高等数学下册试题题库)及参考答案

高等数学下册试题库

一、选择题（每题4分，共20分）

1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9

解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，

||=

5)1(20222=-++.

2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）

A ）{-1,1,5}.

B ） {-1,-1,5}.

C ） {1,-1,5}.

D ）{-1,-1,6}.

解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.

3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k

解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .

4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3

π D ）π 解 由公式（6-21）有

2

1112)1(211)1(1221c o s 2222222

121=

++?-++?-+?+?=

??=

n n n n α，

因此，所求夹角

32

1

arccos π

α=

=．

5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．

解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为

因为平面过1M 、2M 两点，所以有

解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程

6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

A ．3

B ．4

C ．5

D ． 2

7．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为(A )。

A ．3

B ．5

C ．4

D ． 2

8．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( B )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -=

9．微分方程3

23y y ='的一个特解是( B)。

A ．13+=x y

B ．()32+=x y

C ．()2C x y +=

D ． ()31x C y +=

10．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解(C)。

A ．0=+'y y

B ．02=+'y y

C ．0=+y y n

D ． x y y cos =+'' 11．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的(A)，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 12．y y ='满足2|0==x y 的特解是( B)。

A ．1+=x

e y B ．x

e y 2= C ．2

2x e y ?= D ． x e y ?=3 13．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( C )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 14．下列微分方程中，( A )是二阶常系数齐次线性微分方程。 A ．02=-''y y B ．032=+'-''y y x y C ．045=-''x y D ． 012=+'-''y y

15．微分方程0=-'y y 满足初始条件()10=y 的特解为( A )。 A ．x e B ．1-x e C ．1+x e D ． x e -2

16．在下列函数中，能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是( C )。 A ．1=y B ．x y = C ．x y sin = D ． x e y =

17．过点()3,1且切线斜率为x 2的曲线方程()x y y =应满足的关系是( C )。 A ．x y 2=' B ．x y 2='' C ．x y 2='，()31=y D ． x y 2=''，()31=y 18．下列微分方程中，可分离变量的是( B )。

A ．

e x y dx dy =+ B ．()()y b a x k dx dy --=(k ,a ,b 是常数) C ．x y dx

dy

=-sin D ． x e y xy y ?=+'2

19．方程02=-'y y 的通解是( C )。

A ．x y sin =

B ．x e y 24?=

C ．x e C y 2?=

D ．x e y =

20．微分方程

0=+x

dy y dx 满足4|3==x y 的特解是( A )。 A ．2522=+y x B ．C y x =+43 C ．C y x =+22 D ． 722=-y x 21．微分方程

01

=?-y x

dx dy 的通解是=y ( B )。 A ．x

C B ．Cx C ．C x +1

D ． C x +

22．微分方程0=+'y y 的解为( B )。

A ．x e

B ．x e -

C ．x x e e -+

D ． x e -

23．下列函数中，为微分方程0=+ydy xdx 的通解是( B )。

A ．C y x =+

B ．

C y x =+22 C ．0=+y Cx

D ． 02=+y Cx 24．微分方程02=-dx ydy 的通解为( A )。

A ．C x y =-2

B ．

C x y =- C ．C x y +=

D ．C x y +-= 25．微分方程xdx ydy sin cos =的通解是( D )。 A ．C y x =+cos sin B ．C x y =-sin cos C ．C y x =-sin cos D ． C y x =+sin cos 26．x e y -=''的通解为=y ( C )。

A ．x e --

B ．x e -

C ．21C x C e x ++-

D ．21C x C e x ++-- 27．按照微分方程通解定义，x y sin =''的通解是( A )。 A ．21sin C x C x ++- B ．21sin C C x ++- C ．21sin C x C x ++ D ． 21sin C C x ++

一、单项选择题

2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C

A. 若0

lim (,)x x

y y f x y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0

lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处

z x ??和z

y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处

z x ??和z

y

??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22

z

y

??. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3-

(C) 2- (D) 2

5．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→

→?AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；

6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→

→

+AB MA =（ B ） (A);2-

(B) ;

(C)2; (D)-2;

7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)D

F x y d σ??为二次积分的正确方法

是_________. D A. 20(,)a

a a

dx f x y dy -??

