等腰三角形培优

培优专题1 等腰三角形

例1如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数．

练习1

1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）．A．7．5° B．10° C．12.5° D．18°

1-2 2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？

1-3

3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，?连结CD，则∠BDC=________．

1-4 例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD?的垂直平分线HE?交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由．

分析要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的．

练习2

1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED?的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？

1-6 1-7 1-8

2．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（）

A．BD>BA B．BD

3．已知：如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=?AC，?延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？

例3已知：如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC?的中点，那么△BMN是等边三角形吗？说明理由．

练习3

1．已知：如图1-10，在等边三角形ABC中，

BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF?交于H，CF与

AD交于K，试判断△GHK的形状．

1-9

1-10

2．已知：如图1-11，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，?使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN?是等边三角形吗？为什么？

1-11 3．已知：如图1-12，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．

1-12 例4已知：如图1-13，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于E，试比较AE+BE与BC的大小？

练习4

1．如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC

1-13

上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，?CF⊥AB于F，

那么PD+PE与CF相等吗？

1-14

2．已知：如图1-15，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，?说明

CE与AC+CD相等的理由．

3．已知：如图1-16，△ABC是等边三角形，延长AC到D，?以BD?为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．（填“>”或“＝”或“<”）

1-16

例5已知：如图1-17，△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的几分之几？

练习5

1．如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、?AD交于点P．过B作BQ⊥AD于Q，请说明BP是PQ的2倍．

1-18 2．如图1-19，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，那么CE?是BD的几分之几？

1-19

3．已知：如图1-20，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE，?那么AH是BD的________倍．

1-20

综合练习

1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（ ） A. 2cm B. 8cm C. 2cm 或8cm D. 以上都不对

2. 如图，ABC ?是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠，

，则1∠的度数是________。

C

A 1

D

B

2 3 3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.

4. ABC ?中，

120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，

求证：BC 2

1

DE =

。

A

E D

O B

C

1 2

培优专题1 等腰三角形

例1如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数．

分析AB=AC，MN=AN可知△ABC和△AMN均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系．

解：设∠BAM=∠CAN=α，∠AMN=β，

∵MN=AN，

∴∠AMN=∠MAN=β．

设∠ABC=γ，

在△ABC中，

∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°，

由于∠BCA=∠CAB=2α+β，

∴4α+2β+γ=180°．

在△ABM中，β=α+γ，

1-1

∴4α+2β+（β-α）=180°．

即3（α+β）=180°．

∴α+β=60°，故∠MAC=60°．

练习1

1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）．

A．7．5° B．10° C．12.5° D．18°

解：设∠DEC=x，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED．

∴x=∠AEC-∠ADE=（∠B+30°）-∠ADE=（∠B+30°）-（∠C+x）

∵AB=AC，∴∠B=∠C

∴2x=30°，x=15°，故选C．

1-2

2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′

B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？

1-3

3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，?连结CD，则∠BDC=________．

1-4 例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD?的垂直平分线HE?交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由．

分析要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的．

解：延长AD到F，使AF=EF，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠A=60°．

∴△AEF是等边三角形．

∴EA=EF，∠AEF=∠A=60°．

又∵EH垂直平分BD，

∴EB=ED，∠EBD=∠EDB．

1-5

∴△EAD≌△EFB．

∴AD=BF．

又∵BF=AF-AB=AE-AC=CE，

∴AD=CE．

练习2

1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED?的延长

线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？

1-6 1-7 1-8

2．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=

∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（）

A．BD>BA B．BD

3．已知：如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=?AC，?

