2013年学而思杯数学试题(五年级)答案解析

2013 年第三届全国学而思综合能力测评（学而思杯）

数学试卷（五年级）详解

一． 填空题（每题 5 分，共 20 分）

1.

两个质数的和是 9，那么这两个质数的乘积是

．

【考点】数论，质数性质 【难度】☆ 【答案】14

【分析】两质数和为奇数，必有偶质数 2，另一质数为 7，故答案为 2 ? 7 = 14 .

2.

如右图，共有

个正方形．

【考点】组合，几何计数 【难度】☆ 【答案】10

【分析】1?1的正方形有 4 个， 2 ? 2 的正方形有 5 个， 4 ? 4 的正方形有 1 个，共 10 个.

3.

学而思教研部一共购买了 300 本书，其中有五分之二是数学书，三分之一是语文书，其余是英语 书．那么，英语书共有 本．

【考点】应用题，分数应用题 【难度】☆ 【答案】80

【分析】 300 ? (1 - 2 - 1

) = 300 - 120 - 100 = 80 （本）.

5 3

4.

如右图，正方形 ABCD 边长为 40 厘米，其中 M 、N 、P 、Q 为所在边的 中点；分别以正方形的顶点为圆心，以边长的一半为半径做直角扇形， 那么形成图中阴影部分的面积是 平方厘米．（π取 3.14）

【考点】几何，圆与扇形面积 【难度】☆☆ 【答案】344

【分析】阴影面积的实质是整体减空白：边长 40 厘米的正方形面积减去半径为 20 厘米的圆的面积（4

个扇形刚好拼成一个整圆），故答案为 402 - 3.14 ? 202 = 400 ? (4 - 3.14) = 344 平方厘米.

5. 对一个大于1 的自然数进行如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则先减去1 再除以2，

如此进行直到得数为1，操作停止．那么，所有经过3 次操作结果为1 的数中，最大的数是．

【考点】数论，奇偶性，倒推

【难度】☆☆

【答案】15

【分析】从1 向前倒推，寻找原数的最大值；但发现若上一步是偶数，则须本数?2 ；若上一步是奇数，则须本数?2 + 1 ；明显每次向前推出奇数可使原数更大，倒推过程为：1→3→7→15；故15 为原数的可能达到的最大值.

6. 定义：?( A, B,C, D) = A ? 4 + B ? 3 + C ? 2 + D ?1 ，那么，?(2, 0,1, 3) =_ ．

【考点】计算，定义新运算

【难度】☆

【答案】13

【分析】按定义式，?(2, 0,1,3) = 2 ? 4 + 0 ? 3 + 1? 2 + 3 ?1 = 13 .

7. 一项工程，由甲队单独做10 天后，乙队加入，甲、乙两队又合作了8 天完成；这项工程，如果

全部由乙队单独做，20 天可以完成．那么，如果全部由甲队单独做，天可以完成．【考点】应用题，工程问题

【难度】☆☆

【答案】30

【分析】把总工作量看做单位“1”，则乙队的工作效率为每天做

1

20

，故可在甲乙合作的条件中求出甲

队的工作效率为每天做(1 - 1

? 8) ÷ (10 + 8) =

3

÷18 =

1

；故答案为30.

20 5 30

8. 如右图，大正方体的棱长为2 厘米，两个小正方体的棱长均为1

厘米，那么，组合后整个立体图形的表面积为平方厘米．

【考点】几何，立体几何，表面积

【难度】☆☆

【答案】32

【分析】三个立方体原总表面积为12 ? 6 + 12 ? 6 + 22 ? 6 = 36 平方厘米，之后放在一起时缺失了4 个1?1 的表面，故答案为36 - 12 ? 4 = 32 平方厘米；

或者可用三视图法求表面积：(5 + 5 + 6) ? 2 = 32 平方厘米.

9.

