高等代数方法：
利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数
幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n s
n s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1 都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n
s n s s q q q 2222121 ，
素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.
可以想象，2的出现对于毕达哥拉斯学派是一个致命的打击。 “数即万物”的世界观被彻底地动摇了。由此引发了数学的第一次危机。据说，为了维护学派的权威，希帕索斯被投入海中淹死。反观这次数学危机的产生，其实质是当时数学家的思维囿于错误的“数即万物”哲学思想，反映了当时数学家缺乏反叛精神，以及反映了哲学、逻辑与数学之间有紧密的联系, 正确的哲学思想对数学的发展具有十分重要的指导意义。
关于第一次数学危机的产生，还有一个悖论不得不被提及——“芝诺悖论”。芝诺悖论的主要内容如下
第一，“二分法”。运动着的东西在到达目的地之前须先完成行程的一半，而在完成行程的一半后，还须完成行程的一半的一半……如此分割，乃至无穷，因而它与目的地之间的距离是无限的，永远也达不到目的地。
第二，“阿基里斯永远追不上乌龟”。阿基里斯是希腊跑得最快的英雄，而乌龟则爬得最慢。但是芝诺却证明，在赛跑中最快的永远赶不上最慢的，因为追赶者与被追赶者同时开始运动，而追赶者必须首先到达被追赶者起步的那一点，如此类推，他们之间存在着无限的距离，所以被追赶者必定永远领先。
第三，“飞矢不动”。任何物体都要占有一定的空间，离开自己的空间就意味着失去了它的存在。飞矢通过一段路程的时间可被分成无数瞬间，在每一瞬间，飞矢都占据着一个与自己大小相同的空间，由于飞矢始终在自己的空间之中，因而它是静止不动的。
第四，“运动场”。有两排物体，大小相同，数目相等，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点，当它们以相同的速度作方向相反的运动时，就会在时间上出现矛盾。芝诺认为这可以证明一半的时间等于一倍的时间。
以上四条悖论从根本上挑战了毕达哥拉斯学派所一直贯彻的度量和计算方式。①
由此看出，第一次数学危机的实质也在于当时的数域的不完备性。
（三）危机的解决及其影响
第一个无理数“根号2”的出现②不仅彻底否定了“数即万物”的哲学观，更重要的是引发了更多数学家对数学进一步探索与研究。为了解决这次危机，希腊数学家毕达哥拉斯的学生阿契塔和欧多克索斯以及柏拉图给出两个相等的定义，并且与公度无关。也即是说，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽的它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓数学危机就不复存在了。
在这次危机的产生与解决中，无理数的出现、不可公度量的出现都大大地扩大了数学的范围，加深了对数学的认识以及对数学思想的深刻感受，同时还极大的推动了数学及其相关科学的发展。
主要的影响有：
首先，无理数的诞生，是人类历史上具有革命性的历史事件，将数的领域从有理数扩充成了实数，对数学和哲学发展都产生了深刻的影响；
其次，第一次数学危机刺激了数学和逻辑学的发展。第一次数学危机后出版两本影响至今的经典著作：一是关于数学的第一本是欧几里德的《几何原本》，二是关于逻辑学问题的第一本经典著作——亚里士多德的《工具论》。这两本著作标志着公理体系的形成。
①摘自百度百科
②存在另外一种说法称，据说, 正五边形的边与对角线之比是最先被发现的无理数
二、“贝克莱悖论”与第二次数学危机
（一）背景
17世纪，随着社会生产力的发展，西方在天文、力学、光学等方面都获得一些新发现。比如，德国天文学家开普勒发现行星沿着椭圆轨道运行；意大利科学家伽利略发现投掷物体沿着抛物线运动；……这些都成为有力的推动力，激发起人们对曲线研究的热情。1637年，解析几何的创立更是直接促使了微积分的诞生，并且，在此之后，数学更是迎来了空前的繁荣期。
由于微积分的出现，人们在天文、力学、光学等方面都取得了质的飞越！甚至出现了“结果与经验”先行，而理论基础落后的现象。这也为第二次数学危机的出现埋下了“伏笔”。
关于第二次数学危机的产生背景，芝诺悖论又一次被提及，详见上文（一、
2）。用牛顿、莱布尼茨的方法求瞬时速度，最大的问题是t ?到底是不是0？在给定的瞬间，t ?和s ?都应是0.但0/0没有意义。因为，若t ?和s ?都应是0，从而导致“飞矢不动”悖论；另一方面，如果t ?和s ?都不是0，则无论它们多么小也得不到精确的瞬时速度。这就陷入了“阿基里斯悖论”。芝诺悖论曾使第一次数学危机达到顶点，又能以另一种方式引发第二次数学危机。[1]
（二）“贝克莱悖论”（即危机的产生和实质）
公元17世纪，牛顿和莱布尼兹分别创立了各自的微积分理论（牛顿的理论也称为“流术数”），微积分能提示和解释许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视。然而，因为微积分才刚刚建立起来，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能自圆其说。[2] 以牛顿当时求n
y x =的导数为例
()()()()21212n n n n n n n x x x n x x x x x --+??+?=+???+???++?????
