《数值计算方法》试题集及答案
《计算方法》期中复习试题
一、填空题:
1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得
?≈3
1
_________
)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案:2.367,0.25
2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2
x 的系数为 ,
拉格朗日插值多项式为 。
答案:-1,
)2)(1(21
)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=
x x x x x x x L
3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字;
4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( );
答案
)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---
=+
5、对1)(3
++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 );
6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差;
7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为
( 1
2+-n a b );
8、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为
( 0.15 );
11、 两点式高斯型求积公式?1
0d )(x x f ≈(?++-≈1
)]
321
3()3213([21d )(f f x x f ),代数精
度为( 5 );
12、 为了使计算
32)1(6
)1(41310--
-+-+
=x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表
达式改写为
11
,))64(3(10-=
-++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式
19992001-改写为 199920012
+ 。
13、 用二分法求方程01)(3
=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区
间为 0.5,1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5,0.75 。 14、 计算积分?1
5
.0d x
x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ,
用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ,梯形公式的代数精度为 1 ,辛卜生公式的代数精度为 3 。
15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ,)(x f 的二次牛顿
插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。
16、 求积公式
?∑=≈b
a k n
k k x f A x x f )(d )(0
的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,具
有( 12+n )次代数精度。
17、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求?5
1
d )(x
x f ≈( 12 )。
18、 设f (1)=1, f (2)=2,f (3)=0,用三点式求≈')1(f ( 2.5 )。
19、如果用二分法求方程043
=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( 10 )次。
20、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2
33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数,则
a =( 3 ),
b =( 3 ),
c =( 1 )。
21、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数,则
∑==
n
k k
x l
0)((
1 ),
∑==
n
k k j
k x l
x 0
)((
j
x ),当
2
≥n 时
=
++∑=)()3(20
4
x l x x
k k n k k
( 32
4++x x )。
22、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_____2_____阶的连续导
数。
23、改变函数f x x x ()=+-1 (x >
>1)的形式,使计算结果较精确 ()x x x f ++=
11
。
24、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根,要求精确到第3位小数,则需要对
分 10 次。
25、设
()???≤≤+++≤≤=21,10,22
3
3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数,则 a= 3 , b= -3 , c= 1 。
26、若用复化梯形公式计算?1
0dx
e x ,要求误差不超过6
10-,利用余项公式估计,至少用 477个求积节点。
27、若
4
321()f x x x =++,则差商2481632[,,,,]f = 3 。 28、数值积分公式1
12
18019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++?的代数精度为
2 。 选择题
1、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。 A . 2 B .5 C . 3 D . 4
2、舍入误差是( A )产生的误差。
A. 只取有限位数 B .模型准确值与用数值方法求得的准确值 C . 观察与测量 D .数学模型准确值与实际值 3、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。
A . 6
B . 5
C . 4
D . 7 4、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( C )误差。 A . 模型 B . 观测 C . 截断 D . 舍入
5、用1+3x
近似表示3
1x +所产生的误差是( D )误差。
A . 舍入
B . 观测
C . 模型
D . 截断 6、-324.7500是舍入得到的近似值,它有( C )位有效数字。 A . 5 B . 6 C . 7 D . 8
7、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( A )。 A . –0.5 B . 0.5 C . 2 D . -2 8、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A . 3 B . 4 C . 5 D . 2 9、( D )的3位有效数字是0.236×102。
(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10-2 (C) 235.418 (D) 235.54×10-1 10、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成x=?(x),则f(x)=0的
根是( B )。
(A) y=?(x)与x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与y=?(x)交点的横坐标 (C) y=x 与x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与y=?(x)的交点
11、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。
(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x -x1)(x -x2)…(x -xn -1)(x -xn),
(B)
)!1()
()()()()1(+=
-=+n f x P x f x R n n n ξ (C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x -x0)(x -x1)(x -x2)…(x -xn -1)(x -xn),
(D) )
()!1()
()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++=-=ωξ
12、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足( A ),则它的解数列
{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。
)()()D (0
)()()C (0
)()()B (0
)()()A (0000<'<''>'>''x f x f x f x f x f x f x f x f
13、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根,把方程改写成下列形式,并
建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是(A )。
(A)
1
1:,1
1
12-=-=+k k x x x x 迭代公式
(B)21211:,11k
k x x x x +=+
=+迭代公式
(C)
3
/12123)
1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式
(D)
11:,12
2
1
2
3+++==-+k k k
k x x x x x x 迭代公式
14、在牛顿-柯特斯求积公式:
?
