密码学答案

《密码学原理与实践(第三版)》课后习题参考答案

(由华中科技大学信安09级提供)

第一章

1.1（李怡）

(a)51 (b)30 (c)81 (d)7422

1.2（贾同彬）

证明：令t1= (-a)mod m ,t2=m-(a mod m),则t1≡t2(mod m).

又 0

1.3 （张天翼） 证明充分性：

若(mod )a b m ≡，则可得a b km =+，设b j m r =+，0r m ≤<，j N ∈，则有

()a k j m r =++，故有mod a m r =,由假设得mod b m r =，故mod mod a m b m =

证明必要性：

若mod mod a m b m =，则可设mod mod a m b m r ==，则有a km r =+，b jm r =+，其中,j k N ∈，因此()a b k j m -=-，即m a b -，故(mod )a b m ≡ 综上，问题得证

1.4 （李怡）

,0,mod ,.,-0,1,a km r r m r a m

a r a km k m a r a a a k m r k k m m m m =+≤<=??

=-=????

-??

=-<≤-<≤=??

??

令则而所以只需证明因为所以即

1.5 (李志远)

穷举密钥法来破解移位密码即将这个字符串每个字母移位1，2，3…26次，然后判断这26个字符串哪个符合英语规则。故我编写 如下的C++来实现如此功能 #include using namespace std; char change(char word) {

if(word=='Z')return 'A'; else return word+1; }

int main()

{

cout<<"please input the string"<

char string1[43];

cin>>string1;

int n;

for(n=1;n<=26;n++)

{

int num;

for(num=0;num<43;num++)

{

string1[num]=change(string1[num]);

}

cout<

}

}

解释：1.代码专为本题编写，故输入字符数不能多于43个，且输入范围仅限大写英语字母

2.将题中的42个字母BEEAKFYDJXUQYHYJIQRYHTYJIQFBQFBQDUYJIIKFUHC输入并回车

3.得到的结果

CFFBLGZEKYVRZIZKJRSZIUZKJRGCREVZKJJLGVIDRE

for turn 1

DGGCMHAFLZWSAJALKSTAJVALKSHDSFWALKKMHWJESF

for turn 2

EHHDNIBGMAXTBKBMLTUBKWBMLTIETGXBMLLNIXKFTG

for turn 3

FIIEOJCHNBYUCLCNMUVCLXCNMUJFUHYCNMMOJYLGUH

for turn 4

GJJFPKDIOCZVDMDONVWDMYDONVKGVIZDONNPKZMHVI

for turn 5

HKKGQLEJPDAWENEPOWXENZEPOWLHWJAEPOOQLANIWJ

for turn 6

ILLHRMFKQEBXFOFQPXYFOAFQPXMIXKBFQPPRMBOJXK

for turn 7

JMMISNGLRFCYGPGRQYZGPBGRQYNJYLCGRQQSNCPKYL

for turn 8

KNNJTOHMSGDZHQHSRZAHQCHSRZOKZMDHSRRTODQLZM

for turn 9

LOOKUPINTHEAIRITSABIRDITSAPLANEITSSUPERMAN

for turn 10

MPPLVQJOUIFBJSJUTBCJSEJUTBQMBOFJUTTVQFSNBO

for turn 11

NQQMWRKPVJGCKTKVUCDKTFKVUCRNCPGKVUUWRGTOCP

for turn 12

ORRNXSLQWKHDLULWVDELUGLWVDSODQHLWVVXSHUPDQ

for turn 13

PSSOYTMRXLIEMVMXWEFMVHMXWETPERIMXWWYTIVQER

for turn 14 QTTPZUNSYMJFNWNYXFGNWINYXFUQFSJNYXXZUJWRFS

for turn 15 RUUQAVOTZNKGOXOZYGHOXJOZYGVRGTKOZYYAVKXSGT

for turn 16 SVVRBWPUAOLHPYPAZHIPYKPAZHWSHULPAZZBWLYTHU

for turn 17 TWWSCXQVBPMIQZQBAIJQZLQBAIXTIVMQBAACXMZUIV

for turn 18 UXXTDYRWCQNJRARCBJKRAMRCBJYUJWNRCBBDYNAVJW

for turn 19 VYYUEZSXDROKSBSDCKLSBNSDCKZVKXOSDCCEZOBWKX

for turn 20 WZZVFATYESPLTCTEDLMTCOTEDLAWLYPTEDDFAPCXLY

for turn 21 XAAWGBUZFTQMUDUFEMNUDPUFEMBXMZQUFEEGBQDYMZ

for turn 22 YBBXHCVAGURNVEVGFNOVEQVGFNCYNARVGFFHCREZNA

for turn 23 ZCCYIDWBHVSOWFWHGOPWFRWHGODZOBSWHGGIDSFAOB

for turn 24 ADDZJEXCIWTPXGXIHPQXGSXIHPEAPCTXIHHJETGBPC

for turn 25 BEEAKFYDJXUQYHYJIQRYHTYJIQFBQDUYJIIKFUHCQD

for turn 26

经过英语分析，发现当移位密码密钥为17时，字符串有英文含义LOOK UP IN THE AIR ITS A BIRD ITS A PLANE ITS SUPERMAN (看天上，是一只鸟，是一架飞机，是一位超人)