，然后用自变量的增量x ?除以函数的增量y ?，得： ()()()()211212n n n n n n x x x n n y n x x x n x x x x x ----??+?--?????==?+???++??+???????，最后扔掉其中含有无穷小量的x ?的项，即得到函数n y x =的导数为'1n y nx -=。
就是这样一个求导过程，却被当时一位哲学家“嘲讽”般地批判了，他就是贝克莱。贝克莱指出：
“先用△x 为除数除以△y ，说明△x 不等于零，而后又扔掉含有△x 的项，则又说明△x 等于零，这岂不是自相矛盾吗？”
针对牛顿的无穷小理论，贝克莱更是讽刺为“逝去的量的鬼魂”，他认为微
积分是依靠双重的错误得到了正确的结果，说微积分的推导是“分明的诡辩”。
[3]
贝克莱数学上的悖论, 源于他的哲学上的悖论认知。比如，他的著名观点“存在就是被感知”，就包含了存在、感知、观念、精神以及上帝。尽管贝克莱的思想带有浓重的宗教思想，但他对牛顿的质疑却得到了许多人的赞同，就连许多数学同行也抱怨, 他们无法理解无穷小量怎样和0有区别,且质问为什么无穷小量的和能是有限的量以及高阶微分的意义和存在,推理过程中为什么舍弃无穷小量等等[4]
几乎与此同时，同时贝克莱还指出莱布尼茨的微积分理论中“忽略高阶无穷小消除误差”的做法所得相互的结论，是从错误的原理出发通过“错误的抵消”获得的等等。
由第二次数学危机的产生过程可以看出，正是由于“无穷小”概念的不严密性导致了这次危机的产生。也即是说，第二次数学危机的实质也正是极限理论的不严密与不完备。
（三）危机的解决及其影响
第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量△x，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一危机，在初期，经过欧拉、拉格朗日等人的努力,微积分取得了一些进展。直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西采用的ε－δ方法刻画无穷小，把无穷小定义为以0为极限的变量，沿用到今，无穷小被极限代替了。认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念。
后来威尔斯特拉斯又把它明确化，给出了极限的严格定义，建立了极限理论，这样就使微积分建立在极限基础之上了。考查极限理论的基础中，经过代德金、康托尔、海涅、外尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了实数理论；在考查实数理论的基础时，康托尔又创立了集合论。这样有了极限理论、实数理论和集合论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，从而结束了二百多年的纷乱争论局面，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。
危机的解决，同时也是危机给数学界带来的深刻影响！
三、“罗素悖论”与第三次数学危机
（一）背景
第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。
十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是产生危机的直接来源。
集合论的诞生可以说是在1873年年底。1873年11月，康托尔在和戴德金的通信中提出了一个问题，这个问题使他从以前关于数学分析的研究转到一个新方向。他认为，有理数的集合是可以“数”的，也就是可以和自然数的集合成一对一的对应。但是他不知道，对于实数集合这种一对一的对应是否能办到。他相信不能有一对一的对应，但是他“讲不出什么理由”。
不久之后，他承认他“没有认真地考虑这个问题，因为它似乎没有什么价值”。接着他又补充一句，“要是你认为它因此不值得再花费力气，那我就会完全赞同”。可是，康托尔又考虑起集合的映射问题来。很快，他在1873年12月7日又写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的了，这一天可以看成是集合论的诞生日。
集合论是数学上最具革命性的理论,初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础。1900年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国大数学家庞加莱兴奋的宣布：“我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。”[5]
然而，就在这次会议后不久，一场巨大的数学危机已经悄然而至。
（二）“罗素悖论”（即危机的产生）
正当人们为集合论的诞生而欢欣鼓舞之时,一串串数学悖论却冒了出来。包括了首先提出悖论的“布拉里·福蒂悖论”，后来的“罗素悖论”、“理查德悖论”以及“培里悖论”等。其中英国数学家罗素1902年提出的悖论影响最大。
“罗素悖论”的内容是这样的：
设集合B是一切不以自身为元素的集合所组成的集合，问：B是否属于B？若B属于B，则B 是B的元素，于是B不属于自身，即B不属于B；反之，若B不属于B，则B不是B的元素，于是B 属于自己，即B属于B。这样，利用集合的概念，罗素导出了——集合B不属于B当且仅当集合B属于B时成立的悖论。
对于这一悖论的阐述，罗素自己还给出了“通俗版”——“理发师悖论”：
理发师宣布了这样一条原则：他只为村子里不给自己刮胡子的人刮胡子。那么现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来刮？。如果他自己给自己刮胡子，那么他就是村子里给自己刮胡子的人，根据他的原则，他就不应给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是村子里不给自己刮胡子的人，那么又按他的原则他就该为自己刮胡子。同样产生了这样的悖论：理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮胡子。
康托尔创立集合论的初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础，但一系列的悖论的产生，尤其是罗素悖论的提出，毫无疑问地动摇了数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。
（三）危机的解决及其影响
危机出现后，摆在当时数学家们面前的路只有两条——一是抛弃集合论，再寻找新的理论基础；二是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。经过探讨，数学家们发现，原有的集合论还是有许多有价值的元素，因此，他们选择了第二条路。