∑=-≈b
a
n
i i n i x f C a b dx x f 0
)()
()()(中,当系数)(n i C 是负值时,
公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当( )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
(1)8≥n , (2)7≥n , (3)10≥n , (4)6≥n ,
(1)二次; (2)三次; (3)四次; (4)五次
151732.≈计算4
1)x =,下列方法中哪种最好?( )
(A)28-
(B)24(-; (C
;
。
26、已知
33
0221224()()()x x S x x a x b x ?≤≤=?-+-+≤≤?是三次样条函数,则,a b 的值为( )
(A )6,6; (B)6,8; (C)8,6; (D)8,8。
)
(A); (B)4; (C) ; (D ) 2。
17、形如112233()()()()
b
a
f x dx A f x A f x A f x ≈++?
的高斯(Gauss )型求积公式的代数精
度为( )
(A)9; (B)7; (C ) 5; (D) 3。
18的Newton 迭代格式为( )
(A)
132k k k x x x +=+;(B )1322k k k x x x +=+;(C) 122k k k x x x +=+;(D) 133k k k x x x +=+
。 19、用二分法求方程32
4100x x +-=在区间12[,]内的实根,要求误差限为31102ε-=?,
则对分次数至少为( )
(A )10; (B)12; (C)8; (D)9。
20、设()i l x 是以019(,,,)k x k k ==L 为节点的Lagrange 插值基函数,则9
0()i
k kl k ==
∑( ) (A)x ; (B )k ; (C )i ; (D )1。 33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式,至少具有( )次代数精度 (A )5
; (B)4; (C)6; (D)3。
21、已知
33
0221224
()()()x x S x x a x b x ?≤≤=?-+-+≤≤?是三次样条函数,则,a b 的值为( ) (A )6,6; (B)6,8; (C)8,6; (D)8,8。
35、已知方程3
250x x --=在2x =附近有根,下列迭代格式中在02x =不收敛的是
( )
(A)1k x +=; (B)1k x += (C )315k k k x x x +=--
; (D)
3
1225
32k k k x x x ++=-。 (A ) 4; (B)2; (C)1; (D)3。
23、5个节点的Gauss 型求积公式的最高代数精度为( ) (A)8; (B )9; (C)10; (D)11。
三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打√,否则打?)
1、已知观察值)210()(m i y x i i ,,,,
,Λ=,用最小二乘法求n 次拟合多项式)(x P n 时,)(x P n 的次数n 可以任意取。 ( )
2、用1-22
x 近似表示cos x 产生舍入误差。 ( )
3、))(()
)((210120x x x x x x x x ----表示在节点x 1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( √ )
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时,高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。
( √ )
5、矩阵A =?
????
??-521352113具有严格对角占优。 ( )
四、计算题:
1、求A 、B 使求积公式?-+-++-≈1
1)]21
()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量
高,并求其代数精度;利用此公式求
?
=2
1
1
dx
x I (保留四位小数)。
答案:2
,,1)(x x x f =是精确成立,即
???
??=+=+32212222B A B A 得98,91==B A
求积公式为)]21
()21([98)]1()1([91)(1
1f f f f dx x f +-++-=?-
当3
)(x x f =时,公式显然精确成立;当4
)(x x f =时,左=52
,右=31。所以代
数精度为3。
69286.0140
97
]
3
21132/11[98]311311[9131111322
1
≈=
+++-++++-≈+=??--=dt t dx x x t
2、已知
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ,并求)2(f 的近似值(保留四位小数)。
答案:
)53)(43)(13()
5)(4)(1(6
)51)(41)(31()5)(4)(3(2
)(3------+------=x x x x x x x L
)45)(35)(15()
4)(3)(1(4
)54)(34)(14()5)(3)(1(5
------+------+x x x x x x
差商表为
)
4)(3)(1(41
)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P
5.5)2()2(3=≈P f 5、已知
求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ,并求)0(f '的近似值。 答案:解:
正规方程组为
???
?