故移位密码密钥为17

1.6（司仲峰）

对合密钥为 0和13

1.7（陈诗洋）

(a) m=30=2*3*5

φ(30)=30*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)=8

故密钥量是 8*30=240

(b)m=100=22*52

φ(100)=100*(1-1/2)*(1-1/5)=40

故密钥量是 40*100=4000

(c)m=1225=52*72

φ(1225)=1225*(1-1/5)*(1-1/7)=840

故密钥量是 840*1225=1029000

1.8（周玉坤）

解：在中若元素有逆，则必有gcd(a,m)=1;

若元素a存在逆使得a=1,利用广义欧几里得除法，找到整数s和

t，使得： sa+tm=1，则=s(modm)是a的逆。、的解法都相

似，直接给出结果。

（1）、

gcd(a,28)=1,则a=1,3,5,9,11,13,15,17,19,23,25,27.

=1，=19，=17，=25，=23，

=15，=5，=3，=11，=9，=27 （2）、

gcd(a,33)=1,则a=1,2,4,5,7,8,10,13,14,16,17,19,20,23,25,26, 28,29,31,32

=1，=17，=25，=20，=19，=29

=10，=28，=26，=31，=2，

=7，=5，=23，=4，=14，

=13，=8，=16，=32

（3）、

gcd（a,35）=1,则a=1,2,3,4,6,8,9,11,12,13,16,17,18,19,22,23, 24,26,27,29,31,32,33,34

=1，=18，=12，=9，=6，=22，=4，

=16，=3，=27，=11，=33，=2

=24，=8，=32，=19，=31，=13

=29，=26，=23，=17，=34

1.9（薛东）

设1≤a≤28,利用反复试验的方法求出a-1mod29 的值。

解：由乘法逆存在条件gcd(a,29)=1知a=1,2,3,…,28均存在逆元。

计算可得：

1-1=1 2-1=15 3-1=10 4-1=22 5-1=6

6-1=5 7-1=25 8-1=11 9-1=13 10-1=3

11-1=8 12-1=17 13-1=9 14-1=27 15-1=2

16-1=20 17-1=12 18-1=21 19-1=26 20-1=16

21-1=18 22-1=4 23-1=24 24-1=23 25-1=7

26-1=19 27-1=14 28-1=28

1.10

(a)d K(y)=6y+19(mod 29)

(b)略

1.11（程玲）

（a）证明：加密函数为e(x)=(ax+b) mod n，即可令ax+b≡y( mod n)，

等价ax≡y-b( mod n)，即x≡aˉ1(y-b)( mod n)，即x≡(aˉ1y-aˉ1b)( mod n)

要使k为对合密钥，则a≡aˉ1( mod n)，b≡-aˉ1b( mod n)

即aˉ1 mod n ≡a且b(1+aˉ1)≡0( mod n)，也就是b(1+a)≡0( mod n)

反过来，当aˉ1 mod n ≡a且b(1+a)≡0( mod n)可得

b(1+aˉ1)≡0( mod n)，即b≡-aˉ1b( mod n)，K为对合密钥

（b）解：假设对合密钥为K=（a,b）

a要满足gcd(a，15)=1，可得a=1，2，4，7，8，11，13，14

又因为a要满足aˉ1 mod 15≡a，则a=1，4，11，14

b需满足b(1+a)≡0( mod 15)

当a=1，即2b≡0( mod 15)，可得b≡0( mod 15)

当a=4，即5b≡0( mod 15)，可得b=0，3，6，9，12

当a=11，即12b≡0( mod 15)，可得b=0，5，10

当a=14，即15b≡0( mod 15)，可得b={x|x?Z15}

（c ）证明：φ(n)=φ(pq)=φ(p )φ(q)=(p-1)(q-1)

首先找满足条件的a ，a 要满足a ˉ1 mod n ≡a ，即a ˉ1 a ≡a 2

≡1( mod n)且gcd(a ，n)=1

及等价于?????≡≡q)

mod 1(a p)

mod 1(a 22 ， 即???±≡±≡)(mod 1)(mod 1q a p a

根据中国剩余定理，a 一共有4个解

当a ≡1(mod p)且a ≡1(mod q)，即a ≡1(mod n)