为了从根本上消除集合论中出现的各种悖论，特别是罗素悖论，许多数学家进行了不懈的努力。如以罗素为主要代表的逻辑主义学派[6],提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，从逻辑上保证集合的纯粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、冯·诺伊曼等人的补充形成了一
个完整的集合论公理体系（ZFC系统）[7]。在ZFC系统中，“集合”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条公理。ZFC系统的建立，消除了罗素悖论为代表的一系列集合悖论，也基本解决了第三次数学危机。
尽管悖论消除了，但数学的确定性却在一步一步丧失，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论提出后形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却还不知道圈内有没有狼”。所以第三次危机表面上被解决了，但实质上更深刻地以其它形式延续。
四、三次数学危机与“无穷”的联系
反观三次数学危机的产生以及实质，我们不难发现“无穷”思想的影子。
第一次数学危机的实质是不认识无理数，而无理数也是无限不循环小数，可以看做无穷个有理数组成的数列的极限；第二次数学危机的实质是极限理论的基础不严密。而极限正是“有穷过渡到无穷”的重要手段，贝克莱悖论的关键也正是出在对“无穷小量”的定义上；第三次数学危机的关键是集合论的完备性，而集合论也正是针对有穷集合与无穷集合的讨论，一系列的悖论也是涉及到无穷多个集合
现在，我们可以总结说，三次数学危机都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有关。三次数学危机的产生也说明了，由于人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下的思维，因此一旦遇到无穷时，应当格外注意。
五、结语
三次数学危机已经过去，但他们在数学史上留下了浓墨重彩的一笔，对数学思维、文化等多方面都做出了不可估量的贡献，产生了深远的影响。
参考文献
[1]洪辛.《芝诺悖论与数学危机》[J].1986,(02)
[2]华南师范大学陈基耿《数学悖论与三次数学危机》
[3]周勇.第2次数学危机的影响和启示[J].数学通讯,2005,(13):47.
[4]刘大早.《贝克莱的数学悖论思想》[J].湘潭师范学院学报(社会科学版).2009,(02).
[5]王庚.数学怪论[A].数学文化与数学教育——数学文化报告集[C].北京:科学出版社,2004.13～25
[6] 张怀德.数学危机与数学发展[J].甘肃高师学报,2004,9(2):60～62.
[7]王方汉.历史上的三次数学危机[J].数学通报,2002,(5):42～43.
历史上的三次数学危机
历史上的三次数学危机王方汉(武汉市第二十三中学430050) 在数学发展的过程中,人的认识是不断深化的.在各个历史阶段,人的认识又有一定的局限性和相对性.当一种/反常0现象用当时的数学理论解释不了,并且因此影响到数学的基础时,我们就说数学发生了危机.许多人并不赞成使用危机这个词,因为它们并没有阻碍数学的发展. 在历史上,数学曾发生过三次危机.这三次危机,从产生到消除,经历的时间各不相同,都极大地推动了数学的发展,成为数学史上的佳话. 第一次数学危机产生于公元前五世纪.那时,古希腊的毕达哥拉斯学派发现:正方形边与对角线是不可通约的,现在称之为/比达哥拉斯悖论0. /悖论0这一术语,许多中小学生恐怕是第一次见到.所谓悖论,就是指自相矛盾荒谬结论. 今天看来,两条线段不可通约,是数学中常见的合理的现象,它不过表明两条线段之比是一个无理数而已,可是,当时的古希腊人怎么会认识到这一点?!在他们眼中,各种事物的许多物理的、化学的、生物的性质都可能改变,惟其数量性质是不会变的!他们认为:万物都包含着数:数只有两种,这就是自然数和可通约的数.所以,不可通约的数是不可思议的! 第一次数学危机持续了两千多年.十九世纪,数学家哈密顿(Hamilton)、梅雷(Melay)、代德金(Dedekind)、海涅(Heine)、波雷尔(Borel)、康托尔(Cantor)和维尔斯特拉斯(Weietstrass)等正式研究了无理数,给出了无理数的严格定义,提出了一个含有有理数和无理数的新的数类)))实数,并建立了完整的实数理论.这样,就完全消除了第一次数学危机. 第二次数学危机是因为发现微积分方法而产生的.十七世纪,牛顿和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)首创了微积分.这时的微积分只有方法,没有严密的理论作为基础,许多地方存在着漏洞,还不能自圆其说.例如,牛顿当时是这样求函数y=x n的导数的: (x+v x)n=x n+n#x n-1#v x+n(n-1) 2 #x n-2#(v x)2+,+(v x)n,然后把函数的增量v y除以自变量的增量v x,得 v y v x= (x+v x)n-x n v x =n#x n-1+ n(n-1) 2 #x n-2#v x +,+nx#(v x)n-2+(v x)n-1, 最后,扔掉其中所有含v x的项,就得到函数y= x n的导数为nx n-1. 哲学家以眼光税利、思维敏捷而著称.贝克莱(Berkelg)就是这样的哲学家.他一针见血地指出:先以v x为除数,说明v x不等于零,后来又扔掉所有含v x的项,可见v x等于零,这岂不自相矛盾吗?这就是著名的/贝克莱悖论0. 现在我们知道,自变量x的增量v x是一个无穷小量.但在当时,贝克莱悖论的出现,咄咄逼人,逼得数学家们不得不认真地对待/无穷小量0,设法克服由此引起的思维上的混乱. 十九世纪,许多数学家投入到了这一工作之中,柯西(Cauchy,1789-1857)和维尔斯特拉斯的贡献最为突出.1821年,柯西建立了极限的理论,提出了/无穷小量是以零为极限但永远不为零的变量0,维尔斯特拉斯又作了进一步的改进,终于消除了贝克莱悖论,把微积分建立在坚实的极限理论之上,从而结束了第二次数学危机. 第二次数学危机的解除,与第一次数学危机的解除,两者实际上是密不分的.为解决微积分问题,必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论,加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论,这样,第一、二次数学危机就相继消除了. 一波未平,又起一波.前两次数学危机解决后不到三十年,又卷起了第三次数学危机的轩然大波. 十九世纪末和二十世纪初,德国数学家康托尔(Cantor,1845-1918)创立了集合论,初衷是为整个数学大厦奠定牢实的基础.正当人们为集合论的诞生而欣然自慰时,一串串数学悖论却冒了出来,又搅得数学家心里忐忑不安.其中,英国数学家罗素(Russell,1872-1970)于1902年提出的
