康德的_二律背反_与数学的难题_悖论_
文章编号:1000-8934(2006)04-0031-05
康德的“二律背反”与数学的难题“悖论”
陈 玲
(厦门大学哲学系,福建厦门 361005)
摘要:康德哲学的二律背反是将知性范畴引入理性所引起的矛盾,而理性具有无限的内涵;数学中悖论的重要根源是由于将无限引入数学而引起的。二律背反和悖论有着相同的根源———无限。排除二律背反和悖论,会增强人们对“无限”的认识;把握无限与有限的辩证关系还必须通过实践去实现。
关键词:二律背反;悖论;无限
中图分类号:B516131 文献标识码:A
收稿日期:2006-01-20
基金项目:福建省社会科学研究“十五”规划项目(2003B019)
作者简介:陈玲(1972-),女,福建莆田人,厦门大学科学技术哲学博士生,研究方向:科学思想史和科学哲学。
1 康德的“二律背反”和数学悖论
康德(I 1Kant )是德国古典哲学的奠基者,以他为开端的德国古典哲学在世界哲学史上占有极为重要的地位。具有鲜明辩证思想的二律背反贯穿了康德的整个批判哲学体系。二律背反指的是两个互相排斥但同样是可论证的命题之间的矛盾。康德在《未来形而上学导论》一书中将二律背反描述为四组正题和反题,康德称之为先验理念的四个冲突。
(1)正题:世界在时间上和空间上有始。反题:世界在时间上和空间上无限〔1〕。
(2)正题:在世界上的一切都是由单一的东西构
成的。反题:没有单一的东西;一切都是复合的〔2〕
。
(3)正题:世界上有出于自由的原因。反题:没
有自由,一切都是自然〔3〕
。
(4)正题:在世界因的系列里有某种必然的存在体。反题:里边没有必然的东西,在这个系列里,一切都是偶然的〔4〕。
在康德所列的二律背反的四个矛盾中,前两个康德把它称为力学的,后两个则称为数学的。他认为矛盾的正题代表了伊壁鸠鲁(Epicurus )主义的独断论,而反题则恰恰代表了柏拉图(Plato )主义的经验论,因此康德的二律背反实际上正是这两者之间对立的继续。二律背反是康德哲学的一个研究起点。这一点在康德1798年9月21日写给克里斯蒂安?伽尔韦的信中得到了证实,他说:“我的出发点不是对上帝存在、灵魂不朽等等的研究,而是对纯粹理性的二律背反———‘世界有一个开端,世界没有一个开端等等’的研究,……正是这个二律背反把我从独
断论的迷梦中唤醒过来,驱使我转向对理性本身的
批判,以便解决理性与它自身之间的诡异的矛盾这
件怪事。”〔5〕
可见二律背反在其哲学体系中的重要作用。在1781年5月11日致马库斯?赫茨的信中,康德谈及了写作《纯粹理性批判》一书中的某些不当之处:“否则,我总是会从我称之为‘理性的二律背反’的东西开始,它总是能在吸引人的篇章中被表述出来,并使读者萌生出这样的愿望,即去探寻这一争
论的根源。”
〔6〕
康德二律背反体现的积极意义在于它蕴育着一种新的思维方式的诞生,这就是理性辩证本性的发现,因为他揭示出了理性在将世界作为一个整体加以认识时,必然产生矛盾。这就沉重地打击了否定矛盾的旧形而上学思想。例如在第一个命题的论证中,康德认识到了时空即是连续的又是分离的,这与旧形而上学只片面地认为时空只具有连续性是不同的。对其中闪烁出的辩证法的思想火花,黑格尔(G 1W 1F 1Hegel )曾给予极高的评价:“康德这种思想认为知性的范畴所引起的理性世界的矛盾,乃是本质的,而且是必然的,这必须认为是近代哲学界一
个最重要和最深刻的一种进步。”〔7〕
它是后来黑格尔创立完整辩证法的基础,因而也成为马克思和恩格斯唯物辩证法的一种思想源泉。在这里,康德首次引入了“自然辩证法”的概念:“所以纯粹理性有一
种自然的和不可避免的辩证论”。〔8〕
辩证论在这里也可译作辩证法,康德所认为的自然辩证法具有的三种不同形态中,二律背反正是由于纯粹理性试图运用知性范畴去认识超经验的、客观上的统一体———世界时造成的。“自然辩证法的概念最先是由
1
3第22卷 第4期2006年 4月
自然辩证法研究Studies in Dialectics of Nature Vol.22,No.4
Apr.,2006
康德提出来的,而康德意义上的自然辩证法乃是作为理性自然倾向的辩证法。”〔9〕当然,康德的这种“自然辩证法”是不同于恩格斯的“自然辩证法”概念的,虽然它是发自理性的本性,揭示出人在思维中必然产生矛盾,但却是一种消极的东西。康德的这种“消极理性”(黑格尔语)只能认识现象,对现象之外的世界(康德称之为自在之物)即超出经验的就无法认识了。黑格尔驳斥康德最有力的论证是现象和自在之物并没有原则性区别,主体与客体相互作用,事物的“特性”或现象包含着对象的客观内容。因此恩格斯才会有这样的感叹:想从康德那里学习辩证法是白费力气的。那么,什么是悖论?“悖论”一词是英、德文paradox的一种意译。如果某一理论的公理和推理原则看上去是合理的,但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题,或者证明了这样一个复合命题,它表现为两个互相矛盾的命题的等价式。那么,我们就说这个理论包含了一个悖论〔10〕。按照人们普遍的理解,在数学发展史上先后出现了三次数学危机,而每次危机都和悖论有关。
无理数的出现造成了第一次数学危机,它发生在公元前580—568年间的古希腊,有理数的观念作为一种数学思维方式刚刚崭露头角,人们对无理数的存在一无所知。那时最大的哲学流派也是最古老的数学共同体毕达哥拉斯(Pythagoras)学派确立了“万物皆数”的信仰,强调数学具有绝对真理性,认为世界上的一切事物均可以表示为整数和整数之比。可是该派成员希帕索斯(Hippasus)却从毕达哥拉斯定理推导出无理数。无理数的发现和芝诺(Zenon)悖论一起,引发了数学史上的第一次危机。第二次数学危机是由无穷小量引起的,它与微积分理论有关。17世纪牛顿(I1Newton)和莱布尼茨(G1W1Leibniz)发明的微积分一经问世,便显示出它作为一种数学工具的无穷魅力,解决了一系列与人类实践和经验密切相关的课题。但牛顿在阐述微积分理论基础的时候,一方面把无穷小量作为分母进行除法,另一方面又把它看作是零来去掉那些包含它的项,在逻辑上就陷入了诡辩的嫌疑。无穷小量既等于零又不等于零,这一悖论导致第二次数学危机的产生。第三次数学危机的出现使数学的理论基础大厦遭到了前所未有的冲击。19世纪末德国数学家康托尔(G1F1P1Cantuor)创造集合论,给数学的统一提供了一个新的基础。〔14〕然而布拉里-弗蒂(Burali-Forti)悖论、康托尔悖论以及罗素(B1A1W1Russell)悖论的相继出现再一次击碎了数学无懈可击的神话。集合论悖论对数学甚至哲学的打击是巨大的。时至今日,罗素悖论实际上并没有得到真正充分的解决。
悖论实际上是一种逻辑矛盾,它和辩证矛盾有着本质的区别。辩证矛盾中包含着对立面的统一,而这是逻辑矛盾所并不具备的。康德最早将自己发现的悖论称为二律背反,二律背反是悖论的一种极端的形式。罗素的学生莱姆塞(F1Ramsey)最早提出将悖论的类型分成集合论悖论和认识论悖论,而现代意义上较科学的划分应该将悖论分成集合论———逻辑悖论和语义悖论两类。罗素悖论是集合论———逻辑悖论的代表,而语义学悖论的典型则是说谎者悖论。