B. 20

2(,)a

dx f x y dy ?

C. 2cos 0

(cos ,sin )a a a

d f d θθρθρθρρ-??

D. 2cos 20

2

(cos ,sin )a d f d π

θπ

θρθρθρρ-

?

?

8．设3

ln 1

0(,)x I dx f x y dy =??

, 改变积分次序, 则______.I = B A. ln30

(,)y e dy f x y dx ?? B. ln33

0(,)y e dy f x y dx ?

?

C. ln33

(,)dy f x y dx ?

? D. 3

ln 1

(,)x dy f x y dx ??

9． 二次积分cos 20

(cos ,sin )d f d π

θθρθρθρρ??

可以写成___________. D

A. 1

(,)dy f x y dx ??

B. 1

00

(,)dy f x y dx ? C. 11

(,)dx f x y dy ??

D. 10

(,)dx f x y dy ?

10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分

(,,)I f x y z dx dy dz Ω

=???表示为三次积分，________.I = C

A ． 221

20

00

(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ?

??

B. 2

22

20

(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ?

??

C ． 2222

2

(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ?

??

D ． 222

(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ?

??

11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，

则()=?L

dx y x P , （ C ）

（A ） a （B ） c

（C ） 0 （D ） d

12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=?L

dy y x P , （ C ）

（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d

13．设有级数∑∞

=1

n n u ,则0lim =∞

→n n u 是级数收敛的 （ D ）

(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;

14．幂级数∑∞

=1n n nx 的收径半径R = （ D ）

(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 1

15．幂级数∑∞

=11

n n x n

的收敛半径=R （ A ）

(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 3

16．若幂级数∑∞

=0

n n

n x a 的收敛半径为R ，则∑∞

=+0

2n n n x a 的收敛半径为 （ A ）

(A) R (B) 2R

(C) R (D) 无法求得 17. 若lim 0n n u →∞

=, 则级数1

n n u ∞

=∑( ) D

A. 收敛且和为

B. 收敛但和不一定为

C. 发散

D. 可能收敛也可能发散 18. 若1n n u ∞

=∑为正项级数, 则( )

A. 若lim 0n n u →∞

=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21

n n u ∞

=∑收敛 B

C. 若21

n n u ∞=∑, 则1

n n u ∞=∑也收敛 D. 若1

n n u ∞

=∑发散, 则lim 0n n u →∞

≠

19. 设幂级数1

n n n C x ∞

=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( ) A

A. 绝对收敛

B. 条件收敛

C. 发散

D. 敛散性不定 20. 级数1

sin (0)!n nx x n ∞

=≠∑

, 则该级数( ) B

A. 是发散级数

B. 是绝对收敛级数

C. 是条件收敛级数

D. 可能收敛也可能发散

二、填空题（每题4分，共20分）

1. a ?b = （公式）

答案∣a ∣?∣b ∣cos(∧

b a ,)

2. a =(a x ，a y ，a z )，b=(b x ，b y ，z b z )则 a ·b = （计算） 答案a x b x +a y b y +a z b z

3. .=?b a

答案z

y x

z y

x

b b b a a a k

j i

4. ][c b a

= 答案x

y z x

y z x

y

z

a a a

b b b

c c c 5. 平面的点法式方程是 答案0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 6.设(

)x

y y x z -+=

2

2arcsin ，其定义域为 ((){}

0,1,22

≥>≤+x y y x

y x )

7.设()()

??

?