?=+==+41
34103101510520
120a a a a a
1411,103,710210=
==a a a
221411103710)(x x x p ++=
x
x p 711
103)(2+=' 103
)0()0(2
='≈'p f 6、已知x sin 区间[0.4,0.8]的函数表
如用二次插值求63891.0sin 的近似值,如何选择节点才能使误差最小?并求该近似值。
答案:解: 应选三个节点,使误差
|)(|!3|)(|33
2x M x R ω≤
尽量小,即应使|)(|3x ω尽量小,最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点
}7.0,6.0,5.0{最好,实际计算结果
596274.063891.0sin ≈,
且
4
1055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(!
31
596274
.063891.0sin -?≤----≤
-
7、构造求解方程0210=-+x e x
的根的迭代格式Λ,2,1,0),(1==+n x x n n ?,讨论其收敛
性,并将根求出来,4
110||-+<-n n x x 。
答案:解:令 010)1(,
02)0(,
210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x
.
且
010e )(>+='x
x f )(∞+-∞∈?,对x ,故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(=x f 变形为
)e 2(101
x x -=
则当)1,0(∈x 时
)e 2(101
)(x x -=
?,
1
10
e
10e |)(|<≤-='x x ?
故迭代格式
)e 2(101
1n x n x -=
+
收敛。取5.00=x ,计算结果列表如下:
且满足 6671095000000.0||-<≤-x x .所以008525090.0*≈x .
10、已知下列实验数据
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
解:当0 d e 1 0?有一位整数. 要求近似值有5位有效数字,只须误差 4)(11021 )(-?≤ f R n . 由 )(12)()( 2 3 )(1ξf n a b f R n ''-≤,只要 4 2 2) (11021 12e 12e ) e (-?≤≤≤n n R x n ξ 即可,解得 ???=?≥ 30877.67106e 2n 所以 68=n ,因此至少需将 [0,1] 68等份。 12、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数x x f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项式 )(2x P ,并估计误差。 解: )15.0)(05.0() 1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002----? +----? =--x x e x x e x P )5.0(2)1(4)1)(5.0(2) 5.01)(01() 5.0)(0(15.01-+----=----? +---x x e x x e x x x x e 又 1 |)(|max ,)(,)(] 1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x 故截断误差 |)1)(5.0(|!31 |)(||)(|22--≤ -=-x x x x P e x R x 。 14、给定方程 01e )1()(=--=x x x f 1) 分析该方程存在几个根; 2) 用迭代法求出这些根,精确到5位有效数字; 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。 解:1)将方程 01e )1(=--x x (1) 改写为 x x -=-e 1 (2) 作函数1)(1-=x x f ,x x f -=e )(2的图形(略)知(2)有唯一根)2,1(*∈x 。 2) 将方程(2)改写为 x x -+=e 1 构造迭代格式 ?? ?=+=-+5.1e 101x x k x k ),2,1,0(Λ=k 计算结果列表如下: 3) x x -+=e 1)(?,x x --='e )(? 当]2,1[∈x 时,]2,1[)]1(),2([)(?∈???x ,且 1e |)(|1<≤'-x ? 所以迭代格式 ),2,1,0()(1Λ==+k x x k k ?对任意]2,1[0∈x 均收敛。 15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x 0=1.7, 计算三次,保留五位小数。 解:3是 03)(2 =-= x x f 的正根,x x f 2)(=',牛顿迭代公式为 n n n n x x x x 23 2 1 -- =+, 即 ) ,2,1,0(2321Λ=+=+n x x x n n n 取x 0=1.7, 列表如下: 16、已知f (-1)=2,f (1)=3,f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1,5)的近似值,取五位小数。 解: )12)(12() 1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+? --+-+?+------? =x x x x x x x L )1)(1(34 )2)(1(23)2)(1(32-+--+---= x x x x x x 04167 .0241 )5.1()5.1(2≈=≈L f 17、n =3,用复合梯形公式求 x x d e 10?的近似值(取四位小数),并求误差估计。 解: 7342.1]e )e e (2e [3201d e 1210 310 ≈+++?-= ≈?T x x x x x f x f e )(,e )(=''=,10≤≤x 时,e |)(|≤''x f 05.0025.0108e 312e |e |||2 3≤==?≤ -=ΛT R x 至少有两位有效数字。 20、(8 2 bx a y +=解:},1{2 x span =Φ ??????=2222 383125191111T A []3.730.493.320.19=T y 解方程组 y A AC A T T = 其中 ??????=3529603339133914A A T ??????=7.1799806.173y A T 解得: ? ?????=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a , 0501025.0=b 21、(15分)用8=n 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算dx e x ?-1 0时,试用余 项估计其误差。用8=n 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算出该积分的近似值。 解:001302 .07681 81121)(12][022==??≤''--=e f h a b f R T η ] )()(2)([2)8(7 1∑=++=k k b f x f a f h T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16 1 ++++++?