2 关于“无限”的科学
康德认为,二律背反“不是诡辩的把戏,而是理性一定会必然碰到的矛盾。”〔11〕那么,何为二律背反的根源呢?二律背反是理性在认识康德称为“第二先验理念———世界”时产生的,其根源就是理性以无限的和无条件的事物为对象,即当人们把宇宙作为一个总体(完整、无限、绝对统一)的时候,就必然产生“先验幻相”,也就是二律背反。二律背反产生的深刻根源是无限。此外,康德是用自己范畴表中的四项来表示二律背反现象的。他在理性理论中提出理性包含了矛盾的同时也具体地提出了有限与无限、简单与复杂、自由与必然等矛盾。这也说明了研究无限是产生二律背反的本质原因。当然,康德的二律背反还是不够完善的,黑格尔认为,“只承认无限是理性的对象,还是不够的,必须进一步去认识理性的对象。”〔12〕康德将有限的事物与无限的事物绝对地割裂开来,使他所追求的无限之物成为超越于经验和现象之外的不可知之物了。这就是说人类认知不仅仅应当发现无限,而且还应该去研究无限。
数学悖论的每次出现都造成了数学的困难,甚至引起了数学界和哲学界的极大恐慌,正如克莱因在罗素悖论出现时所说的:“正当数学家们不但接受了集合论并且还有大部分经典分析的时候,这些矛盾动摇了他们。作为逻辑结构,数学已处于一种悲惨的境地,数学家们以向往的心情回顾这些矛盾被认识以前的美好时代。”〔13〕如果说康德的二律背反是有限追求无限所引起的矛盾的话,那么悖论的产生无疑也是以无限为基石的。大量的科学事实已经证明,数学史上的三次危机实际上都是由无限进入数学所引起的。例如毕达哥拉斯悖论从实质上来说,就是无限概念进入数学而产生的悖论。而芝诺悖论是与无穷小的时间和空间紧紧联系着的,与无限过程有关。由此可见,第一次数学危机是因为无限进入数学而引发的,第二次数学危机的出现是因
23
自然辩证法研究 第22卷 第4期
为没有看清无限小量的本质。康托尔集合论中最著名的著作是《超穷数理论基础》,他指出“数学理论必须肯定实无穷,因为很多最基本的数学概念……事实上都是实无穷性的概念。”〔14〕由于集合本身具有无限扩张的性质,因此引起第三次数学危机的罗素悖论其最终的根源在于无限。
悖论的根源都与无限有关,这与我们考察的二律背反的根源是一致的,它们之间存在密切的联系。无限指的是无限大、无限小、无限过程。无限自诞生以来就以它无穷的魅力吸引着哲学家和数学家们去探索其深邃的奥秘。正如希尔伯特(D1Hilbert)在《论无限》中所说的“自从远古以来,无限问题就比任何其他问题更加激动人的情感,几乎没有任何其他概念如此有成效地刺激着心智。”〔15〕古希腊数学中有无限的概念,中国古代《庄子》中的“一尺之棰”也包含无限的含义。数学上要认识这无限大、无限小、无限过程就需要工具,如柯西的极限理论。柯西提出无穷小量是“以零为极限而又永不为零的变量”。柯西所创立的极限理论不仅解决了级数的收敛和发散、级数的求和,把函数展开为某种级数,特别是幂级数和三角级数等关于无穷级数的理论问题,将分析数学从集合图形和运动的直观理解中解放出来,而且使微积分中有关无限小的悖论不复存在,开始了数学理论自身的发展。
无限可分为潜无限和实无限两种类型。“所谓潜无限,就是把无限作为一种变化着、成长着、被不断地产生出来的东西来解释,它永远处在构造中,永远没有完成。它是一种潜在的,而不是一种实在。……所谓实无限,是把无限集合的整体本身作为一个现成的单位来考虑,它是已经构造完成了的东西。”〔16〕潜无限实际上是对象的过程性的体现,而实无限则是对象的完成性即结果的反映。芝诺的“二分法”、
“阿基里追不上乌龟”以及《庄子》的“一尺之棰”体现潜无限思想,而西方古代的原子学说和《庄子》中的“大一”“小一”则反映实无限思想。人类最早认识无限只是将其局限在潜无限的范围之内,如亚里士多德,他认为无限是事物的属性,无限是潜在的存在的,那时潜无限是人们在科学和常识中所理解的无限,康德二律背反的第一组命题中提到的时间和空间的无限问题也仍遵循着这种无限观。康托尔划时代的成就———集合论出现之后,康托尔的集合论就建筑在实无限的基础之上,以经典逻辑为前提构造超限集合论。以罗素为代表的逻辑主义认为数学可以还原为逻辑,每一个数学概念都可以用逻辑概念来定义,他们坚定地捍卫实无限思想。而以布劳威尔(L1E1J1Brouwer)为代表的直觉主义高举“数学存在等于被构造”的旗帜,他们绝对地排斥实无限,认为悖论的产生正是由于潜无限和实无限的盲目转换。到了以希尔伯特为代表的形式主义那里,他们既不主张也不排斥实无限,而是认为应把非有限成分作为‘理想元素’引进数学中来,在非实在的意义上承认实无限在数学中的作用。西方数学界就悖论问题引起的无限之争旷日持久,而中国的数学家们却另辟蹊径,如徐治利教授提出了“双相无限”理论,在无限问题研究上独具一格。他认为:“任何无限过程乃是实无限与潜无限的对立统一体……数学上每一无限过程,本质上都是双相无限”,这一理论实际上是辩证无限观的数学化,任何对象都既包含潜无限又包含实无限,潜无限是作为实无限的片断存在的,而实无限则是在潜无限基础上经飞跃而形成的无限总体,潜无限和实无限是辩证的对立统一体。人类对无限的这种辩证认识不断地提升着人类的抽象思维能力,从而推动着人类的认识向更高的层次迈进。
3 对“无限”的认识和认识的无限
对“无限”的认识和认识的无限,这是人的认识深层的困难。而解决这种困难人们必须正确认识无限与有限的辩证关系。一方面,有限与无限是相互包含、紧密结合的,“真正的无限毋宁是‘在别物中即是在自己中’”。〔17〕另一方面,有限和无限是可以相互转化的,任何有限的东西,自身都包含矛盾,这就是康德哲学中由知性范畴引入理性而引发的矛盾,有限的东西总要超越自身,最终达到它的对立面———无限,列宁说过;“有限自身的本性,就是超越自己,否定自己的否定,并成为无限。”〔18〕因无限而产生的二律背反将是必然的、本质的,当无限进入数学而产生的悖论也将永远存在下去,解决了旧的悖论,新的悖论还将层出不穷地出现。但我们不应该像康德那样把矛盾的出现当作“不幸之事”,矛盾的出现促使人们认识的不断提高,使人类认识向“无限”进军。
科学中所出现的悖论我们都可以将它看成是科学发展的产物,是人类认识即将进入一个新阶段的预兆。数学史上三次危机的出现证明了悖论的产生有力地推动了数学的发展,“不可公度线段”的出现迫使人们去进一步认识和理解有理数,同时整数的权威受到了质疑,希腊人转而重视几何的演绎推理,由此完成了数学思想史上的一次巨大革命———建立了几何公理体系,在此基础上,古典逻辑也随之向前迈进。魏尔施特拉斯(K1Weierstrass)采用排除无穷小量的办法来解决存在于微积分中的种种缺点,从而解决了由无穷小概念所产生的各种困难。后来集
33
康德的“二律背反”与数学的难题“悖论”
