复变函数--幅角原理

§3 辐角原理及其应用

一、教学目标或要求：

掌握幅角原理的准确叙述及其应用

二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：对数留数 幅角原理 例题 重点：幅角原理 例题 难点: 幅角原理 例题 三、教学手段与方法： 讲授、练习

思考题、讨论题、作业与练习： 11－14

§3 辐角原理及其应用

1．对数留数

留数定理的另一个应用的考虑形如 的复变函数在极点处的留数,以之

导出辐角原理,提供确定解析函数零点个数的一个有效工具。积分dz

z f z f i C ?)

()

('21π称为)(z f 的对数留数。

引理 6.4（1）设为的级零点，则必为的一级极

点，且 ；

（2）设为的级极点，则必为的一级极点，且 。

证 （1）若设

为

的

级零点，则在

的邻域内，

，其中在的邻域内解析,且,于是

, 从而。由于在是邻域内解析,故可在的邻域内展开成Taylor级数,必定不含的

负幂项，因此必为的一级极点，且。

（2）设为的级极点，则必为的级零点，由（1）的结论,必

为的一级极点，且。

定理6.9设为一条围线，满足条件：

（1）在的内部除可能有极点外是解析的；

（2）在上解析且不为零，

则，其中与分别表示在

内部的零点与极点的个数(一个级零点算作个零点，一个级极点算作个极点)。

证由第五章(二)习题14知,在内部至多只有有限个零点和极点。设

为在内部的不同零点，其级相应地为,为

在内部的不同极点,其级相应为。根据引理 6.4，、

都是的一级极点，于是，在内部及上除去

、，外均解析，故由留数定理

2. 辐角原理

辐角原理 在定理6.9的条件下，函数)(z f 在C 内部的零点个数与极点个数之差，等于当z 沿C 之正向绕行一周后的改变量)(arg z f C ?除以π2，即

π

2)

(arg ),(),(z f C f P C f N C ?=

- (6.27)

特别地，如果在围线C 上及C 之内部均解析，且在C 上不为零，则

π

2)

(arg ),(z f C f N C ?=

(6.28)

证（大意）根据定理6.9，

注 定理6.9（2）可减弱为“连续到边界

,且沿

,

”，围线

也

可以是复围线。

例 ,试验证辐角原理。

证

故辐角原理成立。