数学的三次危机——第三次数学危机
三、第三次数学危机 数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的，从整体上看到现在还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论已经成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。 1897年，福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论；两年后，康托发现了很相似的悖论，它们涉及到集合论中的结果。1902年，罗素发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。 罗素，英国人，哲学家、逻辑学家、数学家。1902年著述《数学原理》，继而与怀德海合著《数学原理》(1910年～1913年)，把数学归纳为一个公理体系，是划时代的著作之一。他在很多领域都有大量著作，并于1950年获得诺贝尔文学奖。他关心社会现象，参加和平运动，开办学校。1968～1969年出版了他的自传。 罗素悖论曾被以多种形式通俗化，其中最著名的是罗索于1919年给出的，它讲的是某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他只给不自己刮胡子的人刮胡子。当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮胡子，那么他按原则就该为自己刮胡子。 罗素悖论使整个数学大厦动摇了，无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷本末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我就置于这种境地”。狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版付印，这时也把稿件抽了回来。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳恩也认为自己过去做的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。 自从在康托的集合论和发现上述矛盾之后，还产生了许多附加的悖论。集合论的现代悖论与逻辑的几个古代悖论有关系。例如公元前四世纪的欧伯利得悖论：“我现在正在做的这个陈述是假的”。如果这个陈述是真的，则它是假的；然而，如果这个陈述是假的，则它又是真的了。于是，这个陈述既不能是真的，又不能是假的，怎么也逃避不了矛盾。更早的还有埃皮门尼德(公元前6世纪，克利特人)悖论：“克利特人总是说谎的人”。只要简单分析一下，就能看出这句话也是自相矛盾的。 集合论中悖论的存在，明确地表示某些地方出了毛病。自从发现它们之后，人们发表了大量关于这个课题的文章，并且为解决它们作过大量的尝试。就数学而论，看来有一条容易的出路：人们只要把集合论建立在公理化的基础上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。 第一次这样的尝试是策梅罗于1908年做出的，以后还有多人进行了加工。但是，此程序曾受到批评，因为它只是避开了某些悖论，而未能说明这些悖论；此外，它不能保证将来不出现别种悖论。
悖论及其对数学发展的影响
悖论及其对数学发展的影响 【开场白：一个传说】一个讼师招收徒弟时约定，徒弟学成后第一场官司如果打赢，则交给师傅一两银子，如果打输，就可以不交银子。后来，弟子满师后却无所事事，迟迟不参与打官司。老讼师得不到银子，非常生气，告到县衙里，和这位弟子打官司。这位弟子却不慌不忙地说：“这场官司如果我打赢了当然不给您银子，如果打输了按照约定也不交给您银子，反正我横竖不交银子。”一句话把老讼师给气死了。 类似的： 1)我正在说谎？！！ 2)鸡与鸡蛋何为先？ 一、悖论的定义 “悖论”（英语：Paradox，俄语：Πарадокс）的字面意思是荒谬的理论，然而其内涵远没有这么简单，它是在一定理论系统前提下的看起来没有问题的矛盾。 关于悖论，目前并没有非常权威性1 的定义，以下的解释，在一定程度上是合理的。 通常认为，一个论断，如果不论是肯定还是否定它，都会导出一个与原始判断相反的结论，而要推翻它却又很难给出正当的根据时，这种论断称为悖论；或者，如果一个命题及其否定命题均可以用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确提出错误时，这种自相矛盾的命题叫做悖论。这种“定义”，比单纯从字面理解有所细化，也比较容易理解，但仍不够准确。 下述说法是A.A.富兰克尔给出的：如果某种理论的公理及其推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，我们称这个理论包含了一个悖论。这里强调了悖论是依赖于一定的理论体系的，但是，只是说，某个理论体系包含了悖论，而没有言明什么是悖论。 悖论不同于通常的诡辩或谬论。诡辩、谬论可以通过已有的理论、逻辑论述其错误的原因，是与现有理论相悖的；而悖论虽感其不妥，但从它所在的理论体系中，不能阐明其错误的原因，是与现有理论相容的。悖论是（在当时）解释不了的矛盾。 悖论蕴涵真理，但常被人们描绘为倒置的真理； 悖论富有魅力，既让您乐在其中，又使您焦躁不安，欲罢不能； 数学历史中出现的悖论，为数学的发展提供了契机。 二、悖论的起源 起源之一：芝诺悖论（公元前五世纪） 芝诺（Zenon Eleates，约公元前490年——约公元前429年）出生于意大利南部的埃利亚（Elea）城，是古希腊埃利亚学派的主要代表人物之一。他是古希腊著名哲学家巴门尼德（Parmennides）的学生。他否定现实世界的运动，信奉巴门尼德关于世界上真实的东西只能是“唯一不动的存在”的信条。在他那个时代，人们对时间和空间的看法有两种截然不同的观点。一种观点认为，空间和时间无限可分，运动是连续而又平顺的；另一种观点则认为，时间和空间是由一小段一小段不可分的部分组成，运动是间断且跳跃的。芝诺悖论是针对上述二观点而提出的。他关于运动的四个悖论，被认为是悖论的起源之一。其中前两个悖论是针对那种连续的时空观而提出的，后两个悖论则是针对间断时空观提出的。 （1） 一物体要从A点到达B D点；而要到达D点，又必先抵达其1/8处之E点。如此下去，永无止境，因此，运动不可能存在。