甲、乙、丙 3 人共有 2013 块巧克力，甲拿走了乙、丙各 3 块巧克力后，甲、乙、丙 3 人的巧克 力数比为 4: 2: 5 ，那么，甲原．有．

【考点】应用题，比例应用题 【难度】☆☆☆ 【答案】726

块巧克力．

【分析】之后甲的巧克力块数易由 3 人的块数比求得，为 2013 ? 732 - 3 ? 2 = 726 块.

4

4 + 2 + 5

= 732 块，故甲原有巧克力

10. 在 5×5 的方格中，将其中的一些小方格染成红色，使得对于图中任意的

2×2 的方格中，均有至少 1 个小方格是红色的．那么，至少要将

个小方格染成红色． 【考点】组合，构造与论证 【难度】☆☆ 【答案】4

【分析】论证：为了保证 4 个角上的互不重叠的 4 个 2 ? 2 的方格中都至少有 1

个红色方格，可知答案必不小于 4； 构造：如

右图，4 是可能的； 综上，答案为 4.

11. 一个五位数，各．位．数．字．互．不．相．同．

，并且满足：从左往右，第一位是 2 数是 3 的倍数，前三位组成的三位数是 5 的倍数，前四位组成的四位数是 7 的倍数，这个五位数 是 11 的倍数．那么，这个五位数最小是 ．

【考点】数论，整除特征，最值 【难度】☆☆☆ 【答案】21076

【分析】考虑最值确定各位数字：

万位是 2 的倍数，故万位最小应为 2； 前两位组成的数是 3 的倍数，故前两位最小应为 21； 前三位组成的数是 5 的倍数，故前三位最小应为 210；

前四位组成的数是 7 的倍数，最小为 2100，但要求各位数字不同，故应为 2107； 这个五位数是 11 的倍数，故此数应为 21076.

12. 右边的乘法竖式中，相．同．汉字代表相．同．数字，不．同．汉字代表不．同．数字，那么，“大自然”代表的三

位数是．

【考点】数论，数字谜【难度】☆☆☆☆【答案】958

我爱大自然? 4 大自然爱我

【分析】由个位可知“我”为偶数，再分析最高位即可知“我”只能为2；故“然”为3 或8；（还可分析知五个汉字所代表的数字之和必为3 的倍数，这个小结论可以辅助之后的分析）

若“然”= 8，

①则分析万位知“大”只能为9，故千位“爱”乘以4 后向万位进1，可知“爱”为3 或4；

②若“爱”= 4，此时十位：“自?4 + 3 ”的末位数字为4，这表示“自?4 ”的末位数字为1，奇偶性

矛盾！故确定“爱”只能为3；

③若“爱”= 3，此时十位：“自?4 + 3 ”的末位数字为3，这表示“自?4 ”的末位数字为0，“自”为0

或5；若“自”= 0，千位要接受进位8，这不可能；若“自”= 5，则有答案23958 ? 4 = 95832 ；

若“然”= 3，

①分析万位知“大”为9 或8；

②若“大”= 9，则千位“爱”乘以4 后向万位进1，可知“爱”只能为4；此时十位：“自?4 + 1 ”的末

位数字为4，这表示“自?4 ”的末位数字为3，奇偶性矛盾！故知只能“大”= 8；

③若“大”= 8，分析十位可知“爱”为奇数，再分析千位可知“爱”= 1；

④此时无论十位的“自”为0 还是为5，式子的百位和千位都是错误的（21803 ? 4 = 80312 错误；

21853 ? 4 = 85312 错误），故知“然”= 3 时无解；

综上，本数字谜只有唯一解：23958 ? 4 = 95832 ，本题答案为958.

