电磁场与电磁波(第四版)习题解答
电磁场与电磁波（第四版）习题解答
第1章习题
习题 1.1
给定三个矢量A 、B
和C 如下
：
23
x y z =+-A e e e .
4y z =-+B e e ,
52
x z =-C e e ,
解：
（1
）2323)
A x y z e e e A
a e e e A
+-==
=
+-
（2
）
64x y z A B e e e -=+-=
= （3）(23)(4)11x y z y z A B e e e e e ?=+-?-+=-
（4
）arcco s arcco s 135.5A B A B
θ
?===?
（5）1711
cos -=?=
??==B B A A
B B A A A A AB
B
θ
（6）1
2341310502x y z
x Y Z e e e A C e e e ?=-=----
（7）0
4185205
2
x y z
x Y Z
e e e B C e e e ?=-=++-
()(23)(8520)42x Y Z x Y Z A B C e e e e e e ??=+-?++=-
1
231040
4
1x y z
x Y Z e e e A B e e e ?=-=----
()(104)(52)42x Y Z x Z A B C e e e e e ??=---?-=-
（8）()10
14240550
2x
y z
x Y Z e e e A B C e e e ??=---=-+-
()1
235544118
5
20
x y z
x Y Z e e e A B C e e e ??=-=--
习题1.4给定两矢量 234
x y z =+-A e e e 和
456
x y z =-+B e e e ，求它们之间
的夹角和 A 在 B 上的分量。
解：
29)4(322
2
2
=-++=A
776
)5(4
2
2
2=
+-+=
B
31)654()432(-=+-?-+=?z y x z y x e e e e e e B A
则A 与B
之间的夹角为
131772931cos =???
? ?
??
-=???
?
?
?
???=ar B A B A arcis
AB
θ
A 在B
上的分量为
532.37731cos -=-=?=???==B B A B
A B A A A A AB
B
θ
习题1.9用球坐标表示的场2
25r
r
=E
e ，
（1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ；
（2）求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角。 解：
（1）由已知条件得到，在点（-3，4，-5）处，
r =
==225250.550
E r ===
2
1054325253
2z
y x r e e e r r r e E -+-===
则 20
232
10
3-
=-=x E
（2）其夹角为
6.1532103219arccos arccos
=??
? ????-
=??
??
?
?
???=B E B E EB
θ
习题1.17在由5r =、0z =和4z =围成的圆柱形区域，对矢量2
2r z r z =+A e e 验证散
度定理。
证：
在圆柱坐标系中
23)2()(12
+=??+
??=??ρρρ
ρ
ρz z
A
所以， πρρρφπ
1200)23(5
20
4
=+=
????
?
?d d dz
dV A V
又
???
?
??
????
?
?
?
?
=?+
?=
?+
-?+
?=?+
?+
?=
?===π
π
πρρπ
π
π
φφρρφφρρφρρ2020
4
25
20
4
5
20
5
0205
4
120055425)(dzd a d dzd e A
d d
e A
d d
e A
S
d A S d A S d A S d A z z z z S S S
S
下
柱面上
则
?
??=
=??S
V
S d A dV A
π1200
习题1.21
求矢量
22
x y z x x y z
=++A e e e 沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线
积分，此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相重合。再求??A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。 证：
8
02)()(2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
=-
-
+
=
-?+
-?+
?+
?=
??
?
?
?
?
?
?
??
====dy xdx dy xdx dy
e A
dx e A
dy e A
dx e A
l d A y x x y y x x y C
(
)(
)(
) 22x
y z x
y z y y x x z z x y z x z x y z A A A A A A A A A y
z
z
x
x
y
yz x
?????=
?????????=-
+-+-??????=+e e e A e e e e e
由闭合曲线l 所包围的面对??A 的面积分为：
22220
(22)28x z z s
d yz x d xd y xd xd y ??=
+==?
??
?
?
A S e e e
因为 ???=
???l
s d d l A S A
即验证了斯托克斯定理。
第2章习题
习题2.15
半径为a 的球形体积内充满密度为p （r ）的体电荷。若已知球形体积内外的
电位移分布为D=erDr=er(r3+Ar2),0
由ρ=??D
，得到
)(1)(2
2r D r dr
d r D r =??= ρ
则在a r ≤<0区域，
[]
Ar r
Ar
r
r
dr
d r
r 45)(1)(2
2
3
2
2
+=+=
ρ
在a r >区域，
0(1)(24
5
22
=??
?
???+=
r
Aa a r dr d r
r ρ 习题2.20在半径a=1mm 的非磁性材料圆柱形实心导体内，沿z 轴方向通过电流I=20A ，
试求：（1）p=0.8mm 处的B ；（2）p=1.2mm 处的B ；（3）圆柱内单位长度的总磁通。 解：
（1）圆柱形导体内的电流密度为
62
3
2
1037.6)
10
1(20
?=?==-z z
z
e e a
I
e J ππ A/m
2
利用安培环路定律I l d H c
=??