+= 6329434.0= 22、(15分)方程013 =--x x 在5.1=x 附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(1) 31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ;(2)x x 11+ =对应迭代格式n n x x 111+=+;(3) 13-=x x 对应迭代格式13 1-=+n n x x 。判断迭代格式在5.10=x 的收敛性,选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根,精确到小数点后第三位。 解:(1)32 1(31 )(-+=')x x ?, 118.05.1<=')(?,故收敛; (2) x x x 1 121 )(2+ - ='?,117.05.1<=')(?,故收敛; (3)23)(x x ='?, 15.135.12>?=')(?,故发散。 选择(1):5.10=x ,3572.11=x ,3309.12=x ,3259.13=x ,3249.14=x , 32476.15=x ,32472.16=x 25、数值积分公式形如 ?'+'++=≈1 ) 1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精 度尽量高;(2)设]1,0[)(4 C x f ∈,推导余项公式?-=10 ) ()()(x S dx x xf x R ,并估计误差。 解:将3 2 ,,,1)(x x x x f =分布代入公式得: 201 ,301,207,203-==== D B B A 构造Hermite 插值多项式)(3x H 满足??? ='='=1,0)()()()(33i x f x H x f x H i i i i 其中1,010==x x 则有:?=103 )()(x S dx x xH , 2 2)4(3)1(!4)()()(-=-x x f x H x f ξ dx x x f dx x S x f x x R 21 03 )4(1 0)1(!4)(])()([)(-=-=??ξ 1440)(60!4)()1(!4)()4()4(1023)4(ηηηf f dx x x f =?=-=? 27、(10分)已知数值积分公式为: )] ()0([)]()0([2)(''20 h f f h h f f h dx x f h -++≈? λ,试确定积分公式中的参数λ,使其代 数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。 解:1)(=x f 显然精确成立; x x f =)(时,] 11[]0[22220 -++==?h h h h xdx h λ; 2)(x x f =时,12122]20[]0[23322302= ?-=-++==?λλλh h h h h h h dx x h ; 3)(x x f =时,] 30[121 ]0[2422340 3h h h h h dx x h -++==?; 4)(x x f =时,6]40[121]0[2553 24504 h h h h h h dx x h = -++≠=?; 所以,其代数精确度为3。 28、(8分)已知求)0(>a a 的迭代公式为: Λ 2,1,00)(2101=>+= +k x x a x x k k k 证明:对一切a x k k ≥=,,2,1Λ,且序列{}k x 是单调递减的, 从而迭代过程收敛。 证明: Λ 2,1,0221)(211==???≥+= +k a x a x x a x x k k k k k 故对一切a x k k ≥=,,2,1Λ。 又1)11(21 )1(2121=+≤+=+k k k x a x x 所以k k x x ≤+1,即序列{}k x 是单调递减有下界,从而迭代过程收敛。 29、(9分)数值求积公式? +≈30 )] 2()1([23 )(f f dx x f 是否为插值型求积公式?为什么? 其代数精度是多少? 解:是。因为)(x f 在基点1、2处的插值多项式为 )2(121 )1(212)(f x f x x p ?--+?--= ?+=30)]2()1([23)(f f dx x p 。其代数精度为1。 30、(6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性。 (6分) ()()[]n n n x x x cos 141 1+= =+φ,n=0,1,2,… ()()141 sin 41'<≤=x x φ ∴ 对任意的初值]1,0[0∈x ,迭代公式都收敛。 31、(12分)以100,121,144为插值节点,用插值法计算115的近似值,并利用余项估计误差。 用Newton ≈11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.7227555 ()2 5 83'''- =x x f ()()()()00163.029******* 3 61144115121115100115! 3'''25 ≈???≤---= -ξf R 32、(10分)用复化Simpson 公式计算积分 ()? =1 0sin dx x x I 的近似值,要求误差限为 5105.0-?。 ()()0.9461458812140611=???? ??+??? ??+=f f f S ()()0.94608693143421241401212=???? ??+??? ??+??? ??+??? ??+= f f f f f S 5-12210933.0151 ?=-≈ -S S S I 94608693.02=≈S I 或利用余项:()()Λ -+-+-==!9!7!5!31sin 8 642x x x x x x x f ()Λ-?+?-=!49!275142) 4(x x x f ()51 )4(≤ x f ()()54 ) 4(4 5 105.0528801 2880-?≤?≤ -= n f n a b R η,2≥n ,Λ=≈2S I 33、(10分)用Gauss 列主元消去法解方程组: ??? ??=++=++=++27 6234532424321 321321x x x x x x x x x 3.0000 1.0000 5.0000 3 4.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 3 4.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0 0000 1.9375 9.6875 ()T x 0000.5,0000.3,0000.2= 36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度: ()()121101 f A f A dx x xf +??? ??≈? 取f(x)=1,x ,令公式准确成立,得: 2110= +A A ,312110= +A A 310=A ,61 1=A f(x)=x 2时,公式左右=1/4; f(x)=x 3时,公式左=1/5, 公式右=5/24 ∴ 公式的代数精度=2 40、(10分)已知下列函数表: (2)作均差表,写出相应的三次Newton 插值多项式,并计算15(.)f 的近似值。 解:(1) 3123023013012010203101213202123303132()()()()()()()()()()()() ()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x L x ------------=+++ ------------ 3248 21 33x x x =-++ (2)均差表:011329327 2 618 26 43 34 1221123()()()() N x x x x x x x =++-+-- 315155(.)