“十字交叉法”的原理及应用

“十字交叉法”的原理及应用

摘要：本文分析了学生不易掌握“十字交叉法”的原因。应用平均值概念推导出“十字交叉法”原理，从平均值概念分析“十字交叉法”应用的条件和范围，给出了一种适用解答格式，并从三类二元混合体系和平均值角度对常见题型进行了归纳。

关键词：十字交叉法、平均值

“十字交叉法”是平均值法的技巧方法，即利用平均值求解二元混合体系的混合比的一种图解方法。利用此法求解二元混合体系的混合比具有准确、简便、快速的特点。因此，它是高考化学计算重要方法之一。教学实际中，许多同学对此法掌握得不好。学生出现的问题主要有两种情况：一种情况是遇到可用“十字交叉法”求解的问题，却不知道怎样用“十字交叉法”来求解；第二种情况是虽然知道用“十字交叉法”求解，但却不明确所得到的比值的化学意义，得出错误的计算结果。我们认为主要原因是在教学中没有抓住平均值概念去推导“十字交叉法”原理、分析应用范围和应用条件，没有给出解题的规范格式，也没从二元混合体系及其平均值角度来归纳常见题型。本文应用平均值概念推导“十字交叉法”原理、分析其应用条件和范围、归纳主要应用题型，并给出一种较适用的解题规式。

一、“十字交叉法”原理

1．用平均值概念推导“十字交叉法”原理

以A、B二组分混合物的平均摩尔质量为例推导“十字交叉法”原理。设混合物平均摩尔质量为M，A、B的物质的质量分别为n(A)和n(B)，摩尔质量分别为M(A)和M(B)

混合物的总质量为：m(混)= n(A)×M(A) + n(B)×M(B)

混合物的总物质的量为：n(混)= n(A) + n(B)

根据摩尔质量定义可知混合物的平均摩尔质量为：

…… ①

将A 和B 混合物的总物质的量n(混)和总质量m(混)代入①式得：

)

B (n )A (n )B (M )B (n )A (M )A (n M +?+?= …… ②

将②式变形得混合物中两种成分的物质的量之比的数学表达式：

M

)A (M )B (M M )B (n )A (n --= …… ③ 将③式写成直观的图解形式，即“十字交叉法”的形式：

A ：M(A) |M - M(B)|

╲ ╱ …… ④

╱ ╲

B ：M(B) |M(A) - M |

2．“十字交叉法”的应用条件

从上述二组分混合物平均摩尔质量推导“十字交叉法”原理得出其应用条件为： ⑴n(A)和n(B)具有加合性，即n(混)= n(A) + n(B)。

对比③和④两式，可以看出n(混)= n(A) + n(B)的化学意义和图解形式的特征共同决定了所求比值的化学意义。

⑵M 、M(A)、M(B)已知或是可求出的。

3．应用“十字交叉法”解题的格式

以往没有约定“十字交叉法”的解题格式，“十字交叉法”主要用于选择型或填空型计算题的解答，解答型计算题一般不用“十字交叉法”来解答，使“十字交叉法”应用受到一定的限制。实际上，只要约定“十字交叉法”求解解答型计算题表达格式，用“十字交叉法”求解解答型计算题会更为简捷。我们认为下列图解格式，是应用“十字交叉法”求解解答型计算题的适用的解答格式。

A ：M(A) |M - M(B)|

╲ ╱ n(A)

M ——————— = ————

╱╲ n(B) B：M(B) |M(A) - M|

4．“十字交叉法”的应用范围

凡是可以写出平均值：M

)B(n

)

A

(n

)B(

M )B(n

)

A

(

M

)

A

(n

+?

+

?

=表达式的二元混合体系，均可以应用“十字交叉法”求解其混合比。常见的应用范围见下表：

二、应用“十字交叉法”求解的常见题型

用“十字交叉法”解题时，关键在于根据所求二元混合体系的混合比的量找准相应的平均值以及相关的另两个量。用“十字交叉法”求解的主要题型归纳如下。

【题型1】：已知(或可求出)同种溶质不同浓度[M(A)、M(B)]的两种溶液的混合溶液的平均浓度，求两种溶液的混合比(质量之比或体积之比)。

例1．怎样用100g15%的NaCl溶液配制10%的NaCl溶液？

解：浓溶液：

15 10 - 0

╲ ╱ 2

10 ———— = ——

╱ ╲ 1

水： 0 15 – 10

需要水的质量为浓溶液质质量的一半，即50g

答：用量筒量取50g 水加入100g15%NaCl 溶液中，搅拌混匀即可。

例2．怎样用0.1mol/LNaCl 溶液和0.5mol/LNaCl 溶液配制100mL0.4mol/LNaCl 溶液？(假设混合后溶液体积等于混合前两种溶液体积之和)

解：浓溶液：0.5 0.4 – 0.1

╲ ╱ 3

0.4 —————— = ——

╱ ╲ 1

稀溶液：0.1 0.5 – 0.4

需要0.5mol/LNaCl 溶液体积为混合后总体积的3/4，即75mL ，则0.1mol/LNaCl 溶液的体积为25mL 。

答：用量筒量取75mL0.5mol/LNaCl 溶液放入烧杯中，再量取25mL0.1mol/LNaCl 溶液加入烧杯中，搅拌混匀即可。

【题型2】：已知元素的相对原子质量M 和两种同位素X 1A Z 、X 2A

Z 的相对原子质量 M(A)、

M(B)，求两种同位素原子个数百分比(或原子物质的量之比)。

例3．(1995年上海高考题)硼有两种天然同位素B 10

5、B 115，硼元素的近似相对

原子质量为10.8，对硼元素中B 10

5的质量分数判断正确的是 ( )

A.20%

B.略大于20%

C.略小于20%

D.80%

解：B

115：11 10.8 – 10 ╲ ╱ 4

10.8 —————— = ——

╱ ╲ 1

B 10

5

：10 11 – 10.8 B 10

5所占原子个数百分数为：%20%10051=?，因B 105的质量小于B 115，所以B 105的质量分数小于20%。答案为C 。

【题型3】：已知A、B两种物质摩尔质量(或相对质分子质量或式量) M(A)、M(B)和由它们组成的混合物的平均摩尔质量(或平均相对分子质量或平均式量) M，求混合时A、B物质的量之比(或气体的体积之比)。

例4．在标准状况下，有一排空气法收集满HCl气体的烧瓶，测得烧瓶内气体对氢的相对密度为17。现将烧瓶倒立于水槽中，求进入烧瓶中液体的体积占烧瓶体积的几分几？

解：HCl与空气的平均相对分子质量为：17×2 = 34

空气(将空气看作一种物质)的平均相对分子质量为29

HCl：36.5 34 – 29

╲╱ 2

34 —————— = ——

╱╲ 1

空气： 29 36.5 – 34