直线BQ 与轨迹C 的另一个交点为N ，证明：,,M N F 三点共线.

（5）圆锥曲线最值问题

例5： 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b

+=>>

，椭圆C 与y 轴交于A B ，两点，

||2AB =.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧. 直线PA ，PB 与直线4x =分

别相交于M N ， 两点. 若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E F ，，求点P 横坐标的取值范围及||EF 的最大值.

解：（Ⅰ）由题意可得，1b =， …………………1分

2

c e a =

=， …………………2分 得22

13

4

a a -=， …………………3分 解24a =， …………………4分

椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=. …………………5分 （Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以00

1PA y k x +=

，直线PA 的方程为001

1y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为00

1

1y y x x -=

+， 直线PA 与直线4x =的交点为00

4(1)

(4,

1)y M x -+， …………………7分

直线PB 与直线4x =的交点为00

4(1)

(4,

1)y N x +-， 线段MN 的中点0

4(4,

)y x ， …………………8分 所以圆的方程为2

22000

44

(4)()(1)y x y x x -+-

=-， …………………9分 令0y =，则2

2

2002016(4)(1)4

y x

x x -+=-， …………………10分

因为22

0014x y +=，所以 2

020114

y x -=-， …………………11分 所以2

8

(4)50x x -+

-=， 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以 0850x -

>，解得08

(,2]5

x ∈. …………………12分 设交点坐标12(,0),(,0)x x

，则12||x x -=08

25

x <≤） 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分

练习1：已知椭圆C ：()22221x y a b a b

+=>>0的一个焦点为F (2，0)，离心率为

点F 的直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，线段 AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线交

椭圆于M ，N 两点。 （1）求椭圆C 的方程；

（2）求四边形AMBN 面积的最大值。

练习2：已知椭圆C ：2231(0)mx my m +=>

的长轴长为O 为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；

（Ⅱ）设点(3,0)A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若||||BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.

（6）圆锥曲线存在性问题

例6.已知椭圆C ： ()012

22

2>>=+b a b y a x 的离心率为22

，点()1,0P 和点()()0,≠m n m A 都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m n 表示）；

（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得ONQ OQM ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 解析:

（I ）由题意得???

??

??+===,,22,1222c b a a

c

b 解得22=a ， 故椭圆C 的方程为.12

22=+y x

设).0,(M x M

因为0≠m ，所以.11<<-n

直线PA 的方程为x m

n y 1

1-=

-， 所以n m x M -=1，即).0,1(n

m

M -

()∏因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以()n m B -,.

设)0,(N x N ，则n

m

x N +=

1. “存在点),0(Q y Q 使得ONQ OQM ∠=∠”等价于“存在点),0(Q y Q 使得ON

OQ

OQ OM =”，即Q y 满足N M Q x x y =2

.

因为n m x M -=1，n

m

x N +=1，.1222

=+n m 所以2=

Q y 或2-=Q y ，

故在y 轴上存在点Q ，使得ONQ OQM ∠=∠， 点Q 的坐标为)2,0(或)2,0(-.

练习1：设F 1 ，F 2分别为椭圆()22

221x y a b a b

+=>>0的左、右焦点，点P （1，32） 在椭

圆E 上，且点P 和F 1 关于点C （0，

3

4

） 对称。 （1）求椭圆E 的方程；

（2）过右焦点F 2 的直线l 与椭圆相交于 A ，B 两点，过点P 且平行于 AB 的直线与椭圆交于 另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方 程；若不存在，说明理由。

练习2：设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点与抛物线：x 2＝4 2y 的焦点重合，F 1、

F 2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e ＝3

3

，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)是否存在直线l ，使得OM ON u u u u r u u u r

＝－1，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理

由