合论成为数学的重要基础,并由此推广到化学、物理、生物等学科,促进人类科学的巨大发展。而这一切均是建筑在对无限系统分析的基础之上的,“无限被推上王位,享受着大获全胜的统治,无限在它的扶摇直上中达到了惊人的高度成功。”〔19〕然而集合论悖论的出现使大批的数学家再次投身于悖论的研究,数学哲学的三大流派直觉主义、逻辑主义、形式主义在消除悖论的努力中,提出了更多崭新的数学理论,如能行性理论、类型论、证明论等,其中尤以公理化系统理论成就最大,公理化系统的雏形是由策梅罗(E1F1F1Zermelo)提出的确定性、基本集合存、分出、幂集、并集、无限、选择七条公理,加上弗兰克尔的替换公理和公认的一阶逻辑公理构成了公理化集合论的框架,并进而衍生出ZF、ZFC和B G系统。在这些理论的基础之上还产生了被称为数学和逻辑发展里程碑的哥德尔(K1G odel)不完全性定理,在推动数学发展的同时也促进了人类认识的提高,“解决悖论的过程就是发展人的认识(即发展数学)以克服历史局限性的过程。”〔20〕可以说,解决悖论的过程甚至比发现悖论的过程还要重要。在推动数学发展的同时悖论的研究也促进了逻辑学和数学哲学的发展,因此,悖论的消除对于推进人类的认识向无限发展,从而实现对无限的认识,最终推动整个科学的发展,无疑具有不可比拟的重大作用。
再次,要从本质上把握无限与有限的辩证关系还必须通过实践才能实现,这样的实践是有许许多多内容的,在这里,我们主要就建构与解构、操作与检验的实践来进行论述。
(1)建构与解构 建构一词较早出现在瑞士著名心理学家皮亚杰(J1Piaget)的认知心理学。他在研究儿童智力形成时认为,儿童认知结构的发展是在与外部环境发生相互作用的过程中完成的。这一过程即建构的过程,它涉及两个基本环节:同化和顺应。同化是指个体把外界刺激同自己原有的认知结构(也称图式)进行整合,它是认知结构数量的扩充(图式外延)。顺应是指在外部刺激下无法接受新信息而对自身原有的认知结构进行调整的过程,它是认知结构性质的改变(图式改变)。这种理论强调个体的主动性在建构认知结构中的关键作用。解构则是后结构主义的代表人物德里达解构理论中的中心名词,它颠覆了西方哲学形而上学的传统,展示了人类思维方式的崭新图景。德里达的解构其实是消除和分解结构的过程,即通过拆解人类惯有的思维、理解的模式和结构来享受无限的可能性。解构并不是否定,他同时也在提供新的可能性。建构与解构是人类思维领域内建设性和批判性精神的集中体现。对建构和解构动态分析的过程可以帮助我们建立起对无限和有限辩证关系的理解,数学史上集合论悖论的解决过程就是一个极好的说明。康托尔的集合论是本世纪数学史上的伟大发现之一,“超限基数和超限序数理论乃至整个超限集合论的建立,使人类对于无限的认识进到了一个崭新的阶段”。〔21〕然而在这个严密的理论体系中却出现了不和谐的音符,那就是先后发现的布拉里———弗尔蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论,这使康托尔所建构的集合论的严密性受到了前所未有的质疑。在此之后,就数学的可靠基础和数学命题的本质问题,数学界和哲学界展开了一场激动人心的大论战。一些新型的理论由此应运而生,其中尤以形式主义学派建构的公理化系统贡献最大,可以这么说,它是迄今为止解决以上悖论的较为理想的理论。它部分地解构了集合论当中的一些不合理因素,使人类对无限和有限的认识又向前迈进了一大步。
(2)操作与检验 操作一词进入哲学源出于美国物理学家布里奇曼(P1W1Bridgman)创立的操作主义,在他的经典著作《现代物理学的逻辑》一书中,操作是实证主义和实用主义相结合的产物,此书指出,任何科学概念都不是对客观实在的反映,它只能用操作来加以定义,它们只表征经验,惟有经验才是真实存在的。这就使最早应用于物理学理论的操作扩大到了思维领域,也即是“纸和笔”的操作。但是,这里提及的操作还必须经过检验,一系列概念必须要与操作相适应,只有借助于检验的操作才能最终被确定下来,并被操作所定义。比如数学操作,数学上的算和证就是两种最基本的操作。算是依据量和运算法则对量的关系进行操作的一种手段和法则。证是依据一些前提(已知条件)和逻辑规则进行逻辑证明的一种数学操作。算和证又是相互联系的,算达到一定程度后可以通过证把算推向更高水平。有些问题的解是否存在,可以先通过“证”去了解,然后再通过“算”把具体的解找出来。这是法国布尔巴基(N1Bourbaki)学派擅长采用的高超手段,人们可以从这样的数学操作实践中学到和移植从有限认识无限的途径。17世纪微积分刚发明时,虽然缺乏逻辑基础(无穷小量的概念含糊不清),但却由于其实用性而在许多领域被操作着,“由于这些概念被证明越来越实用,数学家们起初还忸怩作态,后来就变得肆无忌惮了。”〔22〕贝克莱尖锐的质问使数学家们再也不能回避这个问题了,他们开始检验自己的工作,重新探讨分析的逻辑困境,揭开了数学严格化运动的序幕。柯西建立的极限理论最终很好地解决了这个难题,他富有成效性的工作使得数学的真理性再次
43
自然辩证法研究 第22卷 第4期
得到了捍卫。通过实践,人类在对“无限”的认识和认识的无限的征途中,不断向前迈进。
(本文的撰写承蒙厦门大学郭金彬教授、陈嘉明教授悉心指导,深表谢意)
参考文献
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕康德1未来形而上学导论[M]1北京:商务出版社,19971120,121,121,1211
〔5〕〔6〕Immanuel Kant:Philosophical Correspondence(1775-1799)[M]1The University of Chicago,Press19701252,1961〔7〕〔17〕黑格尔.小逻辑[M]1北京:商务印书馆,19801131,1321〔8〕〔11〕康德1纯粹理性批判[M]1北京:人民出版社,20041 261,3281
〔9〕俞吾金1从康德到马克思———千年之交的哲学沉思[M]1南宁:广西师范大学出版社,20041581
〔10〕徐利治1数学方法论选讲第二版[M]1武汉:华中工学院
出版社,198811201
〔12〕姜丕之1黑格尔〈小逻辑〉浅释[M]1上海:上海人民出版社,198011361
〔13〕克莱因1古今数学思想(第四册)[M]1上海:上海科学技术出版社,198112931
〔14〕王树禾1数学思想史[M]1北京:国防工业出版社, 200312081
〔15〕〔19〕希尔伯特:论无限[A]1数学哲学[C]1北京:商务印书馆,20031212,2181
〔16〕解恩泽,徐本顺1数学思想方法[M]1济南:山东教育出版社,198912541
〔18〕列宁1哲学笔记[M]1北京:人民出版社,195611141〔20〕周述歧1数学思想与数学哲学[M]1北京:中国人民大学出版社,199313661
〔21〕张建军1数学的难题———悖论[M]1杭州:浙江科学技术出版社,19901491
〔22〕陈学云1无穷小量的命运及对数学发展动力的思考[J]1自然辩证法研究,2005(1):421
The“Antinomy”in K ant and Mathematical Tough“Paradox”
CHEN Ling
(Department of Philosophy,Xiamen University,Xiamen Fujian361005,China)