又b(1+a)≡0( mod n)，则2b ≡0( mod n)，又因为gcd(2，n)=1，故b 只有一个解

当a ≡1(mod p)且a ≡-1(mod q)，即可令a+1=k 1p+2, a+1=k 2q ，（k 1，k 2?Z ）

则gcd(a+1，n)=q ，又因为b(1+a)≡0( mod n)，可解得b=pt(mod n) (t=1，2，3……q-1) 即b 有q 个解。

当a ≡-1(mod p)且a ≡1(mod q)，即可令a+1=k 1p, a+1=k 2q+2，（k 1，k 2?Z ）

则gcd(a+1，n)=p ，又因为b(1+a)≡0( mod n)，可解得b=qt(mod n) (t=1，2，3……p-1) 即b 有p 个解。

当a ≡-1(mod p)且a ≡-1(mod q)，即a=pq-1，

又b(1+a)≡0( mod n)，则bn ≡0( mod n)，b 有n 个解

则定义在Z n 上的所有仿射密码的对合密钥量是n+p+q+1。

1.12（陈志明）

(a)在p Z 上，2维行向量共有2

p 个

其中，零向量（0，0）有1个，非零向量共有2

1p -个。 对于零向量（0，0），无法组成可逆矩阵，不予考虑。

对于非零向量，设一个非零向量为（a ，b ），其中22

0a b +≠， 有向量k （a ，b ）与（a ，b ）线性相关，其中k=1，2，……，p-1。 且易证得，当12k k ≠时，有12(,)(,)k a b k a b ≠， 即k （a ，b ）两两互不相等 由此可得：

与向量（a ，b ）线性相关的行向量有且仅有p-1个。 故，可将2

1p -个非零向量，每p-1个分为一组， 且每组中的行向量俩俩之间线性相关， 共分为p+1组

从p+1组中取两组，从取出的两组中各取一个行向量， 对取出的两个行向量进行排列后可得一个可逆矩阵。 因此可得，可逆矩阵数量为：

22222212

(1)(1)/2(1)2(1)()p C p A p p p p p p +-=+?-?=-- （b ）

1.13（刘庆宾、喻思敏）

由12题给出的结论，我们有当p为素数时，有p3+p2-p种情况使得二维矩阵|A|mod p没有逆。

对于n=6 如果|A|≡0 mod6，等价{|A|≡0 mod2和|A|≡0 mod3}

例如，对于矩阵中的a11位置，任意两个等式由中国剩余定理一定可以求出唯一的在mod6下的解。对于分别来自mod2与mod3不可逆的矩阵集合中任意两个对象都可以解得唯一一个mod6不可逆矩阵，因此所有的使得mod6下矩阵没有逆的情况有（8+4-2）*（27+9-3）=330，可逆情况有36*36-330=966种

同理n=26 等价{|A|≡0 mod2和|A|≡0 mod13}，矩阵没有逆的情况有（8+4-2）*（169*13+169-13）=23530，可逆情况有169*169*16-23530=433446种

当n=9时易证|A|在mod9没有逆和|A|≡0 mod3是等价的，只是元素的所在域不同。故不可逆矩阵个数为9*9*（27+9-3）=2673，可逆矩阵有81*81-3673=2888个

1.14(罗志伟)

(a)

因为 ，所以，即有,。

(b) 因为m=2，所以令

，，，且不同时

为0，所有的密钥对为

其中，

为K 可逆的条件。

1.15(付晓帆)

解：令A=2595??????，B=11112423217159??

????

????

，则

(a).由题意知：()

1

det 23A -=，A *=5592-??

??

-??

,所以 1

A -=()

1

1115det 23120A A A -*

*

??

==????

(b).由题意知：()1det 21B -=,177812542136219546241320331172217165B *

---=--????

????=???????????? ,所以

()112511221013417241det 21B B B B --**

??

??===??????

1.16（陈诗洋） (a) Y 1 2 3 4 5 6 7 8 π -1 2

4

6

1

8

3

5

7

(b)

明文：gentlemen do not read each other smail

1.17(祁冠杰)

（a ） 必要性：

因为π(i)=j ，π(j)=i

而且π-1(j)=i

所以π(i)=π-1(i)

所以π为对合密钥

充分性：

因为π是对合密钥

所以有π(i)=j从而有π-1(i)=j

即π(j)=i

综上所述从而得证

（b）

当m=2时，对合密钥为

X 1 2

π(x) 2 1

或者

π(x)={1,2}

当m=3，对合密钥

π(x)={1,2,3}或者π(x)={3,2,1}或者π(x)={1,3,2}或者π(x)={2,1,3}

当m=4，对合密钥

π(x)={1,2,3,4}或者π(x)={1,3,2,4}或者π(x)={1,2,4,3}或者π(x)={1,4,3,2}或者π(x)={2,1,3,4}或者π(x)={2,1,4,3}或者π(x)={3,2,1,4}或者π(x)={3,4,1,2}或者π(x)={4,2,3,1}或者π(x)={4,3,2,1}

