几何图形初步单元测试卷附答案
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)
1.如图(1),将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起.
(1)试判断∠ACE与∠BCD的大小关系,并说明理由;
(2)若∠DCE=30°,求∠ACB的度数;
(3)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由;
(4)若改变其中一个三角板的位置,如图(2),则第(3)小题的结论还成立吗?(不需说明理由)
【答案】(1)解:∠ACE=∠BCD,理由如下:
∵∠ACD=∠BCE=90°,∠ACE+∠ECD=∠ECB+∠ECD=90°,
∴∠ACE=∠BCD
(2)解:若∠DCE=30°,∠ACD=90°,
∴∠ACE=∠ACD﹣∠DCE=90°﹣30°=60°,
∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE,
∠ACB=90°+60°=150°
(3)解:猜想∠ACB+∠DCE=180°.理由如下:
∵∠ACD=90°=∠ECB,∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°,
∴∠ECD+∠ACB=360°﹣(∠ACD+∠ECB)=360°﹣180°=180°
(4)解:成立
【解析】【分析】(1)根据同角的余角相等即可求证;
(2)根据余角的定义可先求得∠ACE=∠ACD-∠DCE,再由图可得∠ACB=∠ACE+∠BCE,把∠ACE和∠BCE 的度数代入计算即可求解;
(3)由图知,∠ACB=∠ACD+∠BCE-∠ECD,则∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCE,把∠ACD和∠BCE的度数代入计算即可求解;
(4)根据重叠的部分实质是两个角的重叠可得。。
2.如图,直线m与直线n互相垂直,垂足为O,A、B两点同时从点O出发,点A沿直线m向左运动,点B沿直线n向上运动.
(1)若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P,在点A、B的运动过程中,∠APB的大小是否会发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由;
(2)若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q,AP的延长线交QB的延长线于点C,在点A、B的运动过程中,∠Q和∠C的大小是否会发生变化?若不发生变化,请求出∠Q和∠C的度数;若发生变化,请说明理由.
【答案】(1)解:不变化.理由:∵AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线,∠AOB=90°,∴∠APB=180°(∠OAB+∠ABO)=180° ×90°=135°
(2)解:都不变.
理由:∵AQ和BQ分别是∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线,AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线,
∴∠CAQ=∠QBP=90°,又∠APB=135°,
∴∠Q=45°,∴∠C=45°
【解析】【分析】根据角平分线定义和三角形内角和定理得到∠APB=180° ?(∠OAB+∠ABO);根据邻补角的平分线互相垂直,得到∠CAQ=∠QBP=90°,由∠APB的度数,求出∠Q和∠C的度数.
3.综合题
(1)ⅰ问题引入
如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=________(用α表示);
ⅱ拓展研究
如图②,∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,试求∠BOC的度数________(用α表示).
ⅲ归纳猜想
若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=
∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,则∠BOC=________(用α表示).
(2)类比探索
ⅰ特例思考
如图③,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,求∠BOC的度数________(用α表示).
ⅱ一般猜想
若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=
∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC=________(用α表示).
【答案】(1)90°+∠α;120°+∠α;
(2)120°-∠α; .
【解析】【解答】(1)ⅰ90°+∠α;
ⅱ如图②,∵∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,∴∠BOC=180°-
(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=180°-(180°-∠α)=180°-60°+∠α
=120°+∠α;
ⅲ;
( 2 )ⅰ如图③,∵∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,∴∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB)=180°- [360°-(∠ABC+∠ACB)]=180°- [360°-(180°-
∠A)]=180°-(180°+∠α)=180°-60°-∠α=120°-∠α.;
ⅱ .