得
T e J e B mm 3
08.010
2.32
1-?==φφρμ
（2）利用安培环路定律得
T e I e B mm 3
02.110
33.32-?==φφπρ
μ
（3）总磁通
Wb
J
d J S d B a
a
i i
6
2
3
2
3
7
2
001022
)
10
1()
10
1(20
10
42
12
2
12
1----?=??
??
??=
=
=
?=
Φ
?
?
ππρμρρμ
习题2.21下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求出其源量J 。
（1）H=epap,B=uoH 圆柱坐标
(2)H=ex(-ay)+eyax,B=u0H;(3)H=exax-eyay,B=u0H;(4)H=ear,B=u0H 球坐标系 解：
（1）在圆柱坐标系中
02)()(102
0≠=??=??=??μρρ
ρμρρρρa a B B
可见，矢量ρρa e H
=不是磁场矢量。
（2）在直角坐标系中
0)()(=??+-??=??ax y
ay x B ，可见，矢量H 是磁场矢量。其源分布
a
e ax
ay
z y x
e e e H J z z y x
20
=-??????=
??=
（3）在直角坐标系中
0)()(=-??+??=??ay y
ax x B ，可见，矢量H 是磁场矢量。其源分布
0=-??????=
??=ay
ax
z y x
e e e H J z y x
（4）在球坐标系中
0)(sin 1
sin 1
=??
=
??=
??ar r B r B φ
θφθφ
，可见，矢量H
是磁场矢量。其源分布
a e a e ar
r
e r e r e r H J r r
2cot sin 0
sin sin 1
2
2
θφθθθ
φθθθ
-=??????
=
??=
习题2.26
解：
（1）由t
D
H ??=??
，得
[]
2
8
8
/)
12.31036.9sin(468.0)12.31036.9cos(15.00
m
A y t e y t y e y H e H
z y x
e e e H t D J z z x x x
z
y x d -?-=-???-=??-=??
????=
??=??=
故 2
/468.0m
A J d =
（2）由H B t
D
H
0,μ=??=??，得
[
]
2
6
2
6
20000/)10
26.11077.3sin(802.0)
1026.11077.3cos(8.0110
11m
A x t e x t x e x
B e B z y x
e e e B t D J z z y z Y
z
y x d --?-?=?-???=??=??
????=
??=??=
μμμμ
故 2
/802
.0m
A J d =
（3）)1081.21077.3cos(109.010
85.856
2
6
12
0z t e E D x r --?-?????==
εε
2
6
23
/)10
81.21077.3sin(10
15m
A z t e t
D J x d --?-??-=??=
故
2
3
/10
15m
A J d -?=
（4） )1.117377sin(10
1.010
8.516
7
z t e J
E x -??==
σ
)1.117377sin(10
72.110
85.83
12
z t e E D x -???==--
ε
21315/)1.117337cos(1053.57)
1.117377cos(3771026.15m
A z t e z t e t
D J x x d -?=-??-=??=--
习题2.30
解：
（1）1B
在界面上法线方向的分量为
T
e e e e e e e B B z y x z y x n n
2
44.12.164.0)48.06.064.0()32(11=--=-+?+-=?=
（2）
T B B B n t 16.32
32
12
22
2
12
11=-++=
-=
（3）利用磁场边界条件，得
T B B n n 2
12==
（4）利用磁场边界条件，得
T B B t t 74.416.3230
011
22=?=
=
μμμμ
第3章习题
习题3.3
解：
（1） 由?-?=E
可得到 a <ρ时， 0=-?=?E
a >ρ时， φρφρ?φρsin 1cos 122
2
2???
?
?
?-+???? ?
?+-=-?=a A e a
A e E
（2） 圆柱体为等位体且等于0，所以为导体制成，其电荷面密度为
φεεερρρρcos 2000A E
e E
e a
a
n s
-=?=?===
习题3.5
证：
根据高斯定律q S d D S
=??
，得
0R r <时。ρππ3
443
12
r D r =
，则0
1
113,
3
εερεερr r r D E r D =
=
=
0R r >时。ρππ3
443
22
R D r =
，则2
0300
2
22
3
023,
3r
R D E r
R D ερερ=
=
=
则中心点的电位为
2
2
2
030
2013633)0(0
ερεερερεερ?R R dr
r
R dr r
dr E dr E r R R R r R +
=
+
=
+
=
?
?
?
?
∞
∞
习题3.8
解：
根据高斯定律q S d D S
=??
，得同轴线内、外导体间的电场强度为
περ
ρ2)(l q E =
内、外导体间的电压为
a
b q d q Ed U l b
a
b
a
l ln
22πε
ρπερ
ρ=
=
=
?
?
则同轴线单位长度的电容为
)
/ln(2a b U
q U
Q C l πε=
==
则同轴线单位长度的静电储能为
)/ln(4222
12
12
2
2
a b q d q dV E
W l b
a
l V
e περπρπερεε=?
