2018湖南岳阳市中考数学试卷及答案解析

2018年湖南省岳阳市初中学业水平考试试卷

数学

（满分120分，考试时间90分钟）

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内． 1．（2018湖南岳阳，1，3分）2018的倒数是 A.2018 B.

20181 C.2018

1

- D.-2018

【答案】D

2.（2018湖南岳阳，2，3分） 下列运算结果正确的是

A ．325a a a ?=

B ．32

5

()a a = C ．325a a a += D ．22

a a -=-

【答案】A

3.（2018湖南岳阳，3，3分） 函数3-=

x y 中自变量x 的取值范围是（ ）

A ．3x >

B ．3x ≠

C ．3x ≥

D ．0x ≥ 【答案】C

4.（2018湖南岳阳，4，3分） 抛物线2

3(2)5y x =-+的顶点坐标是（ ） A ．(2,5)- B ．(2,5)-- C ．(2,5) D ．(2,5)- 【答案】C.

5．（2018湖南岳阳，5，3分） 已知不等式组20

10

x x -

+≥?，其解集在数轴上表示正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】D

6．（2018湖南岳阳，6，3分） 在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（ ）

A ．90，96

B ．92，96

C ．92，98

D ．91，92

【答案】 B

7.（2018湖南岳阳，7，3分） 下列命题是真命题的是（ ）

A ．平行四边形的对角线相等

B ．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点

C ．五边形的内角和是540o

D ．圆内接四边形的对角相等 【答案】C.

8．（2018湖南岳阳，8，3分） 在同一直角坐标系中，二次函数2

y x =与反比例函数1

(0)y x x

=

>的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同．．．．

的点1(,)A x m ，2(,)B x m ，3(,)C x m ，其中m 为常数，令123x x x ω=++，

则ω的值为（ ）

A ．1

B ．m

C ．2

m D ．

1m

【答案】D.

【解析】根据题意可得A ，B ，C 三点有两个在二次函数图象上，一个在反比例函数图象上， 不妨设A ，B 两点在二次函数图象上，点C 在反比例函数图象上， ∵二次函数2

y x =的对称轴是y 轴， ∴21x x +=0.

∵点C 在反比例函数1

(0)y x x

=>上， ∴3x =

m

1， ∴m

x x x 1321=

++=ω. 故选D.

二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．

9．（2018湖南岳阳，9，4分） 因式分解：2

4x -= ． 【答案】(x -2)(x +2).

10.（2018湖南岳阳，10，4分）2018年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄”专项资金120000000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所.数据120000000用科学记数法表示为 ． 【答案】1.2×108.

11．（2018湖南岳阳，11，4分）关于x 的一元二次方程2

20x x k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ． 【答案】k ＜1.

12．（2018湖南岳阳，12，4分）已知2

21a a +=，则2

3(2)2a a ++的值为 ．

【答案】5

13．（2018湖南岳阳，13，4分） 在-2，1，4，-3，0这5个数字中，任取一个数是负数的概率是 ． 【答案】

5

2

. 14．（2018湖南岳阳，14，4分）如图，直线//a b ，160∠=o

，240∠=o

，则3∠= ．

【答案】80°. 【解析】如图， ∵a ∥b ，∴∠1=∠4.

∵∠1=60°，∴∠4=60°.∵∠2=40°，∴∠3=180°-∠4-∠2=180°-60°-40°=80°.故答案为80°.

15.（2018湖南岳阳，15，4分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步．

【答案】

17

60. 【解析】如图.

设该直角三角形能容纳的正方形边长为x ，则AD=12-x ，FC=5-x 根据题意易得△ADE ∽△EFC ，∴FC DE EF AD =，∴x x x x -=

-512，解得：x =17

60

. 故答案为

17

60

.

16.（2018湖南岳阳，16，4分）.如图，以AB 为直径的O e 与CE 相切于点C ，CE 交AB 的延长线于点E ，直径18AB =，30A ∠=o

，弦CD AB ⊥，垂足为点F ，连接AC ，OC ，则下列结论正确的是 ．（写

出所有正确结论的序号）

①??BC BD =；②扇形OBC 的面积为

27

4

π；③OCF OEC ??:；④若点P 为线段OA 上一动点，则AP OP ?有最大值20.25.

【答案】①③④.

【解析】∵AB 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB ，

∴??BC

BD =，故①正确； ∵∠A=30°， ∴∠COB=60°， ∴扇形OBC=

ππ2

27)2(360602=AB ··，故②错误； ∵CE 是⊙O 的切线，

∴∠OCE=90°，

∴∠OCD=∠OFC ，∠EOC=∠COF ， ∴OCF OEC ??:，故③正确； 设AP=x ，则OP=9-x ，

∴AP ·OP=x (9-x )=-x 2+9x =4

81)2

9

(2

+

-x -， ∴当x =29时，AP ·OP 的最大值为4

81

=20.25，故④正确.

故答案为①③④.

三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2018湖南岳阳，17，6分） 计算：2

(1)2sin 45(2018)2π--+-+-o

.