【分析】(1)ⅰ根据角平分线的定义,可得出∠CBO=∠ABC,∠OCB=∠ACB,可得出∠CBO+∠OCB=(180°-∠A),再在△COB中,利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-(∠CBO+∠OCB),即可得出结果;ⅱ根据∠CBO=∠ABC,∠OCB=∠ACB,可得出∠CBO+∠OCB=(180°-∠A),再在△COB中,利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-(∠CBO+∠OCB),即可得出结果;ⅲ根据∠CBO=∠ABC,∠OCB=∠ACB,可得出
∠CBO+∠OCB=(180°-∠A),再在△COB中,利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-(∠CBO+∠OCB),即可得出结果。
(2)ⅰ根据∠CBO= ∠DBC,∠OCB= ∠ECB,可得出∠CBO+∠OCB=180°- (∠DBC+∠ECB),再根据平角的定义∠BOC=180°-[360°-(∠ABC+∠ACB)】,化简即可得出结果;根据∠CBO= ∠DBC,∠OCB= ∠ECB,可得出∠CBO+∠OCB=180°-
(∠DBC+∠ECB),再根据平角的定义∠BOC=180°-[360°-(∠ABC+∠ACB)】,化简即可得出结果。
4.综合题
(1)如图1,若CO⊥AB,垂足为O,OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC.求∠EOF的度数;
(2)如图2,若∠AOC=∠BOD=80°,OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC.求∠EOF的度数;
(3)若∠AOC=∠BOD=α,将∠BOD绕点O旋转,使得射线OC与射线OD的夹角为β,OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC.若α+β≤180°,α>β,则∠EOC=________.(用含α与β的代数式表示)
【答案】(1)解:∵CO⊥AB,
∴∠AOC=∠BOC=90°,
∵OE平分∠AOC,
∴∠EOC= ∠AOC= ×90°=45°,
∵OF平分∠BOC,
∴∠COF= ∠BOC= ×90°=45°,
∠EOF=∠EOC+∠COF=45°+45°=90°;
(2)解:∵OE平分∠AOD,
∴∠EOD= ∠AOD= ×(80+β)=40+ β,
∵OF平分∠BOC,
∴∠COF= ∠BOC= ×(80+β)=40+ β,
∠COE=∠EOD﹣∠COD=40+ β﹣β=40﹣β;
∠EOF=∠COE+∠COF=40﹣β+40+ β=80°;
(3)
【解析】【解答】(3)如图2,∵∠AOC=∠BOD=α,∠COD=β,
∴∠AOD=α+β,
∵OE平分∠AOD,
∴∠DOE= (α+β),
∴∠COE=∠DOE﹣∠COD= ,
如图3,∵∠AOC=∠BOD=α,∠COD=β,
∴∠AOD=α+β,
∵OE平分∠AOD,
∴∠DOE= (α﹣β),
∴∠COE=∠DOE+∠COD= .
综上所述:,
故答案为:.
【分析】(1)根据垂直的定义得到∠AOC=∠BOC=90°,根据角平分线的定义即可得到结论;
(2)根据角平分线的定义得到∠EOD=40+ β,∠COF=40+ β,根据角的和差即可得到结论;
(3)如图2由已知条件得到∠AOD=α+β,根据角平分线的定义得到∠DOE=(α+β),即可得到结论.
5.课题学习近平行线的“等角转化”功能.
阅读理解:
如图1,已知点A是BC外一点,连接AB,AC.
求∠BAC+∠B+∠C的度数.
(1)阅读并补充下面推理过程
解:过点A作ED∥BC,所以∠B=∠EAB,∠C=________.
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°,
所以∠B+∠BAC+∠C=180°
解题反思:
从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC,∠B,∠C“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.
方法运用:
(2)如图2,已知AB∥ED,求∠B+∠BCD+∠D的度数.(提示:过点C作CF∥AB)
深化拓展:
(3)如图3,已知AB∥CD,点C在点D的右侧,∠ADC=70°.点B在点A的左侧,∠ABC=60°,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE,DE所在的直线交于点E,点E在AB与CD两条平行线之间,求∠BED的度数.
【答案】(1)∠DAC
(2)解:如图2,过C作CF∥AB,
∵AB∥DE,
∴CF∥DE,
∴∠D=∠FCD,
∵CF∥AB,
∴∠B=∠BCF,
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°,
∴∠B+∠BCD+∠D=360°,
(3)解:如图3,过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=60°,∠ADC=70°,
∴∠ABE=∠ABC=30°,∠CDE=∠ADC=35°,
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°.
【解析】【解答】解:(1)∵ED∥BC,
∴∠C=∠DAC,
故答案为∠DAC;
【分析】(1)根据平行线的性质即可得到结论;(2)过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD,∠B=∠BCF,然后根据已知条件即可得到结论;(3)过点E作EF∥AB,然后根据两直线平行内错角相等,即可求∠BED的度数.
6.如图1,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角尺(∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线AB的上方.
(1)若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度,沿顺时针方向旋转t秒,当OM恰好平分∠BOC时,如图2.
①求t值;
②试说明此时ON平分∠AOC;
(2)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转,设∠AON=α,∠COM=β,当ON在∠AOC内部时,试求α与β的数量关系;
(3)若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时,射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转,如图3,那么经过多长时间,射线OC第一次平分∠MON?请说明理由.
【答案】(1)解:①∵∠AOC=30°,OM平分∠BOC,∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°,∴∠COM=∠BOM=75°.