当m=5时，对合密钥为

π(x)={1,2,3,4,5}或者π(x)={1,3,2,4,5}或者π(x)={1,3,2,5,4}或者π(x)={1,4,3,2,5}或者π(x)={1,4,5,2,3}或者π(x)={1,5,4,3,2}或者π(x)={1,5,3,4,2}或者π(x)={2,1,3,4,5}或者π(x)={2,1,4,3,5}或者π(x)={2,1,5,4,3}或者π(x)={2,1,3,5,4}或者π(x)={3,2,1,4,5}或者π(x)={3,4,1,2,5}或者π(x)={3,5,1,4,2}或者π(x)={4,2,3,1,5}或者π(x)={4,3,2,1,5}或者π(x)={4,5,3,1,2}或者π(x)={4,2,5,1,3}或者π(x)={4,2,5,1,3}或者π(x)={5,2,3,4,1}或者π(x)={5,3,2,4,1}或者π(x)={5,2,4,3,1}或者π(x)={5,4,3,2,1}

当m=6时，对合密钥为

π(x)=

{1,2,3,4,5,6}or{1,2,3,4,6,5}or{1,2,3,5,4,6}or{1,2,3,6,5,4}or

{1,2,4,3,5,6}or{1,2,4,3,6,5}or{1,2,5,4,3,6}or{1,2,5,6,3,4}or

{1,2,6,4,5,3}or{1,2,6,5,4,3}or{1,3,2,4,5,6}or{1,3,2,5,4,6}or

{1,3,2,6,5,4}or{1,3,2,4,6,5}or{1,4,3,2,5,6}or{1,4,5,2,3,6}or

{1,4,6,2,5,3}如此类推

01234124012341241.18(i i i i i k i i i i i ++++++++付鹏)

若(z ,z ,z ,z )=(0,0,0,0),则由z =(z +z +z +z )mod2可知z =0(k=0,1,2......)此时周期为1;

若(z ,z ,z ,z )=(0,0,0,1),则由z =(z +z +z +z )mod2可知,得到的密钥流为:0001 1000 1100 0110 0011 0001 ......可知周期为5;

01230123412401230001,1000,1100,0110,0011,i i i i i ++++由上密码流可知:若(z ,z ,z ,z )的值取为时,密钥流周期都为5若(z ,z ,z ,z )=(0,0,1,0),则由z =(z +z +z +z )mod2可知,得到的密钥流为:0010 1001 0100 1010 0101 0010......可知周期为5

由上密码流可知:若(z ,z ,z ,z )的值取为0010,1012341240123i i i i i ++++001,0100,1010,0101,时,密钥流周期都为5若(z ,z ,z ,z )=(0,1,1,1),则由z =(z +z +z +z )mod2可知,得到的密钥流为:0111 1011 1101 1110 1111 0111......可知周期为5

由上密码流可知:若(z ,z ,z ,z )的值取为0111,1011,1101,1110,1111,时,密钥流周期都为5由上可0123知(z ,z ,z ,z )=(0,0,0,0)时,周期为1;其他时刻都有周期为5.

1.19（喻思敏）

由递归关系：0000->0000 周期1

0001：->0011->0111->1111->1110->1101->1010->0101->

1011->0110->1100->1001->0010->0100->1000->0001 周期15

1.20(郑阳)

证明：设|∑|=m 设状态的周期为T ， ∵σi =f(σi -1，K)，σi + T =σi

下一状态只与前一状态相关，当某一状态与前面某状态重复时，接下来的所有状态都将重复 ∴T ≤m ，

又z i =g(σi ,K),

∴z i+T =z i ,

∴T z ≤T ≤m=|∑|，

即使用这种方法产生的密钥流的周期至多为|∑|

1.21(陈志坤)

答案：（a）已知F解密为w

频数统计为：

A = 5

B = 0

C = 37

D = 8

E = 12

F = 9

G = 23

H = 5

I = 15 J = 7 K = 17 L = 7

M = 5 N = 13 O = 10 P = 6

Q = 1 R = 0 S = 20 T = 0

U = 14 V = 0 W = 5 X = 7

Y = 15 Z = 13

F解密后，为w EMGLOSUDCGDNCUSWYSwHNSwCYKDPUMLWGYICOXYSIPJCKQPKUGKMGOLICGINCGACKSNISACYKZSCKXE CJCKSHYSXCGOIDPKZCNKSHICGIWYGKKGOLDSILKGOIUSIGLEDSPWZUGwZCCNDGYYSwUSZCNXEOJNCGY EOWEUPXEZGACGNwGLKNSACIGOIYCKXCJUCIUZCwZCCNDGYYSwEUEKUZCSOCwZCCNCIACZEJNCSHwZEJ ZEGMXCYHCJUMGKUCY