??
?
??=
=
?
?
习题3.11
解：
（1） 设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ，电流密度
)(2c a I e J <<=ρπρ
ρ
介质中的电场
)(21
1
1b a I e J E <<==ρπρσ
σρ
)(222
2c b I e J E <<==ρπρσ
σ
ρ
而
?
?
+
=
?+
?=
b
a
b
a
b
c I a
b I d E d E U
ln
2ln
22
1
210
πσ
πσ
ρρ
)
/ln()/ln(2120
21b c a b U
I σσσπσ+=
得到两种介质中的电流密度和电场强度分别为
[]
)()/ln()/ln(120
21c a b c a b U
e J <<+=ρσσρσσρ
[]
)()/ln()/ln(120
21b a b c a b U
e E <<+=ρσσρσρ
[]
)
()/ln()/ln(120
12c b b c a b U
e E <<+=ρσσρσρ
（2） 同轴电缆中单位长度的漏电阻为
2
1120
2)
/ln()/ln(σ
πσσσb c a b I
U R +=
=
由静电比拟，可得同轴电缆中单位长度的电容
)
/ln()/ln(2122
1b c a b C εεεπε+=
习题3.19
解：
（1）同轴线的内外导体之间的磁场沿φ方向，根据两种磁介质的分界面上，磁场法向方向
连续，则两种磁介质的磁感应强度B e B B B φ
===21，注意磁场强度21H H =。
利用安培环路定律， 当a <ρ时，2
2
002πρ
πμπρa
I B =
所以，)(22
00a a
I B <=
ρρπμ
当b a <<ρ时，I H H =+)(21πρ， 即，I B B =+
)(
2
2
1
1
μμπρ
所以，)()(2121b a I e B <<+=ρρ
μμπμμφ
同轴线中单位长度储存的磁场能量为
a
b I
I
d B
d B
d B W a
b
a
b
a
m ln
)
(2162
1
2
1
22
1
212
212
002
2
1
2
2
μμπμμπ
μρ
πρμρπρμρπρμ++
=
+
+
=
???
（2）由2
2
1LI
W m =
，得到单位长度的自感为
a
b I
W L m ln
)
(82212102
μμπμμπ
μ++
=
=
第4章习题
习题4.9
解：
（1）瞬时坡印廷矢量为
)(cos
265),(),(),(2
kz t e t z H t z E t z S z -=?=ωπ
W/m 2
（2）平均坡印廷矢量
[
]5.132Re 2
1
*
z
av e H
E S =?= W/m
2
（3）流入的净功率
[
][
]
)
42.0(cos )(cos
25.026525
.0)(2
2
1
0--?=??+-?-=?-=?
==t t e S e S dS e S P S
z n
z n n ωω
习题4.17
证：
由H j E
0ωμ-=??得磁场复矢量
jkz
m y
z
y x
z y x
e
E e E E E z y x e e e j E j H -=??????-
=??-
=10
00
10
111μεωμ
ωμ
)
(20
00
20
211φμεωμ
ωμ
---=??????-
=??-
=kz j m x
z
y
x
z
y x
e
E e E E E z y x e e e j E j H
平均坡印廷矢量
[]
2
10
0*1112
1Re 21
m z
av E e H E S με =?=
[]
2
20
0*2222
1Re 21
m z
av E e H E S με =?=
合成波电场和磁场复矢量
)
(2121φ---+=+=kz j m y jkz m x e E e e E e E E E
jkz m y kz j m x
e E e e
E e H H H ---+-=+=1)
(20
021 φμε
所以合成波平均坡印廷矢量
[]
)(2
1Re 21
2
2210
0*11m m z
av E E e H E S +=?=με
由此可见
av av av S S S 21 +=
即证。
第5章习题
习题5.6
解：
（1）传播方向为z e
0020εμω
π==k ，
故9
010620?==
πεμπ
ω rad/s 9
1032?==
π
ωf Hz
(2)电场可表示为
()z
j y x e
e j e E π204
10
--+= 是左旋圆极化波。
（3）
(
)
()z j y x r z e e e j E e H ππ
η2040
12010
1--+-=
?=
(4)
[
]11
*
10
65.2Re 2
1
-?=?=z
av e
H
E S W/m 2
即
11
10
65.2-?=av P W/m 2
习题5.9
解：
在自由空间，波的频率为
9
8
105.12
.0103?=?==
λp
v f Hz
在理想介质中，波长0.09m ，此时波的相速为
8
9
1035.109.010
5.1?=??==λf v p m/s
另外，r
r p c
v εεεμμε
=
=
=0
01
1
故
94.410
35.11032
8
82
=???
?
????=???
?
