2007东南大学高等代数
一 (20%) 已知3维列向量12123101110121112a b c ααβββ-?????????? ? ? ? ? ?===== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????
，，，，,且123βββ，，与12αα，等价.
1. 求参数a b c ，，的值;
2. 记矩阵12A αα=（，）,123B βββ=（，，）.求矩阵X ,使得AX B =.
二 (20%) 假设2n n n C n n ?≥?，是复矩阵在通常的运算下构成的复数域上的线性空间.若
,(){|}n n n n A C V A X C AX XA ??∈=∈=记.
1.证明:()n n V A C ?是的子空间;
2.假设1,()1n n a a J C V J a ??? ? ?=∈ ? ???
求的一组基; 3.证明:对任意矩阵,dim ()n n A C V A n ?∈≥.
三 (15%) 假设,A B 都是22?的实矩阵,并且22,A B E AB BA O ==+=,证明:存在可逆矩
阵P ,使得111001,0110P AP P BP --????== ? ?-????
. 四 (20%) 假设A 是n n ?矩阵. 1.若A 是可逆矩阵,证明:存在多项式1(),()f A f A λ-=使得;
2.矩阵1005610470130002A ?? ? ?= ? ???
,求次数最低的多项式1(),()f A f A λ-=使得. 五 (15%) 假设实对称矩阵1200230100010
11A λ?? ? ?= ? ???,其中λ是参数.试确定λ的取值范围,使得A 的4个特征值中,有两个特征值大于零,两个特征值小于零.
六 (15%) 假设矩阵112013013,002002000A B ???? ? ?== ? ? ? ?????
.证明:矩阵方程2X A =有解,而2X B =没有解.试将本题结果推广到一般情形(只需给出结果,不必证明).
七 (45%) 证明下述命题.
1.假设A 是秩为r n n ?的矩阵,证明:存在秩为n r n n -?的矩阵B ,使得A B +是可逆矩阵.
2.假设W 是欧几里德空间V 的子空间,0,V W ηη∈∈.证明:0min W
ξηηηξ∈-=-当且仅当0W ηη⊥-∈.
3.假设(),()f x g x 是数域F 上互素的多项式,σ是数域F 上线性空间V 上的线性变换.如果()g σ是零变换,证明:()f σ是可逆线性变换.
4.假设V 是数域F 上n 维线性空间,σ是V 上的线性变换,12,,...,n n λλλσ是的个互不相同的特征值,12,,...,n ηηη是相应的特征向量,W 是关于σ的不变子空间.记12...n ηηηη=+++.若W η∈，证明：W V =.
5.假设n n ?实对称矩阵,A B 以及A B -均是正定矩阵,证明:11B A ---也是正定矩阵.
东南大学高数a下实验报告
高数实验报告 学号： 姓名： 数学实验一 一、实验题目：（实验习题7-3） 观察二次曲面族kxy y x z ++=22的图形。特别注意确定k 的这样一些值，当k 经过这些值时，曲面从一种类型变成了另一种类型。 二、实验目的和意义 1. 学会利用Mathematica 软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲线图形的特点。 2. 学会通过表达式辨别不同类型的曲线。 三、程序设计 这里为了更好地分辨出曲线的类型，我们采用题目中曲线的参数方程来画图，即t t kr r z sin cos 22+= 输入代码： ParametricPlot3D [{r*Cos[t]，r*Sin[t],r^2+ k*r^2*Cos[t]*Sin[t]}, {t, 0, 2*Pi}, {r, 0, 1}，PlotPoints -> 30] 式中k 选择不同的值：-4到4的整数带入。 四、程序运行结果
k=4： k=3： k=2：
k=1: k=0:
k=-1: k=-2:
k=-3: k=-4: 五、结果的讨论和分析 k取不同值，得到不同的图形。我们发现，当|k|<2时，曲面为椭圆抛物面；当|k|=2时，曲面为抛物柱面；当|k|>2时，曲面为双曲抛物面。
数学实验二 一、实验题目 一种合金在某种添加剂的不同浓度下进行实验，得到如下数据： 2 + y+ = cx a bx 法确定系数a,b,c，并求出拟合曲线 二、实验目的和意义 1.练习使用mathematic进行最小二乘法的计算 2.使用计算机模拟，进行函数的逼近 三、程序设计 x={,,,,}; y={,,,,}; xy=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,5}]; q[a_,b_,c_]:=Sum[(a+b*x[[i]]+c*x[[i]]*x[[i]]-y[[i]])^2,{i,1 ,5}]; Solve[{D[q[a,b,c],a]?0,D[q[a,b,c],b]?0,D[q[a,b,c],c]?0},{a, b,c}] A={a,b,c}/.%; a=A[[1,1]]; b=A[[1,2]];
高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程