Abstract:The“antinomy”in Kant Philosophy is the contradiction caused by the introduction of perception category to rationality1And rationality has infinite connotations1The major source of paradox in mathematics is resulted from the introduction of infinit y to mathematics1antinomy and paradox have the same origin———infinity1The exclusion of antinomy and paradox will enrich people’s knowledge towards“infinity”1The dialectical relation2 ship between the finite and infinite quality can only be grasped through practice1
K ey w ords:antinomy;paradox;infinity(本文责任编辑 费多益)
(上接第8页)
刺激了新的怀疑思维,产生了新一轮的怀疑思维→问题空间重构→范式更替;二是在范式更替中产生的新信息,可能直接引发新的问题空间重构;三是在范式更替中产生的信息,对后来的某一个新的怀疑思维→问题空间重构→范式更替产生影响,又出现新一轮的变更。
总之,在怀疑思维、问题空间重构和范式更替的运动中,由于存在着信息选择、信息反馈的多样性,从而造成信息运动的随机性和多路径,因而形成怀疑思维、问题空间重构和范式更替的网状运动。
参考文献
〔1〕MW艾森克,等1认知心理学[M]1上海:华东师范大学出版社,200316071
〔2〕〔3〕〔4〕黑格尔哲学史讲演录(第三卷)[M]1北京:商务印书馆,19591119,120,1101
〔5〕钱兆华.科学究竟是什么[J]1科学技术与辩证法,1999(4): 35-381
〔6〕爱因斯坦,英费尔德1物理学的进化[M]1上海:上海科技出版社,19621591
The N et Motion of Doubt Thinking,R econstruction of
Problem Space and R eplacement of Paradigm
CHEN Xi2lei,WAN G G ang
(Department of Philosophy,Xiamen University,Xiamen Fujian361005,China)
Abstract:Doubt thinking have three characters:negative,trail,non-certainty1These characters can create reconstruction of problem space can help to break a dead lock and create the replacement of paradigm1They form a chain motion1Because the complexity of information motion in the course of sci2 entific cognition,they also appear as a net motion
K ey w ords:doubt-thinking;reconstruction of problem space;replacement of paradigm;motion of information
(本文责任编辑 王国政)
53
康德的“二律背反”与数学的难题“悖论”
历史上的三次数学危机
历史上的三次数学危机王方汉(武汉市第二十三中学430050) 在数学发展的过程中,人的认识是不断深化的.在各个历史阶段,人的认识又有一定的局限性和相对性.当一种/反常0现象用当时的数学理论解释不了,并且因此影响到数学的基础时,我们就说数学发生了危机.许多人并不赞成使用危机这个词,因为它们并没有阻碍数学的发展. 在历史上,数学曾发生过三次危机.这三次危机,从产生到消除,经历的时间各不相同,都极大地推动了数学的发展,成为数学史上的佳话. 第一次数学危机产生于公元前五世纪.那时,古希腊的毕达哥拉斯学派发现:正方形边与对角线是不可通约的,现在称之为/比达哥拉斯悖论0. /悖论0这一术语,许多中小学生恐怕是第一次见到.所谓悖论,就是指自相矛盾荒谬结论. 今天看来,两条线段不可通约,是数学中常见的合理的现象,它不过表明两条线段之比是一个无理数而已,可是,当时的古希腊人怎么会认识到这一点?!在他们眼中,各种事物的许多物理的、化学的、生物的性质都可能改变,惟其数量性质是不会变的!他们认为:万物都包含着数:数只有两种,这就是自然数和可通约的数.所以,不可通约的数是不可思议的! 第一次数学危机持续了两千多年.十九世纪,数学家哈密顿(Hamilton)、梅雷(Melay)、代德金(Dedekind)、海涅(Heine)、波雷尔(Borel)、康托尔(Cantor)和维尔斯特拉斯(Weietstrass)等正式研究了无理数,给出了无理数的严格定义,提出了一个含有有理数和无理数的新的数类)))实数,并建立了完整的实数理论.这样,就完全消除了第一次数学危机. 第二次数学危机是因为发现微积分方法而产生的.十七世纪,牛顿和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)首创了微积分.这时的微积分只有方法,没有严密的理论作为基础,许多地方存在着漏洞,还不能自圆其说.例如,牛顿当时是这样求函数y=x n的导数的: (x+v x)n=x n+n#x n-1#v x+n(n-1) 2 #x n-2#(v x)2+,+(v x)n,然后把函数的增量v y除以自变量的增量v x,得 v y v x= (x+v x)n-x n v x =n#x n-1+ n(n-1) 2 #x n-2#v x +,+nx#(v x)n-2+(v x)n-1, 最后,扔掉其中所有含v x的项,就得到函数y= x n的导数为nx n-1. 哲学家以眼光税利、思维敏捷而著称.贝克莱(Berkelg)就是这样的哲学家.他一针见血地指出:先以v x为除数,说明v x不等于零,后来又扔掉所有含v x的项,可见v x等于零,这岂不自相矛盾吗?这就是著名的/贝克莱悖论0. 现在我们知道,自变量x的增量v x是一个无穷小量.但在当时,贝克莱悖论的出现,咄咄逼人,逼得数学家们不得不认真地对待/无穷小量0,设法克服由此引起的思维上的混乱. 十九世纪,许多数学家投入到了这一工作之中,柯西(Cauchy,1789-1857)和维尔斯特拉斯的贡献最为突出.1821年,柯西建立了极限的理论,提出了/无穷小量是以零为极限但永远不为零的变量0,维尔斯特拉斯又作了进一步的改进,终于消除了贝克莱悖论,把微积分建立在坚实的极限理论之上,从而结束了第二次数学危机. 第二次数学危机的解除,与第一次数学危机的解除,两者实际上是密不分的.为解决微积分问题,必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论,加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论,这样,第一、二次数学危机就相继消除了. 一波未平,又起一波.前两次数学危机解决后不到三十年,又卷起了第三次数学危机的轩然大波. 十九世纪末和二十世纪初,德国数学家康托尔(Cantor,1845-1918)创立了集合论,初衷是为整个数学大厦奠定牢实的基础.正当人们为集合论的诞生而欣然自慰时,一串串数学悖论却冒了出来,又搅得数学家心里忐忑不安.其中,英国数学家罗素(Russell,1872-1970)于1902年提出的
