六年级下册奥数试题——最短路线.(含答案)人教版

8-8 最短路线

教学目标

1.准确运用“标数法”解决题目

2.培养学生的实际操作能力．

知识精讲

知识点说明

从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法，如果你能从中选择一条最近的路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你要记住两点：⑴两点之间线段最短．⑵尽量不走回头路和重复路，这样的话，你就做到了省时省力．

例题精讲

例 1】一只蚂蚁在长方形格纸上的 A 点，它想去 B 点玩，但是不知走哪条路最近．小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？

解析】（方法一）从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD ；在

竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB ．这样我们走的这条路线才是

最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，只能向右和向下走．所有最短路线：

A C D G

B 、A

C F G B、A E F G B

A C F I B、A E F I B、A E H I

B 这种方法不能保证“不漏”．如果图形再复杂些，做到“不重”也是很困难的．

（方法二）遵循“最短路线只能向右和向下走”，观察发现这种题有规律可循．①看C点：只有从A到C的这一条路线．同样道理：从A到D 、

从 A 到 E 、从 A 到H 也都只有一条路线．我们把数字“ 1 ”分别标在

C、D、E、 H 这四个点上．②看 F 点：从 A 点出发到 F ，可以是 A C F ，

也可以是 A E F ，共有两种走法．那么我们在F点标上数字“ 2”（2=1 1）．③ 看G 点：从 A G 有三种走法，即： A C D G 、 A C F G 、 A E F G．在G点标上数字“ 3”（3=1 2）．④看I点：共有三种走法，即： A

C F I 、 A E F I 、 A E H I ，在I 点标上“ 3” （3=1 2）．⑤看B

点：从上向下走是G B ，从左向右走是I B ，那么从出发点 A B有六种

走法，即： A C D G B、 A C F G B、

A E F G B、A C F I B、A E F I B、A E H I B，在B点标上“ 6”（ 6 3

3），观察发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点 A 到这点的所有最短路线的条数．此法

能够保证“不重”也“不漏”，这种方法叫“对角线法”或“标号法”．巩固】如图所示，从A点沿线段走最短路线到 B 点，每次走一步或两步，共

解析】 共有 9种，即： A A B O C 、

B O D

C 、

A D O

B

C ,最短的路是 : A O

C 、 A O B C 、 A B C

A D C 、 A D O C C ．

解析】 这是一个较复杂的最短路线问题，我们退一步想想，先看看简单的情况．

从 A 到 B 的各种不同走法中先选择一条路线来分析：

如果按路线 A →C →D →E → F → B 来走，这条路线共有 5条线段，每次走 一步或两步，要求从 A 走到 B ，会有几种走法？这不是“上楼梯”问题吗．根 据“上楼梯”问题的解法可得在 A →C →D →E →F → B 这条路线中有 8 种符合条件的走法．而对于从 A 到 B 的其他每条最短路线而言，每一条路 线都有 5 条线段，所以每条路线都有 8 种走法．

进一步：从 A 到B 共有多少条最短路线？这正是 “最短路线”问题！用“标 数法”来解决，有 10 条．综上所述，满足条件的走法有 8 10 80种．

巩固】 从A 到 B 的最短路线有几条呢？

解析】 图中从 A 到B 的最短路线都为 6 条．

巩固】 有一只蜗牛从 A 点出发 ,要沿长方形的边或对角线爬到 C 点,中间不许 爬回 A 点,也不能走重复的路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短 的是哪条呢？

有多少种不同走法？

D D

E E

F

B

DE

A

C

F

B A

C C

B

例 2】 阿呆和阿瓜到少年宫参加 2008 北京奥运会志愿者培训．如果他们从学校

出发，共有多少种不 同的最短路线？

解析】 从学校到少年宫的最短路线， 只能向右或向下走． 我们可以先看 A

点：从 学校到 A 点最短路线只有 1种走法，我们在 A 点标上1．B 、E 、

F 、

G 点同 理．再看J 点：最短路线可以是 A J 、E J 共2条，我们在 J 点标上 2．我 们发现 2 1 1正好是对角线 A 点和 E 点上的数字和．所有的最短路线都符 合这个规律，最终从学校到少年宫共有 10 种走法．

巩固】 方格纸上取一点 A 作为起点，再在 A 的右上方任取一点 B 作为终点，画

一

条由 A 到B 的最短路线，聪明的小朋友， 你能画出来吗？总共能画出几条 呢？

解析】 根据“标号法”可知共有 10 种，如图．

学校

学校

1 1 1

2 3

J

1

3

6 1 4 I

10

B

A

A

C D 少年宫

巩固】如图，从 F 点出发到G 点，走最短的路程，有多少种不同的走法？

G

分析】 共 有 115种．

小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？

小朋友们，快帮帮忙呀！

北村

“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你

找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？

采用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，因

此， 在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的．从北京到黄 山最近的道路共有 10 条．

2

4

5

6 3 6 10 1

5

21 4 10 20 3

56

5 1

5

35 7

126 北村

1 1 1

1 1 1 1

巩固】 分析】 根 据“对角线法”知共有 126种，如图．

南村

北京

1 1 1

2 1 1

2

2 3

2

4

1 3

7

10

黄山

解析】

北京

巩固】从甲到乙的最短路线有几条？

解析】有11条．

例 4 】古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．人一天一位将军向他请教一个问题：如下图，将军从甲地骑马出

发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使行走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？

甲地

乙地

河流

解析】本题主要体现最值思想和对称的思想，教师应充分引导孩子观察行走路线的变化情况

逐步引导学生通过对称来找到相应的点，进一步了解图形最值问题中应该如何解决问题．

例 5 】学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村（如图）．爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有