(.)f N ≈= 42、(10分)取5个等距节点 ,分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分 2 201 12+?dx x 的近似值(保留4位小数)。 2112()f x x = +-----------------(2分) (1)复化梯形公式(n=4,h=2/4=0.5): 4051206666670333333018181801111112.[(...).] T =+?+++ 0868687.= (2)复化梯形公式(n=2,h=2/2=1): 21 1406666670181818203333330111111 6 [(..)..] S=+?++?+ 0861953 . = 《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:, 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); ( 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精 度为( 5 ); 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ,1 ,进行两步后根的所在区间为 , 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ,用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ,梯形公式的代数精度为 1 ,辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ,该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ,)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,具 有( 12+n )次代数精度。 【 数值计算方法试题一 一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数, 则 a =( ), b =( ), c =( )。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则 ∑== n k k x l 0)(( ), ∑== n k k j k x l x 0 )(( ),当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ; 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ?,则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 《计算方法》期末考试试题 一 选 择(每题3分,合计42分) 1. x* = 1.732050808,取x =1.7320,则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈(三位有效数字),则 ≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤,减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x 及常向量g ,迭代过程g x B x k k +=+)() 1(收敛的充分必要条件是_ _。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)( 数值计算方法试题一 一、填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数,需对分()次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在()。 3、已知是三次样条函数,则 =( ),=(),=()。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则 ( ),( ),当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为,5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族,其中,则。 8、给定方程组,为实数,当满足,且时,SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设,当()时,必有分解式,其中为下三角阵,当其对角线元素满足()条件时,这种分解是唯一的。 二、二、选择题(每题2分) 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是()。(1), (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式:中,当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 (1),(2),(3),(4), (1)二次;(2)三次;(3)四次;(4)五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题,试问为保证该公式绝对稳定,步长的取值范围为()。 (1), (2), (3), (4) 三、1、 2、(15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 (2)用的复化梯形公式(或复化 Simpson公式)计算出该积分的近似值。 四、1、(15分)方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(1)对应迭代格式;(2)对应迭代格式;(3)对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性,选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。 2、(8分)已知方程组,其中 , (1)(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 (2)(2)求出Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出SOR 迭代法。 五、1、(15分)取步长,求解初值问题用改进的欧拉法求的值;用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、(8分)求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、(下列2题任选一题,4分) 1、1、数值积分公式形如 (1)(1)试确定参数使公式代数精度尽量高;(2)设,推导余项公式,并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时,如何选择参数使方法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题:(共16分,每小题2分) 1、若是阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵和上三角阵,使唯一成立。