有频数，大胆猜测C解密为e 。有EMGLOSUDeGDNeUSWYSwHNSweYKDPUMLWGYIeOXYSIPJeKQPKUGKMGOLIeGINeGAeKSNISAeYKZSeKXE eJeKSHYSXeGOIDPKZeNKSHIeGIWYGKKGOLDSILKGOIUSIGLEDSPWZUGwZeeNDGYYSwUSZeNXEOJNeGY EOWEUPXEZGAeGNwGLKNSAeIGOIYeKXeJUeIUZewZeeNDGYYSwEUEKUZeSOewZeeNeIAeZEJNeSHwZEJ ZEGMXeYHeJUMGKUeY

在和e的双字母组合中eG出现了7次，Ze出现了7次，eK出现了5次，Ae出现了5次，eY出现了4次，eI出现了4次而且Ie出现了3次，Ne出现了4次，且Ge未出现一次，而G出现23次较高，故猜测I 解密为{r,s,t}中一个，S出现概率较高与e结合较少，猜测S 为o，有

EMGLOoUDeGDNeUoWYowHNoweYKDPUMLWGYIeOXYoIPJeKQPKUGKMGOLIeGINeGAeKoNIoAeYKZo eKXEeJeKoHYoXeGOIDPKZeNKoHIeGIWYGKKGOLDoILKGOIUoIGLEDoPWZUGwZeeNDGYYowUoZeN XEOJNeGYEOWEUPXEZGAeGNwGLKNoAeIGOIYeKXeJUeIUZewZeeNDGYYowEUEKUZeoOewZeeNeIA eZEJNeoHwZEJZEGMXeYHeJUMGKUeY

已知eG,eK出现较多，而Ge，Ke未出现，所以G，K中有一个为a , Ze出现较多，且wZ出现较多，猜测Z为h,有：

EMGLOoUDeGDNeUoWYowHNoweYKDPUMLWGYIeOXYoIPJeKQPKUGKMGOLIeGINeGAeKoNIoAeYKho eKXEeJeKoHYoXeGOIDPKheNKoHIeGIWYGKKGOLDoILKGOIUoIGLEDoPWhUGwheeNDGYYowUoheN XEOJNeGYEOWEUPXEhGAeGNwGLKNoAeIGOIYeKXeJUeIUhewheeNDGYYowEUEKUheoOewheeNeIA ehEJNeoHwhEJhEGMXeYHeJUMGKUeY

whee为开头出现了3次，后面均为N，猜测whee为单词开头，N应为{l,z}中一个，wheeNDGYYow出现两次，恰有一单词吻合，猜测其为wheelbarrow，则N解密为l D解密为b，G解密为a，Y解密为r。有

EMaLOoUbeableUoWrowHlowerKbPUMLWarIeOXroIPJeKQPKUaKMaOLIeaIleaAeKolIoAerKho eKXEeJeKoHroXeaOIbPKhelKoHIeaIWraKKaOLboILKaOIUoIaLEboPWhUawheelbarrowUohel XEOJlearEOWEUPXEhaAealwaLKloAeIaOIreKXeJUeIUhewheelbarrowEUEKUheoOewheeleIA ehEJleoHwhEJhEaMXerHeJUMaKUer

已知Uo和Ko出现了3次，由Uh和Kh出现了3次，U，K应该为s和t的顺序

由Uohel知Uo应为一单词，U应该为t，K为s。有

EMaLOotbeabletoWrowHlowersbPtMLWarIeOXroIPJesQPstasMaOLIeaIleaAesolIoAersho esXEeJesoHroXeaOIbPshelsoHIeaIWrassaOLboILsaOItoIaLEboPWhtawheelbarrowtohel

XEOJlearEOWEtPXEhaAealwaLsloAeIaOIresXeJteIthewheelbarrowEtEstheoOewheeleIA ehEJleoHwhEJhEaMXerHeJtMaster

由helX猜测X为p,有EMaLOotbeabletoWrowHlowersbPtMLWarIeOproIPJesQPstasMaOLIeaIleaAesolIoAersho espEeJesoHropeaOIbPshelsoHIeaIWrassaOLboILsaOItoIaLEboPWhtawheelbarrowtohel pEOJlearEOWEtPpEhaAealwaLsloAeIaOIrespeJteIthewheelbarrowEtEstheoOewheeleIA ehEJleoHwhEJhEaMperHeJtMaster

由EtEn，sbPn知E,P为元音，放入后发现E为i ，P为u,有iMaLOotbeabletoWrowHlowersbutMLWarIeOproIuJesQustasMaOLIeaIleaAesolIoAersho espieJesoHropeaOIbushelsoHIeaIWrassaOLboILsaOItoIaLibouWhtawheelbarrowtohel piOJleariOWitupihaAealwaLsloAeIaOIrespeJteIthewheelbarrowitistheoOewheeleIA ehiJleoHwhiJhiaMperHeJtMaster