解：原式=1-2×

2

2

+1+2=2. 18.（2018湖南岳阳，18，6分）如图，在平行四边形ABCD 中，AE CF =，求证：四边形BFDE 是平行四边形.

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，∠A=∠C ，AB=CD. ∵AE=CF ， ∴BE=DF.

∵在△ADE 和△CBF 中，

??

?

??=∠=∠=BC AD C A CF AE ， ∴△ADE ≌△CBF （SAS ） ∴DE=BF ，

∴四边形BFDE 是平行四边形.

19.（2018湖南岳阳，19，8分） 如图，某反比例函数图象的一支经过点(2,3)A 和点B （点B 在点A 的右侧），作BC y ⊥轴，垂足为点C ，连结AB ，AC

.

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）若ABC ?的面积为6，求直线AB 的表达式. 解：（1）设反比例函数的解析式为x

k y =， ∵点A 在反比例函数的图象上，

∴将(2,3)A 代入x

k

y =

，得k =2×3=6， ∴反比例函数的解析式为x

y 6

=.

（2）设B(x ，x 6)，则C(0,x

6

),

点A 到BC 的距离d =3-x

6

，BC=x ，

S △ABC =

2

32)

63(6-x x x =-， ∵S △ABC =6， ∴

62

3=6

-x ，解得x =6， ∴B （6，1）.

设AB 的表达式为y =mx +n ，则

??

?=+=+3216b k b k ，解得???

??==4

21b -k ，

∴直线AB 的表达式为42

1

+-

=x y . 20.（2018湖南岳阳，20，8分）为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民文体团队.现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

请你根据统计图解答下列问题：

（1）这次参与调查的村民人数为_______人； （2）请将条形统计图补充完整；

（3）求扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数；

（4）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率.

解：（1）∵从条形图中可以看出喜欢腰鼓的有24人，从扇形图中可以看出喜欢腰鼓占的比例为20％， ∴这次参与调查的村民人数为24÷20％=120人. 故答案为240人.

（2）喜欢广场舞的人数为120-24-15-30-9=42人，补充如图所示.

（3）图中“划龙舟”所在的扇形的圆心角的度数为：360°×

120

30

=90°. （4）列表如下： 广场舞 腰鼓

花鼓戏

划龙舟

广场舞

无

（腰鼓，广场舞） （花鼓戏，广场舞） （划龙舟，广场舞）

腰鼓 （广场舞，腰鼓） 无 （花鼓戏，腰鼓） （划龙舟，腰鼓）

花鼓戏 （广场舞，花鼓戏） （腰鼓，花鼓戏）

无

（划龙舟，花鼓戏）

划龙舟

（广场舞，划龙舟） （腰鼓，划龙舟） （花鼓戏，划龙舟）

无

由表格可知，共有12中情况，其中恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的有2种情况，故概率为：

6

12=. 21．（2018湖南岳阳，21，8分） 为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌.某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？ 解：设原计划平均每天施工x 平方米，则

112133000

33000=-x

.x ，解得x =500， 经检验，x =500是原分式方程的解，

∴实际平均每天施工为500×(1+20％)=600平方米. 答：实际平均每天施工为600平方米.

22．（2018湖南岳阳，22，8分）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图.已知入口BC 宽3.9米，门卫室外墙AB 上的O 点处装有一盏路灯，点O 与地面BC 的距离为3.3米，灯臂OM 长为1.2米（灯罩长度忽略不计），60AOM ∠=o

.

（1）求点M 到地面的距离；

（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD 保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由.3 1.73≈，结果精确到0.01米）

解：（1）过点M 作MN ⊥AB 于N ， ∵OM=1.2，∠MON=60°， ∴ON=OM ·sin60°=

5

3

3，

∴M 到地面的距离d =ON+OB=

5

33+3.3=10

3

633+. （2）根据题意可得货车的右端应该在图中E 点处，此时BE=0.7m ，

∴EF=FG+GE=3.3+0.404=3.704＞3.5， ∴能通过.

23.（2018湖南岳阳，23，10分） 已知在Rt ABC ?中，90BAC ∠=o

，CD 为ACB ∠的平分线，将ACB ∠沿CD 所在的直线对折，使点B

落在点'B 处，连结'AB ，'BB ，

延长CD 交'BB 于点E ，设2(045)ABC αα∠=<

o

.