《四次数学危机与世界十大经典数学悖论》
《“四次”数学危机与世界十大经典数学悖论》 “四次”数学危机 第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。 最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。 我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。 第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？ 直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。 而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n，我们说，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。 第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。 我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那
数学发展史教案
数学发展史教案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
数学发展史和三大数学危机 (2个课时) 数学的发展包括数学的萌芽期、常量数学时期、变量数学时期、 近代数学时期。 一、数学的萌芽期（小学数学）主要以记数为主，还未形成独立的学科。这一时期贡献最大的国家有：中国，古巴比伦，埃及，印度。 主要贡献：十进制记数法，记数符号，三角形、梯形和圆的面积的计算，立方体和柱体的体积，截棱锥体的体积公式等。 二、常量数学时期（中学数学）这一时期又称为初等数学时期， 主要发展了算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）等。 主要代表人物:毕达哥拉斯、祖冲之、杨辉、笛卡儿、韦达等。 三、变量数学时期（大学数学）这一时期又称为高等数学时期。 主要创立了解析几何和微积分，这是数学史上最伟大的贡献。主要代表人物：牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、高斯、傅里叶。
四、近代数学时期（数学研究）20世纪40-50年代，电子计算机的出现和非欧几何的建立，使整个数学王国蓬勃发展。主要贡献： 1.纯数学方面：拓扑学（也称位置几何学、橡皮几何学。画在橡皮上的几何图形，图中的某些性质不变，如封闭性等）、泛函分析、抽象代数等。 2.应用数学方面：非标准分析、模糊数学、突变理论、计算机理论、运筹学、优选法、对策论（博奕论）、排队论等。主要代表人物：黎曼、冯.诺依曼、华罗庚、陈省身。 刚才给大家简单介绍了整个数学的发展史，实际上，数学发展到今天，并不是一帆风顺的，其中至少面临了3次大的危机。第一次是公元前5世纪（距今约2500年），古希腊毕达哥拉斯学派的理论被推翻；第二次危机是17世纪，微积分理论的基础受到质疑；第三次是19世纪，数学家罗素提出了集合理论的悖论。 首先，我们来看一下第一次数学危机——毕达哥拉斯学派的理论被推翻。 生平轶事：毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的着名数学家与哲学家。他出生在爱琴海中的萨摩斯岛（现在希腊东部小岛）的贵族家庭，自幼聪明好学。相传他小时候有一次背着木柴从街上走过，一位长者看见他捆柴的方法与别人不同，便说：“这孩子有数学奇才，将来会成为一个大学者。”毕达哥拉斯特别向往东方的智慧，经过万水千山，游历了当时世界上两个文化水准极高的文明古国——古巴比伦和古印度，吸收了阿拉伯文明和印度文明的文化。
数学史上的三大危机
数学史上的三大危机 无理数危机、无穷小是零危机和悖论危机 无理数的发现－第一次数学危机 大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯的悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可总结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这个悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时理解上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却能够由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！ 无穷小是零吗？－第二次数学危机 18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的实验过，绝大部分数学家对这个理论的可靠性是毫不怀疑的。 1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，茅头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续性就实行微分，不考虑导数及积分的存有性以及函数可否展成幂级数等等。 直到19世纪20年代，一些数学家才比较注重于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到韦尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了
数学悖论与三大危机