剩下Ｏ和Ｉ最多，猜测为ｄ和ｎ，代人后发现Ｏ为ｎ，Ｉ为ｄ。有iMaLnotbeabletoWrowHlowersbutMLWardenproduJesQustasManLdeadleaAesoldoAersho espieJesoHropeandbushelsoHdeadWrassanLbodLsandtodaLibouWhtawheelbarrowtohel pinJlearinWitupihaAealwaLsloAedandrespeJtedthewheelbarrowitistheonewheeledA ehiJleoHwhiJhiaMperHeJtMaster

由第一句话猜测出M为m,L为y。有imaynotbeabletoWrowHlowersbutmyWardenproduJesQustasmanydeadleaAesoldoAersho espieJesoHropeandbushelsoHdeadWrassanybodysandtodayibouWhtawheelbarrowtohel pinJlearinWitupihaAealwaysloAedandrespeJtedthewheelbarrowitistheonewheeledA ehiJleoHwhiJhiamperHeJtmaster

最后得出明文为

I may not be able to grow flowers .But my garden produces just as many dead leaves, old overshoes pieces of rope and bushels of dead grass anybody sand. Today I bought a wheelbarrow to help in clearing it up. I have alwaysloved and respected the wheelbarrow .It is the one wheel edvehicle of which I am perfect master.

（b）由重合指数法

m=1时重合指数为 0.043718

m=2时重合指数为 0.044151，0.052792

m=3时重合指数为0.064296，0.056601，0.056760

m=4时重合指数为0.048581，0.054138，0.049036，0.060374

m=5时重合指数为0.056661，0.057093，0.047004，0.049677，0.057251

m=6时重合指数为0.079101，0.100128，0.066327，0.081633，0.059949，0.089923 所以密钥长度为6

求Mg比较有

第1位Mg(2)= 0.089923

第2位Mg(17)= 0.070554

第3位Mg(24)= 0.058732

第4位Mg (15) = 0.066000

第5位Mg(19)= 0.055786

第6位Mg(14)=0.070429

密钥K =（2,17,24,15,19,14）

明文为

I learned how to calculate the amount of paper needed for a room when I was at school. you multiply the square foot age of the walls by the cubic contents of the floor and ceiling combined and doubleit you ,then allow half the total for openings such as windows and doors .Then you allow the other half for matching the pattern. Then you double the whole thing again to give a margin of error and then you order the paper.

（c）频数为

A = 13

B = 21

C = 32

D = 9

E = 13

F = 10

G = 0

H = 1

I = 16 J = 6 K = 20 L = 0

M = 0 N = 1 O = 2 P = 20

Q = 4 R = 12 S = 1 T = 0

U = 6 V = 4 W = 0 X = 2

Y = 1 Z = 4

所以C解密应为e

设加密为ax+b(mod 26)

4a+b=2(mod 26)

若B解密为t

有19a+b=1(mod 26)

解得a=19,b=4，解密为11y+18(mod 26)

破译后文字为Ymkxknkdobbonoxycksoehdyxpbyxdocdmosxdnopvoebyxcqvybsoehmkbdyxlbkccksd zybdobvozoosvcksdzybdobvkmbyshdyxrscdysboocdexoozyzoonoczveclbsvvkxdcoh zvysdcoddkfkvoebnopysdbowzoozbydoqobkxycpyiobcodxycnbysdc

无意义

若K解密为t

有19a+b=10(mod 26),解得a=4,不合法

若P解密为t

有19a+b=15(mod 26)，解得a=13不合法

若I解密为t

有19a+b=8(mod26),解得a=16不合法

若A解密为t,解得a=12不合法

若E解密为t,解得a=14不合法

若R解密为t,解得a=1,b=24,解密为y+2

破译后文字为msgtglgderreletmkgcewbdmtxrmtdekdsectdlexhewrmtkqhmrcewbsgrdmtzrgkkgcd fmrderhefeechkgcdfmrderhgsrmcbdmtjckdmcreekdwteefmfeelekfhwkzrchhgtdkeb fhmcdkeddgpghewrlexmcdreafeefrmdeqergtmkxmuerkedtmklrmcdk

无意义

若F解密为t，解得a=21,b=22,解密为5x+20(mod 26)

破译后文字为swobonozerrenebsioueqpzsbvrsbzeizweubznevteqrsbimtsrueqpworzsbfroiiouz jsrzerteje

eutiouzjsrzertowrsupzsbduizsureeizqbeejsjeeneijtqifruttobziepjtsuziezz

ohoteqrnev

suzrekjeejrszemerobsivsgeriezbsinrsuzi

无意义

若D解密为t，解得a=7,b=0,解密为15x(mod 26)

破译后文字为

ugivifiperrefevuqiaeolpuvdruvpeqpgeavpfedxeoruvqcxuraeolgirpuvhriqqiap

turperxete

eaxqiapturperxigrualpuvbaqpuareeqpoveetuteefeqtxoqhraxxivpqeltxuapqepp

inixeorfed

uaprewteetrupecerivuqdukerqepvuqfruapq

无意义

a=19，b=4.解密a=11,b=8

附明文

ocanadaterredenosaieuxtonfrontestceintdefleuronsglorieuxcartonbrassait

porterlepe

eilsaitporterlacroixtonhistoireestuneepopeedesplusbrillantsexploitsett

avaleurdef

oitrempeeprotegeranosfoyersetnosdroits

加标点后（加拿大国歌法语版）

OCanada! Terre de nos a?eux,

Ton front est ceint de fleurons glorieux!