??=≠=0

00sin ,2xy xy xy

y x y x f ，则()=1,0x f (()11,0=x f )

8.()y x f ,在点()y x ,处可微分是()y x f ,在该点连续的 的条件，()y x f ,在点()y x ,处连续是()y x f ,在该点可微分的 的条件. (充分，必要) 9.()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数

x z ??及y

z ??存在是()y x f ,在该点可微分的 条件.(必要)

10.在横线上填上方程的名称

①()0ln 3=-?-xdy xdx y 方程的名称是 答案 可分离变量微分方程；

②()()022=-++dy y x y dx x xy 方程的名称是 答案 可分离变量微分方程； ③x

y

y dx dy x

ln ?=方程的名称是 答案 齐次方程；

④x x y y x sin 2+='方程的名称是 答案 一阶线性微分方程；

⑤02=-'+''y y y 方程的名称是 答案 二阶常系数齐次线性微分方程.

11. 在空间直角坐标系{O ;k j i

,,}下，求P (2,－3,－1)，M (a , b , c )关于

(1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a , b , c )关于xOy 平面的对称点坐标为(a , b , －c )，

M (a , b , c )关于yOz 平面的对称点坐标为(－a , b , c )， M (a , b , c )关于xOz 平面的对称点坐标为(a ,－b , c )， M (a , b , c )关于x 轴平面的对称点坐标为(a ,－b ,－c )， M (a , b , c )关于y 轴的对称点的坐标为(－a , b ,－c )， M (a , b , c )关于z 轴的对称点的坐标为(－a ,－b , c ). 类似考虑P (2,－3，－1)即可.

12.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？

（1-=+ （2+=+

（3-=+ （4+=

（5-=-

[解]：（1）b a ,-=+；

（2）b a ,+=+

（3≥且b a ,=+

（4）b a ,+=

（5）b a ,≥-=-

13.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？

（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；

（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；

（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆

（3）直线； （4）相距为2的两点

二、填空题

1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.

2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则

)1,0('x f =____0______.

3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是 4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是 5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=

6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9D

dxdy π=??, 则a = 3 。

7． 设D 由曲线sin ,a a ρθρ==所围成, 则D

dxdy =

??234

a π 8． 设积分区域D 为2214x y ≤+≤, 2D

dxdy =??6π

9．设()y x f ,在[0， 1]上连续，如果()31

=?

dx x f ，

则()()??1

1

dy y f x f dx =_____9________. 10．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则

()L

x y ds +=

? 11．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，

则 ().___________=-?L

ds y x 0

12．等比级数∑∞=1

n n

aq )0(≠a 当 1q < 时，等比级数∑∞

=1

n n aq 收敛.

13．当__1ρ>__时，-p 级数∑∞

=1

1

n p n 是收敛的. 14．当_________时,级数()∑

∞

=--1111n p n n

是绝对收敛的. 1ρ>

15

．若(,)f x y =则(2,1)_________.x f = 12,

16．若2

3

(,)(1)arccos 2y f x y xy x x

=+-, 则(1,)_________.y f y = 23y

17．设x y u z =, 则_________.du = ln ln x y xy z y xdx x zdy dz z ?

?++ ???

18．设ln x

z y

=, 则22__________.z x ?=? ln 2

ln (ln 1)x

y y y x -

19. 积分2220y x dx e dy -??的值等于_________. 41

(1)2

e --,

20.设D 为园域222x y a +≤, 若()228D

x y dxdy π+=??, 则_______.a = 2

21.设2I dxdydz Ω

=???, 其中2222:,0x y z a z Ω++≤≥, 则_______.I = 34

3a π

三、是非题

（每题4分，共20分）

1. 初等函数的定义域是其自然定义域的真子集. ( ⅹ )

2. sin lim

1x x

x

→∞=. ( ⅹ )

3. 22lim 33

x x x →∞-=-+. (ⅹ ) 4. 对于任意实数x , 恒有sin x x ≤成立. (ⅹ )

5. 0x

y =是指数函数. ( ⅹ )

6. 函数()log 01a y x a = <<的定义域是()0, +∞. (ⅹ )

7. 23log 3log 21?=. (√ )

8. 如果对于任意实数x R ∈, 恒有()0f x '=, 那么()y f x =为常函数. (√ ) 9. 存在既为等差数列, 又为等比数列的数列. ( √ ) 10. 指数函数是基本初等函数. (√ ) 11.