第一学期第一次课 第一章 代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义 定义（数域） 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。 例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10， 。 进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。 最后，∈?n m ,Z 0>， K n m ∈，K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念 定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。 定义（集合的映射） 设A 、B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为 ). (, :a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像，记做)(A f ，即{}A a a f A f ∈=|)()(。 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈，使得b a f =)(，则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ，我们使用如下记号：
东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇整合
东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇 整合 https://www.360docs.net/doc/d810423660.html,work Information Technology Company.2020YEAR
2 东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷） 一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．2 2lim sin 1 x x x x →∞ =+ 2 ； 2．当0x →时 ,()x α=2()x kx β=是等价无穷小,则 k = 3 4 ; 3．设()1sin x y x =+，则d x y π == d x π- ； 4．函数()e x f x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为 ()223e e 2e(1)(1)(1)2 x x x ο+-+ -+- ； 5．已知函数3 2e sin , 0()2(1)9arctan ,0 x a x x f x b x x x ?+
高等代数(北大版)第6章习题参考答案
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
北京大学高等代数7
北京大学数学学院期中试题 考试科目 高等代数I 考试时间 2012年11月8日 姓 名 学 号 一．（30分）填空题. 1．设 当λ = 时, α1 , α2 , α3不能表出β ; 当λ = 时, 表出方式不唯一. 2. 设α1 , α2是矩阵A = 的行向量, 则 α1 α1T + α2 α2 T = __ , α1T α1 + α2T α2 = ___ ; A T A =__ , A T A 的秩 =__ , A A T = __ . 3．设 若矩阵 能写成 k 1 α1 α1T + k 2 α1 α2T + k 3 α2 α1T + k 4 α2 α2T , 则 [ k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ] =__. 4. 已知 B 是3?4矩阵, [ 2 0 1 3 ] T 是齐次线性方程组B X = 0 的一个解. 设A 是将行向量 [ 2 0 1 3 ] 添加到B 下面 得到的方阵. 若A 的 (4,1) 元的余子式为6, 则 | A | =___. 5. 对矩阵做初等行变换, 矩阵的_____ 不变(多选). A 秩 B 行空间 C 列空间 D 解空间 6. 设α = [ 1 1 2 ] T 与 β = [ 3 0 2 ] T 是3维几何空间里的向量. 则 α , β之间夹角的余弦值是__, α , β张成的三角形的面积是__, 与α , β都正交的单位向量是___. 二．（12分）已知 .11α,11α21??????-=??????=?? ????31021121.,,2320202 1211010===b b a a t b b a a b b a a ?? ????d c b a ,???? ??????-=??????????+--=??????????-+=??????????-+=1λ21β,5λ42α,45λ2α,222λα321
高等代数(北大版)第6章习题参考答案
第六章线性空间 . 设 M N , 证 明： M N M , M N N 。 1 证任 取M , 由 M N , 得 N , 所 以M N , 即证 M N M 。又因 M N M , 故 M N M 。再证第二式，任 取 M 或N , 但 M N , 因此无论 哪一种情形，都有N , 此即。但 N M N , 所以 M N N 。 2.证明 M ( N L ) (M N ) (M L) ， M (N L) ( M N ) (M L ) 。 证x M (N L), 则 x M 且 x N L. 在后一情形，于是 x M N或 x M L. 所以 x (M N )(M L) ，由此得 M ( N L) (M N ) (M L ) 。反之，若 x (M N ) ( M L) ，则 x M N或 x M L. 在前一情形， x M , x N , 因此 x N L. 故得 x M ( N L ), 在后一情形，因而 x M , x L, x N L ，得 x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。 