数学悖论 默认分类2010-05-20 10:20:02 阅读20 评论0 字号：大中小订阅 数学的基础是什么？ 1. 定义 2. 公理 3. 逻辑 首先说公理的陈述，这就是一个很麻烦的事情。在你的公理中一定会有很多名词，比如点，线，等等，因此似乎需要先定义这些最基本的名词。但当你尝试作这样的定义的时候，你会发现你还是无从下手，无论你怎么定义它们，你都会引入其它未定义的名词。其实在逻辑上，对最基本的名词的定义就是不可能的事情。我们采用的办法就是使用未经定义的最基本的名词来陈述公理，在公理中同时也就给出了这些对象的 属性。 再说逻辑，比如最基本，最有名的三段论。 大前提：人都会死。 小前提：亚里士多德是人。 结论：亚里士多德会死。 粗看，我们得到这个结论一点问题都没有。但你仔细想想，是什么原因我们可以使用这样的推导？我们采用这样的方法进行推导就一定不会出现问题吗？能否证明这样的推导过程就一定是正确的？其实这是一个没有办法证明的问题。但我们的实践经验告诉我们这样的推导是不会有问题的，是正确的。因此我们也同样采用公理的方法确定下来三段论的逻辑推导方法是正确的。在逻辑上，这样的例子还有很多。 由此，可以看出，数学的基础就是公理。数学只是公理集之上的推导和演绎。推导和演绎的基础仍然是公 理。 “……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。”——N·布尔巴基 一、悖论的历史与悖论的定义 悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。 在古希腊时代，克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯（约公元前6世纪）发现的“撒谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论。公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的撒谎者悖论”。在此基础上，人们构造了一个与之等价的“永恒的撒谎者悖论”。埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B.C.—430B.C.）提出的有关运动的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论）尤为著名，至今仍 余波未息。 在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辨证的思想内容。 在近代，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。在现代，则有光速悖论、双生子佯谬、EPR悖论、整体性悖论等。这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上 看则是客观矛盾在思维上的反映。 尽管悖论的历史如此悠久，但直到本世纪初，人们才真正开始专门研究悖论的本质。在此之前，悖论只能引起人们的惊恐与不安；此后，人们才逐渐认识到悖论也有其积极作用。特别是本世纪60、70年代以 来，出现了研究悖论的热潮。
数学专业考研三大方向
数学专业考研三大方向 数学专业考研有三大方向：基础数学、概率与统计精算、数学工程的科学与工程计算系。这三大方向的开设院校及研究生方向大家都了解吗。正值择校定专业的关键时期，下面详细为大家解析。 数学专业考研三大方向 1.基础数学(应用数学) 专业概况：数学系一般开设基础数学、应用数学两专业，而这两个专业方向基本是相通的，都是为培养数学和其他高科技复合型人才打下基础。基础数学学科较多地涉及：代数、拓扑、几何、微分方程、动力系统、函数论等，它的专业方向和课程设置覆盖面比较宽，理论知识所占的比重相对较大。应用数学则与其他学科综合交叉。 设有本专业的科研院校： 北京师范大学、北京邮电大学、清华大学、北京大学、中国人民大学、南京大学、吉林大学、复旦大学、武汉大学、西北大学、中国石油大学、浙江大学、中山大学、北京科技大学、上海交通大学、西安交通大学、北京理工大学、长安大学、北京科技大学、山东大学、大连理工大学。 专业背景：要求考生具备基础数学、概率论、微积极分分析、计算机理论、统计分析等学科知识。 研究方向：微分动力系统、非线性分析、复分析与几何、拓扑学、代数数论与代数几何、图论、组合数学、常微分方程、微分几何、数学物理、信息科学、计算数学、泛函分析、偏微分方程、几何分析与变分学 就业前景：硕士毕业后，因占有数学基础强的优势，利于跨专业考经济、金融、会计等热门专业的博士研究生;也可以在相关企业、事业单位和经济、管理部门从事统计调查、统计信息管理、数量分析等开发、应用和管理工作，或在科研、教育部门成为从事研究和教学工作的高级专门人才。 2.概率论与数理统计(概率与统计精算) 专业概况：概率论与数理统计是20世纪迅速发展的学科，主要研究各种随机现象的本质与内在规律，以及自然、社会等学科中不同类型数据的科学的综处理和统计推断方法。随着人类社会各个体系的日益庞大、复杂、精密以及计算机的广泛使用，概率统计在信息时代
几个有趣的悖论的数学辨析
几个有趣的悖论的数学辨析 数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态, 它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾, 对于这一矛盾的处理与研究, 丰富了数学的容, 促进了数学的发展。作为一名数学教师, 学习有关这方面的知识, 并进行研究, 既能提高自己的专业水平, 又能使授课容生动有趣; 作为学生了解这方面的容,不但能扩大知识面, 而且能提高学习兴趣 1 芝诺悖论 在西方的数学史上有一个非常有名的数学悖论——芝诺悖论。芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺本人既不是一位科学家, 更不是一位数学家, 芝诺的老师是埃利亚学派的创始人巴门尼德。巴门尼德是个一神论者, 他认为世界的本原是“不生不灭、完整、唯一和不动的”。但世界显然是丰富多彩、复杂纷繁的,怎么会是“唯一” 的呢?一个完全不动的世界怎么可能呢? 于是引起同时代人的反驳。芝诺为了捍为他老师的学说, 提出了一些论述。其中最有名的有四个, 历史上称为芝诺悖论。作为巴门尼德的继承人, 他力图证明, 如果承认“ 多” 和“ 运动” , 就会招致更加荒谬的结果。限于篇幅, 在此只辑录其二。 二分法: 你不能在有限的时间穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前, 你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境, 所以在任何一定的空间中都有无穷个点, 你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
阿喀琉斯追不上大乌龟: 阿喀琉斯是古希腊《荷马史诗》中一个跑得最快的大英雄, 他怎么会跑不过大乌龟呢? 假定他的速度是乌 龟的10倍, 阿喀琉斯与乌龟赛跑的路程是1千米, 让乌龟先跑1 10 千 米, 然后让阿喀琉斯去追。于是问题来了。当阿喀琉斯追到1 10 千 米的地方, 乌龟又向前跑了 1 100千米, 当阿喀琉斯又追到 1 100 千米时, 乌龟又向前跑了 1 10000千米, … …, 这样一来, 一直追下 去, 阿喀琉斯会追上大乌龟吗? 之所以说这两个论证是悖论, 是因为我们知道, 无论是谁, 不管身高身低, 只要一迈步, 都可以在有限的时间越过无穷多个点; 无论是谁, 都不会相信大英雄阿喀琉斯竟会跑不过大乌龟。然而在当时的人们的知识围, 却找不出芝诺的论证错在什么地方。 1 . 1 芝诺悖论的数学意义 芝诺的“二分法” 和“ 阿喀琉斯追不上大乌龟”的论证, 本意是要用结论的荒谬性来否定其前提关于时空的可无限分割的观点, 该两个论证与另外两个论证(“ 飞箭” 与“ 运动场” ) 组合得出了时空既是不可无限分割, 又是可以无限分割的矛盾结论。“ 芝诺悖论” 促进了以严格的思维规律为研究对象的逻辑学和以严格的求证思想为基础的数学的发展。芝诺论证问题的方法是我们今天数学中仍在使用的反证法。可以说, 这是对反证法的最早的运用。大家知道, 当一个数学命题无法直接证明时, 我们就求助于反证法。