Car ton bras sait porter l'épée,

Il sait porter la croix!

Ton histoire est une épopée

Des plus brillants exploits.

Et ta valeur de foi trempé

Protégera nos foyers et nos droits;

Protégera nos foyers et nos droit s

(d)

频数统计为

A = 20

B = 25

C = 46

D = 19

E = 17

F = 17

G = 9

H = 7

I = 19 J = 10 K = 30 L = 5

M = 4 N = 5 O = 4 P = 26

Q = 13 R = 22 S = 8 T = 12

U = 9 V = 12 W = 6 X = 6

Y = 5 Z = 7

各个字母均存在而且不少，表明不可能为代换密码和置换密码

根据各种三字母组合，可以判断应该为6字母为一组（相同三字母位置之差大多为6的倍数）但没有找到维吉尼亚密钥。应该是希尔密码（不知道如何破译）

1.22

(a)（刘庆宾）

证明：

方法一(冒泡排序思想类似)：

设Pn~P1的系数依次为Qn’~Q1’，记∑=PnQn’+Pn-1Qn-1’+……+P1Q1’

结论一：如果存在i，j满足i>=j而且Qi’<=Qj’，交换Qi’与Qj’的位置得到新的∑’，有∑<=∑’。

证明：∑-∑’=

PnQn’+…+PiQi’+…PjQj’+…+P1Q1’-(PnQn’+…+PiQj’+…PjQi’+…+P1Q1’) =(Qi’-Qj’)(Pi-Pj)<=0

假设存在整数k,

(1) k=1时，令Qn=max{ Qn’~Q1’},如果Qn’!=Qn，交换Qn’与Qn的位置，则表达式∑的值增加;否则不交换

(2)k>=2时，我们有Pn~Pk-1的系数依次为Qn~Qk-1.

令Qk=max({Qn’~Q1’}-{ Qn~Qk-1});,同理交换Qk’与Qk的位置，∑的值增加。

由此类推，当k=n时,得到了命题中给出的式子。在证明过程中保证了Qn’~Q1’的任意性，因此当Qn’~Q1’与 Qn~Q1完全对应时，∑达到最大值。

方法二（快速排序思想类似）：

与方法一类似，请感兴趣的朋友自己证明一下

(b)略

1.23(孙宏峰)

解：b r e a t h t a k I n g

1 17 4 0 19 7 19 0 10 8 13 16

R U P O T E N T O I F V

17 20 15 14 19 4 13 19 14 8 5 21

我们可以假设m=2,3,4,……，直到找到密钥为止

若m=2，则有

(1,17)=(17,20) ……………………①

(4,0)=(15,14) ……………………②

(19,7)=(19,4)

(19,0)=(13,19)

(10,8)=(14,8)

(13,6)=(5,21)

由①②可得K=，可以解出K，然后代入其他式中验算K的正确性，同理，可以

求得若m=3，4,……时的密钥K并进行验算，最终求出正确的密钥K

1.24(袁小卉)

根据题意，

(3,18,17)=(0,3,8)e k+(b1,b2,b3);

(12,18,8)=(18,15,11)e k+(b1,b2,b3);

(14,15,11)=(0,24,4)e k+(b1,b2,b3);

(23,11,9)=(3,4,16)e k+(b1,b2,b3);

(1,25,20)=(20,0,19)e k+(b1,b2,b3);

(11,11,2)=(8,14,13)e k+(b1,b2,b3);

可得方程组：

3 18 17 0 3 8 b1 b2 b3

12 18 8 = 18 15 11 e k+ b1 b2 b3 ① 14 15 11 0 24 4 b1 b2 b3

23 11 9 3 4 16 b1 b2 b3

1 25 20 = 20 0 19 e k+ b1 b

2 b

3 ② 11 11 12 8 1

4 13 b1 b2 b3

两式相减得：

20 -7 -8 3 1 8

-11 7 12 = 2 -15 8 e k

-3 -4 1 8 -10 9

右边矩阵的逆为：

6 10 19

22 0 8

24 0 10

5 4 13

故解e k= 0 22 14

8 0 0

带入方程组得b=(8,6,13)

1.25 (喻思敏)

词频统计

LM 3 QE 1 TX 4 YE 1 AG 2 CT 1 UI 1 EW 3 NC 1 LZ 1 UA 1 IS 1 PZ 1 YV 2 AP 2 GQ 1 WY 1 AX 2 FT 1 CJ 1 MS 1 QC 1 AD 1 DX 1 NX 1 SN 1 PJ 1 QS 2 RI 1 MH 1 NO 1 CV 1 FV 1