四．填空题（每题8 分，共32 分）

13. 有A、B、C、D、E、F 六个人围坐在圆桌吃饭，A 会讲英语，1

B 会讲汉语、英语和法语，

C 会讲汉语、英语和德语，

D 会讲

6 2

汉语和德语，E 会讲汉语，F 会讲法语和德语．如果每个人都

能与他相邻的两个人交流，那么，共有种不同的排

座位方式．（经过旋转、对称后重合的方式不．算．做．一．种．）

【考点】组合，逻辑推理 5 3【难度】☆☆☆

4

【答案】24

【分析】本题突破口在于A，由于A 只会说英语，英语也只有A、B、C 三人会说，故座位顺序中必然有紧邻的BAC（或CAB），此时分析F 可知F 必须与B 或C 中的一个相邻，E 必须在D、F 的中间；综上，得到两种圆排列方式：①BACEDF；②BACFDE；每种圆排列方式都有旋转、对称的

12 种排座方式，故答案为12 ? 2 = 24 种.

? ? Q

14. A 、B 两地相距 120 千米．甲、乙从 A 地，丙从 B 地同时出发，相向而行．当甲、丙相遇时，乙

行了 20 千米．甲到达 B 地后立即原路返回，当乙、丙相遇在途中 C 地时，甲也恰好到达 C 地． 那么，当丙到达 A 地时，乙共行了 千米．

【考点】行程问题，比例法解行程问题 【难度】☆☆☆ 【答案】72

【分析】本题关键点在于甲丙速度之和与乙的速度之比为 120 : 20 = 6 :1 ；设甲、乙、丙三人到达 C 点

?z + y = 120

时各走了 x 、y 、z 千米，则有方程组：?

x - z = 120

，解得 y = 3 （可以解出 x 、y 、z 的具体值， ?(x + z ) : y = 6 :1 z 5

但其实不必要）；故丙走了 120 千米时，乙走了120 ? 3

= 72 千米.

5

15. 如右图，三角形 ABC 是直角三角形，M 是斜边 BC

A 的

中点，MNPQ 是正方形，N 在 AB 上，P 在 AC 上． N

P

如果，AB 的长度是 12 厘米，AC 的长度是 8 厘米． 那么，正方形 MNPQ 的面积是 平方厘米．

Q

【考点】几何，面积，弦图 B

M

C

【难度】☆☆☆ 【答案】20

【分析】如下图，过 M 点作 AB 的垂线，垂足为 D ；以 AD 为外围正方形的一边，做出以 MNPQ 为内

含正方形的弦图，；则 MD 为△ABC 的中位线， MD = AC = 4cm ， AD = AB

= 6cm ；故弦图中外

2 2

围正方形边长为 6cm ， AN = MD = 4cm ， DN = 6 - 4 = 2cm ；故所求面积为 62 - 2 ? 4

? 4 = 20cm 2 .

2

A

A

N

P N

P

D

D F

B

M

C

M

Q

E

16. 有一个自然数A，它的平方有9 个约数，老师把9 个约数写在9 张卡片上，发给学学三张、思思

三张．

学学说：“我手中的三个数乘积是A3 ．”

思思说：“我手中的三个数乘积就是A2 ，而且我知道你手中的三个数和是625．”

那么，思思手中的三个数和是．

【考点】数论，约数个数定理，幻方

【难度】☆☆☆☆☆

【答案】55

【分析】A2 有9 个约数，故由约数个数定理可逆推出：A 的质因数分解形式为p4 或pq （p、q 为不相同的质数）；

若A = p4 ，那么可把A2 的9 个约数写成如下的表格形式（幻方）：

学学手中必拿到了一行或一列或一条对角线；思思手中拿到的可能是（1、p 、p7 ）（1、p2 、p6 ）（1、p3 、p5 ）（p 、p2 、p5 ）（p 、p3 、p4 ）；只有后两组才能确定学学手中的牌，但后两组所确定的数需要1 + p4 + p8 = 625 或1 + p5 + p7 = 625 ，可是这两种情况p 均无解；故知A 的质因数分解形式不能为p4 ，只能为pq ；

若A = pq ，那么可把A2 的9 个约数写成如下的表格形式

思思手中拿到的可能是（1、p 、pq2 ）（1、q 、p2 q ）（1、p2 、q2 ）（p 、q 、pq ）；经分析可知，只有当思思拿到（p、q、pq）时，才一定能确定学学手中的牌，此时学学手中的牌为

（1、p2 q 、pq2 ），故1 + p2 q + pq2 = 625 ，（可用枚举法，或因数分析）解得A 的两个质因数p、q 为3 和13，故思思手中的牌为（3、13、39），所求答案为3 + 13 + 39 = 55 .