延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？

例3已知：如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC?的中点，

那么△BMN是等边三角形吗？说明理由．

分析要说明一个三角形是等边三角形，?只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或

三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得BM=BN，且

∠MBN=60°即可．

解：在△ABE和△DBC中，

∵∠ABE=60°+∠DBE，∠DBC=60°+∠DBE，

∴∠ABE=∠DBC．

∵AB=BD，BE=EC．

∴△ABE≌△DBC．

∴AE=DC，∠MEB=∠NCB．

又∵M、N分别是AE和DC的中点，

1-9 ∴ME=NC，又△BEC为等边三角形，

∴BE=BC．

∴△MBE≌△NBC，BM=BN．

∴∠MBN=∠MBE-∠NBE=∠NBC-∠NBE=60°．

∴△BMN为等边三角形．

练习3

1．已知：如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF?交

于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．

2．已知：如图1-11，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，?使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN?是等边

三角形吗？为什么？

3．已知：如图1-12，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．

1-12 例4已知：如图1-13，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于E，试比较AE+BE与BC的大小？

分析说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和，?常常采用截取等长线段的方法，将那些本来没有关系的线段放在条线段上，这样可迎刃而解．

解：在BC上截取BF=BE，BD=BA，连结FE、DE，

∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°，又BE平分∠ABC，

∴∠1=∠2=1

2

∠ABC=20°．

∵BF=BE，∴∠BEF=∠5=80°．

在△BAE和△BDE中，

BA=BD，∠1=∠2，BE=BE．

∴△BAE≌△BDE．

∴AE=DE，∠3=∠A=100°．

∴∠4=180°-∠3=180°，

∴∠4=∠5，DE=FE，AE=FE．

又∠6=∠5-∠C=80°-40°=40°，

∴∠6=∠C，∴FE=FC．

故AE+BE=FC+BF=BC．

练习4

1．如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，?CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？

1-14

2．已知：如图1-15，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，?说明CE与AC+CD相等的理由．

1-13

1-15

3．已知：如图1-16，△ABC 是等边三角形，延长AC 到D ，?以BD?为一边作等边三角形BDE ，连结AE ，则AD_______AE+AB ．（填“>”或“＝”或“<”）

1-16

例5 已知：如图1-17，△ABC 中，AB=AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD=AB ，那么CE 是CD 的几分之几？

分析 延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段．

解：延长CE 到F ，使EF=CE ，连结BF ，CE 是AB 的中线，∴AE=EB ． 又∠FEB=∠AEC ，

∴△EBF ≌△EAC ，∴∠EBF=∠A ． BF=AC=BD ．

在△FBC 和△DBC 中， FB=BD ，BC=BC ．

∴∠FBC=∠FBE+∠EBC ． =∠A+∠ACB ．

∠DBC=∠A+∠ACB ． ∴∠FBC=∠DBC ． ∴△BCF ≌△BCD ．

∴CF=CD=2CE ，故CE=

1

2

CD ． 练习5

1．如图1-18，D 、E 分别是等边三角形ABC 两边BC 、AC 上的点，且AE=CD ，连结BE 、?AD 交于点P ．过B 作BQ ⊥AD 于Q ，请说明BP 是PQ 的2倍．

1-18

2．如图1-19，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE ，那么CE?是BD 的几分之几？

1-17

1-19

3．已知：如图1-20，在△ABC 中，AB=AC ，AD 和BE 是高，它们相交于H ，且AE=BE ，?那么AH 是BD 的________倍．

1-20

答案: 练习1

1．解：设∠DEC=x ， ∵AD=AE ，

∴∠ADE=∠AED ．

∴x=∠AEC-∠ADE=（∠B+30°）-∠ADE=（∠B+30°）-（∠C+x ） ∵AB=AC ，∴∠B=∠C

∴2x=30°，x=15°，故选C ． 2．解：∵AB=BB ′，

∴∠BAB ′=∠BB ′A ，∠B ′BD=∠BAB ′+∠BB ′A=2∠BAB ′． 又∠CBB ′=∠DBB ′，

∴∠ACB=∠CBB ′+∠CB ′B=3∠CAB ．

设∠CAB=x ，∴∠ACB=3x ，∠CBD=4x ，又AA ′=AB ， ∴∠A ′=∠ABA ′=∠CBD=4x ． ∵AA ′平分∠EAB ． ∴∠A ′AB=

