李贤平版概率论第一章答案

第一章 事件与概率

1、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.

2、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件的和．

3、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。

4、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C ；

（2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C ；

（3）∑-=-++=r

a k r a

b a k b r k a C C C 0.

5、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。

6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。

7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。

8、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有

)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。

9、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。

10、由盛有号码 ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

11、任意从数列 ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<< 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤1。

12、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？

13、从n 双不同的鞋子中任取2r(2r

14、袋中有n 只球，记有号码n ,,2,1 ，求下列事件的概率：（1）任意取出两球，号码为1,2；（2）任意取出3球，没有号码1；（30任意取出5球，号码1,2,3,中至少出现一个。

15、袋中装有N ,,2,1 号的球各一只，采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，试求在第k 次摸球时首次摸到1号球的概率。

16、甲有n+1个硬币，乙有n 个硬币，双方投掷之后进行比较，求早掷出的正面比乙掷出的正面多的概率。

17、一颗骰子投4次至少得到一个六点，与两颗骰子投24次至少得到一个双六这两件事，哪一个有更多的机会遇到？

18、从52张扑克牌中任意抽取13张来，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张草花的概率。

19、桥牌游戏中（四人各从52张纸牌中分得13张），求4张A 集中在一个人手中的概率。

20、在扑克牌游戏中（从52张牌中任取5张），求下列事件的概率：（1）以A 打头的同花顺次五张牌；

（2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四张牌同点数；（4）三张同点数且另两张也同点数；（5）五张同花；（6）异花顺次五张牌；（7）三张同点数；（8）五比重中有两对；（9）五张中有一对；（10）其它情况。

21、某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内各时刻来到有可能性都相等，如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时，试求有一船要在江中等待的概率。

22、两人约定于7点到8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。

23、设n A A A ,,,21 是随机事件，试用归纳法证明下列公式：

∑∑=≥>≥--++-

=n i i j n n n j i i n A A A P A A P A P A A A P 1121121)()1()()()( 。

24、考试时共有N 张考签，n 个学生参加考试)(N n ≥，被抽过的考签立刻放回，求在考试结束后，至少有一张考签没有被抽过的概率。

25、甲，乙丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲，乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行第二局比赛，而失败者则轮空，比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两局为止，连胜两局者成为整场比赛的优胜者。若甲，乙，丙胜每局的概率各为1/2，问甲，乙，丙成为整场比赛优胜者的概率各是多少？

26、给定()()()B A P r B P q A P p ===,,，求()AB P 及()

B A P 。

27、已知：()()()B A C AB C B P A P AB P ⊃⊃=,,，证明：)()()(C P A P AC P ≥。

28、（1）已知1A 与2A 同时发生则A 发生，试证：)()(≥)(21A P A P A P +－1

（2）若A A A A ⊂321，试证：≥)(A P 2-)()()(321A P A P A P ++

29、利用概率论的想法证明下列恒等式：

a

A a a A a A A A a A a A A a A =+-⋅-++-----+--+)1()1(12)()2)(1()1)((11 其中A ，a 都是正整数，且a A >。

30、证明Ω的一切子集组成的集类是一个-σ域。

31、证明：-σ域之交仍为-σ域。

32、向边长为 a 的正方形由任意投一点，求此点正好落在对正方形对角形上的概率?

33、在10只电子表中有2只是次品，现从中不放回的连续抽取两次，每次抽取一只，求正好抽到一个

是正品，一个是次品的概率?

34、在5双不同的鞋中任取4双，求至少能配成一双的概率?

35、在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?

36、两人相约于7点到8点间在某地相会，约定先到者等候另一人20分钟,过时离去，试求这两人能会

面的概率是多少?

37、有10个电阻，其电阻值分别为1,2,,10 ΩΩΩ，从中取出三个，要求取出的三个电阻，一个小于

5Ω,一个大于5Ω,另一个等于5Ω，问取一次就能达到要求的概率。

38、两船欲靠同一码头，设两船独立地到达，而且各自到达时间在一昼夜间是可能的，如果此两船在码

头停留的时间分别是1及2小时，试求一船要等待空出码头的概率。

39、任意取两个正的真分数，求它们的乘积不大于1/4的概率。

40、在区间(0,1)中随机取两数，求两数之和小于1.2的概率。

41、设3个事件A ，B ，C ，满足AB φ=，求()P A B C 。

42、某城市中发行2种报纸A ，B 。经调查，在这2种报纸的订户中，订阅A 报的有45%，订阅B 报的

有35%，同时订阅2种报纸A ，B 的有10%。求：（1）只订A 报的概率；（2）只订1种报纸的概率。

43、从1,2,3,4,5五个数码中，任取3个不同数码排成三位数，求：（1）所得三位数为偶数的概率；（2）

所得三位数为奇数的概率。

44、电话号码由6个数字组成，每个数字可以是0,1,2,,9中的任一个数（但第1个数字不能为0）

，求电话号码由完全不相同的数字组成的概率。

45、袋中有5个白球和3个黑球。从中任取2个球，求：（1）取得的2个球同色的概率；（2）取得的2

个球至少有1个是白球的概率。

46、证明： ()()-() ()P AB P AC P BC P A +≤

47、证明：包含一切形如),(x -∞的区间的最小-σ域是一维波雷尔-σ域。