(整理)数学史上的三次危机.
数学史上的三次危机 张清利 第一次数学危机 在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个里程碑。毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。 例如， ,22,8,6,2等都是无理数。无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。 第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段： 1． 数学已由经验科学变为演绎科学； 2． 把证明引入了数学； 3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有 更加重要的地位。这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。 中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。即算术阶段。希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。 在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。 总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。 无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立在这一假设之上的。突然之间基础坍塌了，已经建立的几何学的大部分内容必须抛弃，因为它们的证明失效了。数学基础的严重危机爆发了。这个“逻辑上的丑陋”是如此可怕，以致毕达哥拉斯学派对此严守秘密。据说，米太旁登的帕苏斯把这个秘密泄漏了出去，结果他被抛进了大海。还有一种说法是，将他逐出学派，并为他立了一个墓，说他
简述数学史上的三大危机
简述数学史上的三大危机 世界曾经发生过金融危机，比如美国的金融危机席卷全球，造成了史无前例的影响。实际上，在数学界也发生过翻天覆地的变革，那就是数学史上的三次数学危机。 在古希腊，哲学家都是格外重视数学。像无论是最早的唯物主义哲学家泰勒斯，还是最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都特别推崇数学。在那些伟大的数学家中，在数学上成就最大的，当推毕达哥拉斯。 毕达哥拉斯建立了一个带有神秘色彩的团体，被称为毕达哥拉斯学派。这个学派传授知识，研究数学，还很重视音乐。“数”与“和谐”是他们的主要哲学思想。他们认为数是万物的本源，数产生万物，数的规律统治万物，也就是“万物皆数”的观点。“万物皆数”就是万物皆可用自然数或分数表示。然而，这一观点在后来确被毕达哥拉斯自己给推翻了。这还得从一个有趣的故事说起。有一次毕达哥拉斯去朋友家做客，他发现朋友家的地板上的方形图案很有意思，凭借着他数学家头脑的直觉，得出了我们今天所学的勾股定理以及证明。然而根据勾股定理，边长为1的正方形，其对角线的长度应当是根号2，毕达哥拉斯发现根号2既不是自然数，也不是分数。这个事实的发现，是毕达哥拉斯学派的一大成就，它标志着人类思维有了更高的抽象能力。 但这一发现引起了毕达哥拉斯学派的惶恐不安。因为他们心目中的数只有自然数与自然数之比---分数。如今发现边长为1的正方形的
对角线这个明明白白地摆在那里的东西竟不能用“数”表示。这难道不是自己否定自己信仰的真理吗？于是毕达哥拉斯学派千方百计封锁消息，但是纸包不住火终于还是传开了。当时研究数学的希腊学者们便对数的重要性有了怀疑。哲学家们认为世界上的量都可以用数表示，任何两个分数，无论多么近，他们之间还有无穷对个分数，这么多的数居然还不能表示出线段上某些点的长度，数的万能的力量因为根号2的出现被否定了，这就是所谓的第一次数学危机。 第二次数学危机 我们生活着的这个世界，在一刻不停地变化着。古希腊哲学家赫拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流，因为河水在流动，当人第二次踏进同一条河流时，已经不是第一次踏进时的河水了。赫拉克利特用这个生动的比喻说明万物皆在不断变化之中，但严格说起来他的话在概念上存在疑问。当时他的对立者巴门尼德宣扬相反的观点，他主张存在是静止的，不变的，永恒的。他的得意门生芝诺还提出“飞矢不动”的诡论。然而数学是讲究概念严密的，他们的说法都在概念上存在漏洞。像什么叫“动”与“不动”，古代哲学家对于如何从逻辑上严格把握事物的运动与变化和相对静止与稳定的统一是不清楚的，直到17世纪，数学上出现了变量与函数的概念才找到了精确描述运动与变化的工具。 对于事物的运动与变化，哲学家常有这一种说法：“运动就是矛盾”，“矛盾”是一个定义的术语，它揭示出事物的共性，但没指出运动的特殊性，而数学中用映射或函数描述运动却能勾画出运动的特殊
数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用
数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用 数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用 悖论是让数学家无法回避的问题。悖论出现使得数学体系出现不可靠性和失真理性，这就逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了，因而悖论在推动数学发展中的巨大作用。现在我作如下简单阐述：毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。这一伟大发现不但对毕达哥拉斯学派的致命打击，也对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”. 二百年后，欧多克索斯提出的新比例理论暂时消除悖论。一直到18世纪，当数学家证明了圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建