??=p r
v c ε
习题5.12
解：
（1）由给定的磁场得到 频率 8
8
10321062?=?==
π
ππ
ωf Hz
相位常数 πβ2= rad/m
波长 m m 1222===
π
πβπ
λ
相速 8
8
1032106?=?=
=
π
πβ
ωp v m/s
（2）与磁场相伴的电场强度
)
2106cos(96)()
2106cos(1208.0)(),(),(8
8
0z t e e z t e e e e t z H t z E y x z y x z ππππππη-?-=-???+=?= （3）瞬时坡印廷矢量为
)2106(cos
6.153),(),(),(82
z t e t z H t z E t z S z πππ-?=?=
W/m 2
习题5.14
解：
（1）由磁场的表达式可得
z y x z k y k x k r k z y x πππ5.0++-=++=?
则
πππ5.0,
,
==-=z y x k k k
πππ5.0z y x e e e k
++-=
ππ
2
3)
5.0(1)1(2
2
=
++-=k rad/m
波传播方向的单位矢量为
3
13232z y x n e e e k k
e ++-==
（2）
m k 3
42
/322=
=
=πππλ
8
8
104
93
/4103?=
?=
=
λ
p
v f Hz
（3）
??
????++--????? ??+--?=???? ?
?++-?
?????
???? ??
++--++=?=--)5.0(1029cos 35673110
377377313232
21cos 10
)2
3(),(),(8
6
6
0z y x t e e e e e e z y x t e e e e t z H t z E z y
x z
y x z y x n πππωη V/m
（4）平均坡印廷矢量
[
]
2
10
)
5.0(6
)5.0(6
*
/2110
7.123
103567
3110377Re 21
Re 2
1
m
W e e e e e e e e e e e H
E S z y x z y x j z y x z y x j z y
x av ?
?? ?
?++-?=??
?
??
?
??
? ??++???
? ??+--?=
?=++--++---
πππ
第6章习题
习题6.2
解：
（1）电场的复数形式
z j y z j x e e e e z E ββ-+-+=200100)()90(0
由H j E
0ωμ-=??
()[]
)
90(0
01002001
1)(1+--+-=
??????-
=??-
=z j y z
j x
y
x
z y x
e e e e E E z y x e e e j z E j z H ββηωμ
ωμ
A/m
（也可用E e H z
?=0
1η式求解磁场H ，结果一样）
将其写成瞬时值表达式
[
][]
)sin(100)cos(2001
)(Re ),(0
z t e z t e e
z H t z H y
x t
j ββωηω-+--=
=
A/m （2）入射到理想导体会产生全反射，反射波的电场()0 z j y z j x r e e e e E ββ200100) 900( --=- 与其相伴的反射波磁场为 ( ) ()0 90 (0 1002001 1-+-= ?-= z j y z j x r z r e e e e E e H ββηη 总的电场 z j e ze j e E E E y j x r ββsin 400sin 2000901 --=+=- 总磁场 () z e e z e H H H j y x r ββηcos 200cos 4001090 1-+-= += （3）理想导体上的电流密度为 06.153.0090 1 y j x z n s e e e H e J +=?=-= A/m 习题6.4 解： Ω== = πεμεμη12000111 Ω=== πεμεμη6040 02 22 反射系数为 3 11212- =+-= Γηηηη 透射系数为 3 221 22 = += ηηητ 故反射波的电场振幅为 3.33=Γ=im rm E E V/m 透射波的电场振幅为 6.66==im rm E E τ V/m 习题6.7 解：0>z 区域，本征阻抗 Ω== ==ππεμηεμη602 1202 20 2 22r r 透射系数为 1 1 22 10 67.6601206022-?=+?= += π ππηηητ 相位常数 m rad r /20210 31038 9 200222ππεεμωεμωβ=???= == 则 电场：)20103cos(67.6)cos(9 22z t e z t E e E x im x ππβωτ-?=-= V/m 磁场： ( ) )20103cos(03.01 9 22 2 z t e E e H y z ππη-?=?= A/m 习题6.13 解：电场振幅最大值相距1.0m ，则 0.12 =λ，得m 0.2=λ 因电场振幅第一最大值距离介质表面0.5m ，即)4 (λ处，故反射系数0<Γ。 由 3 11 2121 1=+-= +-= ΓS S 3 1- =Γ 又 2 20 20211r r εεηηηη+ -= +-=Γ 可得到 43/113/112 2 =? ? ? ??-+=r ε 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙一﹚ 一、 填空题（每题8分，共40分） 1、在国际单位制中，电场强度的单位是________；电通量密度的单位是___________；磁场强度的单 位是____________；磁感应强度的单位是___________；真空中介电常数的单位是____________。 2、静电场→E 和电位Ψ的关系是→E ＝_____________。→ E 的方向是从电位_______处指向电位______处。 3、位移电流与传导电流不同，它与电荷___________无关。只要电场随__________变化，就会有位移电流；而且频率越高，位移电流密度___________。位移电流存在于____________和一切___________中。 4、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝________；而磁场→ B 的法向分量B 1n －B 2n ＝_________；电流密度→ J 的法向分量J 1n －J 2n =___________。 5、沿Z 轴传播的平面电磁波的复数表示式为：_____________________=→ E , ____________________=→ H 。 二、计算题（题，共60分） 1、（15分）在真空中，有一均 匀带电的长度为L 的细杆， 其电荷线密度为τ。 求在其横坐标延长线上距 杆端为d 的一点P 处的电 场强度E P 。 2、（10分）已知某同轴电容器的内导体半径为a ，外导体的内半径为c ， 在a ﹤r ﹤b (b ﹤c)部分填充电容率为ε的电介质，求其单位长度上的电容。 3、（10分）一根长直螺线管，其长度L ＝1.0米，截面积S ＝10厘米2，匝数N 1＝1000匝。在其中段密绕一个匝数N 2＝20匝的短线圈，请计算这两个线圈的互感M 。 4、（10分）某回路由两个半径分别为R 和r 的 半圆形导体与两段直导体组成，其中通有电流I 。 求中心点O 处的磁感应强度→ B 。 5、电场强度为)2106(7.378 Z t COS E Y a ππ+?=→ → 伏／米的电磁波在自由空间传播。问：该波是不 是均匀平面波？并请说明其传播方向。 求：（1）波阻抗； （2）相位常数； （3）波长； （4）相速； （5）→ H 的大小和方向； （6）坡印廷矢量。 