若 x M （ N L），则 x M ， x N L 。 在前一情形 X x M N ，且 X M L，因而 x （ M N） （ M L）。 在后一情形， x N ,x 因而 x M N , 且 X M ，即 X （ M N）（M L）所以L, L （M N）（M L） M （N L） 故 M （ N L） =（）（M L） M N 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n（ n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设 A 是一个 n× n 实数矩阵， A 的实系数多项式 f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： （ a1，b1）（ a b （ a1a2，b1b2a1 a2） （kk 1） 2
2002年东南大学考研高等代数试题
东南大学二○○二年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（高等代数） 一、以下结论是否成立，如成立，试证明。否则举实例。（每题4分，共24分） 1、若α为()f x '的k 重根，则α为)(x f 的1+k 重根。这里)(x f '表示多项式)(x f 的微商（或导数）。 2、设A 为n m ?阵，B 为m n ?阵，且,n m >则0AB =。 3、若,A B 均为n 阶实对称阵，具有相同的特征多项式，则A 与B 相似。 4、设4321,,,αααα线性无关，则12233441,,,αααααααα++++秩为3。 5、设21,v v 均为线性空间v 的子空间，满足{}021=?v v ，则21v v v ⊕=。 6、设A 为n 阶正定矩阵，则一定存在正定阵B ，使2 B A =。 二、（10分）以知线性方程组21ββ+=k Ax ，其中，=A ????? ??-----111121111，???? ? ??=3121β，????? ??-=1312β，求 k 使方程组有解，并求有解时的通解。 三、（10分）已知A 是n 阶实对矩阵，n λλ,,1 是A 的特征阵，相对应的标准正交特征向量为1,,n εε。求 证：T n n n T A εελεελ++= 111。这里“T ”表示转置。 四、（12分）设线性变换A 在线性空间V 的基123,,ααα下矩阵为101210,113?? ?- ? ??? 1、求值域AV ，核1(0)A -的基。 2、问1(0)V AV A -=+吗？为什么？ 五、（12分）设(),ij n n A a ?=如果10,1, ,n ij j a i n ===∑。求证：11221n A A A ===。 （这里ij A 为1j a 的代数余子式） 六、（12分）设A 为n 阶矩阵，试证：2A A =的充要条件为()()r A r I A n +-=。 （这里I 为n 阶单位阵，()r A 表示A 的秩） 七、（10分）设A 为4阶矩阵，且存在正整数k ，使0k A =，又A 的秩为3，分别求A 与2A 的若当（)Jordan 标准形。 八、（12分）证明，若()f x 与()g x 互素，并且(),()f x g x 次数都大于零，那么可以选取(),()u x v x 使(())(()),(())(()),u x g x v x f x ?
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
[高等代数(下)课外习题-第六章-向量空间]
第六章 向量空间 一、判断题 1. 121{(,,,)|1,}n n i i i x x x x x R ==∈∑L 为n R 的子空间. ( ). 2、所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). 3、n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ). 4、设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组12,,,s αααL 线性表出，则维(W )＝s . 5、 子空间12(,,,)r L αααL 的维数等于向量组12,,,r αααL 的秩 （ ） 6、s ααα,,,21Λ为V 的基，s βββ,,,21Λ为V 中向量，且 A s s ),,,(),,,(2121αααβββΛΛ=，则s βββ,,,21Λ为V 的基当且仅当A 可逆。（ ） 7、有限维线性空间同构的充要条件是维数相同. （ ） 8. 设12,,,n αααL 是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映射, 则W 的一个基是12(),(),,()n f f f αααL . 9、.如果向量空间V 是3维的，那么V 中任意4个向量必是线性相关的( )。 10.、非齐次线性方程组的解集不构成一个向量空间( )。 11、线性空间的一组基所含向量的个数是该空间的维数. 12、设1V ，2V 均为线性空间V 的子空间，满足 12{0}V V =I ，则12V V V =⊕。 ( ). 14．若21V V V ⊕=，r ααα,,,21Λ是1 V 的基，s r r ααα,,,21Λ++是2V 的基，则s ααα,,,21Λ是V 的基. 二、填空题 1、 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. 2、在4P 中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的 取值范围是____________.