五． 解答题（每题 8 分，共 16 分）

17. 计算：

（1） 0.27 ?103 + 0.19 （4 分）

（2） 2013? 2.3

+ 201 3

÷ 0.4 - 2013 ? 1

4 分） 10 4 【考点】计算、巧算 【难度】☆☆ 【答案】28；4697

【分析】（1）原式 = 0.27 ?100 + (0.27 ? 3 + 0.19) = 27 + 1 = 28 ；

（2）原式 = 2013 ? 7 + 2013 ÷ 4 - 2013 ÷ 4 = 2013 ? 7

= 4697 .

3 3

18. 解方程：

（1） 4(2x - 1) - 3(x - 2) = 7 （4 分） （2） 2 x + 5 = 4 x - 7 （4 分） 3 5

【考点】计算、解方程

【难度】☆☆ 【答案】 x = 1 ； x = 23

【分析】（1）注意去第 2 个括号时要变号；原方程化为： 8x - 4 - 3x + 6 = 7 ，即 5x = 5 ，解得 x = 1 ；

（2）通分，原方程化为：5(2x + 5) = 3(4x - 7) ，即10x + 25 = 12x - 21 ，即 2x = 46 ，解得 x = 23 .

六．

解答题（每题 15 分，共 30 分）

19. 如图，将 1、2、3……按规律排成一个沙漏型的数表，那么，

12 13 14 15

上 3 行 （1）下 5 行从左向右数的第 5 个数是多少？（4 分） （2）上 6 行最左边的数是多少？（4 分）

（3）2013 排在哪一行的从左向右数的第多少个？（7 分） 【考点】计算、数列与数表 6 7 8 2 3

1

5 4

11 10 9

上 2 行 上 1 行 0 行 下 1 行 下

2 行 【难度】☆☆☆☆

【答案】37；42；上 44 行从左向右第 34 个

19 18 17 16

下

3 行

【分析】（1）下 n 行从左向右第 (n + 1) 个数（即最右数）为 (n + 1)2 ；故下 5 行从左向右第 6 个数为 36，

下 5 行从左向右第 5 个数为 37；

（2）上 n 行从左向右第 1 个数（即最左数）为 n (n + 1) ；故上 6 行最左数为 42； （3）上 44 行从左向右第 1 个数为 44 ? 45 = 1980 ，故 2013 为上 44 行从左向右第

2013 - 1980 + 1 = 34 个数.

20. 思思编了一个计算机程序，在屏幕上显示所有由0、1、2、3 组成的四位编码（数字可以重复使

用），每个四位编码都是红、黄、蓝、绿四种颜色中的一种．并且，如果两个编码的每一位数字均不相同，那么这两个编码的颜色也不相同．如果，0000 是红色的、1000 是黄色的、2000 是蓝色的，那么：

（1）下列编码中，一定不是红色的是（）（2 分）

A. 0102

B. 0312

C. 2222

D. 0123

（2）编码3111 是什么颜色的？（5 分）

（3）编码2013 是什么颜色的？（8 分）

【考点】组合，构造与论证

【难度】☆☆☆☆

【答案】C；绿色；蓝色

【分析】（1）2222 与0000 的每一位数字均不相同，故2222 一定不是红色的，选C；

（2）3111 与0000、1000、2000 的每一位数字均不相同，故3111 不是红色的，不是黄色的，也不是蓝色的，故3111 是绿色的；

（3）0222 与1000、2000、3111 的每一位数字均不相同，故0222 是红色的；

1222 与0000、2000、3111 的每一位数字均不相同，故1222 是黄色的；

3222 与0000、1000、2000 的每一位数字均不相同，故3222 是绿色的；

2013 与0222、1222、3222 的每一位数字均不相同，故2013 是蓝色的.