∵∠MON=90°,∴∠CON=15°,∠AON+∠BOM=90°,∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°,∴∠AON=∠CON,∴t=15°÷3°=5秒;
②∵∠CON=15°,∠AON=15°,∴ON平分∠AOC
(2)解:∵∠AOC=30°,∴∠NOC=∠AOC-∠AON=90°-∠MOC,∴30°-α=90°-β,∴β=α+60°
(3)解:设旋转时间为t秒,∠AON=5t,∠AOC=30°+8t,∠CON=45°,∴30°+8t=5t+45°,∴t=5.
即t=5时,射线OC第一次平分∠MON.
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质以及余角补角的性质即可得出结论;(2)根据∠NOC=∠AOC-∠AON=90°-∠MOC即可得到结论;(3)分别根据转动速度关系和OC 平分∠MON列方程求解即可.
7.如图,在△ABC中,点E在AC边上,连结BE,过点E作DF∥BC,交AB于点D.若BE 平分∠ABC,EC平分∠BEF.设∠ADE=α,∠AED=β.
(1)当β=80°时,求∠DEB的度数.
(2)试用含α的代数式表示β.
(3)若β=kα(k为常数),求α的度数(用含k的代数式表示).
【答案】(1)解:∵β=80°,
∴∠CEF=∠AED=80°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠BEC=∠CEF=80°,
∴∠DEB=180°﹣80°﹣80°=20°;
(2)∵DF∥BC,
∴∠ADE=∠ABC=α,
∵BE平分∠ABC,
∴∠DEB=∠EBC=
∵EC平分∠BEF,
∴β=∠CEF=(180°﹣)=90°﹣α;
(3)∵β=kα,
∴90°﹣α=kα,
解得:α=
【解析】【分析】(1)根据对顶角的性质得到∠CEF=∠AED=80°,根据角平分线的定义即可得到结论;
(2)根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论;
(3)根据题意列方程即可得到结论.
8.如图,已知,,,点E在线段AB上,,点F在直线AD上,.
(1)若,求的度数;
(2)找出图中与相等的角,并说明理由;
(3)在的条件下,点不与点B、H重合从点B出发,沿射线BG的方向移动,其他条件不变,请直接写出的度数不必说明理由.
【答案】(1)解:,,
,
,
,
,
(2)解:与相等的角有:,,.理由:,
两直线平行,内错角相等,
,,
,
,
同角的余角相等,
,
,
两直线平行,同位角相等,
(3)解:35°或145°
【解析】【解答】解:或
当点C在线段BH上时,点F在点A的左侧,
如图1:
,
两直线平行,内错角相等,当点C在射线HG上时,点F在点A的右侧,
如图2:
,
两直线平行,同旁内角互补,
,
.
【分析】根据,,可得,再根据,即可得到;根据同角的余角相等以及平行线的性质,即可得到与相等的角;分两种情况讨论:当点C在线段BH上;点C 在BH延长线上,根据平行线的性质,即可得到的度数为或.
9.如图,三角形ABC,直线,CD、BD分别平分和.
(1)图中,,,求的度数,说明理由.
(2)图中,,直接写出 ________.
(3)图中,, ________.
【答案】(1)解:
,
,
如图1过D点作,
,
,,
,即
又、BD分别平分和.
,同理
(2)
(3)
【解析】【解答】
如图2过D点作,
,
,,
,即
又、BD分别平分和.
,同理,
,
,
即,
,
,
,
,
故答案为.
如图3过D点作,
,
,,
,即
又、BD分别平分和.
,同理,
,
,
即,
,
,
,
,
故答案为.
【分析】(1)过点作,根据平行线的性质,得出,,则,再根据、分别平分和,得出,同理,即可解答;(2)根据(1)的思路即可解答;(3)根据(2)的思路即可解答.
10.问题情景:如图1,AB//CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.
小明的思路是:
过点P作PE//AB,
∴∠PAB+∠APE=180°.
∵∠PAB=130°,∴∠APE=50°
∵AB//CD,PE//AB,∴PE//CD,
∴∠PCD+∠CPE=180°.
∵∠PCD=120°,∴∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
问题迁移:如果AB与CD平行关系不变,动点P在直线AB、CD所夹区域内部运动时,∠PAB,∠PCD的度数会跟着发生变化.
(1)如图3,当动点P运动到直线AC右侧时,请写出∠PAB,∠PCD和∠APC之间的数量关系?并说明理由.
(2)如图4,AQ,CQ分别平分∠PAB,∠PCD,请直接写出∠AQC和∠APC的数量关系________.