数学的三次危机——第三次数学危机
三、第三次数学危机 数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的，从整体上看到现在还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论已经成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。 1897年，福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论；两年后，康托发现了很相似的悖论，它们涉及到集合论中的结果。1902年，罗素发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。 罗素，英国人，哲学家、逻辑学家、数学家。1902年著述《数学原理》，继而与怀德海合著《数学原理》(1910年～1913年)，把数学归纳为一个公理体系，是划时代的著作之一。他在很多领域都有大量著作，并于1950年获得诺贝尔文学奖。他关心社会现象，参加和平运动，开办学校。1968～1969年出版了他的自传。 罗素悖论曾被以多种形式通俗化，其中最著名的是罗索于1919年给出的，它讲的是某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他只给不自己刮胡子的人刮胡子。当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮胡子，那么他按原则就该为自己刮胡子。 罗素悖论使整个数学大厦动摇了，无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷本末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我就置于这种境地”。狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版付印，这时也把稿件抽了回来。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳恩也认为自己过去做的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。 自从在康托的集合论和发现上述矛盾之后，还产生了许多附加的悖论。集合论的现代悖论与逻辑的几个古代悖论有关系。例如公元前四世纪的欧伯利得悖论：“我现在正在做的这个陈述是假的”。如果这个陈述是真的，则它是假的；然而，如果这个陈述是假的，则它又是真的了。于是，这个陈述既不能是真的，又不能是假的，怎么也逃避不了矛盾。更早的还有埃皮门尼德(公元前6世纪，克利特人)悖论：“克利特人总是说谎的人”。只要简单分析一下，就能看出这句话也是自相矛盾的。 集合论中悖论的存在，明确地表示某些地方出了毛病。自从发现它们之后，人们发表了大量关于这个课题的文章，并且为解决它们作过大量的尝试。就数学而论，看来有一条容易的出路：人们只要把集合论建立在公理化的基础上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。 第一次这样的尝试是策梅罗于1908年做出的，以后还有多人进行了加工。但是，此程序曾受到批评，因为它只是避开了某些悖论，而未能说明这些悖论；此外，它不能保证将来不出现别种悖论。
悖论及其对数学发展的影响
悖论及其对数学发展的影响 【开场白：一个传说】一个讼师招收徒弟时约定，徒弟学成后第一场官司如果打赢，则交给师傅一两银子，如果打输，就可以不交银子。后来，弟子满师后却无所事事，迟迟不参与打官司。老讼师得不到银子，非常生气，告到县衙里，和这位弟子打官司。这位弟子却不慌不忙地说：“这场官司如果我打赢了当然不给您银子，如果打输了按照约定也不交给您银子，反正我横竖不交银子。”一句话把老讼师给气死了。 类似的： 1)我正在说谎？！！ 2)鸡与鸡蛋何为先？ 一、悖论的定义 “悖论”（英语：Paradox，俄语：Πарадокс）的字面意思是荒谬的理论，然而其内涵远没有这么简单，它是在一定理论系统前提下的看起来没有问题的矛盾。 关于悖论，目前并没有非常权威性1 的定义，以下的解释，在一定程度上是合理的。 通常认为，一个论断，如果不论是肯定还是否定它，都会导出一个与原始判断相反的结论，而要推翻它却又很难给出正当的根据时，这种论断称为悖论；或者，如果一个命题及其否定命题均可以用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确提出错误时，这种自相矛盾的命题叫做悖论。这种“定义”，比单纯从字面理解有所细化，也比较容易理解，但仍不够准确。 下述说法是A.A.富兰克尔给出的：如果某种理论的公理及其推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，我们称这个理论包含了一个悖论。这里强调了悖论是依赖于一定的理论体系的，但是，只是说，某个理论体系包含了悖论，而没有言明什么是悖论。 悖论不同于通常的诡辩或谬论。诡辩、谬论可以通过已有的理论、逻辑论述其错误的原因，是与现有理论相悖的；而悖论虽感其不妥，但从它所在的理论体系中，不能阐明其错误的原因，是与现有理论相容的。悖论是（在当时）解释不了的矛盾。 悖论蕴涵真理，但常被人们描绘为倒置的真理； 悖论富有魅力，既让您乐在其中，又使您焦躁不安，欲罢不能； 数学历史中出现的悖论，为数学的发展提供了契机。 二、悖论的起源 起源之一：芝诺悖论（公元前五世纪） 芝诺（Zenon Eleates，约公元前490年——约公元前429年）出生于意大利南部的埃利亚（Elea）城，是古希腊埃利亚学派的主要代表人物之一。他是古希腊著名哲学家巴门尼德（Parmennides）的学生。他否定现实世界的运动，信奉巴门尼德关于世界上真实的东西只能是“唯一不动的存在”的信条。在他那个时代，人们对时间和空间的看法有两种截然不同的观点。一种观点认为，空间和时间无限可分，运动是连续而又平顺的；另一种观点则认为，时间和空间是由一小段一小段不可分的部分组成，运动是间断且跳跃的。芝诺悖论是针对上述二观点而提出的。他关于运动的四个悖论，被认为是悖论的起源之一。其中前两个悖论是针对那种连续的时空观而提出的，后两个悖论则是针对间断时空观提出的。 （1） 一物体要从A点到达B D点；而要到达D点，又必先抵达其1/8处之E点。如此下去，永无止境，因此，运动不可能存在。