北京大学高等代数基础习题答案八
第八章 λ-矩阵[自测题解答] §1 λ-矩阵 一、 填空 1 、???? ??-------131313322 λλλλλλλ； 2、λλλλλλλλλλ21, 211,122--， 2 ； 3、λ. 二、 解答题 1.0112≠=+λλλλ, 所以矩阵???? ? ?+11λλλ的秩为2. 0 10012 1232≠--=----λλλλλλ，所以矩阵???? ? ??-+--222211λλλλλλλλλ的秩为3. 2．因为141212--=--λλλλλ，所以 ???? ??--121λλλ不可逆. 110012121-=-----λλλλ，所以矩阵 ????? ??-----=10012121)(λλλλλA 可逆. 3． 答：设)(λA 为n 级λ-矩阵，)(λA 可逆时一定满秩，因为这是)(λA 的行列式为非零常数，为非零多项式；满秩时不一定可逆，因为满秩只说明行列式不是零多项式，但不一定是零次多项式（非零常数）. 4．证明 因为A E -λ是一个n 次多项式，不是零次多项式.所以A E -λ不可逆. §2 λ-矩阵在初等变换下的标准形 一、 问答题 1． 数字矩阵的初等变换是λ-矩阵的初等变换，但λ-矩阵的初等变换不一定是数字矩阵的初等变换. 2． 初等λ-矩阵都是可逆的. 3． 可逆的λ-矩阵标准型都是单位矩阵，因此等价，反之如果两个λ-矩阵等价，且其中一个可逆，那么另一个一定可逆.
4． 一致. 二、 解答题 1．(),(),()A D H λλλ是标准形，而 2100()010001B λλλ?? ??+ ? ?-??，100()00000C λλ?? ?= ? ???，2 00()00000G λλλ?? ?? ? ???. 2． 100100100100()0000000100010100100B λλλλλλλλ???????? ? ? ? ?=??? ? ? ? ? ? ? ? ?++???????? §3 不变因子解答 一、填空 1．都是1，都是1；2.1，λ，2λλ-；3. 1，λ，2λλ+；4.,r r ；5.无穷 二、解答题 解 ???? ??++=1002)(λλλA 的行列式因子为1,(1)(2)λλ++，故不变因子为1,(1)(2)λλ++，所以标准形为100(1)(2)λλ?? ?++??； ??????? ??=λλλλλ111)(B 的行列式因子44()D λλ=，而有一个三级子式等于1， 故行列式因子321()1,()()1D D D λλλ===，所以不变因子为41,1,1,λ，所以标 准形是4111λ?? ? ? ? ?? ? ????? ??-+++=10030011)(λλλλλλC 的行列式因子为1,1,(1)(1)(3)λλλ-+-，故不变因 子为1,1,(1)(1)(3)λλλ-+-，所以标准形为10001000(1)(1)(3)λλλ?? ? ? ?-++??.
高等代数(北大版第三版)习题答案III
高等代数（北大*第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
高等代数II-试题01
高等代数(Ⅱ)试题一 1. 单项选择题 (2分5=10分) 1．设V是实数域上n阶矩阵构成的向量空间, 则V的维数是 ( ) A. n B. n２ C. D. 2．下列变换中, 哪一个是向量空间R3(R是实数域)的线性变换（ ） A. (x1 , x2 , x3 ) (x, x2 , x3 ) B. (x1 , x2 , x3 ) (x, x , x3 ) C. (x1 , x2 , x3 ) (x, x , x ) D. (x1 , x2 , x3 ) (x1+x2 , x2+x3 , x3+x1) 3. 四个三维向量构成的向量组 （） A. 秩为3 B. 秩为4 C. 线性无关 D. 线性相关. 4. 若n阶矩阵A的行列式不为零, 下列数中哪一个一定不是A的特征值( ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 向量组（）线性相关的充分必要条件是（） A. 至少有一个零向量 B. 中至少有两个向量成比例 C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示 D. 中任一个部分组都线性相关. 二.多项选择题 (3分4=12分) 1．设A是n（n>1）阶可逆矩阵, 下列结论中正确的是 ( ) A. |A|≠0 B. 秩A = n C. 秩A < n D. A的行向量线性无关 E . A的列向量线性无关 2．下列变换哪些是向量空间R3的线性变换. ( ) A. (x1 , x2 , x3 ) (0, 0, 0) B. (x1 , x2 , x3 ) (x1 , x2 , 0)
C. (x1 , x2 , x3 ) (x1 , x2 , x) D. (x1 , x2 , x3 ) (x3 , x2 , x1) E. (x1 , x2 , x3 ) (x , x, x) 3．设A是n阶正交矩阵, 下列结论中正确的是 ( ) A. | A | 0 B. | A | >0 C. | A | = 1 D. | A | = 一1 E. | A | = 1或一1 4．设是向量空间V的可逆线性变换, {1 , 2 ,…，n }是V的基，A是关于 这个基的 矩阵, 下列结论中正确的是 ( ) A. {(1) , (2) ,…，(n) }也是V的基 B. {(1) , (2) ,…，(n) }不一定是V的基 C. A是可逆矩阵 D. A-1是-1关于基{1 , 2 ,…，n }的矩阵 E. A T是-1关于基{1 , 2 ,…，n }的矩阵 三、判断题（你认为命题正确时,在题干后的括号内画“√”， 否则 画“×”, 2分5=10分） 1. 设V是有限维向量空间, 则V的基不唯一. ( ) 2. 设是向量空间V的线性变换, 则(V)一定是V的平凡子空间. ( ) 3. 设R3[x] (R是实数域)是次数不超过三的多项式连同零多项式构成的 向量空间, 则{x, x2, x3}是R3[x]的一个基. ( ) 4. 若两个n阶矩阵A与B有完全相同的特征根, 则A与B相似. ( ) 5. 任一n (n>1) 维欧氏空间一定有标准正交基. ( ) 四、计算题（7分4=28分） 1. 求向量组1 = (1, 2, 1), 2 = (2, 1, 3)，3 = (3, 0, 4), 4= (5, 1, 6) 的一
东南大学高数上期末往年试题
2003级高等数学（A ）（上）期末试卷 一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程 ? +-=y x t x dt e 1 2 确定，则 ==0 x dx dy （ ） .e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A 2．曲线41 ln 2+-+ =x x x y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A 3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ） 4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ） . 2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( * * **x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+=== 二、填空题（每小题3分，共18分） 1．_____________________ )(lim 2 1 =-→x x x x e 2．若)(cos 21arctan x f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dx dy 3．设,0,00 ,1sin )(?????=≠=α x x x x x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。 4．若dt t t x f x ?+-=2032 4 )(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线x xe y -=的拐点是__________ 6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y