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙二﹚ （一）、问答题（共50分） 1、（10分）请写出时变电磁场麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式，并写出其辅助方程。 2、（10分）在两种媒质的交界面上，当自由电荷面密度为ρs 、面电流密度为J s 时，请写出→ →→→H B D ,,,E 的边界条件的矢量表达式。 3、（10分）什么叫TEM 波，TE 波，TM 波，TE 10波？ 4、（10分）什么叫辐射电阻？偶极子天线的辐射电阻与哪些因素有关？ 5、什么是滞后位？请简述其意义。 （二）、计算题（共60分） 1、（10分）在真空里，电偶极子电场中的任意点M （r 、θ、φ）的电位为2 cos 41r P θ πε= Φ（式中，P 为电偶极矩，l q P =）， 而 → →→?Φ?+?Φ?+?Φ?=Φ000sin 11φφ θθθr r r r 。 试求M 点的电场强度→ E 。 2、（15分）半径为R 的无限长圆柱体均匀带电，电荷 体密度为ρ。请以其轴线为参考电位点， 求该圆柱体内外电位的分布。 3、（10分）一个位于Z 轴上的直线电流I ＝3安培，在其旁 边放置一个矩形导线框，a ＝5米，b ＝8米，h ＝5米。 最初，导线框截面的法线与I 垂直（如图），然后将该 截面旋转900，保持a 、b 不变，让其法线与I 平行。 求：①两种情况下，载流导线与矩形线框的互感系数M 。 ②设线框中有I ′＝4安培的电流，求两者间的互感磁能。 4、（10分）P 为介质（2）中离介质边界极近的一点。 已知电介质外的真空中电场强度为→ 1E ，其方向与 电介质分界面的夹角为θ。在电介质界面无自由电 荷存在。求：①P 点电场强度→ 2E 的大小和方向； 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+? ,B E t ???=-? ,0B ?= ,D ρ?= 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? S D d s ρ=? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。 6电位满足的泊松方程为 ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。8.电场强度E 的单位是， 电位移D 的单位是 。9．静电场的两个基本方程的微分 形式为 0E ??= ρ?= D ；10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 3.0 0n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H 4.D E ε= ,B H μ= ,J E σ= 5. J t ρ ??=- ? 6.2ρ?ε?=- 12??= 12 12n n εεεε??=?? 7.唯一性定理 8.V/m C/m2 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令 B A =?? 的依据是（c.0B ?= ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ ) l n (0 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性） 分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω= 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-? 其振幅值为：304510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510 .dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。 试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S S d q =?得2 4q D r π= 24D e e r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε= = 五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a 处，其间在x=x0处有一面密度为σ2C/m 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。（20分） 解：()2 102d 00;d x x x ?=<<()22 02d 0 d x x a x ?=<< 得： ()()11100;x C x D x x ?=+<< ()()2220x C x D x x a ?=+< < A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。 4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程 6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。 . 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?u v u u v u v ,B E t ???=-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? u v u u v g ? S D ds ρ =?u v u u v g ? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H r r r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=u v u v 5电流连续性方程的微分形式为： 5. J t ρ??=- ?r g 6电位满足的泊松方程为 2ρ?ε?=- ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。 12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理 论依据是: 唯一性定理。 8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ? 的单位是C/m2 。 9．静电场的两个基本方程的微分形式为 0E ??= ρ?=g D ； 10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v ，并令 B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u v g ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ? ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln( 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω=r r 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-?r r r 其振幅值为：3 04510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S u u v u u v g ?S d q =?