湖北省2020年高考数学 第21题优美解

2020年高考数学（湖北B 卷）第21题（理）优美解

试题

21.设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线

l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在

圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．

（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴

上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的

0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.

解法（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，

可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01

||||y y m

=

. ① 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=. ②

将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2

2

2 1 (0,1)y x m m m

+=>≠且.

因为(0,1)(1,)m ∈+∞U ，所以

当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为(0)，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为(0,，(0,

.

（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ?>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ，

直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.

依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得 21122

244k x x x m k -+=-+，即21

222

4m x x m k =+. 因为点H 在直线QN 上，所以21

21222

224km x y kx kx m k -==+.

于是11(2,2)PQ x kx =--u u u r ，2211

21212222

42(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++u u u r .

而PQ PH ⊥等价于222

122

4(2)04m k x PQ PH m k -?==+u u u r u u u r ，

即220m -=，又0m >，得m =

故存在m=使得在其对应的椭圆

2

21

2

y

x+=上，对任意的0

k>，都有PQ PH

⊥.

解法2：如图2、3，

1

(0,1)

x

?∈，设

11

(,)

P x y，

22

(,)

H x y，则

11

(,)

Q x y

--，

1

(0,)

N y，因为P，H两点在椭圆C上，所以

2222

11

2222

22

,

,

m x y m

m x y m

?+=

?

?

+=

??

两式相减可得

22222

1212

()()0

m x x y y

-+-=. ③

依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合，

故

1212

()()0

x x x x

-+≠. 于是由③式可得

2

1212

1212

()()

()()

y y y y

m

x x x x

-+

=-

-+

. ④

又Q，N，H三点共线，所以

QN QH

k k

=，即112

112

2y y y

x x x

+

=

+

.

于是由④式可得

2

1121212

1121212

()()

1

2()()2

PQ PH

y y y y y y y m

k k

x x x x x x x

--+

?=?=?=-

--+

.

而PQ PH

⊥等价于1

PQ PH

k k?=-，即

2

1

2

m

-=-，又0

m>，得m=

故存在m=

2

21

2

y

x+=上，对任意的0

k>，都有PQ PH

⊥.

解法赏析：

开放型试题一定要注意其存在性，否则容易出现错误。

图2 (01)

m

<<图3 (1)

m>

图1

第21题解答图