高等代数北大版习题参考答案
第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
习题与复习题详解(线性空间)----高等代数
习题5. 1 1． 判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 答 是． 因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R +⊕==∈∈o 其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈. 因为,a b R a b ab R + + ?∈?⊕=∈, ,R a R a a R λλλ++?∈∈?=∈o , 所以R + 对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕; (2) ()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕; (3) R +中存在零元素1, ?a R +∈, 有11a a a ⊕=?=; (4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==o ; (6)()()a a a a a λ μμλμλμλλμ??==== ??? o o o o ; (7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕o o o ; 所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为 按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否. A B B A ∴⊕⊕与不一定相等. 故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ?中，{}2222/0,,W A A A P W P ??==∈判断是否是的子空间.
高等代数北大版第5章习题参考答案
第五章 二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）323121224x x x x x x ++-； 2）2 3322221214422x x x x x x x ++++； 3）3231212 2216223x x x x x x x x -+--； 4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++； 6）4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换 ?????=-=+=3 32122 11y x y y x y y x （1） 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 22333142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换 ??? ????==+=3 3223 1121 21z y z y z z y （2） 则原二次型的标准形为 ()2 322213214,,z z z x x x f ++-=， 最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为
???? ?????=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3） 于是相应的替换矩阵为 ???????? ? ?-=??????? ??????? ??-=10021121210 2110001021021100011011T ， 且有 ???? ? ??-='100040001AT T 。 2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++， 由配方法可得 ()()() 233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322212x x x x +++=， 于是可令 ?????=+=+=33 3222112x y x x y x x y ， 则原二次型的标准形为 ()2221321,,y y x x x f +=， 且非退化线性替换为 ?????=-=+-=33 322321122y x y y x y y y x ， 相应的替换矩阵为 ???? ? ??--=100210211T ，
高等代数北大版教案-第6章线性空间知识讲解
高等代数北大版教案-第6章线性空间
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 第六章 线性空间 §1 集合映射 一 授课内容:§1 集合映射 二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和 号与乘积号的定义. 三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \. 定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到 B 的一个映射,记为 ).(,:a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即 {}A a a f A f ∈=|)()(. 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈?都存在 A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应. 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ,我们使用如下记号:
高等代数北大版教案-第6章线性空间
第六章 线性空间 §1 集合映射 一 授课内容:§1 集合映射 二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号 与乘积号的定义. 三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \. 定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ).(,:a f a B A f → 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即 {}A a a f A f ∈=|)()(. 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈?都存在 A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为 双射,或称一一对应. 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号:
高等代数(北大版)第7章习题参考答案75840
第七章 线性变换 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3） 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，