() 《计算方法》期中复习试题 一、填空题: 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:2.367,0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 8、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精度 为( 5 ); 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式1999 2001- 数值计算方法试题 重庆邮电大学数理学院 一、填空题(每空2分,共20分) 1、用列主元消去法解线性方程组 1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 ,,,,,,,收 敛 2、迭代过程(k=1,2,…)收敛的充要条件是 2、已知y=f(x)的数据如下 ,,, x 0 2 3 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有 f(x) 1 3 2 效数字是,,, 4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组求二次插值多项式及f(2.5) 3、用牛顿法导出计算的公式,并计算,要求迭代误差不超过 。 4、欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式中求 ,,,,,,,,,,,,, , 5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,,,,,,取步长k=0.1,计算 y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. ,,则p(x)是不超过二次的多项式 三、证明题 (20分每题 10分 ) 6、对于n+1个节点的插值求积公式 1、明定 积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度至少具有,,,次代 数精度. 7、插值型求积公式的求积 2、若,证明用梯形公式计算积分所 系数之和,,, 得结果比准确值大,并说明这个结论的几何意义。 参考答案: T8、 ,为使A可分解为A=LL, 其中L一、填空题 1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 为对角线元素为正的下三角形,a的取值范围, 4、 5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 9、若则矩阵A的谱半径(A)= ,,, 8、 9、 1 10、二阶方法 10、解常微分方程初值问题的梯形二、计算题 格式 1、是,,,阶方法 二、计算题(每小题15分,共60分) 修德博学求实创新 李华荣 1 重庆邮电大学数理学院 2、 右边: 3、 ?1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位) 故具有三次代数精度 4、y(0.2)?0.01903 A卷三、证明题 《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 关于地方时的计算 一.地方时计算的一般步骤: 1.找两地的经度差: (1)如果已知地和要求地同在东经或同在西经,则: 经度差=经度大的度数—经度小的度数 (2)如果已知地和要求地不同是东经或西经,则: 经度差=两经度和(和小于180°时) 或经度差=(180°—两经度和)。(在两经度和大于180°时) 2.把经度差转化为地方时差,即: 地方时差=经度差÷15°/H 3.根据要求地在已知地的东西位置关系,加减地方时差,即:要求点在已知点的东方,加地方时差;如要求点在已知点西方,则减地方时差。 二.东西位置关系的判断: (1)同是东经,度数越大越靠东。即:度数大的在东。 (2)是西经,度数越大越靠西。即:度数大的在西。 (3)一个东经一个西经,如果和小180°,东经在东西经在西;如果和大于180°,则经度差=(360°—和),东经在西,西经在东;如果和等于180,则亦东亦西。 三.应用举例: 1、固定点计算 【例1】两地同在东经或西经 已知:A点120°E,地方时为10:00,求B点60°E的地方时。 分析:因为A、B两点同是东经,所以,A、B两点的经度差=120°-60°=60° 地方时差=60°÷15°/H=4小时 因为A、B两点同是东经,度数越大越靠东,要求B点60°E比A点120°E小,所以,B点在A点的西方,应减地方时差。 所以,B点地方时为10:00—4小时=6:00 【例2】两地分属东西经 A、已知:A点110°E的地方时为10:00,求B点30°W的地方时. 分析:A在东经,B在西经,110°+30°=140°<180°,所以经度差=140°,且A点东经在东,B点西经在西,A、B两点的地方时差=140°÷15°/H=9小时20分,B点在西方, 所以,B点的地方时为10:00—9小时20分=00:40。 B、已知A点100°E的地方时为8:00,求B点90°W的地方时。 分析:A点为东经,B点为西经,100°+90°=190°>180°, 则A、,B两点的经度差=360°—190°=170°,且A点东经在西,B点西经在东。 所以,A、B两点的地方时差=170°÷15°/H=11小时20分,B点在A点的东方, 所以B点的地方时为8:00+11小时20分=19:20。 C、已知A点100°E的地方 8:00,求B点80°W的地方时。 分析:A点为100°E,B点为80°W,则100°+80°=180°,亦东亦西,即:可以说B点在A点的东方,也可以说B点在A点的西方,A,B两点的地方时差为180÷15/H=12小时。所以B点的地方时为8:00+12小时=20:00或8:00—12小时,不够减,在日期中借一天24小时来,即24小时 +8:00—12小时=20:00。 2、变化点计算 【例1】一架飞机于10月1日17时从我国上海(东八区)飞往美国旧金山(西八区),需飞行14小时。到达目的地时,当地时间是() A. 10月2日15时 B. 10月2日3时 C. 10月1日15时 D. 10月1日3时 数值计算方法试题一 数值计算方法试题一 一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043 =-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。 2、迭代格式)2(2 1 -+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2 110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数,则 a =( ),b =( ),c =( )。 4、)(,),(),(1 x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则 ∑== n k k x l 0)(( ), ∑== n k k j k x l x 0 )(( ),当 2 ≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 4 7 +++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[1 n x x x f 和=?0 7 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0 )(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0 =x ?,则 ?