(3)如图5,点P在直线AC的左侧时,AQ,CQ仍然平分∠PAB,∠PCD,请直接写出∠AQC和角∠APC的数量关系________
【答案】(1)∠PAB+∠PCD=∠APC
理由:如图3,过点P作PF∥AB,
∴∠PAB=∠APF,
∵AB∥CD,PF∥AB,
∴PF∥CD,
∴∠PCD=∠CPF,
∴∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC,
即∠PAB+∠PCD=∠APC
故答案为:∠PAB+∠PCD=∠APC
(2)
(3)2∠AQC+∠APC=360°
【解析】【解答】(2)
理由:如图4,
∵AQ,CQ分别平分∠PAB,∠PCD,
∴∠QAB= ∠PAB,∠QCD= ∠PCD,
∴∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD),由(1),可得∠PAB+∠PCD=∠APC,
∠QAB+∠QCD=∠AQC
∴∠AQC= ∠APC
故答案为:∠AQC= ∠APC;(3)2∠AQC+∠APC=360°理由:如图5,过点P作PG∥AB ,
∴∠PAB+∠APG=180°,
∵AB∥CD,PG∥AB,
∴PG//CD,
∴∠PCD+∠CPG=180°,
∴∠PAB+∠APG+∠PCD+∠CPG=360°,
∴∠PAB+∠PCD+∠APC=360°,
∵AQ,CQ分别平分∠PAB,∠PCD,
∴∠QAB= ∠PAB,∠QCD= ∠PCD,
∴∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+PCD)
由(1)知,∠QAB+∠QCD=∠AQC,
∴∠AQC= (∠PAB+∠PCD)
2∠AQC=∠PAB+∠PCD,
∵∠PAB+∠PCD+∠APC=360°,
∴2∠AQC+∠APC=360°.
【分析】(1)过点P作PF∥AB,可得∠PAB=∠APF,根据AB∥CD,PF∥AB,可得∠PCD=∠CPF,所以∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC,即可证得∠PAB+∠PCD=∠APC;
(2)已知AQ,CQ分别平分∠PAB,∠PCD,根据角平分线性质,可得∠QAB= ∠PAB,
∠QCD= ∠PCD,∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD),再根据(1)结论,
即可证明∠AQC= ∠APC.(3)过点P作PG∥AB,根据平行线的性质可得∠PAB+∠APG=180°,由已知可得PG//CD,∠PCD+∠CPG=180°,证明得∠PAB+∠PCD+∠APC=360°,,再根据AQ,CQ分别平分∠PAB,∠PCD,可得
∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD),即可证明得出结论2∠AQC+∠APC=360°.
11.已知,,点在射线上, .
(1)如图1,若,求的度数;
(2)把“ °”改为“ ”,射线沿射线平移,得到,其它条件不变(如图2所示),探究的数量关系;
(3)在(2)的条件下,作,垂足为,与的角平分线交于点,若,用含α的式子表示(直接写出答案).
【答案】(1)解:∵CD//OE,
∴∠AOE=∠OCD=120°,
∴∠BOE=360°-90°-120°=150°
(2)解:如图2,过O点作OF//CD,
∴CD//OE,
∴OF∥OE,
∴∠AOF=180°-∠OCD,∠BOF=∠EO'O=180°-∠BO'E,
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO'E=360°-(∠OCD+∠BO'E)=120°,
∴∠OCD+∠BO'E=240°
(3)30°+
【解析】【解答】解:(3)如图,
∵CP是∠OCD的平分线,
∴∠OCP= ∠OCD,
∴∠CPO'=360°-90°-120°-∠OCP
=150°- ∠OCD
=150°- (240°-∠BO'E)
=30°+
【分析】(1)先求出到∠AOE的度数,再根据直角、周角的定义即可求解;
(2)过O点作OF//CD,根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO'E的数量关系;(3)根据四边形内角和为360°,再结合(2)的结论以及角平分线的定义即可解答.
12.直线AB与直线CD相交于点O,OE平分 .
(1)如图①,若,求的度数;
(2)如图②,射线OF在内部.
①若,判断OF是否为的平分线,并说明理由;
②若OF平分,,求的度数.
【答案】(1)解:∵∠BOC=130°
∴∠BOD=180°-∠BOC=180°-130°=50°
∵OE平分∠BOD
∴
∴∠AOD=∠BOC=130°
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=130°+25°=155°
(2)解:①∵OE平分∠BOD
∴∠BOE=∠DOE
∵OF⊥OE
∴∠EOF=90°
∴∠DOF=90°-∠DOE
∵∠AOF=180°-∠EOF-∠BOE
=180°-90°-∠BOE
=90°-∠BOE
∴∠AOF=∠DOF
∴DF平分∠AOD
②∵
∴设∠DOF=3x,则∠AOF=5x
∵OF平分∠AOE
∴∠EOF=∠AOF=5x,∠AOE=10x
∴∠DOE=∠EOF-∠DOF=5x-3x=2x
∵OE平分∠BOD
∴∠BOE=∠DOE=2x,∠BOD=4x
∵∠BOE+∠AOE=180°