《四次数学危机与世界十大经典数学悖论》
《“四次”数学危机与世界十大经典数学悖论》 “四次”数学危机 第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。 最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。 我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。 第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？ 直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。 而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n，我们说，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。 第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。 我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那
数学发展史教案
数学发展史教案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
数学发展史和三大数学危机 (2个课时) 数学的发展包括数学的萌芽期、常量数学时期、变量数学时期、 近代数学时期。 一、数学的萌芽期（小学数学）主要以记数为主，还未形成独立的学科。这一时期贡献最大的国家有：中国，古巴比伦，埃及，印度。 主要贡献：十进制记数法，记数符号，三角形、梯形和圆的面积的计算，立方体和柱体的体积，截棱锥体的体积公式等。 二、常量数学时期（中学数学）这一时期又称为初等数学时期， 主要发展了算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）等。 主要代表人物:毕达哥拉斯、祖冲之、杨辉、笛卡儿、韦达等。 三、变量数学时期（大学数学）这一时期又称为高等数学时期。 主要创立了解析几何和微积分，这是数学史上最伟大的贡献。主要代表人物：牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、高斯、傅里叶。
四、近代数学时期（数学研究）20世纪40-50年代，电子计算机的出现和非欧几何的建立，使整个数学王国蓬勃发展。主要贡献： 1.纯数学方面：拓扑学（也称位置几何学、橡皮几何学。画在橡皮上的几何图形，图中的某些性质不变，如封闭性等）、泛函分析、抽象代数等。 2.应用数学方面：非标准分析、模糊数学、突变理论、计算机理论、运筹学、优选法、对策论（博奕论）、排队论等。主要代表人物：黎曼、冯.诺依曼、华罗庚、陈省身。 刚才给大家简单介绍了整个数学的发展史，实际上，数学发展到今天，并不是一帆风顺的，其中至少面临了3次大的危机。第一次是公元前5世纪（距今约2500年），古希腊毕达哥拉斯学派的理论被推翻；第二次危机是17世纪，微积分理论的基础受到质疑；第三次是19世纪，数学家罗素提出了集合理论的悖论。 首先，我们来看一下第一次数学危机——毕达哥拉斯学派的理论被推翻。 生平轶事：毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的着名数学家与哲学家。他出生在爱琴海中的萨摩斯岛（现在希腊东部小岛）的贵族家庭，自幼聪明好学。相传他小时候有一次背着木柴从街上走过，一位长者看见他捆柴的方法与别人不同，便说：“这孩子有数学奇才，将来会成为一个大学者。”毕达哥拉斯特别向往东方的智慧，经过万水千山，游历了当时世界上两个文化水准极高的文明古国——古巴比伦和古印度，吸收了阿拉伯文明和印度文明的文化。
数学史上的三大危机
数学史上的三大危机 无理数危机、无穷小是零危机和悖论危机 无理数的发现－第一次数学危机 大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯的悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可总结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这个悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时理解上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却能够由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！ 无穷小是零吗？－第二次数学危机 18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的实验过，绝大部分数学家对这个理论的可靠性是毫不怀疑的。 1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，茅头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续性就实行微分，不考虑导数及积分的存有性以及函数可否展成幂级数等等。 直到19世纪20年代，一些数学家才比较注重于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到韦尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了
几个有趣的悖论的数学辨析
几个有趣的悖论的数学辨析 数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态, 它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾, 对于这一矛盾的处理与研究, 丰富了数学的容, 促进了数学的发展。作为一名数学教师, 学习有关这方面的知识, 并进行研究, 既能提高自己的专业水平, 又能使授课容生动有趣; 作为学生了解这方面的容,不但能扩大知识面, 而且能提高学习兴趣 1 芝诺悖论 在西方的数学史上有一个非常有名的数学悖论——芝诺悖论。芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺本人既不是一位科学家, 更不是一位数学家, 芝诺的老师是埃利亚学派的创始人巴门尼德。巴门尼德是个一神论者, 他认为世界的本原是“不生不灭、完整、唯一和不动的”。但世界显然是丰富多彩、复杂纷繁的,怎么会是“唯一” 的呢?一个完全不动的世界怎么可能呢? 于是引起同时代人的反驳。芝诺为了捍为他老师的学说, 提出了一些论述。其中最有名的有四个, 历史上称为芝诺悖论。作为巴门尼德的继承人, 他力图证明, 如果承认“ 多” 和“ 运动” , 就会招致更加荒谬的结果。限于篇幅, 在此只辑录其二。 二分法: 你不能在有限的时间穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前, 你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境, 所以在任何一定的空间中都有无穷个点, 你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