0x →=. ( √ ) 12. 函数3

2

34y x x =++为基本初等函数. (√ ) 13.

1

11

a a x dx x C a +=

++?. ( ⅹ ) 14. ()arcsin x π+是基本初等函数. ( ⅹ ) 15. sin x 与x 是等价无穷小量. (ⅹ ) 16. 1x

e -与x 为等价无穷小量. ( ⅹ )

17. 若函数()f x 在区间[],a b 上单调递增, 那么对于任意[],x a b ∈ , 恒有()0f x '>. ( ⅹ ) 18. 存在既为奇函数又为偶函数的函数. ( ⅹ )

19. 当奇函数()f x 在原点处有定义时, 一定成立()00f =. (√ )

20. 若偶函数()[]()1,1y f x x = ∈- 连续, 那么函数()()()

1,1y f x x '= ∈- 为奇函数. (√ ) 21. 若奇函数()[]()1,1y f x x =∈- 连续, 那么函数()()()

1,1y f x x '= ∈- 为偶函数. (√ ) 22. 偶函数与奇函数的乘积为奇函数. (√ ) 23. 奇函数与奇函数的乘积为偶函数. ( √ )

24. 若函数()f x 为奇函数, 那么一定成立()00f =. (√ ) 25. 若函数()f x 为偶函数, 那么一定成立()00f '=. ( ⅹ )

26. ()()

sin cos x x π'+=. (ⅹ )

27. sin cos sin 2x x x =. (ⅹ ) 28. ()x

x

a a '=. (ⅹ )

29. ()sin sin x x x π+=. ( ⅹ )

30. 单调函数一定存在最大值与最小值. ( ⅹ ) 31. 单调函数一定存在反函数. (√ )

32. 互为反函数的两个函数的图像关于直线y x =对称. ( √ )

33. 若定义域为[]0,1 的函数()f x 存在反函数, 那么()f x 在区间[]0,1 上单调. ( √ )

34. 22

1

lim 212

n n x n →∞+=+. (√ )

35. 对于任意的,a b R +

∈, 恒有a b +≥ √ )

36. 函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )

37. 若函数()f x 在其定义域内处处有切线, 那么该函数在其定义域内处处可导. (ⅹ ) 38. 空集是任意初等函数的定义域的真子集. (ⅹ ) 39.

sin

i

i x +∞

=∑为初等函数. (ⅹ )

40. 对于任意的x R ∈, 恒有1x +≥ ⅹ ) 41. 左右导数处处存在的函数, 一定处处可导. ( ⅹ )

下列题（1．×；2．×；3． √；4．×；5．√）

1．任意微分方程都有通解。( × )

2．微分方程的通解中包含了它所有的解。(× )

3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( √ ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。(×) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=

2ln 2

1

(C 为任意常数)。(√ ) 下列是非题（1．×；2．√；3．√；4．×；5．×）

1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。( )

2．若()x y 1，()x y 2都是()()x Q y x P y =+'的特解，且()x y 1与()x y 2线性无关，则通解可表为

()()()()[]x y x y C x y x y 211-+=。( )

3．函数x x e e y 21λλ+=是微分方程()02121=+'+-''y y y λλλλ的解。( )

4．曲线在点()y x ,处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是

C x y +='2(C 是任意常数)。( )

5．微分方程y x e y -='2，满足初始条件0|0==x y 的特解为12

12+=x

y e e 。( ) 是非题（1．×；2．√；）

1．只要给出n 阶线性微分方程的n 个特解，就能写出其通解。

2．已知二阶线性齐次方程()()0=?+'?+''y x Q y x P y 的一个非零解y ，即可 四、计算证明题（每题10分，共40分）

1、判断积数收敛性∑∞

=-1

!2)1(2

n n n

n 解： 12lim )!