得2 4q D r π= 24D e e u u v v v r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e u u v u u v v r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r u u v u u v v u u v g g g r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε== 电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任 意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ??????++ = ??=ρ ρdiv ； 散度在圆柱坐标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右 手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。二者的关系 n dS dC e A ρρ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该 点最 大环量密度的方向。 4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。梯度的大小为该点 标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的 方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与 梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数 的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e r 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u ?的数学表达式是 ，梯度的表达式 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。 9、麦克斯韦方程组的积分形式分别为 ()s l s s l s D dS Q B E dl dS t B dS D H dl J dS t ?=??=-??=?=+????????r r r r r r r r g r r r r r g ???? 其物理描述分别为 10、麦克斯韦方程组的微分形式分别为 2 0E /E /t B 0 B //t B c J E ρεε??=??=-????=??=+??r r r r r r r 其物理意义分别为 11、时谐场是激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的 场， 一般采用时谐场来分析时变电磁场的一般规律，是因为任何时变周期函数都可以用正弦函数表示的傅里叶级数来表示；在线性条件下，可以使用叠加原理。 12、坡印廷矢量的数学表达式 2 0S c E B E H ε=?=?r r r r r ，其物理意义表示了单 位面积的瞬时功率流或功率密度。功率流的方向与电场和磁场的方向垂直。表达式 ()s E H dS ??r r r g ?的物理意义穿过包围体积v 的封闭面S 的功率。 13、电介质的极化是指在外电场作用下，电介质中出现有序排列电偶极子以及表面上出 电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量— 电磁场与电磁波例题详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第1章 矢量分析 例1.1 求标量场z y x -+=2)(φ通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M 的坐标是1,0,1000===z y x ，则该点的标量场值为 0)(0200=-+=z y x φ。其等值面方程为 ： 0)(2=-+=z y x φ 或 2)(y x z += 例1.2 求矢量场222zy a y x a xy a A z y x ++=的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为 ： z y dz y x dy xy dx 222== 从而有 ???????==z y dz xy dx y x dy xy dx 2222 解之即得矢量方程???=-=2 2 21c y x x c z ，c 1和c 2是积分常数。 例1.3 求函数xyz z xy -+=22?在点（1，1，2）处沿方向角 3 ,4 ,3 π γπ βπ α= = = 的方向导数。 解：由于 1) 2,1,1(2) 2,1,1(-=-=??==M M yz y x ?, 02) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xz xy y ?, 32) 2,1,1() 2,1,1(=-=??==M M xy z z ?, 2 1cos ,22cos ,21cos === γβα 所以 1cos cos cos =??+??+??= ??γ?β?α??z y x l M 例1.4 求函数xyz =?在点)2,1,5(处沿着点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向导数。 解：点)2,1,5(到点)19,4,9(的方向矢量为 1734)219()14()59(z y x z y x a a a a a a l ++=-+-+-= 其单位矢量 3147 31433144cos cos cos z y x z y x a a a a a a l ++=++=γβα 5, 10, 2) 2,1,5()2,1,5()2,1,5() 2,1,5() 2,1,5() 2,1,5(==??==??==??xy z xz y yz x ? ?? 所求方向导数 314 123 cos cos cos = ??=??+??+??=?? l z y x l M ?γ?β?α?? 例1.5 已知z y x xy z y x 62332222--++++=?，求在点)0,0,0(和点)1,1,1( 处的梯度。 解：由于)66()24()32(-+-++++=?z a x y a y x a z y x ? 所以 623) 0,0,0(z y x a a a ---=?? ，36) 1,1,1(y x a a +=?? 例1.6 运用散度定理计算下列积分： ??++-+=S z y x S d z y xy a z y x a xz a I )]2()([2322 S 是0=z 和2 2 22y x a z --=所围成的半球区域的外表面。 解：设：)2()(2322z y xy a z y x a xz a A z y x ++-+= 则由散度定理???=??τ τs S d A d A 可得 《电磁场与电磁波》试卷1 一. 填空题（每空2分,共40分） 1．矢量场的环流量有两种特性：一是环流量为0，表明这个矢量场 无漩涡流动 。另一个是环流量不为0，表明矢量场的 流体沿着闭合回做漩涡流动 。 2．带电导体内静电场值为 0 ，从电位的角度来说，导体是一个 等电位体 ，电荷分布在导体的 表面 。 3．