阿喀琉斯追不上大乌龟: 阿喀琉斯是古希腊《荷马史诗》中一个跑得最快的大英雄, 他怎么会跑不过大乌龟呢? 假定他的速度是乌 龟的10倍, 阿喀琉斯与乌龟赛跑的路程是1千米, 让乌龟先跑1 10 千 米, 然后让阿喀琉斯去追。于是问题来了。当阿喀琉斯追到1 10 千 米的地方, 乌龟又向前跑了 1 100千米, 当阿喀琉斯又追到 1 100 千米时, 乌龟又向前跑了 1 10000千米, … …, 这样一来, 一直追下 去, 阿喀琉斯会追上大乌龟吗? 之所以说这两个论证是悖论, 是因为我们知道, 无论是谁, 不管身高身低, 只要一迈步, 都可以在有限的时间越过无穷多个点; 无论是谁, 都不会相信大英雄阿喀琉斯竟会跑不过大乌龟。然而在当时的人们的知识围, 却找不出芝诺的论证错在什么地方。 1 . 1 芝诺悖论的数学意义 芝诺的“二分法” 和“ 阿喀琉斯追不上大乌龟”的论证, 本意是要用结论的荒谬性来否定其前提关于时空的可无限分割的观点, 该两个论证与另外两个论证(“ 飞箭” 与“ 运动场” ) 组合得出了时空既是不可无限分割, 又是可以无限分割的矛盾结论。“ 芝诺悖论” 促进了以严格的思维规律为研究对象的逻辑学和以严格的求证思想为基础的数学的发展。芝诺论证问题的方法是我们今天数学中仍在使用的反证法。可以说, 这是对反证法的最早的运用。大家知道, 当一个数学命题无法直接证明时, 我们就求助于反证法。
数学悖论与三大危机
数学悖论 默认分类2010-05-20 10:20:02 阅读20 评论0 字号：大中小订阅 数学的基础是什么？ 1. 定义 2. 公理 3. 逻辑 首先说公理的陈述，这就是一个很麻烦的事情。在你的公理中一定会有很多名词，比如点，线，等等，因此似乎需要先定义这些最基本的名词。但当你尝试作这样的定义的时候，你会发现你还是无从下手，无论你怎么定义它们，你都会引入其它未定义的名词。其实在逻辑上，对最基本的名词的定义就是不可能的事情。我们采用的办法就是使用未经定义的最基本的名词来陈述公理，在公理中同时也就给出了这些对象的 属性。 再说逻辑，比如最基本，最有名的三段论。 大前提：人都会死。 小前提：亚里士多德是人。 结论：亚里士多德会死。 粗看，我们得到这个结论一点问题都没有。但你仔细想想，是什么原因我们可以使用这样的推导？我们采用这样的方法进行推导就一定不会出现问题吗？能否证明这样的推导过程就一定是正确的？其实这是一个没有办法证明的问题。但我们的实践经验告诉我们这样的推导是不会有问题的，是正确的。因此我们也同样采用公理的方法确定下来三段论的逻辑推导方法是正确的。在逻辑上，这样的例子还有很多。 由此，可以看出，数学的基础就是公理。数学只是公理集之上的推导和演绎。推导和演绎的基础仍然是公 理。 “……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。”——N·布尔巴基 一、悖论的历史与悖论的定义 悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。 在古希腊时代，克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯（约公元前6世纪）发现的“撒谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论。公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的撒谎者悖论”。在此基础上，人们构造了一个与之等价的“永恒的撒谎者悖论”。埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B.C.—430B.C.）提出的有关运动的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论）尤为著名，至今仍 余波未息。 在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辨证的思想内容。 在近代，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。在现代，则有光速悖论、双生子佯谬、EPR悖论、整体性悖论等。这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上 看则是客观矛盾在思维上的反映。 尽管悖论的历史如此悠久，但直到本世纪初，人们才真正开始专门研究悖论的本质。在此之前，悖论只能引起人们的惊恐与不安；此后，人们才逐渐认识到悖论也有其积极作用。特别是本世纪60、70年代以 来，出现了研究悖论的热潮。
数学专业考研三大方向
数学专业考研三大方向 数学专业考研有三大方向：基础数学、概率与统计精算、数学工程的科学与工程计算系。这三大方向的开设院校及研究生方向大家都了解吗。正值择校定专业的关键时期，下面详细为大家解析。 数学专业考研三大方向 1.基础数学(应用数学) 专业概况：数学系一般开设基础数学、应用数学两专业，而这两个专业方向基本是相通的，都是为培养数学和其他高科技复合型人才打下基础。基础数学学科较多地涉及：代数、拓扑、几何、微分方程、动力系统、函数论等，它的专业方向和课程设置覆盖面比较宽，理论知识所占的比重相对较大。应用数学则与其他学科综合交叉。 设有本专业的科研院校： 北京师范大学、北京邮电大学、清华大学、北京大学、中国人民大学、南京大学、吉林大学、复旦大学、武汉大学、西北大学、中国石油大学、浙江大学、中山大学、北京科技大学、上海交通大学、西安交通大学、北京理工大学、长安大学、北京科技大学、山东大学、大连理工大学。 专业背景：要求考生具备基础数学、概率论、微积极分分析、计算机理论、统计分析等学科知识。 研究方向：微分动力系统、非线性分析、复分析与几何、拓扑学、代数数论与代数几何、图论、组合数学、常微分方程、微分几何、数学物理、信息科学、计算数学、泛函分析、偏微分方程、几何分析与变分学 就业前景：硕士毕业后，因占有数学基础强的优势，利于跨专业考经济、金融、会计等热门专业的博士研究生;也可以在相关企业、事业单位和经济、管理部门从事统计调查、统计信息管理、数量分析等开发、应用和管理工作，或在科研、教育部门成为从事研究和教学工作的高级专门人才。 2.概率论与数理统计(概率与统计精算) 专业概况：概率论与数理统计是20世纪迅速发展的学科，主要研究各种随机现象的本质与内在规律，以及自然、社会等学科中不同类型数据的科学的综处理和统计推断方法。随着人类社会各个体系的日益庞大、复杂、精密以及计算机的广泛使用，概率统计在信息时代
(整理)数学史上的三次危机.
