直角三角形的判定和性质

直角三角形全等的判定

【知识点总结】

直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

【典型例题讲解】

例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE 求证：OB=OC.

例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE

：

例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。

【随堂练习】

1．选择：

（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个

①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等

③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等

A．0 B．1 C．2 D．3

（2）在下列定理中假命题是（）

A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形

B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形

C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形

D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形

（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（）

A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3

（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF 是∠ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是（）

A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定

（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB 的度数是（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

2．解答：

（1已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.

（2）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F 求证：CE=DF.

B M

C

【课后习题】

一、填空题:(每题5分,共20分)

1.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全

等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”. 2.如图,△ABC 中,∠C=90°,AM 平分∠CAB,CM= 20cm, 那么M 到AB 的距离是____cm.

3.已知△ABC 和△A ′B ′C ′,∠C=∠C ′=90°,AC=A ′C ′,

要判定△ABC ≌△A ′B ′C ′,必须添加条件为①________或②________或③________或④_________. 4.如图,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E,AB=DC,BE=CF, 若要说明AB ∥CD,理由如下:

∵AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E(已知)

∴△ABF,△DCE 是直角三角形

∵BE=CF(已知)

∴BE+_____=CF+_______(等式性质) 即_______=___________(已证)

∴Rt △ABF ≌Rt △DCE( )

二、选择题:(每题5分,共25分) 5.两个直角三角形全等的条件是( )

A.一锐角对应相等;

B.两锐角对应相等;

C.一条边对应相等;

D.两条边对应相等 6.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的()

①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个

7.如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对

8.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )

A.AB=DE,AC=DF

B.AC=EF,BC=DF

C.AB=DE,BC=EF

D.∠C=∠F,BC=EF

9.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个

直角三角形全等的依据是( )

A.AAS

B.SAS

C.HL

D.SSS

三、解答题:(共55分)

10.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=2AC,M 是AB 的中点,点N 在BC 上,MN ⊥AB.

求证:AN 平分∠BAC.(7分)

B

A

2

1N M

C

B A E F

C B A

E

F C D

11已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证:CF=DF.(8分)

B A

E F D

12知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE ⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.(8分)

B

A

E C

D

13已知如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:△ABC是直角三角形?( 8分)

C

14已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.

(1)用圆规比较EM与FM的大小.

(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?(8分)

B A

E M

F

C D

直角三角形的性质

【知识点精讲】

直角三角形的性质定理及其推论：

①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;

（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°.

【典型例题讲解】

例1：已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长

例2：已知：△ABC 中，AB=AC=BC （△ABC 为等边三角形）D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 4

1

.

例3：已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD=CD ，AC=BC. 求证：AB=BO.

【随堂练习】

1.△ABC 中，∠BAC=2∠B ，AB=2AC ，AE 平分∠CAB 。求证：AE=2CE 。

2.已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，CE 为AB 边上的中线，且∠BCD=3∠DCA 。 求证：DE=DC 。

3.如图：AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，AF=FD ，AE ∥BC 且交BF 的延长线于E ，若AD=9，BC=12，求BE 的长。

4.在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，DE 与CF 平行且相等。 求证：AE=DF 。

5.已知，如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，AB=6，求DE 的长。

。

【课后习题】

1、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。如在Rt △ABC 中CD 是斜边AB 的中线，则CD=2

1

AB ，你能说明这个结论吗？

2、△ABC 中，CD 是中线，且AB CD 2

1

，求证△ABC 是直角三角形。

3、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，DE 交AB 于点E ，M 为BE 的中点，连结DM ． 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 ．

4、如图，四边形ABCD ，∠A=90°，∠C=90°，EF 分别是BD 、

EF 与AC 的位置关系（提示：连结AE 、CE ）

C

5、△ABC 中，BE 、CD 分别是三角形的高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，试说明MN 垂直平分DE

C

6、如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1=∠2=∠3，BD=CD ，∠ADB=90°，CH⊥AB 于H ，CH 交AD 于F ．

(1)求证：CD ∥AB； (2)求证：△BDE≌△ACE；

7、如图，在⊿ABC 中，点D 在边AC 上，DB ＝BC ，点E 是CD 的中点，点F 是AB 的中点． （1）求证：EF ＝

2

1

AB ；（2）过点A 作AG∥EF，交BE 的延长线于点G ，求证：⊿ABE≌⊿AGE．

8、如图，已知AE 、BD 相交于点C ，AC=AD,BC=BE,F 、G 、H 分别是DC 、CE 、AB 的中点。求证：HF=HG ；