1

2

（180°-x ）． 又∠A ′AB=180°-（∠A ′+∠ABA ′）=180°-8x ∴

1

2

（180°-x ）=180°-8x ． ∴x=12°，故∠ACB=36°．

3．解：如图，作△AED ≌△BAC ，连结EC ． 则∠AED=∠BAC=20°，

∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°．

∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°． 又∵AB=AE=AC ，

∴△ACE 是正三角形，AE=EC=ED ． ∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°． ∴∠EDC=

1

2

（180°-∠DEC ）=70°．

∴∠BDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=30°．

练习2

1．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠FEC=90°．

在Rt△DEB与Rt△FEC中，

∵∠B=∠C，∴∠BDE=∠F．

∵∠FDA=∠BDE，

∴∠FDA=∠F，故AD=AF．

2．解：以AD为边在△ADB内作等边△ADE，连结BE．

则∠1=∠2=∠3=60°．

∴AE=ED=AD．

∵∠DAC=15°，

∴∠EAB=90°-∠1-∠DAC=15°．

∴∠DAC=∠EAB．

又∵DA=AE，AB=AC，

∴△EAB≌△DAC．

∴∠EBA=∠DCA=15°．

∴∠BEA=180°-∠EBA-∠EAB=150°．

∵∠BED=360°-∠BEA-∠AED=150°．

∴∠BEA=∠BED．

又∵EB=EB，AE=ED．

∴△BEA≌△BED，∴BD=BA．

故选择C．

3．解：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，∵BD=DC，∠BDG=∠CDA，AD=DG，

∴△ADC≌△BDE．

∴AC=BG，∠G=∠EAF，

又∵BE=AC，∴BE=BG．

∴∠G=∠BED，而∠BED=∠AEF，

∴∠AEF=∠AFE，故FA=FE．

练习3

1．解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=CA

∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．

又∵BD=AF=CE，

∴△ABD≌△BCE≌△CAF．

∴∠1=∠2=∠3．

∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠ACB-∠3．

即∠CAK=∠ABG=∠BCH．

又∵AB=BC=CA，

∴△ABG≌△BCH≌△CAK．

∴∠AGB=∠BHC=∠CKA．

即∠KGH=∠GHK=∠GKH．

故△GKH是等边三角形．

2．解：由于△ABC与△CDE均为等边三角形，A、C、E三点共线，得知： CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE，

故△ACD≌△BCE．

∴∠ADC=∠BEC，AD=BE．

又DM=1

2

AD，EN=

1

2

BE，

∴△DCM≌△ECN．

∴∠DCM=∠ECN，CM=CN．

又∠ECN+∠NCD=∠ECD=60°，

∴∠NCM=∠MCD+∠NCD=60°．

∴△CMN是等边三角形．

3．解：连结BP．

∵△ABC与△CDP均为等边三角形，

∴AC=BC，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°．

∴∠1=∠2，

∴△ADC≌△BPC．

∴∠CBP=∠DAC=60°．

∵∠RBP=∠RBA+∠ABC+∠CBP=60°+60°+60°=180°，

∴R、B、P三点共线．

又∵∠RAQ=∠RAB+∠BAC+∠CAQ=60°+60°+60°=180°，∴R、A、Q三点共线．

而AQ=AE=AD=BP，

∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP．

又∠R=60°，∴△PQR是等边三角形．

故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形．

练习4

1．解：∵S△ACB=S△APB+S△APC，

即1

2

AB·CF=

1

2

AB·PD+

1

2

AB·PE．

∴CF=PD+PE．

2．解：∵AC=AB，∠CAE=∠BAD，AE=AD，

∴△AEC≌△ADB．

∴CE=BD．

又∵BD=BC+CD=AC+CD．

∴CE=AC+CD．

3．解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形．

∴∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD，AB=BC，BE=BD．

∴△ABE≌△CBD．

∴AE=CD．又∵AB=AC，

∴AD=AC+CD=AB+AE．

练习5

1．解：∵∠CAB=∠C=60°，AE=CD，AB=AC，∴△ADC≌△BEA，∴∠CAD=∠EBA．又∠BPQ=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠CAD=60°，

∴在Rt△PQB中，∠PBQ=30°，

∴BP=2PQ ．

2．解：延长CE 交BA 的延长线于F ，

∵∠1=∠2，∠BEC=∠BEF=90°，BE=BE ， ∴△BEC ≌△BEF ． ∴BC=BF ，CE=EF ， ∴CE=

1

2

CF ． 又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∠3=∠4， ∴∠2=∠5，且AB=AC ． ∴Rt △AFC ≌Rt △ADB ． ∴CF=BD ．故CE=

1

2

BD ． 3．解：∵AB=AC ，AD ⊥BC ，

∴BD=DC ，∠DAC+∠C=90°．

又∵BE ⊥AC ，∴∠EBC+∠C=90°． ∴∠DAC=∠EBC ． 在△AEH 和△BEC 中， ∵∠DAC=∠EBC ，AE=BE ． ∠AEH=∠BEC=90°，

∴△AEH ≌△BEC ，∴AH=BC ． 又BC=2BD ，故AH=2BD ． 【实战模拟】

1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（ ） A. 2cm B. 8cm C. 2cm 或8cm D. 以上都不对

2. 如图，ABC ?是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠，

，则1∠的度数是________。

C

A 1

D

B

2 3 3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.

4. ABC ?中，

120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，

求证：BC 2

1

DE =

。

A

E D

O B

C

1 2 【试题答案】

1. B

2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。 解：因为ABC ?是等边三角形

所以

60ABC BC AB =∠=，

因为BC BD =，所以BD AB =

所以23∠=∠

在ABD ?中，因为

60ABC 90CBD =∠=∠， 所以

150ABD =∠，所以 152=∠ 所以

75ABC 21=∠+∠=∠

3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。

已知：如图，在ABC ?中，AC AB =，D 、E 分别为AC 、AB 边中点，BD 、CE 交于O 点。求证：点O 在BC 的垂直平分线上。

分析：欲证本题结论，实际上就是证明OC OB =。而OB 、OC 在ABC ?中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有21∠∠、的两个三角形全等。

证明：因为在ABC ?中，AC AB = 所以ACB ABC ∠=∠（等边对等角）

又因为D 、E 分别为AC 、AB 的中点，所以EB DC =（中线定义） 在BCD ?和 CBE ?中，

??

?

??=∠=∠=)(CB BC )(EBC DCB )(EB DC 公共边已证已证 所以)SAS (CBE BCD ???

所以21∠=∠（全等三角形对应角相等）。 所以OC OB =（等角对等边）。

即点O 在BC 的垂直平分线上。 说明： （1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在 底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB ＝OC ”是关键的一点。

（2）实际上，本题也可改成开放题：“△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 分别为AC 、AB 上的中点，BD 、CE 交于O 。连结AO 后，试判断AO 与BC 的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。

4. 分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC 的中点。

证明：过点A 作BC 边的垂线AF ，垂足为F 。

E A 3 1 2 D B

F C

在ABC ?中，

120BAC AC AB =∠=， 所以

30C B =∠=∠ 所以BC 2

1

BF 6021=

=∠=

∠，

（等腰三角形三线合一性质）。 所以

603=∠（邻补角定义）。 所以31∠=∠

又因为ED 垂直平分AB ，所以

30E =∠（直角三角形两锐角互余）。

AB 2

1

AD =

（线段垂直平分线定义）。 又因为AB 2

1

AF =（直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半）。

所以AF AD =

在ABF Rt ?和AED Rt ?中， ??

?

??=∠=∠=∠=∠ 90ADE AFB )

(AD AF )(31已证已证 所以)ASA (AED Rt ABF Rt ??? 所以BF ED = 即BC 2

1

ED =。

1

3