数学史上的三次危机 张清利 第一次数学危机 在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个里程碑。毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。 例如， ,22,8,6,2等都是无理数。无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。 第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段： 1． 数学已由经验科学变为演绎科学； 2． 把证明引入了数学； 3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有 更加重要的地位。这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。 中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。即算术阶段。希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。 在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。 总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。 无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立在这一假设之上的。突然之间基础坍塌了，已经建立的几何学的大部分内容必须抛弃，因为它们的证明失效了。数学基础的严重危机爆发了。这个“逻辑上的丑陋”是如此可怕，以致毕达哥拉斯学派对此严守秘密。据说，米太旁登的帕苏斯把这个秘密泄漏了出去，结果他被抛进了大海。还有一种说法是，将他逐出学派，并为他立了一个墓，说他
简述数学史上的三大危机
简述数学史上的三大危机 世界曾经发生过金融危机，比如美国的金融危机席卷全球，造成了史无前例的影响。实际上，在数学界也发生过翻天覆地的变革，那就是数学史上的三次数学危机。 在古希腊，哲学家都是格外重视数学。像无论是最早的唯物主义哲学家泰勒斯，还是最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都特别推崇数学。在那些伟大的数学家中，在数学上成就最大的，当推毕达哥拉斯。 毕达哥拉斯建立了一个带有神秘色彩的团体，被称为毕达哥拉斯学派。这个学派传授知识，研究数学，还很重视音乐。“数”与“和谐”是他们的主要哲学思想。他们认为数是万物的本源，数产生万物，数的规律统治万物，也就是“万物皆数”的观点。“万物皆数”就是万物皆可用自然数或分数表示。然而，这一观点在后来确被毕达哥拉斯自己给推翻了。这还得从一个有趣的故事说起。有一次毕达哥拉斯去朋友家做客，他发现朋友家的地板上的方形图案很有意思，凭借着他数学家头脑的直觉，得出了我们今天所学的勾股定理以及证明。然而根据勾股定理，边长为1的正方形，其对角线的长度应当是根号2，毕达哥拉斯发现根号2既不是自然数，也不是分数。这个事实的发现，是毕达哥拉斯学派的一大成就，它标志着人类思维有了更高的抽象能力。 但这一发现引起了毕达哥拉斯学派的惶恐不安。因为他们心目中的数只有自然数与自然数之比---分数。如今发现边长为1的正方形的
对角线这个明明白白地摆在那里的东西竟不能用“数”表示。这难道不是自己否定自己信仰的真理吗？于是毕达哥拉斯学派千方百计封锁消息，但是纸包不住火终于还是传开了。当时研究数学的希腊学者们便对数的重要性有了怀疑。哲学家们认为世界上的量都可以用数表示，任何两个分数，无论多么近，他们之间还有无穷对个分数，这么多的数居然还不能表示出线段上某些点的长度，数的万能的力量因为根号2的出现被否定了，这就是所谓的第一次数学危机。 第二次数学危机 我们生活着的这个世界，在一刻不停地变化着。古希腊哲学家赫拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流，因为河水在流动，当人第二次踏进同一条河流时，已经不是第一次踏进时的河水了。赫拉克利特用这个生动的比喻说明万物皆在不断变化之中，但严格说起来他的话在概念上存在疑问。当时他的对立者巴门尼德宣扬相反的观点，他主张存在是静止的，不变的，永恒的。他的得意门生芝诺还提出“飞矢不动”的诡论。然而数学是讲究概念严密的，他们的说法都在概念上存在漏洞。像什么叫“动”与“不动”，古代哲学家对于如何从逻辑上严格把握事物的运动与变化和相对静止与稳定的统一是不清楚的，直到17世纪，数学上出现了变量与函数的概念才找到了精确描述运动与变化的工具。 对于事物的运动与变化，哲学家常有这一种说法：“运动就是矛盾”，“矛盾”是一个定义的术语，它揭示出事物的共性，但没指出运动的特殊性，而数学中用映射或函数描述运动却能勾画出运动的特殊
十大数学悖论
… 十大数学悖论 1．理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 2．说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的
哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。” 如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。:
公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！ 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对用‘是’或‘不是’来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 3．跟无限相关的悖论： {1，2，3，4，5，…}
是自然数集： {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗 4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB 上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么 5.预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天
数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用
数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用 数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用 悖论是让数学家无法回避的问题。悖论出现使得数学体系出现不可靠性和失真理性，这就逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了，因而悖论在推动数学发展中的巨大作用。现在我作如下简单阐述：毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。这一伟大发现不但对毕达哥拉斯学派的致命打击，也对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”. 二百年后，欧多克索斯提出的新比例理论暂时消除悖论。一直到18世纪，当数学家证明了圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建
立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。 伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪微积分诞生，但是微积分理论是不严格的。理论都建立在无穷小分析之上，作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”.笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0,又不是0.但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。 十八世纪开始微积分理论获得了空前丰富。然而，与此同时十八世纪粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面。当时数学中出现的混乱局面了。尤其到十九世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。 使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年开始给出了分析学一系列基本概念的严格定义。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所
中国经济危机的风险数学模型的建立与分析
桂林电子科技大学第八届大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了桂林电子科技大学第八届大学生数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
参赛队员信息： 中国经济危机的风险数学模型的建立与分析 0.摘要 近年来，我国经济飞速发展，GDP、国民生产总值稳步上升。我国安全度过了2009的经济危机以及2011年的欧债危机并且继续保持了经济平稳较快发展，这是另世界刮目相看的。即便如此我们也不能放松警惕。有专家认为：我国未来十年经济危机风险大增，理由是：“1.美元进入持续升值周期；2.美联储进入加息周期；3.当前储备多，更愿大胆开大门，并认为可摆平所有冲击；4.国内进入金融解除管制时期；5.认为财政实力雄厚，所有事情可积极财政搞定；6.我国自1990年以来摆平两次大危机达成20年高速增长，自信满满。”为了定性以及定量的分析我国的经济风险，本文对我国主要的经济指标与影响经济发展的因素进行分析，并建立模型解决了几个较典型的问题。 问题一：认为选取的经济指标具有代表性，数据真实可信。我们根据近十年经济的各项指标做了相关的图表，给出了几个重要经济指标的分布以及变化趋势，继而分析出了几个经济指标的特征。
数学上的悖论谬论
这篇关于数学上的悖论谬论的论证的文章是由北大中文系Matrix67所写，读来感觉很有意思，和大家一起分享，来一场头脑风暴。 1=2？史上最经典的“证明” 设a = b，则a·b = a^2，等号两边同时减去b^2就有a·b - b^2 = a^2 - b^2。注意，这个等式的左边可以提出一个b，右边是一个平方差，于是有b·(a - b) = (a + b)(a - b)。约掉(a - b)有b = a + b。然而a = b，因此b = b + b，也即b = 2b。约掉b，得1 =2。 这可能是有史以来最经典的谬证了。TedChiang在他的短篇科幻小说DivisionbyZero中写到： 引用 There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with somedefinitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equalstwo. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proofhas stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allowsone to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real orimaginary, rational or irrational—are equal. 这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以a - b的，因为我们假设了a = b，也就是说a - b是等于0的。 无穷级数的力量(1) 小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？ 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + … 一方面： 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + … = [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + … = 0 + 0 + 0 + …
希帕索斯悖论与第一次数学危机
希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。 在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学 信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个
成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课