（1）如图1，若AB AC =，求证：2CD BE =；

（2）如图2，若AB AC ≠，试求CD 与BE 的数量关系（用含α的式子表示）；

（3）如图3，将（2）中的线段BC 绕点C 逆时针旋转角（45α+o

），得到线段FC ，连结EF 交BC 于点O ，设COE ?的面积为1S ，COF ?的面积为2S ，求

1

2

S S （用含α的式子表示）. 【思路分析】（1）首先根据轴对称的性质可得CE ⊥BB ′且BE=

2

1

BB ′，进而得出∠B ′=∠ADC ，进而得出△ABB ′≌△ACD ，然后根据全等三角形的性质可得BB ′=CD ，进而证明出结论； （2）首先根据（1）可得出∠B ′=∠ADC ，进而得出△ABB ′∽△ACD ，进而得出

AC

AB

CD BB ='，然后根据锐角三角函数的定义得出CD 与BE 的数量关系；

（3）首先根据题意可得出∠ECF=90°，进而得出△OBE ∽△OCF ，然后根据等高的三角形的面积比等于底的比可

得出

OF

OE S S =21，最后利用锐角三角函数的定义得出答案. 解：（1）根据题意可得CE ⊥BB ′且BE=2

1

BB ′， ∵CE ⊥BB ′，

∴∠EBD+∠BDE=90°. ∵∠BDE=∠ADC ， ∴∠ADC+∠EBD=90°. ∵∠BAB ′=90°，

∴∠EBD+∠B ′=90°， ∴∠B ′=∠ADC ， 在△ABB ′和△ACD 中

??

?

??∠='∠=∠='∠ADC B AC

AB CAD BAB ∴△ABB ′≌△ACD （ASA ）， ∴BB ′=CD ， ∴CD=2BE.

（2）由（1）可知，∠B ′=∠ADC ， ∵∠BAB ′=∠CAD=90°， ∴△ABB ′∽△ACD ， ∴

AC

AB

CD BB =

'. ∵AB=BC ·cos ∠ABC==BCcos2α，AC=BC ·sin ∠ABC=BCsin2α，

∴

αα

sin2cos CD BB 2=

'， ∴CD=BE cos 2sin2α

α2.

（2）由（1）（2）可知，CE ⊥BB ′，∠B ′BA=∠BCE ， ∵∠EBC+∠BCE=90°，即∠B ′BA+∠ABC+∠BCE=90°， ∴∠BCE=45°-α. ∵∠BCF=45°+α，

∴∠ECF=∠BCE+∠BCF=90°， ∴CF ∥BE ，

∴△OBE ∽△OCF ， ∴

CF

BE

OF OE =. ∵

OF OE S S =21,sin ∠BCE=BC BE ,BC=CF ， ∴

2

1

S S =sin （45°-α）. 24.（2018湖南岳阳，24，10分）已知抛物线F ：2

y x bx c =++的图象经过坐标原点O ，且与x 轴另一交点为

3

(,0)

-.

（1）求抛物线F的解析式；

（2）如图1，直线l：

3

(0)

3

y x m m

=+>与抛物线F相交于点

11

(,)

A x y和点

22

(,)

B x y（点A在第二象限），

求

21

y y

-的值（用含m的式子表示）；

（3）在（2）中，若

4

3

m=，设点'A是点A关于原点O的对称点，如图2.

①判断'

AA B

?的形状，并说明理由；

②平面内是否存在点P，使得以点A、B、'A、P为顶点的四边形是菱形.若存在，求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

【思路分析】（1）将原点和点

3

(,0)

3

-代入抛物线2

y x bx c

=++，解出b和c即可；

（2）首先联立m

x

y+

=

3

3

与x

x

y

3

3

2+

=，解出x1和x2，然后将x1和x2代入m

x

y+

=

3

3

解出y1和y2，进而得出结果；

（3）①首先根据题意得出A′的坐标，进而得出A′B的长度，根据点A的坐标得出OA的长，进而得出AA′，然后根据三角函数的定义得出sin∠A′，进而得出∠A′的度数，进而得出△AA′B的形状；

②分别以AA′，A′B和AB为菱形的对角线，根据菱形的性质得出点P的坐标即可.

解：（1）根据题意，得

?

?

?

?

?

=

+

-

=

3

3

3

1

c

b

c

，解得

?

?

?

?

?

=

=

3

3

c

b

，

∴F的解析式为x

x

y

3

3

2+

=.

（2）联立m

x

y+

=

3

3

与x

x

y

3

3

2+

=，解得m

x-

=

1

，m

x=

2

，

∴m m m x y +-=+=

333311，m m m x y +=+=3

33322， ∴m m m m m y y 33

2333312=+--+=

-）（， （3）①当4

3

m =时，3321-=x ，3322=x ，

∴3

2

1=

y ，22=y ∴A （332-

，3

2），B （33

2，2）. ∵点A 与点A ′关于原点对称， ∴A ′（

332，3

2

-）， ∴A ′B=2-(32-

)=3

8

. ∵OA=34

3233222

=??? ??+???? ??-， ∴OA ′=34

，

∴AA ′=3

8

，

∴A ′B=AA ′.

∵点A 到BA ′的距离d =

332+332=3

3

4， ∴sin ∠A ′=233

833

4='AA d ，

∴∠A ′=60°，

∴△AA ′B 是等边三角形. ②存在.

若以AA ′为菱形的对角线，则点P 与点B 关于原点对称，此时点P 坐标为（-

3

3

2，-2）； 若以A ′B 为菱形的对角线，则点P 为将点A 向右移动2d 个单位长度，此时点P 的坐标为（

334，32

）； 若以AB 为菱形的对角线，则点P 为将点A 向上移动A ′B 个单位长度，此时点P 的坐标为（332-

，3

10

）.