多少种不同的最短路线呢？

解析】我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有81种不同的最短路线．

学校

2 3

10 10

3 6

4 10

5 15 25 35

6 21 46 81

甲

学校

1

1

拓展］ 亲爱的小朋友们，你们觉得从 A 到 B 共有几条最短路线呢？

解析】 此 题与上题不同，但方法相同．我们采用对角线法（如图）可知：可

以

选择的最短路线共有 41 条．

例 6】 阿花和阿红到少年宫参加 2008 北京奥运会志愿者培训．他们从学校出

发 到少年宫最多有多少种不同的行走路线？

少年宫 少年宫

解析】 采用对角线法（如图） ．可得从学校到少年宫共有 90 种走法．

铺垫］ 小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，

请你想一想，从小猪家到游乐场共有几条最短路线呢？

解析】 “对角线”法（如图） ，共 14 条．

例 7 】 阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书

馆；

游乐场

游乐场

14 5

9 5

2

4

3 2

1

1 1 1 小猪家

第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通

行．咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从 学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？

仍 然用对角线法求解．第一天（无限制条件）共有 16条；第二天（必须 经过公园）共有 8条；第三天（必须不经过公园）共有 8 条．

大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶， 可是市中心在修路 （城市的街道 如图所示 ）,他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友， 请你们快想想吧！

方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有 66 条．

解析】

巩固】

市中心

学校

解析】 （方法一）用“对角线法”求出：从学校到养老院

共 心的 60 条，所以可行的路有： 126 60 66

（条）． 126条．必经过市中

5

15 35 70 126 4

10 20

35

56 3

6

10 市中心

15

21

2

3

4

5

6

学校

养老院

1

1

1

学校 养老院

养老院

养老院

5 15 25 40 66

1 4 10 10 15 26

5

1 3 6

11

1 2 3 4 5 6

学校 1 1 1

例 8】如图，从X 到Y 最短路线总共有几种走法？

分析】如图，共有716种．

例 9】如图，从A到B沿网格线不经过线段CD和EF 的最短路径的条数是多少条？

解析】由于不能经过线段CD和EF ，所以我们必须先在网络图中拆

除

然后再在拆除了CD和EF以后的网络图中进行标数（如下图所示）．运用标

数法可求出满足条件的最短路径有78 条．

Y

1

8 36

85

170 342 716

1

7 28 49 85 172 374

1

6 21 2 36 8

7 202

1 5 15 15 51 115

15

1 4 10 36 64

1

3 6 10 15 21 28

1 2 3 4 5 6 7

X 1 1 1 1 11

CD和EF，

巩固】下图为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道，不能通车，从A到B 处的最短路线共有多少条？

解析】从A到B的最短路线有431条.

解析】本题中的运动方向已经由箭头标示出来，所以关键要分析每一点的入口情况．

B

431B

174

110 55

64 55 55 30 12

9C25 18 12 7 3

98 7 6 5 4 3 2 1

11 1 1 1 1 1 1

例 10 】按图中箭头所指的方向行走，从A到I 共有多少条不同的路线？

174

257

19

10

A

通过标数法我们可以得出从 A 到I 共有 29条不同的路径．

例 11】 按图中箭头方向所指行走，从 A 到G 有多少种不同的路线？

解析】 运 用标数法原理进行标数，整个标数流程如下图

从 A 到 G 共有 21 条不同的路线．

巩固】 ⑴按下图左箭头方向所指，从 X 到Y 有多少种不同的路线？ ⑵如下图右

所示，这个问题有一个规则：只能沿着箭头指的方向走，你 能否根据规则算出所有从入口到出口的路径共有多少条？

C E

B

A

E

B

2 1

A

C G

G

分析］ ⑴利用标数法求得 X 到Y 有34种不同的路线，如下图左所示． ⑵由题

将路线图转化为下图右所示，根据标数法求得从入口到出口的路 径共有 10 条．

例 12】 ⑴如下图左，如果只允许向下移动，从 A 点到 B 点共有多少种不同的路

线？

⑵如下图右，要从 A 点到 B 点，要求每一步都是向右，向上或者斜上方， 问共有多少种不同的走法？

34Y

入口

出口

5 8 3

1

X

1

3

A

B

解析】⑴按题目要求，只能向下移动，利用标数法求得A到B共有路线68种，如下图左所示．

⑵按题目要求，只能走下图右的3个方向，利用标数法求得共有22 种

不同的走法，如下图右．

巩固】 图中有 10

个编好号码的房间， 你可以从小号码房间走到相邻的大号码

房 间，但不能从大号码房间走到小号码房间， 从 1号房间走到 10 号房间共 有多少种不同走法？

分析】 图 中并没有标出行走的方向，但题中“你可以从小号码房间走到相邻的

大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间”这句话实际上就规 定了行走的方向．如下图所示，我们可以把原图转化成常见的城市网络 图，然后再根据标数法的思想标数：从图中可以看出，从 1 号走到 10号 房间共有 22 种不同的走法．

A

68 B

B 22 16 6

1

例 13】一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻

近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？

解析】 蜜 蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行 ”这意味着

它

只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，

就可运用标准法进行计算．

如图所示，小蜜蜂从 A 出发到 B 处共有 89种不同的回家方法 ．

例 14 】 在图中，用水平或垂直的线段连接相邻的字母， 当沿着这些线段行走

时，

正好拼出“ APPLE ”的路线共有多少条？

PP LP

P P L E L P

分析］ 要想拼出英语“ APPLE ”的单词，必须按照“ A P P L E ”的次序拼

写．在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径．如下图所示，运 用标数法原理标数不难得出共有 31 种不同的路径．

P P L P P A P L E L P P A

131

1 2 7 2 1

1 2 4 15 4 2 1 2 4 8 31 8 4 2 1

铺垫］图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法．