立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。 伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪微积分诞生，但是微积分理论是不严格的。理论都建立在无穷小分析之上，作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”.笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0,又不是0.但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。 十八世纪开始微积分理论获得了空前丰富。然而，与此同时十八世纪粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面。当时数学中出现的混乱局面了。尤其到十九世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。 使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年开始给出了分析学一系列基本概念的严格定义。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所
中国经济危机的风险数学模型的建立与分析
桂林电子科技大学第八届大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了桂林电子科技大学第八届大学生数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
参赛队员信息： 中国经济危机的风险数学模型的建立与分析 0.摘要 近年来，我国经济飞速发展，GDP、国民生产总值稳步上升。我国安全度过了2009的经济危机以及2011年的欧债危机并且继续保持了经济平稳较快发展，这是另世界刮目相看的。即便如此我们也不能放松警惕。有专家认为：我国未来十年经济危机风险大增，理由是：“1.美元进入持续升值周期；2.美联储进入加息周期；3.当前储备多，更愿大胆开大门，并认为可摆平所有冲击；4.国内进入金融解除管制时期；5.认为财政实力雄厚，所有事情可积极财政搞定；6.我国自1990年以来摆平两次大危机达成20年高速增长，自信满满。”为了定性以及定量的分析我国的经济风险，本文对我国主要的经济指标与影响经济发展的因素进行分析，并建立模型解决了几个较典型的问题。 问题一：认为选取的经济指标具有代表性，数据真实可信。我们根据近十年经济的各项指标做了相关的图表，给出了几个重要经济指标的分布以及变化趋势，继而分析出了几个经济指标的特征。
希帕索斯悖论与第一次数学危机
希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。 在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学 信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个
成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课
浅谈数学发展史中的三次危机
浅谈数学发展史中的三次危机 摘要：在数学发展的历史长河中，危机与发展是并存的。在数学发展史中出现了三次危机，人们通过对危机的探索，最终消除了它，并促进了数学的不断发展和进步。第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现进而度过了把第一次数学危机。第二次数学危机是人们对无穷小的误解，而微积分的出现产生了一种新的方法——分析法，分析法是算和证的结合，是通过无穷趋近而确定某一结果。罗素悖论的发现，导致了数学史上的第三次危机。为了探求其根源和解决难题的途径，数学界、逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。归根结底，导致三次危机的原因，是由于人的认识。 关键词：危机；万物皆数；无穷小；分析方法；集合 一、前言 历史上，数学的发展又顺利也有曲折。打的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。 二、无理数的发现---第一次数学危机 大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！ 三、无穷小是零吗？---第二次数学危机 18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。 1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教
三次数学危机的启示
数学风暴 -----从三次数学危机看数学如何影响世界观 摘要 美国数学史家M.克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关，这种关系在我们这个时代尤为明显。”数学用它的逻辑性影响着人们的思维，又以其简洁明了的公式对复杂世界进行了精辟而又深刻的描述。数学对人类的影响已经不仅仅是简单计数的应用，更是微积分在工程学的应用，拓扑学在航天领域的应用等。不仅如此，通过三次数学危机，还能让我们看到它对我们世界观的影响。 关键词：数学危机世界观辩证联系 正文： 古往今来，从毕达格拉斯直到伽利略、笛卡儿、开普勒等众多数学家一直认为世界是数学的体现，世界是按数学公式运行的，宇宙的书本是按数学写成的，数学与世界密不可分。20世纪的数学家兼哲学家庞加莱说：“没有数学这门语言，事物间大多数密切的关系将永远不会被我们发现；我们也无从发现世界内部的和谐，而这种和谐正是惟一真正的客观现实……” 美国数学史家M.克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关，这种关系在我们这个时代尤为明显。”数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，更是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类文明史的最重要的组成部分。1 当今世界被人们称为数字世界，经历了第一次工业革命，第二次电力革命，第三次信息革命后，人类已经进入了数字时代。数学的应用深入人心，就连超市买菜的婆婆都知道如何计算价格。而数学对人类影响的巨大，已经不是简简单单