= 1 4 )(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2 21121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ?? ? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 10、设?? ?? ? ?????=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解是唯一的。 二、 选择题(每题2分) 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是( )。 (1)1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式: ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中,当系数) (n i C 是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当( )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 (1)8≥n , (2)7≥n , (3)10≥n , (4)6≥n , x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题 1. 14159.3=π的近似值3.1428,准确数位是( 2 10- )。 2.满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R ( ))((!2) (b x a x f --''ξ ) 。 3.设)}({x P k 为勒让德多项式,则=))(),((22x P x P (5 2 )。 4.乘幂法是求实方阵(按模最大 )特征值与特征向量的迭代法。 5.欧拉法的绝对稳定实区间是( ]0,2[-)。 二、单选题 1.已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε,则=)(ab ε(C )。 A .)()(b a εε B.)()(b a εε+ C.)()(b b a a εε+ D.)()(a b b a εε+ 2.设x x x f +=2 )(,则=]3,2,1[f ( A )。 A.1 B.2 C.3 D.4 3.设A=?? ? ? ??3113,则化A为对角阵的平面旋转=θ( C ) . A. 2π B.3π C.4π D.6 π 4.若双点弦法收敛,则双点弦法具有(B )敛速. A.线性 B.超线性 C.平方 D.三次 5.改进欧拉法的局部截断误差阶是( C ). A .)(h o B.)(2 h o C.)(3 h o D.)(4 h o 三、计算题 1.求矛盾方程组:??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2 212 212 2121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?, 由 0,021=??=??x x ? ?得:???=+=+9 629232121x x x x , 解得14 9 ,71821== x x 。 计算方法试题 1.有效数字位数越多,相对误差越小。() 2.若A是n×n阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵L和上三角阵U,使A=LU唯一成立。() 3.当时,型求积公式会产生数值不稳定性。() 4.不适合用牛顿-莱布尼兹公式求定积分的情况有的原函数不能用有限形式表示。() 5.中矩形公式和左矩形公式具有1次代数精度。() 1.数的六位有效数字的近似数的绝对误差限是() 2.用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为()。 3.求解线性代数方程组的高斯-赛德尔迭代格式为( ) 4.已知函数在点=2和=5处的函数值分别是12和18,已知,则()。 5.5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为()。 1.不是判断算法优劣的标准是()。 A、算法结构简单,易于实现 B、运算量小,占用内存少 C、稳定性好 D、计算误差大 2.计算(),取,采用下列算式计算,哪一个得到的结果最好? ()。 A、 ()B、99-70C、D、 () 3.计算的Newton迭代格式为()。 A、B、C、D、4.雅可比迭代法解方程组的必要条件是()。 A、A的各阶顺序主子式不为零 B、 C、,,,, D、 5.设求方程的根的切线法收敛,则它具有()敛速度。 A、线性 B、超越性 C、平方 D、三次 6.解线性方程组的主元素消元法中选择主元的目的是()。 A、控制舍入误差 B、减小方法误差 C、防止计算时溢出 D、简化计算 7.设和分别是满足同一插值条件的n次拉格朗日和牛顿插值多项式,它们的插值余项分别为和,则()。 A、, B、, C、, D、, 8.求积公式至少具有0次代数精度的充要条件是:() A、B、 C、D、 9.数值求积公式中Simpson公式的代数精度为()。 A、0B、1 C、2D、3 10.在牛顿-柯特斯求积公式:中,当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 A、B、C、D、 1.简述误差的四个来源。(10分) 2.简述分析法对的根进行隔离的一般步骤。 1.已知方程有一个正根及一个负根。 a)估计出有根区间; b)分别讨论用迭代公式求这两个根时的收敛性; c)如果上述格式不迭代,请写出一个收敛的迭代格式。(不需要证明) 计算方法模拟试题 一、 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.近似值210450.0?的误差限为( )。 A . 0.5 B. 0.05 C . 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为( )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足( )时,则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ,使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ,则=∞A ( )。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ,则乘幂法计算公式1e =( )。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 14159.3=π,具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ,则=-?)(21x x 。 3.已知1)(2-=x x f ,则差商=]3,2,1[f 。 4.雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。《数值计算方法》试题集及答案
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