1(2

!

2lim lim 12)1(122

>∞==-=-∞→-∞→-∞→n n n u u n n n n n n n n

由比值法，级数∑∞

=-1

!2)1(2

n n n

n 发散 2．ydy x xdy ydx 2

=-

解：两边同除以2

x ，得： 即c y x y =+2

2

1 3．

xy

x y

dx dy -=

解：两边同除以x ，得

令u x y

= 则dx

du

x

u dx dy += 即

dx du

x

u dx dy +=u

u -=1 得到

()2ln 2

1

1y c u -=，

即2

ln 21??

?

??-=y c y x

另外0=y 也是方程的解。

4．()01=-+xdy ydx xy

解：0=+-xydx xdy ydx 得到c x y x d +-=???

?

??221 即

c x y x =+2

2

1 另外0=y 也是方程的解。

5．求方程052=+'+''y y y 的通解.

解: 所给方程的特征方程为 所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e

y x

+=-.

6.

求

.

解

7．求方程032=-'+''y y y 的通解.

解 所给方程的特征方程为 0322

=-+r r 其根为 1,321=-=r r

所以原方程的通解为 x x

e C e

C y 231+=- 8.证明

()()()

2

2

2220,0,lim

y x y x y x y x -+→极限不存在

8)因为()

1lim

2

2

2

2

20

=-+=→y x y x y x y

x x ,()

0lim

2

2

2

2

220=-+=→y x y x y x x

y x 所以极限不存在

9.证明()()4

22

0,0,lim y x xy y x +→极限不存在

9)设y 2

=kx ，1lim 242202

+=+=→k k

y x xy ky

x y 不等于定值，极限不存在 10.计算σd xy D

??, 其中D 是由直线y =1、x =2及y =x 所围成的闭区域.

解: 画出区域D .

可把D 看成是X --型区域: 1≤x ≤2, 1≤y ≤x . 于是

????=211][x D

dx xydy d xy σ??-=?=213

2

112)(21]2[dx x x dx y x x 8

9]24[212124=-=x x . 注: 积分还可以写成??????==21

1

21

1

x

x D

ydy xdx xydy dx d xy σ.

11．dx

dy

=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：

y

dy

=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2

x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2

x .

12. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy

2

y

dy

dy=-11+x dx 两边积分: -y

1=-ln|x+1|+ln|c| y=

|

)1(|ln 1

+x c

另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=

|

)1(|ln 1

+x c

13. 0)2()(2=-++dy y x dx y x 解： 1=??y M ，x

N

??=1 . 则

x

N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程。 凑微分，0)(22=++-xdy ydx ydy dx x 得 ：C y xy x =-+233

1

14． 0)4()3(2=---dy x y dx x y

解： 1=??y M ，1=??x

N

. 则

x

N y M ??=?? . 所以此方程为恰当方程。 凑微分，0432=--+ydy dx x xdy ydx 得 C y xy x =+-232

15. 求

xy

xy y x 1

1lim

)

0 ,0(),(-+→. 解:

)

11()11)(11(lim

11lim

)0 ,0(),()

0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x . 16. 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解 y x x

z 32+=??, y x y z 23+=??. 823122

1

=?+?=??==y x x z

, 722132

1=?+?=??==y x y z .

17. 设z =x 3y 2

-3xy 3

-xy +1, 求22x z ??、33x

z ??、x y z ???2和y x z ???2. 解 y y y x x

z --=??32233, x xy y x y z --=??2392;

2226xy x

z =??, 23

3

6y x z =??;

1962

22--=???y y x y x z , 196222

--=???y y x x y z . 18. 验证函数22ln y x z +=满足方程02

222

=??+??y z x z

. 证 因为)ln(2

1ln 2222y x y x z +=+=, 所以

22y

x x x z +=??, 22y x y

y z +=??,

222222222222)

()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+?-+=

??, 222222222222)

()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+?-+=??.