分离变量法是一种重要的求解微分方程的方法，这种方法要求待求的偏微分方程的解可以表示为 3个 函数的乘积，而且每个函数仅是 一个 坐标的函数，这样可以把偏微分方程化为 常微分方程 来求解。 4．求解边值问题时的边界条件分为3类，第一类为 整个边界上的电位函数为已知 ，这种条件成为狄利克莱条件。第二类为已知 整个边界上的电位法向导数 ，成为诺伊曼条件。第三类条件为 部分边界上的电位为已知，另一部分边界上电位法向导数已知 ，称为混合边界条件。在每种边界条件下，方程的解是 唯一的 。 5．无界的介质空间中场的基本变量B 和H 是 连续可导的 ，当遇到不同介质的分 界面时，B 和H 经过分解面时要发生 突变 ，用公式表示就是 12()0n B B ?-=，12()s n H H J ?-=。 6．亥姆霍兹定理可以对Maxwell 方程做一个简单的解释：矢量场的 旋度 ，和 散度 都表示矢量场的源，Maxwell 方程表明了 电磁场 和它们的 源 之间的关系。 二．简述和计算题（60分） 1．简述均匀导波系统上传播的电磁波的模式。（10分） 答：（1）在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，即电场和磁场完全在横平面内，这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM 波。 （2）在电磁波传播方向上有电场和但没有磁场分量，即磁场在横平面内，这种模式的电磁波称为横磁波，简称TM 波。因为它只有纵向电场分量，又成为电波或E 波。 （3）在电磁波传播方向上有磁场但没有电场分量，即电场在横平面内，这种模式的电磁波称为横电波，简称TE 波。因为它只有纵向磁场分量，又成为磁波或M 波。 从Maxwell 方程和边界条件求解得到的场型分布都可以用一个或几个上述模式的适当幅相组合来表征。 2．写出时变电磁场的几种场参量的边界条件。（12分） 解：H 的边界条件 12()s n H H J ?-= E 的边界条件 一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度 电子信息学院电磁场与电磁波第一章复习题练习 姓名 学号 班级 分数 1-7题，每题5分；8-15题，每题5分，16题10分，17题15分。 8: 解：不总等于，讨论合理即可 9. 已知直角坐标系中的点P 1(-3，1，4)和P 2（2，-2,3）： (1) 在直角坐标系中写出点P 1、P 2的位置矢量r 1和r 2； (2) 求点P 1到P 2的距离矢量的大小和方向； (3) 求矢量r 1在r 2的投影； 解：（1）r1=-3a x +a y +4a z ; r2=2a x -2a y +3a z (2)R=5a x -3a y -a z (3) [（r1?r2）/ │r2│] =（17）? 10.用球坐标表示的场E =a r 25/r 2，求： （1） 在直角坐标系中的点（-3,4，-5）处的|E |和E z ； （2） E 与矢量B =2a x -2a y +a z 之间的夹角。 解：（1）0.5；2?/4; (2)153.6 11.试计算∮s r ·d S 的值，式中的闭合曲面S 是以原点为顶点的单位立方体，r 为 空间任一点的位置矢量。 解：学习指导书第13页 12.从P （0,0,0）到Q （1,1,0）计算∫c A ·d l ，其中矢量场A 的表达式为 A =a x 4x-a y 14y 2.曲线C 沿下列路径： （1） x=t ，y=t 2； （2） 从（0,0,0）沿x 轴到（1,0,0），再沿x=1到（1,1,0）； （3） 此矢量场为保守场吗？ 解：学习指导书第14页 13.求矢量场A =a x yz+a y xz+a z xy 的旋度。 A ??=x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=0 14.求标量场u=4x 2y+y 2z-4xz 的梯度。 u ?=x a u x ??+y a u y ??+z a u z ??=x a (8xy-4z)+y a (42x +2yz)+z a (2y -4x) 《电磁场与电磁波》知识点及参考答案 第1章 矢量分析 1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所 产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。 2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ??≡，则矢量场是无旋场，由散度源所 产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。 3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是： 散度（高斯）定理：S V FdV F dS ??=?? ?和 斯托克斯定理： s C F dS F dl ???=??? 。 4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。（ √ ） 5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（ √ ） 6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ √ ） 7、梯度的方向是等值面的切线方向。（ × ） 8、标量场梯度的旋度恒等于0。（ √ ） 9、习题, 。 第2章 电磁场的基本规律 （电场部分） 1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。 2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。 3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是： V V s D dS dV Q ρ?==? ?和 0l E dl ?=?。 4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ??=和0E ??=。 5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。 6、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→ B 的法向分量 B 1n －B 2n ＝0。 7、在介电常数为 的均匀各向同性介质中，电位函数为 22 11522 x y z ?= +-,则电场强度E =5x y z xe ye e --+。 8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。 9、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为( D )。 A.导体 B.固体 C.液体 D.电介质 10、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的( C )倍。 A.ε0εr B. 1/ε0εr C. εr D. 1/εr 11、导体电容的大小( C )。 A.与导体的电势有关 B.与导体所带电荷有关 C.与导体的电势无关 D.与导体间电位差有关 12、z ＞0半空间中为ε=2ε0的电介质，z ＜0半空间中为空气，在介质表面无自由电荷分布。 1麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+?,B E t ???=-?,0B ?=,D ρ?= 2静电场的基本方程积分形式为： C E dl =? S D d s ρ =? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。 6电位满足的泊松方程为 ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。8.电场强度E 的单位是， 电位移D 的单位是 。9．静电场的两个基本方程的微分 形式为 0E ??= ρ?=D ；10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 3.00n S n n n S e e e e J ρ??=? ?=?? ?=?? ?=?D B E H 4.D E ε=,B H μ=,J E σ= 5. J t ρ??=-? 6.2ρ?ε?=- 12??= 1212n n εεεε??=?? 7.唯一性定理 8.V/m C/m2 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令 B A =??的依据是（c.0B ?= ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ”的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ ) l n (0 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一 定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω= 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?= =-? 其振幅值为： 304510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510.dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S S d q =?得2 4q D r π= 24D e e r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r r a a a q q U d d d r a πεπε∞ ∞ ∞ ==== ??? 导体球的电容04q C a U πε= = 五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a 处，其间在x=x0处有一面密度为σ2C/m 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。（20分） 解：()2 102d 00;d x x x ?=<<()22 02d 0 d x x a x ?=<< 得： ()()11100;x C x D x x ?=+<< ()( )222 0x C x D x x a ?=+< < ()()()()()()()(122112102000,0;, x x x x a x x x x ???????????===-???? 和满足得边界条件为 第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+ . 电磁场与电磁波练习题 1、直角坐标系中，两个矢量A 与B ，其中x y z A e e e =-+， x y z B e e e =++，则：A e = ； A B ?= ； A B ?= 。 2、在有限的区域V 内，任一矢量场由它的 、 和 唯一地确定。 3、标量场u 的梯度、矢量场F 的散度、旋度可用哈密顿算符?表示为 、 、 。 4、已知磁感应强度为 (3)(32)()x y z x y z y mz =+--+B e e e ，则m 的值为____。 : 5、 写出电流连续性方程的微分形式 。 6、从宏观效应看，物质对电磁场的响应可分为 、 和 三种现象。 7、一个点电荷q 放在两相交0 60的导体平面内，则存在 个镜像电荷。 8、写出电磁能量守恒关系的坡印廷定理的表达式 。 9、均匀平面波在良导体中传播时，磁场的相位滞后电场 度。 10、反射系数的定义式为 。 11对于矢量A ，若 =++x x y y z z A e A e A e A ，则：z x e e ?= ；x x e e ?= ；z y e e ?= 。 12、直角、圆柱、球坐标系下体积元分别为 、 、 。 （ 13、矢量(cos sin )y x y A e x x -=-e e ，则A ?= 。 14、对于线性和各向同性的媒质，这些方程是 、 、 ，称为媒质的本构关系。 15、理想介质的电导率σ= ，而理想导体的电导率σ= 。 16、电场强度E 电位函数?的关系为 。 17、在电磁场工程中，通常规定矢量位A 的散度为 ，此式称为洛伦兹条 件。 18、电磁波的波长不仅与 有关，还与媒质的参数 、 有关。 19、电场强度矢量 ()()m x xm z z jE cos k z E =e ，写出其瞬时值矢量(,)z t E = 。 20、对于导电媒质的垂直入射，反射系数Γ与透射系数τ之间的关系为 。 《 21、旋涡源与通量源不同在于前者不发出矢量线也不汇聚矢量线。（正确、错误） 22、位移电流密度是磁场的旋涡源，表明时变磁场产生时变电场。（正确、错误） 23、理想导体内部不存在电场，其所带电荷只分布于导体表面。（正确、错误） 24、当感应电动势 0in ξ<时，表明感应电动势的实际方向与规定方向相同。（正确、错 误） 25、电容的大小与电荷量、电位差无关。（正确、错误） 26、当12()jkz jkz x E z Ae A e -=+时，第一项代表波沿+z 方向传播，第二项代表沿-z 方向传播。（正确、错误） 27、矢量函数E 满足真空中的无源波动方程一定满足麦克斯韦方程。（正确、错误） 28、电磁波的趋肤深度随着波频率、媒质的磁导率和电导率的增加而增加。（正确、错误） | 29、反射系数与投射系数之间的关系为1τ+Γ=。（正确、错误） 30、驻波的电场强度与磁场强度不仅在空间位置上错开 1/4λ，在时间上也有/2π的相移。 （正确、错误） 31、方向导数的定义是与坐标无关，但其具体计算公式与坐标系有关。（正确、错误） 32、亥姆赫兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件惟一地确定。（正确、错误） 33、在静电场中的电感与导体系统的几何参数和周围媒质无关，与电流、磁通量有关。（正确、错误） 34、不管是静态还是时变情况下，电场和磁场都可以相互激发。（正确、错误） 35、接地导体球上的感应电荷的分布是不均匀的，靠近点电荷的一侧密度小。（正确、错误） 36、任一线极化波，都可将其分解为两个振幅相等、旋向相反的圆极化波。 第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ： （1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导 数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值： （1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处； （3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。 解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??=电磁场与电磁波课程习题集(1)8.2 习题集(1)
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