参考代码（部分）：

for(i=0;i<45;i++)

{

int m=0;

if(in[i][0]==-1)continue;

ap[0]=in[i][0];

ap[1]=in[i][1];

for(j=i+1;j<45;j++)

{

if(in[j][0]==-1)continue;

if(in[i][0]==in[j][0]&&in[i][1]==in[j][1])

{

m++;

in[j][0]=in[j][1]=-1;

}

}

}

其中in已经存储了所有密文对应的值

#include "stdafx.h"

#include

#include

using std::cin;

using std::cout;

using std::endl;

int in[45][2];

int gcd(int n1,int n2)//最大公约数

{

int t;

if(n1

{

t=n1;

n1=n2;

n2=t;

}

if(!(n1%n2))return n2;

else{

n1=n1%n2;

return gcd(n2,n1);

}

}

int mod(int a,int m)

{

if(a>=0)return a%m;

else if(a+m>0)return a+m;

else return mod((-(-a)%m),m);

}

int mod_convert(int mod,int num)//模mod的逆

{

if(gcd(mod,num)!=1)return -1;

else

{

for(int i=1;i<=mod;i++)

if((num*i)%mod==1)return i;

return -1;

}

}

int mod_convert_matrix(int &a,int &b,int &c,int &d,int m)

{

int A=a*d-b*c;

A=mod(A,m);

if(gcd(A,m)!=1)return -1;

else{

int _A,t;

_A=mod_convert(m,A);

t=a;a=d;d=t;

b=-b;c=-c;

a=_A*a;b=_A*b;c=_A*c;d=_A*d;

a=mod(a,m);b=mod(b,m);c=mod(c,m);d=mod(d,m);

}

return 0;

}

int mod_mul_matrix(int &a,int &b,int &c,int &d,int a1,int b1,int c1,int d1,int m) {

int t1,t2,t3,t4;

t1=a*a1+b*c1;

t2=a*b1+b*d1;

t3=c*a1+d*c1;

t4=c*b1+d*d1;

a=mod(t1,m);b=mod(t2,m);c=mod(t3,m);d=mod(t4,m);

return 0;

}

void decipher(int &c1,int &c2,int a,int b,int c,int d,int m)

{

int t1,t2;

t1=a*c1+c*c2;

t2=b*c1+d*c2;

c1=mod(t1,m);c2=mod(t2,m);

}

void plaintext(char m1,char m2,char n1,char n2,char e1,char e2,char p1,char p2)//明文对m1m2,n1n2

{

//密文对e1e2,p1p2

int a,b,c,d,i,j;

int a1,b1,c1,d1;

a=m1-'A';b=m2-'A';c=n1-'A';d=n2-'A';

a1=e1-'A';b1=e2-'A';c1=p1-'A';d1=p2-'A';

printf("明文矩阵：\n\t%d %d\n\t%d %d\n",a,b,c,d);

printf("密文矩阵：\n\t%d %d\n\t%d %d\n",a1,b1,c1,d1);

if(mod_convert_matrix(a1,b1,c1,d1,26)==-1)printf("密文矩阵的逆不存在\n");

else

{

//printf("密文矩阵的逆：\n\t%d %d\n\t%d %d\n",a1,b1,c1,d1);

mod_mul_matrix(a1,b1,c1,d1,a,b,c,d,26);//矩阵乘法求出解密矩阵

printf("解密矩阵：\n\t%d %d\n\t%d %d\n",a1,b1,c1,d1);

int pltxt[45][2];

for(i=0;i<45;i++)

for(j=0;j<2;j++)

pltxt[i][j]=in[i][j];

for(i=0;i<45;i++)

decipher(pltxt[i][0],pltxt[i][1],a1,b1,c1,d1,26);

for(i=0;i<45;i++)

for(j=0;j<2;j++)

printf("%c",pltxt[i][j]+'a');

cout<

}

}

void de(char *s)

{

char m1=s[0],m2=s[1],n1=s[2],n2=s[3],e1=s[4],e2=s[5],p1=s[6],p2=s[7];

plaintext(m1,m2,n1,n2,e1,e2,p1,p2);

plaintext(m1,m2,n1,n2,p1,p2,e1,e2);

}

int main(int argc, char* argv[])

{

int i,j,ap[2];

freopen("cdata.in","r",stdin);

freopen("data.out","w+",stdout);

for(i=0;i<45;i++)

{

char temp=0;

cin>>temp;

in[i][0]=temp-'A';

cin>>temp;

in[i][1]=temp-'A';

}

//TX 4 LM 3 EW 3

//TH HE IN ER AN RE ED ON

//de("THHETXLM");

//de("HEINTXLM");