因此 0)

()(22222222222222=+-++-=??+??y x x y y x y x y z x z . 19. 计算函数z =x 2y +y 2的全微分. 解 因为xy x

z 2=??, y x y z 22+=??,

所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .

20. 函数z =3x 2+4y 2在点(0, 0)处有极小值.

当(x , y )=(0, 0)时, z =0, 而当(x , y )≠(0, 0)时, z >0. 因此z =0是函数的极小值. 21.函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值.

当(x , y )=(0, 0)时, z =0, 而当(x , y )≠(0, 0)时, z <0. 因此z =0是函数的极大值.

22. 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC 的面积. 解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC 的面积

→→→→||2

1sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ?=∠=?. 由于→

AB =(2, 2, 2), →

AC =(1, 2, 4), 因此

→

→

4

21222k

j i =?AC AB =4i -6j +2k .

于是 142)6(42

1|264|2

1222=+-+=+-=?k j i ABC S .

23. 设有点A (1, 2, 3)和B (2, -1, 4), 求线段AB 的垂直平分面的方程.

解 由题意知道, 所求的平面就是与A 和B 等距离的点的几何轨迹. 设M (x , y , z )为所求平面上的任一点, 则有

|AM |=|BM |, 即 222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x . 等式两边平方, 然后化简得

2x -6y +2z -7=0.

这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程, 所以这个方程就是所求平面的方程.

24. 求过点(2, -3, 0)且以n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x -2)-2(y +3)+3z =0, 即 x -2y +3z -8=0.

25.求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.

解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为 By +Cz =0.

又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3B -C =0, 或 C =-3B .

将其代入所设方程并除以B (B ≠0), 便得所求的平面方程为 y -3z =0. 26.求直线L 1:1341

1+=-=

-z y x 和L 2:1

222-=-+=z y x 的夹角.

解 两直线的方向向量分别为s 1 = (1, -4, 1)和s 2 = (2, -2, -1). 设两直线的夹角为? , 则

2221)1()2(21)4(1|

)1(1)2()4(21|cos 2

22222==-+-+?+-+-?+-?-+?=

? ,

所以4

π?=.

例1 求幂级数 的收敛半径与收敛域.

解 因为11

11

lim ||lim 1=+==∞→+∞→n

n a a

n n n n ρ,

所以收敛半径为11==

ρ

R .

当x =1时, 幂级数成为∑∞

=--11

1)1(n n n

, 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞

=-1

)1(n n

, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].

例2 求幂级数∑∞

=0!

1n n x n 的收敛域.

解 因为0)!1(!lim !

1

)!

1(1

lim

||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(-∞, +∞). 例3 求幂级数∑∞

=0!n n x n 的收敛半径.

解 因为

+∞=+==∞→+∞

→!

)!

1(lim ||

lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛. 例5 计算

?+L dy x xydx 22, 其中L 为抛物线y =x 2

上从O (0, 0)到B (1, 1)的一段弧.

解: 因为

x

x

Q y P 2=??=??在整个xOy 面内都成立,

所以在整个xOy 面内, 积分?+L dy x xydx 22与路径无关.

111

2==?dy .

讨论: 设L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向, 问022=+-?L y x ydx

xdy 是

否一定成立？ 提示: 这里22y x y P +-=

和2

2

y x x Q +=在点(0, 0)不连续.

因为当x 2

+y 2

≠0时,

y

P y x x y x Q ??=+-=??2222

2)(, 所以如果(0, 0)不在L 所围成的区域内, 则结论成立, 而当(0, 0)在L 所围成的区域内时, 结论未必成立.

例6 验证: 在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解 这里P =xy 2, Q =x 2y .

因为P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 且有

y

P xy x Q

??==??2, 所以在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分.

取积分路线为从O (0, 0)到A (x , 0)再到B (x , y )的折线, 则所求函数为 ?+=)

,()0 ,0(2

2),(y x ydy x

dx xy y x u 2

02

20

2

2y x ydy x

ydy x y

y

==+=??.